第3章 平稳随机信号的功率谱-频域统计特性
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随机信号的功率谱
功率谱分析在信号处 理中的应用
功率谱分析在信号处理领域具有 广泛的应用，如语音信号分析、 雷达信号处理、通信信号处理等 。通过功率谱分析，可以提取信 号的特征信息，实现信号检测、 识别和分类等任务。
未来发展趋势预测
• 高分辨率功率谱估计：随着信号处理技术的发展，对功率谱估计的分辨率要求 越来越高。未来将继续研究高分辨率的功率谱估计方法，以提高信号处理的精 度和性能。
杂波背景下目标检测
在雷达和声呐应用中，接 收到的信号往往包含杂波 ，即非目标反射的信号。 杂波可能来自地面、海面 、大气等环境因素。
功率谱分析可用于区分目 标回波和杂波。目标和杂 波在功率谱上通常具有不 同的特征，如频率范围、 幅度和形状等。
通过设定合适的阈值和滤 波器，可以在杂波背景下 准确地检测出目标。
定义
随机信号是一种无法用确 定函数描述，但具有一定 统计规律性的信号。
统计规律性
随机信号在大量重复观测 下呈现出一定的统计规律 ，如均值、方差等。
连续性
随机信号通常是时间连续 的，可以用连续时间函数 表示。
随机信号分类
根据信号性质分类
01
非平稳随机信号：统计特性随时间变化的 随机信号。
03
02
平稳随机信号：统计特性不随时间变化的随 机信号。
ARMA模型法
将随机信号建模为自回归滑动平均模型（ARMA），通过求解模型参数得到功率谱估计。 该方法适用于短数据和复杂信号，但模型定阶和参数估计较困难。
不同方法比较与选择
性能比较
现代谱估计方法通常具有更高的分辨率和更低的方差，性能优于经典谱估计方法。其中，MEM和MVM在分辨率 和方差性能方面表现较好，而ARMA模型法在处理短数据和复杂信号时具有优势。
随机信号的功率谱
单边功率谱
单边功率谱——实平稳过程的谱密度 SX (ω) 是偶函数， 实平稳过程的谱密度 是偶函数， 因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。 因而可将负的频率范围内的值折算到正频率范围内。
2 1 T − iω t lim 2 T → ∞ E ∫0 X ( t ) e d t , ω ≥ 0 T G X (ω ) = ω<0 0 ,
平均功率： 平均功率： (2)
P = R X (0) = a 2 2
a2 a2 E [ X 2 (t )] = E [ a 2 cos 2 (ω 0 t + Θ )] = − sin( 2ω 0 t ) 2 π X (t) 是非平稳过程
平均功率： 平均功率：
1 P = lim T → ∞ 2T
∫
T
−T
+∞ S X (ω ) = ∑ RX (m) e − jω m m = −∞ R (m) = 1 π S (ω ) e jω m d ω ∫−π X X 2π
常见的平稳过程的 相关函数及相应的谱密度 参见表7.1（P150） 参见表 （ ）
例2
已知平稳过程的相关函数为 R X (τ ) = e − a τ cos(ω 0τ ) ， 为常数， 其中 a > 0, ω0 为常数，求谱密度 SX (ω) . [解]
3 随机信号的带宽
随机信号的带宽——随机信号的功率谱所占据的频带宽度。 随机信号的功率谱所占据的频带宽度。 随机信号的带宽 随机信号的功率谱所占据的频带宽度 3dB带宽 3dB带宽 半功率带宽） （半功率带宽）
S(ω) ω
1 0.5
绝对带宽
S(ω) ω
1
等效噪声带宽
平稳随机过程的功率谱
平稳随机过程的功率谱嘿，朋友们！今天咱来聊聊平稳随机过程的功率谱这玩意儿。
你说啥是平稳随机过程的功率谱呀？这就好比是一场热闹的音乐会。
在音乐会上，各种乐器发出不同的声音，有高有低，有强有弱。
平稳随机过程就像是这众多声音的组合，而功率谱呢，就是对这些声音特征的一种描述。
想象一下，你走在大街上，听到各种各样的声音，有汽车的喇叭声，有人们的交谈声，还有商店播放的音乐声。
这些声音杂乱无章，但又有一定的规律。
平稳随机过程就是这样，看似无序，实则有它内在的特点。
功率谱就像是给这些声音做了一个分类和统计。
它能告诉你哪些声音频率高，哪些声音频率低，就像我们能知道高音喇叭和低音喇叭发出的声音不一样。
而且功率谱还能告诉我们这些声音的能量分布情况，就像知道哪种声音更响亮，哪种声音比较微弱。
你说这功率谱有啥用呢？那用处可大啦！比如说，在通信领域，它能帮助我们更好地理解信号的传输和干扰情况。
就好比你打电话的时候，要是功率谱没搞清楚，那信号可能就不清晰，你说话对方都听不清，那多耽误事儿呀！在工程上，它也是个宝贝呢！工程师们可以根据功率谱来设计各种设备和系统，让它们更好地工作。
就像给汽车设计发动机，要是不了解功率谱，那发动机可能就运转得不顺畅，车子跑起来都没劲儿。
再比如说，在气象研究中，功率谱能帮助我们分析气候变化的规律。
难道你不想知道为啥有时候天气老是变化无常吗？功率谱就能给我们一些线索呢！哎呀呀，这平稳随机过程的功率谱真的是太有意思啦！它就像一个隐藏在数据背后的小秘密，等着我们去发现和解读。
总之，功率谱就像是一把神奇的钥匙，能打开很多领域的大门，让我们更深入地了解各种现象和过程。
它可不是什么枯燥无味的东西，而是充满了趣味和奥秘的呢！所以呀，大家可别小瞧了它，要好好去探索和研究哦！原创不易，请尊重原创，谢谢!。
随机信号分析第3章-平稳性与功率谱密度
时刻t，X (t) 具有相同的统计特性。
8
a) 一般在实际应用中，只要产生随机信号 的主要物理条件，在时间进程中不发生变化。 则此信号就可以认为是平稳的。例如：在电子 管中由器件的“颗粒效应”引起的散弹噪声， 由于产生此噪声的主要物理条件不变，所以此 噪声可以认为是平稳的。
b)另一方面，对于有些非平稳随机信号， 可以根据需要，如果它在观测时间段内是平稳 的，就可以在该时间段内把信号视作平稳的随 机信号来处理。
（5）若自相关函数 R( ) 关于 在原点连续， 则它是关于 处处连续。
看书上图3.3，P71
22
例 如图所示，随机信号X(t)与A(t)相加。 X(t) 与A(t)相互独立，且其中之一均值为零。试求 它们之和Y(t)的自相关函数与X(t)，A(t)的自相 关函数之间的关系。
解：Y (t) X (t) A(t)
13
联合广义平稳
定义：随机信号X (t),t T与Y(t),t T，如果
单个是广义平稳的，且其互相关函数存在，并
与两时刻 t1,t2 的绝对值无关，只与相对差
t1 t2有关，即 RXY (t1, t2 ) RXY (t , t) RXY ( )
则称X(t)与Y(t)具有联合广义平稳性。
cos(2t
2)
1 2
RX
(
)
cos(
)
所以，Y(t)广义平稳。
16
§3.3 广义平稳随机信号的相关函数
一、自相关函数与协方差函数
R( ) E X (t )X (t)
x1x2 f (x1, x2;t , t)dx1dx2
C( ) E X (t ) m X (t) m
R(t1,t2 ) R(t1 t,t2 t) 自相关函数平稳
8
a) 一般在实际应用中，只要产生随机信号 的主要物理条件，在时间进程中不发生变化。 则此信号就可以认为是平稳的。例如：在电子 管中由器件的“颗粒效应”引起的散弹噪声， 由于产生此噪声的主要物理条件不变，所以此 噪声可以认为是平稳的。
b)另一方面，对于有些非平稳随机信号， 可以根据需要，如果它在观测时间段内是平稳 的，就可以在该时间段内把信号视作平稳的随 机信号来处理。
（5）若自相关函数 R( ) 关于 在原点连续， 则它是关于 处处连续。
看书上图3.3，P71
22
例 如图所示，随机信号X(t)与A(t)相加。 X(t) 与A(t)相互独立，且其中之一均值为零。试求 它们之和Y(t)的自相关函数与X(t)，A(t)的自相 关函数之间的关系。
解：Y (t) X (t) A(t)
13
联合广义平稳
定义：随机信号X (t),t T与Y(t),t T，如果
单个是广义平稳的，且其互相关函数存在，并
与两时刻 t1,t2 的绝对值无关，只与相对差
t1 t2有关，即 RXY (t1, t2 ) RXY (t , t) RXY ( )
则称X(t)与Y(t)具有联合广义平稳性。
cos(2t
2)
1 2
RX
(
)
cos(
)
所以，Y(t)广义平稳。
16
§3.3 广义平稳随机信号的相关函数
一、自相关函数与协方差函数
R( ) E X (t )X (t)
x1x2 f (x1, x2;t , t)dx1dx2
C( ) E X (t ) m X (t) m
R(t1,t2 ) R(t1 t,t2 t) 自相关函数平稳
樊昌信《通信原理》(第7版)章节题库(随机信号)【圣才出品】
第3章 随机信号一、选择题某二进制随机信号的功率谱密度计算公式为则该信号（ ）。
A ．含有f s 谐波分量 B ．不含f s 谐波分量 C ．不含直流分量 D ．含有2f s 谐波分量 【答案】B二、填空题1．平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而不同，其一维分布与______无关，二维分布只与______有关。
【答案】时间；时间间隔【解析】平稳随机过程其一维概率密度函数与时间t 无关，即1111(,)()f x t f x =； 而二维分布函数只与时间间隔τ＝t 2－t 1有关，即21212212(,;,)(,;)f x x t t f x x τ=。
2．一个均值为零、方差为σ2的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量是______过程，均值为______，方差为______。
【答案】平稳高斯；0；2n σ【解析】由结论可知，一个均值为零的窄带平稳高斯过程，它的同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。
此外，在同一时刻上得到的同相分量和正交分量是互不相关的或统计独立的。
3．均值为零的平稳窄带高斯过程，其包络的一维分布是______，其相位的一维分布是______。
【答案】瑞利分布；均匀分布【解析】在窄带高斯随机过程中，对于均值为0、方差为σ2的平稳高斯窄带过程，其包络和相位的一维分布分别为瑞利分布和均匀分布，且两者统计独立。
4．高斯白噪声在______时刻上，随机变量之间不相关，且统计独立。
【答案】不同【解析】由白噪声的自相关函数()()02n R τδτ=知高斯白噪声在不同时刻上（即τ＝0）变量之间不相关且统计独立。
5．设n （t ）为高斯白噪声，则合成波通过中心频率为ω1的窄带滤波器后的输出包络服从______分布；若r （t ）通过中心频率为ω2的窄带滤波器，则输出包络服从______分布。
【答案】莱斯分布（广义瑞利分布）；瑞利分布【解析】正弦波加窄带高斯噪声的包络分布f （z ）与信噪比有关。
通信原理(第3章)
随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。
因此，随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的 随机变量的集合。
5
3.1 随机过程的基本概念
3.1.1 随机过程的分布函数
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)是
一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来 描述。
➢ 随机过程 (t)的一维分布函数：(反应分布情况)
➢ | R(τ) | ≤ R(0)
【解】(1)先求(t)的统计平均值：
数学期望
a(t) E[ (t)]
2 0
A cos( c t
)
1
2
d
A
2
2
0 (cosct cos sin ct sin )d
A
2
[cos ct
2
cosd
0
sin ct
2
sind ]
0
0
21
3.2 平稳随机过程
自相关函数
R(t1,t2 ) E[ (t1 ) (t2 )]
第3章 随机过程
通信系统中用于表示信息的信号不可能是单一的 确定的, 而是各种不同的信号。信息就包含于出现这种 或那种信号之中.例如二元信息需用二种信号表示, 具 体出现哪个信号是随机的,不可能准确予测( 如能予测, 则无需通信了) 我们称这种具有随机性的信号为随机 信号。
通信系统中存在各种干扰和噪声,这些干扰和噪声 的波形更是各式各样,随机的不可予测的.我们称其为随 机干扰和随机噪声。 尽管随机信号和随机干扰（噪声）取何种波形是不可 预测的、随机的，但他们具有统计规律性。研究随机 信号和随机干扰统计规律性的数学工具是随机过程理 论。随机过程是随机信号和随机干扰的数学模型。 1
因此，随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的 随机变量的集合。
5
3.1 随机过程的基本概念
3.1.1 随机过程的分布函数
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)是
一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来 描述。
➢ 随机过程 (t)的一维分布函数：(反应分布情况)
➢ | R(τ) | ≤ R(0)
【解】(1)先求(t)的统计平均值：
数学期望
a(t) E[ (t)]
2 0
A cos( c t
)
1
2
d
A
2
2
0 (cosct cos sin ct sin )d
A
2
[cos ct
2
cosd
0
sin ct
2
sind ]
0
0
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3.2 平稳随机过程
自相关函数
R(t1,t2 ) E[ (t1 ) (t2 )]
第3章 随机过程
通信系统中用于表示信息的信号不可能是单一的 确定的, 而是各种不同的信号。信息就包含于出现这种 或那种信号之中.例如二元信息需用二种信号表示, 具 体出现哪个信号是随机的,不可能准确予测( 如能予测, 则无需通信了) 我们称这种具有随机性的信号为随机 信号。
通信系统中存在各种干扰和噪声,这些干扰和噪声 的波形更是各式各样,随机的不可予测的.我们称其为随 机干扰和随机噪声。 尽管随机信号和随机干扰（噪声）取何种波形是不可 预测的、随机的，但他们具有统计规律性。研究随机 信号和随机干扰统计规律性的数学工具是随机过程理 论。随机过程是随机信号和随机干扰的数学模型。 1
第3章 平稳随机信号的功率谱-频域统计特性PPT课件
a
1，求S
' X
(
z
)
和
S
X
(
)
解： 1
S
' X
(
z
)
am zm am zm
m
m0
az z (1 a2 )z 1 az z a (z a)(1 az)
(1
(1 a2 ) az 1 )(1
az)
(a 1
a 1 a a) (z1
z)
将z= e j 代人上式，即可求得
SX
()
图311周期信号的傅立叶级数分解tx?t?a00?02?03?时域??0频域??周期信号的频谱是离散的专业文档2019年3月24日7傅里叶变换的性质1线性叠加性质若则2时移性质若则3频移性质若则4时间伸缩性质设a为正实数则5时间微分性质若则6时间积分性质若且则7卷积定理若则及及11?xtx?22?xtx?????22112211??xaxatxatxa????xtx?00tjexttx??????xtx?00?????xetxtj??xtx?1axaatx???xtx?dd??xjttx??xtx?00????x1d????xjxt????11?xtx?22?xtx?2121??xxtxtx???212121???xxtxtx???专业文档8常见的傅立叶变换??t?1?1?????2?tcos0???????00???????????tsin0???????00???????????j0??tet???j??1te??222?????tje0????02??????专业文档93
30
31
32
33
34
解：
SXY ()
RXY
(
)e
第3章 平稳性与功率谱密度
由于Y(t)的均值为零，相关函数仅与τ有关， 故Y(t)是广义平稳的。
2015-5-19 18
补充例1
• 设随机过程X(t)=At ，A为均匀分布于[0,1]上 的随机变量，试问X(t) 是否平稳？ 解：因为
m t E X t E At t af
2015-5-19
16
2015-5-19
17
解：Y(t)的均值和相关函数分别为：
E Y (t ) E X (t ) cos( w0t ) E X (t ) E cos(w0t ) 0
R(t , t ) E Y (t ) E X (t ) cos( w0 (t ) ) X (t ) cos( w0t ) E X (t ) X (t ) E cos( w0 (t ) ) cos( w0t ) 1 RX cos w0 2
第3章 平稳性与功率谱密度
问题
• 平稳和非平稳的含义是什么？ • 现实生活中哪些是平稳信号或非平稳信号？ • 严格平稳与广义平稳（或宽平稳）有什么关 系？ • 严格平稳与严格循环平稳有什么关系？
2015-5-19
2
目录
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 平稳性与联合平稳性 循环平稳性 平稳信号的相关函数 功率谱密度与互功率谱密度 白噪声与热噪声 应用举例
2015-5-19
8
平稳信号和非平稳信号举例
• 接收机噪声信号：如果产生随机信号的主要物理条件在时间 进程中不变化，则此信号认为是平稳的。例如，一个工作在 稳定状态下的接收机，其内部噪声可以认为是随机平稳信号。 但当刚接上电源，该接收机工作在过渡状态下或环境温度未 达到恒定时，此时的内部噪声则是非平稳随机信号。 • 语音信号：语音信号本身是非平稳信号，但在10-30 ms时段 内可以看成是短时平稳的，便于用平稳信号的分析方法去处 理问题。 • 将随机信号划分为平稳和非平稳有重要的实际意义，若是平 稳的，可简化分析。例如，测量电阻热噪声的统计特性，由 于是平稳的，在任何时间测试都可以得到相同的结果。
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5
傅里叶变换的性质
1、线性叠加性质 若 x1 (t ) X 1 ( )，则 x2 (t ) X 2 ( )
a1 x1 (t ) a2 x2 (t ) a1 X1 ( ) a2 X 2 ( )
2、时移性质 若 x(t ) X ( ) ，则 x (t t 0 ) X ( ) e j t0 3、频移性质 若 x(t ) X ( ) ，则 x ( t ) e j 0t X ( 0 )
性质3： Im[S XY ()] Im[S XY ()]
Im[SYX ()] Im[SYX ()]
性质5：若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分 别具有常数均值 m X 和 mY，则
S XY () SYX () 2mX mY ()
性质6：
S XY w S X wSY w
20
3.2 联合平稳随机信号的互谱密度
一、互谱密度 [X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳]
21
二、互谱密度的性质
* S ( ) S ( ) S 性质1： XY YX YX ( )
性质2： Re[S XY ()] Re[S XY ()]
Re[SYX ()] Re[SYX ()]
4、时间伸缩性质 设 x(t ) X ( ) ，a为正实数，则 x(at)
5、时间微分性质 若 x(t ) X ( ) ，则
dx(t ) ( j ) X ( ) dt 6、时间积分性质 若 x(t ) X ( ) ，且 X ( ) | 0 0，则 t 1 x ( ) d X ( ) j 7、卷积定理 若 x1 (t ) X 1 ( ) ， x2 (t ) X 2 ( ) ，则 1 X 1 ( ) X 2 ( ) x1 (t ) x2 (t ) X 1 ( ) X 2 ( ) 及 x1 (t ) x2 (t ) 2
例5：设随机信号 X (t ) ae j t ，其中 Ω 是概 率密度为 f 的随机变量，a和φ为实常数， 求X(t)的功率谱密度。
RX ( ) E X * t X t
a 2 E e j
a
2
S X e j d
2 T
i 2 Rdt
= p( )d; 单位电阻R 1
-
10
两个结论：
1
1 Q A E[ X ( t )] A . lim . T 2T
2
表示时间平均
若平稳，时间均方值为：
Q A E[ X 2 ( t )] E[ X 2 ( t )]＝RX (0)
因为S X ( ) 为周期函数，周期为2q ，
RX (m) 1 2q
q
q
S X ( )e jm d
在 m 0时
E[ X (n) ] RX (0)
2
1 2q
S
q
q
X
( )d
38
z SX
m
RX (m) z m ;
z e j
1 ( t ) E[ X ( t )] 2
2 X 2
S X ( )d
均方值：信号在某瞬时刻t的平均功率
13
三、功率谱密度与自相关函数之间的关系 确定信号： x(t ) X ( j) 信号←→频率谱密度(频谱) 随机信号：平稳随机信号的自相关函数
功率谱密度。 1. 维纳—辛钦定理 若随机信号X(t)是平稳的，自相关函数R(τ) 以及τ R(τ)绝对可积，则自相关函数与功率谱密 度构成一对付氏变换，即：
2
22
23
相干函数的工程应用 (1) 判断系统输出与某特定输入的相关程度。
利用相干函数，可发现系统是否还有其它输入干扰、系统的线性程度。
(2)谱估计和系统动态特性的测量精度估计。
在计算传递函数的幅频特性及相频特性时，辅以相干函数分析，
(a) 输入信号的功率谱和输出信号的功率谱
(b) 幅频特性、相频特性和相干函数
解：应将积分按＋ 和－ 分成两部分进行
S X ( ) Ae e j d Ae e j d
0 0
A
e
( j ) 0
j
A
e ( j ) 0
( j )
1 1 A j j 2 A 2 2
第三章
平稳随机信号的谱分析
本章要解决的问题
随机信号是否也可以应用频域分析方法? 傅里叶变换能否应用于随机信号？ 相关函数与功率谱的关系 功率谱的应用 采样定理 白噪声的定义
2
3.1 随机信号的谱分析
一、预备知识
1. 付氏变换
设x(t)是时间t的非周期信号，且x(t) 满足
• x(t )在(,)范围内满足狄利赫利条件 • x(t )绝对可积，即
t
2 2 2
e j0t 2 0
7
3. 帕塞瓦等式：时域能量=频域能量
1 jt [ x ( t )] dt x ( t ) X ( ) e ddt 2 X
2
1 jt X ( ) x ( t ) e dtd X 2 1 * X ( ) X ( )d X X 2
1 2
X X ( ) d
2
即
1 [ x ( t )] dt 2
2
X X ( ) d
2
能量谱密 度
8
二、随机信号的功率谱密度
x(t ) xT (t ) 0 t T t T
应用截取函数
9
存在
2
非负
E[ X X (T , ) ] 1 T 1 2 lim E [ X ( t )] dt lim d T 2T T 2 T 2T
a m z m
m 0
2 az z ( 1 a )z 1 az z a ( z a )(1 az)
称 X X ()为 x(t )的频谱密度，也简称为频谱。
包含：振幅谱 相位 谱
4
X () / X (e j )
周期信号的频谱是离散的
傅里叶级数与离散频谱 周期信号可分为一个或几个、乃至无穷多个谐波的迭加。
30
20
A()
x (t )
0
频域
t
0) (
0
时域
图3.1.1 周期信号的傅立叶级数分解
d 2 R X d 2
a 2 S X
2 S X
d n X t dtn
1
2n
d 2 n RX d 2 n
2n S X
S X 0
X t e j0t
RX e j0t
15
例2：平稳随机信号的自相关函数为 RX ( ) Ae ， A>0， 0 ，求随机信号的功率谱密度。
平均功率Q
PXX ( f )/ PXX (e j )/ PXX ()
1 T 1 2 Q lim E[ X ( t )]dt S X ( )d T T 2T 2
注意： （1）功率Q为确定值，不是随机变量 （2）S X ( )为确定性实函数。
W T PI R 2T 2T
( 3 j )
d
9 3 j
SYX ( ) S * XY ( )
9 3 j
35
3.3 离散时间随机信号的功率谱密度
一、离散时间随机信号的功率谱密度 1.平稳随机序列的自相关函数 设X(n)为广义平稳的离散时间随机信号， 具有零均值，其自相关函数为:
RX (m) E[ X (n) X (n m)]
a2 RX ( )[cos 0 cos(20t 0 )] 2
SY ( ) A RY (t , t ) e j d
a2 RX ( ) A [cos 0 cos(20t 0 )] e j d 2 2 a RX ( ) cos 0 e j d 2 a2 [ S X ( 0 ) S X ( 0 )] 4 18
1 2 Q 2
S :描述信号能量在各个不同频率上的分布
S X ( ) 描述了随机信号X(t)的 功率谱密度： 功率在各个不同频率上的分布—— S X ( )称为 随机信号X(t)的功率谱密度。
对 S X ( ) 在X(t)的整个频率范围内积分， 便可得到X(t)的功率P。 对于平稳随机信号，有：
36
3. 平稳随机序列的功率谱密度
S X ( )
m
RX (m)e jmT
奈奎斯特频率
时域离散(T)频域周期(其周期ω T由时域离散间隔T决定) ω T=2ω q=2π /T
37
时域离散(T)频域周期(其周期ω T =2ω q=2π /T) 时域非周期（随机信号）频域连续
S X ( ) RX ( )e j d
1 RX ( ) 2
S X ( )e j d
14
我们允许自相关函数和功率谱密度中存在δ 函数
X(t)变换的功率谱密度
X t
aX t
dX t dt
RX
S X
a 2 RX
16
17
例4：设随机信号 Y (t ) aX (t ) sin 0t ，其中a,0 皆 X (t )为具有功率谱密度 S X ( )的平稳随 为常数， 机信号。求过程 Y (t ) 的功率谱密度。 解： RY (t , t ) E[Y (t )Y (t )]
傅里叶变换的性质
1、线性叠加性质 若 x1 (t ) X 1 ( )，则 x2 (t ) X 2 ( )
a1 x1 (t ) a2 x2 (t ) a1 X1 ( ) a2 X 2 ( )
2、时移性质 若 x(t ) X ( ) ，则 x (t t 0 ) X ( ) e j t0 3、频移性质 若 x(t ) X ( ) ，则 x ( t ) e j 0t X ( 0 )
性质3： Im[S XY ()] Im[S XY ()]
Im[SYX ()] Im[SYX ()]
性质5：若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t)分 别具有常数均值 m X 和 mY，则
S XY () SYX () 2mX mY ()
性质6：
S XY w S X wSY w
20
3.2 联合平稳随机信号的互谱密度
一、互谱密度 [X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳]
21
二、互谱密度的性质
* S ( ) S ( ) S 性质1： XY YX YX ( )
性质2： Re[S XY ()] Re[S XY ()]
Re[SYX ()] Re[SYX ()]
4、时间伸缩性质 设 x(t ) X ( ) ，a为正实数，则 x(at)
5、时间微分性质 若 x(t ) X ( ) ，则
dx(t ) ( j ) X ( ) dt 6、时间积分性质 若 x(t ) X ( ) ，且 X ( ) | 0 0，则 t 1 x ( ) d X ( ) j 7、卷积定理 若 x1 (t ) X 1 ( ) ， x2 (t ) X 2 ( ) ，则 1 X 1 ( ) X 2 ( ) x1 (t ) x2 (t ) X 1 ( ) X 2 ( ) 及 x1 (t ) x2 (t ) 2
例5：设随机信号 X (t ) ae j t ，其中 Ω 是概 率密度为 f 的随机变量，a和φ为实常数， 求X(t)的功率谱密度。
RX ( ) E X * t X t
a 2 E e j
a
2
S X e j d
2 T
i 2 Rdt
= p( )d; 单位电阻R 1
-
10
两个结论：
1
1 Q A E[ X ( t )] A . lim . T 2T
2
表示时间平均
若平稳，时间均方值为：
Q A E[ X 2 ( t )] E[ X 2 ( t )]＝RX (0)
因为S X ( ) 为周期函数，周期为2q ，
RX (m) 1 2q
q
q
S X ( )e jm d
在 m 0时
E[ X (n) ] RX (0)
2
1 2q
S
q
q
X
( )d
38
z SX
m
RX (m) z m ;
z e j
1 ( t ) E[ X ( t )] 2
2 X 2
S X ( )d
均方值：信号在某瞬时刻t的平均功率
13
三、功率谱密度与自相关函数之间的关系 确定信号： x(t ) X ( j) 信号←→频率谱密度(频谱) 随机信号：平稳随机信号的自相关函数
功率谱密度。 1. 维纳—辛钦定理 若随机信号X(t)是平稳的，自相关函数R(τ) 以及τ R(τ)绝对可积，则自相关函数与功率谱密 度构成一对付氏变换，即：
2
22
23
相干函数的工程应用 (1) 判断系统输出与某特定输入的相关程度。
利用相干函数，可发现系统是否还有其它输入干扰、系统的线性程度。
(2)谱估计和系统动态特性的测量精度估计。
在计算传递函数的幅频特性及相频特性时，辅以相干函数分析，
(a) 输入信号的功率谱和输出信号的功率谱
(b) 幅频特性、相频特性和相干函数
解：应将积分按＋ 和－ 分成两部分进行
S X ( ) Ae e j d Ae e j d
0 0
A
e
( j ) 0
j
A
e ( j ) 0
( j )
1 1 A j j 2 A 2 2
第三章
平稳随机信号的谱分析
本章要解决的问题
随机信号是否也可以应用频域分析方法? 傅里叶变换能否应用于随机信号？ 相关函数与功率谱的关系 功率谱的应用 采样定理 白噪声的定义
2
3.1 随机信号的谱分析
一、预备知识
1. 付氏变换
设x(t)是时间t的非周期信号，且x(t) 满足
• x(t )在(,)范围内满足狄利赫利条件 • x(t )绝对可积，即
t
2 2 2
e j0t 2 0
7
3. 帕塞瓦等式：时域能量=频域能量
1 jt [ x ( t )] dt x ( t ) X ( ) e ddt 2 X
2
1 jt X ( ) x ( t ) e dtd X 2 1 * X ( ) X ( )d X X 2
1 2
X X ( ) d
2
即
1 [ x ( t )] dt 2
2
X X ( ) d
2
能量谱密 度
8
二、随机信号的功率谱密度
x(t ) xT (t ) 0 t T t T
应用截取函数
9
存在
2
非负
E[ X X (T , ) ] 1 T 1 2 lim E [ X ( t )] dt lim d T 2T T 2 T 2T
a m z m
m 0
2 az z ( 1 a )z 1 az z a ( z a )(1 az)
称 X X ()为 x(t )的频谱密度，也简称为频谱。
包含：振幅谱 相位 谱
4
X () / X (e j )
周期信号的频谱是离散的
傅里叶级数与离散频谱 周期信号可分为一个或几个、乃至无穷多个谐波的迭加。
30
20
A()
x (t )
0
频域
t
0) (
0
时域
图3.1.1 周期信号的傅立叶级数分解
d 2 R X d 2
a 2 S X
2 S X
d n X t dtn
1
2n
d 2 n RX d 2 n
2n S X
S X 0
X t e j0t
RX e j0t
15
例2：平稳随机信号的自相关函数为 RX ( ) Ae ， A>0， 0 ，求随机信号的功率谱密度。
平均功率Q
PXX ( f )/ PXX (e j )/ PXX ()
1 T 1 2 Q lim E[ X ( t )]dt S X ( )d T T 2T 2
注意： （1）功率Q为确定值，不是随机变量 （2）S X ( )为确定性实函数。
W T PI R 2T 2T
( 3 j )
d
9 3 j
SYX ( ) S * XY ( )
9 3 j
35
3.3 离散时间随机信号的功率谱密度
一、离散时间随机信号的功率谱密度 1.平稳随机序列的自相关函数 设X(n)为广义平稳的离散时间随机信号， 具有零均值，其自相关函数为:
RX (m) E[ X (n) X (n m)]
a2 RX ( )[cos 0 cos(20t 0 )] 2
SY ( ) A RY (t , t ) e j d
a2 RX ( ) A [cos 0 cos(20t 0 )] e j d 2 2 a RX ( ) cos 0 e j d 2 a2 [ S X ( 0 ) S X ( 0 )] 4 18
1 2 Q 2
S :描述信号能量在各个不同频率上的分布
S X ( ) 描述了随机信号X(t)的 功率谱密度： 功率在各个不同频率上的分布—— S X ( )称为 随机信号X(t)的功率谱密度。
对 S X ( ) 在X(t)的整个频率范围内积分， 便可得到X(t)的功率P。 对于平稳随机信号，有：
36
3. 平稳随机序列的功率谱密度
S X ( )
m
RX (m)e jmT
奈奎斯特频率
时域离散(T)频域周期(其周期ω T由时域离散间隔T决定) ω T=2ω q=2π /T
37
时域离散(T)频域周期(其周期ω T =2ω q=2π /T) 时域非周期（随机信号）频域连续
S X ( ) RX ( )e j d
1 RX ( ) 2
S X ( )e j d
14
我们允许自相关函数和功率谱密度中存在δ 函数
X(t)变换的功率谱密度
X t
aX t
dX t dt
RX
S X
a 2 RX
16
17
例4：设随机信号 Y (t ) aX (t ) sin 0t ，其中a,0 皆 X (t )为具有功率谱密度 S X ( )的平稳随 为常数， 机信号。求过程 Y (t ) 的功率谱密度。 解： RY (t , t ) E[Y (t )Y (t )]