十五 压杆稳定资料讲解
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压杆稳定专家讲座
固定，长度系数2=0.5，惯性半径
iy
Iy A
hb3 /12 bh
b 40 11.5 mm 12 12
则柔度
2
2l
iy
0.5 2.3 11.5 103
100
27
因为1>2，所以该杆将在xy平面内失稳。该
杆属于细长杆，可用欧拉公式计算其临界力。
Fc r
2EIz ( 1l ) 2
2Ebh3 /12 ( 1l ) 2
b
a
b
b
满足此条件旳杆件称为中柔度杆或中长压杆。
* < s旳压杆称为小柔度杆或短粗杆，属强度 破坏，其临界应力为极限应力。
32
2. 抛物线公式
cr u a2
式中，a 是与材料力学性能有关旳常数。 例如钢构造设计规范对小柔度杆提出了如下抛 物线型近似公式 ：
cr
f
1
1
c2 Biblioteka ( c ) ；第十章 压杆稳定
§10−1 压杆稳定旳概念 粗短压杆——强度破坏 低碳钢短柱：屈服破坏； 铸铁短柱：断裂破坏；
细长压杆——失稳破坏
s或 b
1
2
桁架构造
3
失稳破坏
4
稳定性：指构件或体系保持其原有平衡状态旳能力。 失 稳：指构件或体系丧失原始平衡状态旳稳定性，
由稳定平衡状态转变为不稳定状态。
两重性——既可在直线状态保持平衡，又可
在微弯状态维持平衡。
临界（压）力：压杆处于临界平衡状态时所受旳
Fcr
轴向压力。
或 使压杆保持直线状态平衡旳最大
轴向压力。
或 使压杆失稳旳最小轴向压力。
9
其他形式旳构件也存在稳定性问题：
压杆稳定教学课件PPT1
=69 kN
FNBC 4.5q ≤Fcr =69
得：q=15.3 kN/m
例 图示矩形截面压杆，h=60mm，b=40mm，杆长l=2m， 材料为Q235钢，E=206GPa 。两端用柱形铰与其它构件 相连接，在正视图的平面（xy平面）内两端视为铰支； 在俯视图的平面（xz平面）内两端为弹性固定，长度因
当x=0时，w=0。
0 A0 Bcoskx
得：B=0，
w Asin kx
w Asin kx
又当x=l时， w=0。
得 Asin kl = 0
要使上式成立，
x
1）A=0
w=0；
Fcr
代表了压杆的直线平衡状态。
A
2） sin kl = 0
w
Fcr
此时A可以不为零。
w
M (x)= Fcrw
l x x
sin
30 20Fra bibliotekFNBC 4.5q
2）求BC杆的临界力
I (D4 d 4 ) (50 4 40 4 ) =181132mm4。
64
64
2m
1m
q
Fcr
2EI ( l ) 2
A
30°
B
Ⅰ Ⅰ C
2 206103×181132
(1.0×2/cos30°×103 )2
[FNBC ] 120kN
例：托架的撑杆为钢管，外径D=50mm，内径d=40mm，
2m
A 30°
Ⅰ Ⅰ C
1m q
B
两端球形铰支，材料为Q235钢， E=206GPa。试根据该杆的稳定性 要求，确定横梁上均布载荷集度 q之许可值。
Ⅰ-Ⅰ截面
解：1）求BC杆的轴力
材料力学：Ch15压杆稳定
4
1041.8kN
n PcrAC 1041 .8 5
P≤240.6kN PAC 0.866 P
例题7：已知压杆为如球果铰两,根由槽两钢根只等在边两角端钢连铆接成λ1＝100,λ2＝62, ,nslt==12..44cr8m，3，0[上4σ－A]述==11.2稳16×20定M28计P.9a算c，m和试2，强校铆度核钉计压孔算杆直会。不径会为发23生m变m，化P? ＝800kN
解：
FA
F
B
t Et cr
l 0.5 600 141.5
i 2.12
细长杆
Et π 2E 2
t
π 2E
E 2
π2
2
π2 12.5106 141.52
39.43
C
临界压力小结：
每一个压杆均有与之相应的临界应力 临界应力取决于压杆的材料、柔度
＝ l i
1
1
2E p
判别弹性平衡稳定性的静力学准则 （statical criterion for elastic stability）
FFPP FP
FP<FPcr :在扰动作用下，
直线平衡构形转变为弯曲 平衡构形，扰动除去后， 能够恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形 是稳定的。
FP FP
FP>FPcr :在扰动作用下，
55.1(< s)短粗杆
A 235106 2.3103
b a d d 752KN
i1 11.55mm
Pcr11
129.9
375KN
i2 2
16.3mm 92
Pcr 2 644KN
P i3 15.95mm 3 94
Pcr3 635KN
压杆稳定(10年)解析PPT课件
(3)当增大P至某一值 Pcr 时: 小的横向干扰 就会使杆失稳;
Pcr: 临界载荷（critical load)
扰动的种类：小的横向力；杆件表面凹坑； 杆件初始曲率等。
扰动是失稳的外因，杆件在外载作用下处于临界状态是内因。
2020年9月28日
14
P
P
压杆的实验观察
横向扰动
横向扰动
测试二
(1)将杆加粗或变短， 杆不容易失稳。
P Pcr 理想压杆曲线 B
实际压杆实验曲线
O
2020年9月28日
ymax
24
讨论
4. 精确微分方程
y
M
(1
y2
3
)2
EI
P
P Pcr
P Pcr
精确微分方程
P1.01P5cr
B
近似微分方程
实际压杆实验曲线
③稳定性 外力—?—稳定性条件
失去稳定性 后果更严重!
2020年9月28日
12
稳定性: 指平衡状态的稳定性 1.稳定平衡与不稳定平衡
不稳定平衡
2020年9月28日
稳定平衡
13
压杆的实验观察
测试一
P
(1) P=0或为拉时: 小的横向干扰不会使杆
离开起初始平衡位置(或失稳);
横向扰动 (2)增大P: 小的横向干扰仍不会使杆失稳;
2020年9月28日
1
第15章 压杆稳定
15.1 压杆稳定的概念 15.2 两端铰支细长压杆的临界力 15.3 两端约束不同时的临界力 15.4 临界力、经验公式、临界力总图 15.5 压杆的稳定校核 15.6 压杆稳定计算的折减系数法 15.7 提高压杆稳定性的措施
压杆稳定教学课件PPT
P
cr
2E 2
细长压杆。
粗短杆 中柔度杆
o
s
大柔度杆
P
l
i
粗短杆 中长杆 细长杆
细长杆—发生弹性屈曲 (p) 中长杆—发生弹塑性屈曲 (s < p) 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服 (< s)
四、注意问题：
1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。
2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时， 其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。
小球平衡的三种状态
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
受压直杆平衡的三种形式
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
电子式万能试
验机上的压杆稳定 实验
工程项目的 压杆稳定试验
§9-2 细长压杆临界压力的欧拉公式 一、两端铰支细长压杆的临界载荷
当达到临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡
1.287
91(kN)
例：图示立柱，L=6m，由两根10号槽型A3钢组成，下端固定，上 端为球铰支座，p 100 ，试 a=？时，截面最为合理。并求立柱的 临界压力最大值为多少？
解：1、对于单个10号槽钢，形心在C1点。 A1 12.74cm2, z0 1.52cm, Iz1 198.3cm4, I y1 25.6cm4.
细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯
曲变形而使结构丧失工作能力，并非因强度不
够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态
(a)
(b) 所致。这种现象称为失稳。
1907年加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥 （倒塌前正在进行悬臂法架设中跨施工）
15压杆稳定
不安全。
Fcr 269kN
图示结构ABC为矩形截面杆，b=60mm，h=100mm，l=4m， BD为圆截面杆，d=60mm，两杆材料均为A3钢，E＝200GPa, σp ＝200MPa，均布载荷 q=1kN/m，稳定安全系nst=3。校核BD杆 的稳定性。 解:通过外力分析可知BD杆件为受 压杆件，根据静力学计算FBD:
M
A
0
FBD l si n45o 2ql 2 0 FBD 11.3kN
计算最大柔度
BD
l
i
2 4
d 4 6 4 d 2 4
3 7 7.1
p
2E 101 p
l
A3钢：a=304MPa，b=1.12MPa；E=206GPa， p=200MPa， s =235MPa
p
2E p
2 206 109
200 10
6
100
a s 304 235 0 61.6 b 1.12 0 max p 所以，应由经验公式求临界应力。
i
L2
(1)
(2)
(3)
3
L3
i
1 125 p
2 E d 2 ( Fcr )1 cr A 2 2540KN 1 4
L2 L3
0 2 62.5 p
( Fcr )2 cr A (a b2 ) 4705KN
2E 即： cr 2
l
i
I min i A
惯性半径。
3.柔度：
— —杆的柔度（或长细比 ）
4.大柔度杆的分界：
cr
2E 2 P
2E P P
Fcr 269kN
图示结构ABC为矩形截面杆，b=60mm，h=100mm，l=4m， BD为圆截面杆，d=60mm，两杆材料均为A3钢，E＝200GPa, σp ＝200MPa，均布载荷 q=1kN/m，稳定安全系nst=3。校核BD杆 的稳定性。 解:通过外力分析可知BD杆件为受 压杆件，根据静力学计算FBD:
M
A
0
FBD l si n45o 2ql 2 0 FBD 11.3kN
计算最大柔度
BD
l
i
2 4
d 4 6 4 d 2 4
3 7 7.1
p
2E 101 p
l
A3钢：a=304MPa，b=1.12MPa；E=206GPa， p=200MPa， s =235MPa
p
2E p
2 206 109
200 10
6
100
a s 304 235 0 61.6 b 1.12 0 max p 所以，应由经验公式求临界应力。
i
L2
(1)
(2)
(3)
3
L3
i
1 125 p
2 E d 2 ( Fcr )1 cr A 2 2540KN 1 4
L2 L3
0 2 62.5 p
( Fcr )2 cr A (a b2 ) 4705KN
2E 即： cr 2
l
i
I min i A
惯性半径。
3.柔度：
— —杆的柔度（或长细比 ）
4.大柔度杆的分界：
cr
2E 2 P
2E P P
压杆稳定
178第二十三章 压杆稳定一、 内容提要1、稳定的概念压杆的稳定性：压杆保持初始直线平衡状态的能力。
压杆的失稳：压杆丧失直线形状的平衡状态。
临界载荷：保持压杆稳定平衡时杆件所能承受的最大外力。
2、临界应力的计算大柔度杆（ ）中柔度杆（ ）小柔度杆（ ） 说明：(1)压杆的临界应力在稳定问题中相当于强度问题中的极限应力，是确定稳定许用应力的依据。
(2)一种材料的极限应力是由材料本身的性质决定的。
压杆的临界应力除决定于材料外，还与杆的柔度有关，(3)根据 的值判断压杆的类别（大柔度杆、中柔度杆或小柔度杆），选用相应的计算临界力的公式。
3、压杆的稳定计算压杆的稳定性条件其中 安全系数法折减系数法说明(1)与强度问题类似，稳定计算也存在三方面的问题：稳定校核、截面设计、计算许可载荷。
（2）杆件丧失稳定是一种整体性行为，横截面的局部削弱对稳定的临界应力影响不大，因此在稳定计算时采用横截面的毛面积。
二、 基本要求1. 明确稳定平衡、不稳定平衡和临界载荷的概念，理解两端铰支压杆临界载荷公式的推导过程。
2. 理解长度系数的力学意义，熟练掌握四种常见的约束形式下细长压杆的临界载荷的计算。
p s λλλ≤≤p λλ>s λλ<22λπσE cr =λσb a cr -=scr σσ=λ[]crA N σσ≤=[]w crcr n σσ=[][]σϕσ=cr1793. 明确压杆柔度、临界应力和临界应力总图的概念，熟练掌握大柔度、中柔度和小柔度三类压杆的判别方法及其临界载荷的计算和稳定性的校核方法。
4. 了解根据压杆稳定性条件设计杆件截面的折减系数法。
5. 了解提高压杆稳定性的主要措施。
三、 典型例题分析例1 三根圆截面压杆直径均为 ，材料为 钢， MPa b 12.1=)， ， ， , 两端均为铰支，长度分别为 且 , 试计算各杆的临界力。
解 （1）有关数据（2）计算各杆的临界力1杆 属大柔度杆2杆 属中柔度杆3杆属小柔度杆mm d 160=MPa E5102⨯=MPa p 200=σMPa s 240=σ,,,321l l l m l l l 542321===,304(MPa a =3A 2222210202.016.044mm d A -⨯==⨯==ππ45441022.316.06464md I -⨯=⨯==ππm d i 04.0416.04===1=μ10010200102611=⨯⨯==πσπλpp E5712.1240304=-=-=ba ss σλ10012504.05111=>=⨯==p il λμλKNl EIP cr 2540)(212==μπ5.6204.05.2122=⨯==il μλMPab a cr 2342=-=λσKNA P cr cr 46801021023426=⨯⨯⨯=⋅=-σ2.3104.025.1133=⨯==il μλ180例2 截面为 的矩形木柱，长 ， 。
《压杆稳定》课件
《压杆稳定》PPT课件
压杆稳定是工程结构中的重要问题，掌握这一原理对于建筑、电力和汽车等 领域都至关重要。
概述
定义
压杆稳定是指结构中的杆件在受压作用下仍能够保持平衡的状态。
原理
受压杆件会发生弯曲和屈曲变形，从而形成侧向支撑力，从而保持杆件的稳定。
应用场景
建筑、桥梁、电力塔和汽车等诸多领域都运用了压杆稳定的原理。
电力工业
电力塔和支架上的压杆稳定设 计，可以防止杆件失去平衡而 导致高压线路的断裂。
总结
1
优缺点
压杆稳定有着较高的稳定性和安全性，但是对材料和结构的要求比较高。
2
发展趋势
随着结构材料和设计技术的不断进步，压杆稳定的设计方法也将日趋完善。
3
应用前景
压杆稳定在建筑、汽车和电力等领域有较广泛的应用前景，是未来工程结构的重 要发展方向。
参考资料
1. 《结构力学》 王兆院 2. 《结构稳定理论》 蔡景达 3. 《Mechanics of Materials》 R.C. Hibbeler
压杆稳定的计算
1
计算模型
压杆稳定的计算通常采用欧拉公式和能量
压力、应力和变形的计算
2
原理来进行分析。
压力、应力和变形是计算压杆稳定所必需
的核心参数。
3
临界负载
临界负载是指杆件失去稳定的负载情况， 其计算方法取决于结构和边界条件。
压杆稳定的优化设计
材料选择
不同材料的强度和刚度各不相同， 选择合适的材料对于杆件的稳定性 至关重要。
结构设计
良好的结构设计可以有效地降低压 杆的压力和应力，从而提高其稳定 性。
优化方法
优化方法可以使得压杆在保证结构 强度的同时，达到最佳的性能和稳 定状态。
压杆稳定是工程结构中的重要问题，掌握这一原理对于建筑、电力和汽车等 领域都至关重要。
概述
定义
压杆稳定是指结构中的杆件在受压作用下仍能够保持平衡的状态。
原理
受压杆件会发生弯曲和屈曲变形，从而形成侧向支撑力，从而保持杆件的稳定。
应用场景
建筑、桥梁、电力塔和汽车等诸多领域都运用了压杆稳定的原理。
电力工业
电力塔和支架上的压杆稳定设 计，可以防止杆件失去平衡而 导致高压线路的断裂。
总结
1
优缺点
压杆稳定有着较高的稳定性和安全性，但是对材料和结构的要求比较高。
2
发展趋势
随着结构材料和设计技术的不断进步，压杆稳定的设计方法也将日趋完善。
3
应用前景
压杆稳定在建筑、汽车和电力等领域有较广泛的应用前景，是未来工程结构的重 要发展方向。
参考资料
1. 《结构力学》 王兆院 2. 《结构稳定理论》 蔡景达 3. 《Mechanics of Materials》 R.C. Hibbeler
压杆稳定的计算
1
计算模型
压杆稳定的计算通常采用欧拉公式和能量
压力、应力和变形的计算
2
原理来进行分析。
压力、应力和变形是计算压杆稳定所必需
的核心参数。
3
临界负载
临界负载是指杆件失去稳定的负载情况， 其计算方法取决于结构和边界条件。
压杆稳定的优化设计
材料选择
不同材料的强度和刚度各不相同， 选择合适的材料对于杆件的稳定性 至关重要。
结构设计
良好的结构设计可以有效地降低压 杆的压力和应力，从而提高其稳定 性。
优化方法
优化方法可以使得压杆在保证结构 强度的同时，达到最佳的性能和稳 定状态。
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其中： λ为实际柔度，a、b为与 材料有关的常数。
抛物型经验公式
cra1b12
其中： λ为实际柔度，a1、b1为 与材料有关的常数。
利用直线公式可确定
中柔度杆的柔度下限值
为：
s
a
s
b
当柔度很小时，属于短
粗杆，不会失稳，只会被
压坏，是强度问题，只需
进行强度校核。
第三节 欧拉公式的适用范围 经验公式
四、临界应力总图
B两销子固定。 试求:Fcr
z
y b
F
h
A
B
Fx
解：
l
（1）若在xoz平面内失稳，绕y轴转动
1,Iyb 13h 2 80c0m 4,0 l7m
yiyll/ IA y 121p110 属大柔度杆。
Fcr (2El)2Iy 162KN
例：木柱，b=12cm, h=20cm, l=7 m,λp=110,λs=80, E=10GPa,由
形
第一节 概述
使杆件保持稳定平衡状态的最大压力
——临界压力 F c r
失稳（曲屈） 稳定的平衡
不稳定的平衡
注： 压杆的临界压力Fcr越高，越不易失稳，即稳定性越好。 细长压杆失稳时的应力一般都小于强度破坏时的应力。 研究压杆稳定性的关键是确定临界压力。
第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
2、此处公式均由欧拉 公式导出，只有适用 欧拉公式的杆件才能 使用此公式。
第三节 欧拉公式的适用范围 经验公式
二、欧拉公式的适用范围 σ cr =
2E
λ2
1、小变形（挠曲线微分方程）
2、公式推导中，用到了中性层 的曲率公式，而曲率公式导出 时用到了胡克定律，因此，欧 拉公式适用于胡克定律的适用 范围内：比例极限内。
F
F
F
F
各种支承压杆临界载
荷的通用公式: （仍称欧拉公式）
F cr =
2EI
( l)2
——长度因数 l ——相当长度
第三节 欧拉公式的适用范围 经验公式
一、压杆的临界应力
1、定义: 压杆在临界压力作 用下横截面上的应力。
σcr =
F cr A
F cr =
2EI
( l)2
σcr =
2EI
( l)2A
S <<p 经验公式
3.计算压杆的临界压力
4.根据稳定性条件进行稳定性校核或确定许用载荷
第四节 压杆的稳定性计算
二、提高压杆抗失稳能力的措施
σ cr =
2E
λ2
1、合理选材，提高E 2、降低杆件柔度
l i
说明：
局部削弱，对压杆 的稳定性影响很小，压 杆的稳定性是个整体概 念。
（1）改善端部约束。
（2）减小压杆支撑长度，如： 增加多余约束。 （3）选择合理的截面形状。
2.三杆中最大的临界压力值。
解： 2.计算临界压力
杆c的柔度最小，其临界压力
最大
5m
7m
9m
d
p=
2E P =
2(20× 1 090)
20× 1 060 =9.9 35
c > p 属于大柔度杆
故用欧拉公式计算临界压力
（a）
（b）
(c)
Fcr
2 EI ( l ) 2
=313K6N
例：木柱，b=12cm, h=20cm, l=7 m,λp=110, E=10GPa,由A、
稳而破坏，试求载荷P的临界值为最大时的 角及结构的最大临界
载荷。
解：1.受力分析
P
y
x
由节点B的平衡条件
B
FAB=Pcos
F AB
F BC
FBC=Psin
2.稳定分析
A
30 °
C
l
当AB与BC同时达到临界值时，载荷P的值为最大
FAB F crAB lA 2E 2B I4l22E IPcos
1
tan =
惯性半径i I A
σcr =
2Ei2
( l)2
定义 l
i
σcr =
2E
λ2
第三节 欧拉公式的适用范围 经验公式
一、压杆的临界应力
1、定义: 压杆在临界压力作 用下横截面上的应力
σ cr =
2E
λ2
其中 l i
——欧拉临界应力公式
说明:
1、 λ为杆件的柔度， 又称压杆的长细比。是 无量纲的量，它集中反 映了压杆的长度、杆端 约束条件、截面尺寸和 形状等对临界应力的影 响。
考察微弯状态下局部压杆的平衡
F
Fcr
w
F
w
F
第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
考察微弯状态下局部压杆的平衡
w
F
w
F
M (x) = – F w (x)
M (x)
=
EI
d2w d x2
F k2= EI
d2w d x2
+
k2w
=0
第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
第二种情况：
P30N
2000年１０月２５日南京电视台演播中心工地事故造成５人死亡
新华网南京１０月２５日电（记者王家言）今天上午１０时３０ 分，位于南京大光路北侧的南京电视台演播中心，在演播厅施工 浇筑混凝土中，因脚手架失稳，造成演播厅屋盖模板倒塌，部分 施工人员被压。据统计，这次事故已造成５人死亡，另有３５人 受伤被送往医院抢救和治疗。
定义： 表示临界应力随杆件的柔度变化的规律的图。
小柔度杆—发生 屈服破坏
中柔度杆—发生
弹塑性屈曲 l i
大柔度杆—发 生弹性屈曲
其中：
p
2E p
s
a
s
b
第四节 压杆的稳定性计算
一、压杆分析的基本步骤
1、判定压杆的约束条件，确定μ
4、求临界载荷，进行 稳定性校核。
2、计算压杆实际柔度
Fcr cr A
l
压杆的稳定条件：
i 其中：
圆形： id/4
F Fcr
nst
Fst
同心圆环：i(D14)/4,d/D
矩形(b>h)： i h /(2 3) 型钢： 查表求i
或： cr
nst
st
3、根据杆件的柔度类型求临界 应力。
其中： nst为稳定安全因数， [Fst] 为稳定许用压力， [σst] 为稳定许用应力。
l
i
41105-2
125
l
i
40 .710- 72 122.5
l
i
40 .5109 -2 112.5
（a） （b）
(c)
可见杆a的柔度最大，故最易失稳
例:三根直径均为d=16cm的圆杆，其长度及支承情况如图
示。圆杆材料为Q235钢，E=200GPa,σp=200MPa，试求：
1.哪一根压杆易丧失稳定？
9.5MPa
s z p 属中柔度杆。
采用直线公式： crab
F crcrA22K8N
例：木柱，b=12cm, h=20cm, l=7 m,λp=110,λs=80, E=10GPa,由
A、B两销子固定。 试求:Fcr
z
y b
F
h
A
B
Fx
解：
l
（1）若在xoz平面内失稳，绕y轴转动, 此时： Fcr 162KN
说明:
1、临界载荷Fcr与杆的抗弯刚度成正比;
x
2、临界载荷Fcr与杆长成反比;
y
z
3、欧拉公式中的横截面的惯性矩I应取最小值Imin;
已知：横截面尺寸为宽3cm，厚0.5cm
10cm
压杆失稳时，总是在抗弯能力为最小的纵 向平面（即最小刚度平面）内弯曲;
第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式
二、两端非铰支细长压杆的临界载荷
弯曲平衡构形 (在扰动作用下)
直 线 平 衡 构 形
弯 曲 平 衡 构 形
第一节 概述
压杆稳定与不稳定的静力学准则 压杆稳定的概念
FP<Fcr :在扰动作用下，直线平衡构形
转变为弯曲构形，扰动除去后，能够恢
复到直线平衡构形，则称原来的直线平
衡构形是稳定的。
弯 曲
平
FP>Fcr :在扰动作用下，直线平衡构形
d2w d x2
+
k2w
=0
F k2= EI
微分方程的解
w =Asinkx + Bcoskx
边界条件
w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 0
第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
w =Asinkx + Bcoskx
w(0)=0 A•0+B•1=0
B=0
w ( l ) = 0 A • sinkl + B • coskl =0
第十五章 压杆稳定问题
第一节 概述 第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式 第三节 欧拉公式的适用范围 经验公式 第四节 压杆的稳定性计算举例
第一节 概述
• 问题引入
已知 : c 40MPa,
A30.51.5cm2
求： 使其破坏所需压力。
10cm
3cm
第一种情况：
P c A 4 0 1 0 6 1 .5 1 0 4 6 0 0 0 N
例:三根直径均为d=16cm的圆杆，其长度及支承情况如图
示。圆杆材料为Q235钢，E=200GPa,σp=200MPa，试求：
1.哪一根压杆易丧失稳定？
2.三杆中最大的临界压力值。
抛物型经验公式
cra1b12
其中： λ为实际柔度，a1、b1为 与材料有关的常数。
利用直线公式可确定
中柔度杆的柔度下限值
为：
s
a
s
b
当柔度很小时，属于短
粗杆，不会失稳，只会被
压坏，是强度问题，只需
进行强度校核。
第三节 欧拉公式的适用范围 经验公式
四、临界应力总图
B两销子固定。 试求:Fcr
z
y b
F
h
A
B
Fx
解：
l
（1）若在xoz平面内失稳，绕y轴转动
1,Iyb 13h 2 80c0m 4,0 l7m
yiyll/ IA y 121p110 属大柔度杆。
Fcr (2El)2Iy 162KN
例：木柱，b=12cm, h=20cm, l=7 m,λp=110,λs=80, E=10GPa,由
形
第一节 概述
使杆件保持稳定平衡状态的最大压力
——临界压力 F c r
失稳（曲屈） 稳定的平衡
不稳定的平衡
注： 压杆的临界压力Fcr越高，越不易失稳，即稳定性越好。 细长压杆失稳时的应力一般都小于强度破坏时的应力。 研究压杆稳定性的关键是确定临界压力。
第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
2、此处公式均由欧拉 公式导出，只有适用 欧拉公式的杆件才能 使用此公式。
第三节 欧拉公式的适用范围 经验公式
二、欧拉公式的适用范围 σ cr =
2E
λ2
1、小变形（挠曲线微分方程）
2、公式推导中，用到了中性层 的曲率公式，而曲率公式导出 时用到了胡克定律，因此，欧 拉公式适用于胡克定律的适用 范围内：比例极限内。
F
F
F
F
各种支承压杆临界载
荷的通用公式: （仍称欧拉公式）
F cr =
2EI
( l)2
——长度因数 l ——相当长度
第三节 欧拉公式的适用范围 经验公式
一、压杆的临界应力
1、定义: 压杆在临界压力作 用下横截面上的应力。
σcr =
F cr A
F cr =
2EI
( l)2
σcr =
2EI
( l)2A
S <<p 经验公式
3.计算压杆的临界压力
4.根据稳定性条件进行稳定性校核或确定许用载荷
第四节 压杆的稳定性计算
二、提高压杆抗失稳能力的措施
σ cr =
2E
λ2
1、合理选材，提高E 2、降低杆件柔度
l i
说明：
局部削弱，对压杆 的稳定性影响很小，压 杆的稳定性是个整体概 念。
（1）改善端部约束。
（2）减小压杆支撑长度，如： 增加多余约束。 （3）选择合理的截面形状。
2.三杆中最大的临界压力值。
解： 2.计算临界压力
杆c的柔度最小，其临界压力
最大
5m
7m
9m
d
p=
2E P =
2(20× 1 090)
20× 1 060 =9.9 35
c > p 属于大柔度杆
故用欧拉公式计算临界压力
（a）
（b）
(c)
Fcr
2 EI ( l ) 2
=313K6N
例：木柱，b=12cm, h=20cm, l=7 m,λp=110, E=10GPa,由A、
稳而破坏，试求载荷P的临界值为最大时的 角及结构的最大临界
载荷。
解：1.受力分析
P
y
x
由节点B的平衡条件
B
FAB=Pcos
F AB
F BC
FBC=Psin
2.稳定分析
A
30 °
C
l
当AB与BC同时达到临界值时，载荷P的值为最大
FAB F crAB lA 2E 2B I4l22E IPcos
1
tan =
惯性半径i I A
σcr =
2Ei2
( l)2
定义 l
i
σcr =
2E
λ2
第三节 欧拉公式的适用范围 经验公式
一、压杆的临界应力
1、定义: 压杆在临界压力作 用下横截面上的应力
σ cr =
2E
λ2
其中 l i
——欧拉临界应力公式
说明:
1、 λ为杆件的柔度， 又称压杆的长细比。是 无量纲的量，它集中反 映了压杆的长度、杆端 约束条件、截面尺寸和 形状等对临界应力的影 响。
考察微弯状态下局部压杆的平衡
F
Fcr
w
F
w
F
第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
考察微弯状态下局部压杆的平衡
w
F
w
F
M (x) = – F w (x)
M (x)
=
EI
d2w d x2
F k2= EI
d2w d x2
+
k2w
=0
第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
第二种情况：
P30N
2000年１０月２５日南京电视台演播中心工地事故造成５人死亡
新华网南京１０月２５日电（记者王家言）今天上午１０时３０ 分，位于南京大光路北侧的南京电视台演播中心，在演播厅施工 浇筑混凝土中，因脚手架失稳，造成演播厅屋盖模板倒塌，部分 施工人员被压。据统计，这次事故已造成５人死亡，另有３５人 受伤被送往医院抢救和治疗。
定义： 表示临界应力随杆件的柔度变化的规律的图。
小柔度杆—发生 屈服破坏
中柔度杆—发生
弹塑性屈曲 l i
大柔度杆—发 生弹性屈曲
其中：
p
2E p
s
a
s
b
第四节 压杆的稳定性计算
一、压杆分析的基本步骤
1、判定压杆的约束条件，确定μ
4、求临界载荷，进行 稳定性校核。
2、计算压杆实际柔度
Fcr cr A
l
压杆的稳定条件：
i 其中：
圆形： id/4
F Fcr
nst
Fst
同心圆环：i(D14)/4,d/D
矩形(b>h)： i h /(2 3) 型钢： 查表求i
或： cr
nst
st
3、根据杆件的柔度类型求临界 应力。
其中： nst为稳定安全因数， [Fst] 为稳定许用压力， [σst] 为稳定许用应力。
l
i
41105-2
125
l
i
40 .710- 72 122.5
l
i
40 .5109 -2 112.5
（a） （b）
(c)
可见杆a的柔度最大，故最易失稳
例:三根直径均为d=16cm的圆杆，其长度及支承情况如图
示。圆杆材料为Q235钢，E=200GPa,σp=200MPa，试求：
1.哪一根压杆易丧失稳定？
9.5MPa
s z p 属中柔度杆。
采用直线公式： crab
F crcrA22K8N
例：木柱，b=12cm, h=20cm, l=7 m,λp=110,λs=80, E=10GPa,由
A、B两销子固定。 试求:Fcr
z
y b
F
h
A
B
Fx
解：
l
（1）若在xoz平面内失稳，绕y轴转动, 此时： Fcr 162KN
说明:
1、临界载荷Fcr与杆的抗弯刚度成正比;
x
2、临界载荷Fcr与杆长成反比;
y
z
3、欧拉公式中的横截面的惯性矩I应取最小值Imin;
已知：横截面尺寸为宽3cm，厚0.5cm
10cm
压杆失稳时，总是在抗弯能力为最小的纵 向平面（即最小刚度平面）内弯曲;
第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式
二、两端非铰支细长压杆的临界载荷
弯曲平衡构形 (在扰动作用下)
直 线 平 衡 构 形
弯 曲 平 衡 构 形
第一节 概述
压杆稳定与不稳定的静力学准则 压杆稳定的概念
FP<Fcr :在扰动作用下，直线平衡构形
转变为弯曲构形，扰动除去后，能够恢
复到直线平衡构形，则称原来的直线平
衡构形是稳定的。
弯 曲
平
FP>Fcr :在扰动作用下，直线平衡构形
d2w d x2
+
k2w
=0
F k2= EI
微分方程的解
w =Asinkx + Bcoskx
边界条件
w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 0
第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
w =Asinkx + Bcoskx
w(0)=0 A•0+B•1=0
B=0
w ( l ) = 0 A • sinkl + B • coskl =0
第十五章 压杆稳定问题
第一节 概述 第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式 第三节 欧拉公式的适用范围 经验公式 第四节 压杆的稳定性计算举例
第一节 概述
• 问题引入
已知 : c 40MPa,
A30.51.5cm2
求： 使其破坏所需压力。
10cm
3cm
第一种情况：
P c A 4 0 1 0 6 1 .5 1 0 4 6 0 0 0 N
例:三根直径均为d=16cm的圆杆，其长度及支承情况如图
示。圆杆材料为Q235钢，E=200GPa,σp=200MPa，试求：
1.哪一根压杆易丧失稳定？
2.三杆中最大的临界压力值。