概率论与数理统计同济大学出版社习题一答案
习 题 一
1．下列随机试验各包含几个基本事件？
（1）将有记号b a ,的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 的盒子里（每个盒子可容纳两个球） 解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。两个球看作是可动物，一个
一个地放入盒中；a 球可放入的任一个，其放法有 313=C 种，b 球也可放入三个盒子的
任一个，其放法有313=C 种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为11339C C ?=种。
（2）观察三粒不同种子的发芽情况。
解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。三粒种子发芽共有81
21212=??C C C 种不同情况。
（3）从五人中任选两名参加某项活动。
解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序，
所以此试验的基本事件个数 1025==C n 。 （4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。
解：此随机试验是把从0到100 任一种分看作一个基本事件，101=∴n 。
（5）将c b a ,,三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。
解：可用乘法原理：三只盒子视为不动物，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一
个一个放入盒子内（按要求）。a 球可放入三个盒子中的任一个有313=C 种方法。b 球因
为试验要求每只盒子只装一个球，所以a 球放入的盒子不能再放入b 球，b 球只能放入其余（无a 球 的盒子）两个中任一个，其放法有21
2=C 个。c 只能放入剩下的空盒中，其放法只有一个。三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球，完成这件事共有方法为 611213=??C C 种。 2． 事件A 表示“五件产品中至少有一件不合格品”,事件B 表示“五件产品都是合格品”，则,A B AB U 各表示什么事件？B A 、之间有什么关系？
解： 设k A =“五件中有k 件是不合格品” =B “五件都是合格品”。此随机试验E 的样
本空间可以写成：{}12345,,,,,S A A A A A B = 而
12345A A A A A A =U U U U ,A B S ∴=U φ=AB ，A 与B 是互为对立事件。
3. 随机抽验三件产品，设A 表示“三件中至少有一件是废品”，设B 表示“三件中至少
有两件是废品”，C 表示“三件都是正品”，问 ,,,,A B C A B AC U 各表示什么事件？ 解： =A “三件都是正品”，=B “三件中至多有一件废品”，
=C “三件中至少有一件废品”， ,A B A AC φ==U .
4. 对飞机进行两次射击，每次射一弹，设1A 表示“第一次射击击中飞机”，2A 表示“第二次射击击中飞机”，试用21,A A 及它们的对立事件表示下列各事件:
=B “两弹都击中飞机”； =C “两弹都没击中飞机” =D “恰有一弹击中飞机”； =E “至少有一弹击中飞机”。并指出E D C B ,,,中哪些是互不相容，哪些是对立的。 解： 1212121212,,,B A A C A A D A A A A E A A ====U U ，B 与C , B 与D , D 与C , C 与E 是互不相容的，C 与E 是相互对立的.
5． 在某班任选一名学生。记A =“选出的是男生”;B =“选出的是运动员”;
C =“选出的是北方人”。问：（1） C B A C B A ,各表示什么事件？
（2）C B A B C ??, 各表示什么意义。（3）在什么条件下，A ABC =.
解： （1）C B A =“选出的是南方的不是运动员的男生”。
（2） B C ?表示该班选出北方的学生一定是运动员。
C B A ? 表示选出的不是运动员的男生是南方的。（3） 当 BC A ? 时 A ABC =.
6、设 4321,,,A A A A 是四个随机事件，试用这几个事件表示下列事件：
（1） 这四个事件都发生； （2） 这四个事件都不发生；
（3） 这四个事件至少有一个发生； （4）21,A A 都发生，而43,A A 都不发生；
（5） 这四个事件至多一个发生。 （6） 这四个事件恰有一个发生。
解：（1）4321A A A A ; （2）4321A A A A ; （3）1234A A A A U U U ;
（4）4321A A A A ; （5）234A A A U 134A A A U 124A A A U 123A A A ; (6) 1234A A A A U 1234A A A A U 1234A A A A U 4321A A A A
.
7． 从一副扑克牌（52张，不计大小王）中任取4张，求取得4张花色都不相同的概率。 解： 从52张牌中任取4张共有情况4
52C 种，每一种情况看作每一种基本事件，所以此试验
的样本空间中基本事件的个数452C n =。设事件 =A “任取的4张花色都不相同”， A 中包含的基本事件个数K 可以用乘法原理求， 事件A 完成要从四种花色中各取一张，
故 4
13k =, 4
45213()0.1055k P A n C ==≈. 8． 某房间里有4个人，设每个人出生于1月至12月中每一个月是等可能的。求至少有1人生日在10月的概率。
解：设事件=A “至少有1人生日在10月” =A “4个人生日都不在10月”
3.07.0112111)(1)(4=-≈??
? ??-=-=A P A P . 9． 袋中有10只形状相同的球，其中4只红球，6只白球，现从袋中一个接一个地任意取球抛掷出去，求第3次抛掷的是红球的概率。
解：此随机试验E 为：从袋中每次任取一球，不放回地连取三次，相当于从10只球中任取3只排列在三个不同的位置上，其不同的排列数为310P ,即其基本事件共有310P n =个,
设事件 “第三次抛掷的是红球”所包含的基本事件个数k 求法如下：首先事件A 表示第三次抛掷的是红球，即第三个位置应放红球，可从4个红球中任取一个放入，共有1
4C 种放法；前两个位置任从剩下的9个球中取两个放在不同的位置，其放法有29P 种。由乘法原理可知
2914P C k = 52)(3102914===∴P P C n k A P . 10． 将一枚硬币连续抛掷10次，求至少有一次出现正面的概率。
解：设事件 =A “至少出现一次正面” ， =A “全不出现正面”
若一枚硬币连续——10次，每次有正、反两种情况，所以随机试验E 的基本事件个数 102=n ，A 所包含的基本事件个数 1=k . 则999.02
111)(1)(10≈-=-
=-=n k A P A P .
11． 盒中有10个乒乓球，其中6只新球，4只旧球。今从盒中任取5只，求正好取得3只新球2只旧球的概率。
解：从盒中10只球任取5只的取法共有510C 种，即为此随机试验的基本事件的个数，
510C n =∴. 设事件=A “正好取得3只新球2只旧球”
事件A 所包含的基本事件的个数k 的考虑方法：先从6只新球中任取3只，其取法有36C 种；
再从4只旧球中任取2只，其取法有24C 种。由乘法原理得 2436C C k =, 476.02110)(510
2436====∴C C C n k A P . 12.10件产品中有6件正品，4件次品。甲从10件中任取1件（不放回）后，乙再从中任取1件。记=A “甲取得正品”；B =“乙取得正品”。求)./(),/(),(A B P A B P A P 解：求()P A 的问题是甲从10个球中任取1球，其方法有10种，事件A 是甲取得1件是正品，只能从6件正品中任取1件，所以取法是6种。5
3106)(==∴A P 求 )/(A B P 问题是在甲取得一件正品的条件下不放回，求乙再任取一件是正品的概率， 样本空间1Ω是：甲从10件产品中取出一件正品后，再从剩下的9件产品中任取1件的问
题。此时基本事件个数 919==C m ,在此1Ω中正品是5件，事件B 包含的基本事件个数
.51=k 9
5)/(=
∴A B P ，求)/(A B P 的问题可用上面两种方法，所不同的是 =A “甲取得一件是次品”， 62(/)93P B A ==. 13． 甲、乙两城市位于长江下游，据气象资料知道：甲、乙两城市一年中雨天的比例分别是20％和18％，两地同时下雨的比例为12％：
（1）已知乙市为雨天，求甲市也是雨天的概率；（2）已知甲市为雨天，求乙市也是雨天的概率；（3）求甲、乙两市至少有一城市为雨天的概率。
解：设事件 =A “甲市为雨天”; 事件 =B “乙市为雨天”。则
12.0)(18.0)(20.0)(===AB P B P A P 所求的问题：
（1）67.03218.012.0)()()/(====B P AB P B A P ;（2） 6.05
320.012.0)()()/(====A P AB P A B P ;
（3）26.012.018.02.0)()()()(=-+=-+=+AB P B P A P B A P .
14． 甲袋中有3个白球，7个红球，15个黑球；乙袋中有10个白球，6个红球，9个黑球。今从两袋中各任取一球，求下列事件的概率。
（1） 事件=A “取得2个红球”; （2） 事件 =B “取得的两球颜色相同”
解： (1) 随机试验为从甲袋25个球中任取1球，从乙袋25个球任取1个，其基本事件
总数 625125125==C C n . 由乘法原理知道事件A 包含的基本事件个数
42671617=?==C C k .625
42)(==∴n k A p . 用 321,,A A A 分别表示从甲袋取得白球、红球、黑球；用 321,,B B B 分别表示从乙袋取得白球、红球、黑球。则 22A A B =。
2A Θ与 2B 相互独立。62542256257)()()(22=?=
=∴B P A P A P （2） 332211B A B A B A B ++=Θ k A 与 )3,2,1(=k B k 相互独立, 且
332211,
,B A B A B A 三种情况互不相容， 则 112233()()()()P B P A B P A B P A B =++)()()()()()(332211B P A P B P A P B P A P ++= 625
20725925152562572510253=?+?+?=. 15. 制造某种零件可以采用两种不同的工艺：第一种工艺要经过三道工序，经过各道工序时出现不合格品的概率分别为 3.0,2.0,1.0；第二种工艺只要经过两，道工序，但经过各道工序时出现不合格品的概率均为3.0。如果采用第一种工艺，则在合格品的零件中得到一级品的概率为0.9, 而采用第二种工艺，则在合格品的零件中得到一级品的概率为0.8。试问采用何种工艺获得一级品的概率较大。（注：各道关系出现不合格品时相互独立的） 解：设事件A =“采用第一种工艺获得一级品”;事件B =“采用第二种工艺获得一级品”; 第一种工艺经过三道工艺，第k 道工序出合格品事件记为(1,2,3),k
A k = 由题设知道：.9.01.01)(1)(11=-=-=A P A P .8.02.01)(1)(22=-=-=A P A P .7.03.01)(1)(33=-=-=A P A P
第二种工艺二道工序，第k 道工序出合格品的事件记为 (1,2)k
B k =.
由题设知道： ).(7.03.01)(1)(211B P B P B P ==-=-=
9.0)()()(9.0)()(321321?=?=A P A P A P A A A P A P 45.09.07.08.09.0≈???= 39.08.07.07.08.0)()(8.0)()(2121≈??=?=?=B P B P B B P B P
所以采用第一种工艺获得一级品的概率较大。
16．一箱产品共100件，其中有5件有缺陷，但外观难区别，今从中任取5件进行检验。按规定，若未发现有缺陷产品，则全箱判为一级品；若发现一件产品有缺陷，则全箱判为二级品；若发现两件以上有缺陷，则全箱视为次品。试分别求该箱产品被判为一级品（记为A ），二级品（记为B ）,次品（记为C ）的概率。
解：随机试验E 是100件产品任取5件，其基本事件的个数 5100C n =。
事件A 包含的基本事件个数A n 求法是：从95件没缺陷的产品取5件的个数595A n C =
5955100
()0.76A C n P A n C ∴==≈ 事件B 包含的基本事件个数B n 求法：从5件有缺陷的产品中任取一件，个数为15C ,再从95
件无缺陷的产品中任取4件，个数为 14595B n C C =，由乘法原理知()0.22B n P B n
=≈ C A B =Q U ()()()()P C P A B P A P B ==+U (因为,A B 互不相容)
()1()1()1()()P C P C P A B P A P B =-=-=--U 02.022.076.01=--=.
17．车间内有10台同型号的机床独立运转，已知在1小时内每台机床出故障的概率为 0.01，其在1小时内正好有3台机床出故障的概率。
解： 此问题是独立重复试验问题。 设事件A = “10台机床中任3台出故障”，
0001.0)99.0()01.0()(73310≈=C A P .
18． 据医院经验，有一种中草药对某种疾病的治疗效果为0.8。现在10人同时服用这种中草药治疗该疾病，求至少对6人有疗效的概率。
解：设事件A = “至少对6人有疗效”,967.02.08.0)(1010610==-=∑k k k k C
A P .
19．加工某产品需经过两道工序，如果经过每道工序合格的概率为0.95，求至少有一道工
序不合格的概率。
解： 设事件A =“至少有一道工序不合格”; =A “两道工序后都合格”.
2()1()10.950.0975P A P A =-=-=.
20． 已知 15.0)(,45.0)(,
2.0)(===AB P B P A P 求： （1） );()(),
(B A P B A P B A P (2) (),(),();P A B P A B P A B U U U (3) )./(),
/(),/(B A P A B P B A P 解： (1) 05.0)()()()(=-=-=AB P A P AB A P B A P ;
3.0)()()()(=-=-=AB P B P AB B P B A P ; ()1()10.50.5P AB P A B =-=-=U .
(2) ()()()()0.20.450.150.5P A B P A P B P AB =+-=+-=U
()()()0.80.150.95P A B P A P AB =+=+=U
()()1()0.85P A B P AB P AB ==-=U . (3) 3
145.015.0)()()/(===B P AB P B A P ; 432.015.0)()()/(===A P AB P A B P ; 11155.005.0)
()()/(===B P B A P B A P . 21、某气象台根据历年资料，得到某地某月刮大风的概率为
3011，在刮风的条件下下雨的概率为8
7。求即刮风又下雨的概率。 解：设事件A =“某地某月刮大风”; =B “某地某月下雨”. 240
77873011)/()()(===A B P A P AB P . 22.某学校学生四级英语考试的通过率为90% , 其中60% 的学生通过六级英语考试 , 试求从该校随机的选出一名学生通过六级考试的概率.
解：设 A = “ 通过四级英语考试 ”, B = “ 通过六级英语考试 ”,
由题意, 可知()P A =0.9, (|)0.6,P B A = ()()P B P AB ==()(/)P A P B A =0.54
23.设两两独立的三个事件,,A B C 满足条件：,ABC φ=1()()(),2
P A P B P C ==<且已知
9(),16
P A B C =U U 求().P A 解：()P A B C =U U ()()()()()()()P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++---+
3()()()()()()()P A P A P B P B P C P A P C =---
23()3()P A P A =-916=，即216()16()30,P A P A -+=则13(),(),44
P A P A ==或 所以1().4
P A = 24．从1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从1,2,,X L 中任取一个数，记为Y ，求(2).P Y = 解：11111113(2).42434448
P Y ==?+?+?= 25．有外观相同的三极管6只，按流量放大系数分类，4只属于甲类，两只属于乙类，不放回的抽取三极管两次，每次只抽一只。求在第一次抽到的是甲类三极管的条件下，第二次又抽到甲类三极管的概率。
解：设事件A = “第一次抽到的是甲类三极管”， 42(),63
P A ∴== 事件B = “第二次抽到的是甲类三极管”， 432(),655
P AB ∴=?= ()3(/).()5
P AB P B A P A ∴== 26． 10个零件中有7个正品，3个次品。每次无放回地随机抽取一个来检验，求：
（1）第三次才取到正品的概率；（2）抽三次至少有一个正品的概率。
解：设事件A = “第三次才取到正品”,因为第三次才取到正品，前两次取得的是次品，
120
78792103)(=??=∴A P =B “抽三次至少有一个正品”， =B “抽三次全是次品”
120
11981921031)(1)(=??-=-=B P B P 27．一个工人看管三台机床，在1h 内机床不需要工人照管的概率：第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.7。求在1h 内（1）三台机床都不需要工人照管的概率；（2）三台机床中最多有一台需要工人照管的概率。
解：设事件 k A =“第k 台机床不用照管” (3,2,1=k )
（1）504.07.08.09.0)(321=??=A A A P
(2)
设事件 =B “三台中最多有一台需要照管”每台机床都是相互独立的。
=)(B P )()()()(321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P +++
902.03.08.09.07.02.09.07.08.01.0504.0=??+??+??+=
28．有两个电路如图1-24所示，每个开关闭合的概率都是p ，诸开关闭合与否彼此独立，分别求两电路由a 至b 导通的概率。
（1） 1k 2k
a 3k b
1k 3k 5k
（2）a b
2k 4k 6k
解：记 =k A ｛第k 个开关闭合｝ 6,5,4,3,2,1=k
（1）（a 至b 导通）123A A A =U ， 两事件21A A 与3A 3 是相容的。
P （a 至b 导通）)()()(321321A A A P A P A A P -+=
32321321)()()()()()(P P P A P A P A P A P A P A P -+=-+=
（a 至b 导通）123456()()()A A A A A A =U U U i A 与j A 是相容的，
123456()()()A A A A A A U U U 、、是相互独立的，且概率相同。
P （a 至b 导通）{}123456()()()P A A A A A A =U U U 312[()]P A A =U
32121)]()()([A A P A P A P -+=32121)]()()()([A P A P A P A P -+=
2323()(2)p p p p p =+-=-
29．大豆种子5
2保存于甲仓库，其余保存于乙仓库，已知它们的发芽率分别为0.92和0.89，
现将两个仓库的种子全部混合，任取一粒，求其发芽率。
解：设事件 1A =“大豆种子保存于甲仓库”; 2A =“大豆种子保存于乙仓库”; B=“取到的一粒种子发芽” 由题意可得
52)(1=
A P ， 5
3)(2=A P ， 由全概公式得： 902.089.05392.052)/()()/()()(2211=?+?=+=A B P A P A B P A P B P 30．有三个盒子，在甲盒中装有2支红芯圆珠笔，4支蓝芯圆珠笔；乙盒中装有4支红的，2支蓝的；丙盒中装有3支红的，3支蓝的。今从中任取一支（设到三个盒子中取物的机会相同），问取到红芯圆珠笔的概率是多少？
解：设事件1A = “笔取于甲盒”;2A = “笔取于乙盒”; 3A =“笔取于丙盒”;
=B “取到的是红圆珠笔” ,由题意可得31)(1=A P ， 31)(2=A P ， 3
1)(3=A P 由全概公式得：
)/()()/()()/()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=2
1)213231(31=++= 31．射击队里有编号为1,2,3,4,5的五名射手，其射击命中率分别为0.5,0.6,0.7,0.8,0.9。今从该队任选一名射手对靶射击一次。（1）求命中目标的概率；（2）已见命中目标，求选取的是1号射手的概率。
解： 记=K A “选取第k 号射手” 5,4,3,2,1=k .B = “命中目标”,
B 的发生可能是第一号射手击中目标，可能是第二号射手击中目标，…，可能是第五号射手击中目标，即5
1()()(/)k k
k P B P A P B A ==∑。 求)(B P 用全概公式。 7.09.05
18.0517.0516.0515.051)/()()(1=?+?+?+?+?=
=∑=n k k k A B P A P B P 问题是求已知目标被击中恰好是一号射手击中目标的概率即)/(1B A P .由贝叶斯公式：
111()(/)(/)()P A P B A P A B P B =143.07
.01.0≈= 32．转炉炼高级钢，每炉钢的合格率为0.7，假定各次冶炼互不影响，若要求以99%的把握至少能炼出一炉合格钢，问至少需要炼几炉？
解 设至少炼了n 炉才能以99％的把握炼出合格的钢。
事件 =i A “炼出的一炉是合格的” =i A “炼出的一炉是不合格的”n i Λ,2,1=。 事件B = “炼出合格的钢” ， 3.0)(,7.0)(==i i A P A P
1212()()1()n n P B P A A A P A A A ==-U UL U L
99.03.01)())(121>-=-=n n A P A P A P Λ
99.03.01>-n ， 0.30.01n < ， ln 0.01 3.82,ln 0.3
n >≈ 取4,n =所以必须至少炼4炉。 33.飞机在雨天晚点的概率为0.8，在晴天晚点的概率为0.2，天气预报称明天有雨的概率为0.4，试求（1）明天飞机晚点的概率；（2）若第二天飞机晚点，天气是雨天的概率有多大？
解：设 A ={明天飞机晚点}，1B ={天气预报称明天有雨},2B = {天气预报称明天晴天}， 12()0.4,()0.6,P B P B ==12(|)0.8,(|)0.2,P A B P A B ==
（1）1122()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.40.80.60.20.44.=?+?=
（2）111()(|)0.40.88(|).()0.4411
P B P A B P B A P A ??=== 34．8支步枪中有5支已校准过,3支未校准。一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为0.8；用未校准的枪射击时，中靶概率为0.3。现从8支枪中任取一支用于
射击，结果中靶。求：所用的枪是校准过的概率。
解:设 A ={射击时中靶}，1B ={枪校准过},2B = {枪未校准}，
则1B ,2B 是Ω一个划分，由贝叶斯公式，得
1111122(|)()(|)(|)()(|)()P A B P B P B A P A B P B P A B P B =
+ 0.8(5/8)400.8(5/8)0.3(3/8)49
?==?+? 35．一批产品共100件, 其中有4件次品. 每次抽取一件检验, 有放回, 连续抽取检验3 次. 如发现次品,则认为这批产品不合格. 但检验时,一正品被误判为次品的概率为0.05， 而一次品被误判为正品的概率为0.01，求这批产品被认为是合格品的概率。
解：设A = “任取一件被认为是合格品”;
B = “任取一件是次品”;
C = “这批产品被认为合格品”.
由题意()0.04P B =，()0.96P B =，
()()(/)()(/)0.9124,P A P B P A B P B P A B =+=
3()0.91240.7595.P C ∴==
36．甲盒中有两只白球，一只黑球，乙盒中有一只白球，五只黑球。求从甲盒中任取一球投入乙盒后，随即地从乙盒取出一球而恰为白球的概率。
解：设事件1A = “从甲盒中取出的是白球”； 2A = “从甲盒中取出的是黑球”； B =“从乙盒中取出的是白球” 由题意可得
32)(1=A P ， 31)(2=A P ， 7
1)/(72)/(21==A B P A B P 21
571317232)/()()/()()(2211=?+?=+=A B P A P A B P A P B P 37. 数字通信过程中，信源发射0,1两种状态信号，其中发射0的概率为0.6，发射1的概率为0.4。由于信道中存在干扰，在发射0的时候，接收端分别以0.7、0.1和0.2的概率接收为1、0和“不清”；在发射1的时候，接收端分别以0.9、0和0.1的概率接收为1、0和“不清”。现接收端收到的信号为“不清”，问发射端发的是0和1的概率分别是多少？ 解 由逆概公式得 10.60.230.750.60.20.40.14
p ?===?+?; 20.40.110.250.60.20.40.14
p ?===?+? 38.有两箱同类零件，第一箱有50个，其中10个一等品，第二箱有30个，其中18个一等品，现任取一箱，从中任取零件两次，每次取一个，取后不放回。求
（1）第二次取到的零件是一等品的概率，（2）在第一次取到一等品的条件下，第二次取到一等品的条件概率，（3）两次取到的都不是一等品的概率。
解：设事件1A = “取自第一箱”； 2A = “取自第二箱”， 1()P A =122()P A = B = “第二次取到一等品”，C = “第一次取到一等品”，
110940101(|)504950495P B A =?+?=，2181712183(|)302930295
P B A =?+?=， 1101182()0.42502305P C =?+?==， 110911817()0.1942,2504923029
P BC =??+??= （1）()P B =1122()(|)()(|)P A P B A P A P B A +11132.25255
=?+?= （2）()0.1942(|)0.4856,()0.4
P BC P B C P C ===
（3）1403911211()0.39422504923029
P BC =??+??=. 39．一猎人用猎枪向一只野兔射击，第一枪距离野兔200m 远，如果未击中，他追到距野兔150m 远处再进行第二次射击，如果仍未击中，他追到距野兔100m 远处再进行第三次射击，此时击中的概率为12
。如果这个猎人射击的击中率与他到野兔的距离平方成反比，求猎人击中野兔的概率。
解 设 123,,p p p 分别表示3次击中的概率，且312p =，由已知得2i k p r
=，1,2,3.i = 2222111001502002k p p =?==，解得 1212,89
p p ==。 设事件k A = “第k 枪击中”； (1,2,3),k = B =“击中”.
112123()()P B P A A A A A A ==U U 112123()()()P A P A A P A A A ++
1211213121()(/)()(/)(/)8
P A P A A P A P A A P A A A =
++172771950.6597889892144
=+?+???=≈ 或 12317795()1()1289144P B P A A A =-=-=
概率论与数理统计期末试卷+答案
一、单项选择题(每题2分，共20分) 1.设A 、B 是相互独立的事件，且()0.7,()0P A B P A ?==则 ()P B = ( A A. 0.5 B. 0.3 C. 0.75 D. 0.42 2、设X 是一个离散型随机变量，则下列可以成为X 的分布律的是 ( D ) A. 10 1p p ?? ?-??( p 为任意实数) B. 123450.1 0.3 0.3 0.2 0.2x x x x x ?? ??? C. 3 3()(1,2,...) ! n e P X n n n -== = D. 3 3()(0,1,2,...) ! n e P X n n n -== = 3．下列命题 不正确的是 ( D ) (A)设X 的密度为)(x f ，则一定有?+∞ ∞-=1 )(dx x f ； (B)设X 为连续型随机变量，则P (X =任一确定值)=0； (C)随机变量X 的分布函数()F x 必有01)(≤≤x F ； (D)随机变量X 的分布函数是事件“X =x ”的概率； 4．若()()() E XY E X E Y =,则下列命题不正确的是 ( B ) (A)(,)0Cov X Y =； (B)X 与Y 相互独立 ； (C)0=XY ρ； (D)()()D X Y D X Y -=+； 5. 已知两随机变量X 与Y 有关系0.80.7Y X =+，则X 与Y 间的相关系数 为 ( B ) (A)－1 ( B)1 (C)-0.8 (D)0.7 6．设X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布，则 ( B ) (A)(0)0.25P X Y -≥= (B)(min(,)0)0.25P X Y ≥=
概率论与数理统计-朱开永--同济大学出版社习题一答案
习 题 一 1．下列随机试验各包含几个基本事件？ （1）将有记号b a ,的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 的盒子里（每个盒子可容纳两个球） 解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。两个球看作是可动物，一个 一个地放入盒中；a 球可放入的任一个，其放法有 313=C 种，b 球也可放入三个盒子的 任一个，其放法有313=C 种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为11339C C ?=种。 （2）观察三粒不同种子的发芽情况。 解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。三粒种子发芽共有81 21212=??C C C 种不同情况。 （3）从五人中任选两名参加某项活动。 解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序， 所以此试验的基本事件个数 1025==C n 。 （4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。 解：此随机试验是把从0到100 任一种分看作一个基本事件，101=∴n 。 （5）将c b a ,,三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。 解：可用乘法原理：三只盒子视为不动物，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一 个一个放入盒子内（按要求）。a 球可放入三个盒子中的任一个有313=C 种方法。b 球因 为试验要求每只盒子只装一个球，所以a 球放入的盒子不能再放入b 球，b 球只能放入其余（无a 球 的盒子）两个中任一个，其放法有21 2=C 个。c 只能放入剩下的空盒中，其放法只有一个。三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球，完成这件事共有方法为 611213=??C C 种。 2． 事件A 表示“五件产品中至少有一件不合格品”,事件B 表示“五件产品都是合格品”，则,A B AB U 各表示什么事件？B A 、之间有什么关系？ 解： 设k A =“五件中有k 件是不合格品” =B “五件都是合格品”。此随机试验E 的样 本空间可以写成：{}12345,,,,,S A A A A A B = 而 12345A A A A A A =U U U U ,A B S ∴=U φ=AB ，A 与B 是互为对立事件。 3. 随机抽验三件产品，设A 表示“三件中至少有一件是废品”，设B 表示“三件中至少有两件是废品”，C 表示“三件都是正品”，问 ,,,,A B C A B AC U 各表示什么事件？
同济大学_概率论与数理统计期中试卷
同济大学 09 学年 第一学期 专业 级《 概率统计 》期中试卷 考试形式：（ 闭卷 ） 一、填空题（共 30 分，每空2分）： 1．事件C B A ,,中至少有一个发生可表示为 ，三个事件都发生可表示为 ，都不发生可表示为 . 2．设()4.0=A P ，()3.0=B P ，()4.0=B A P ，则() =B A P . 3．一袋中有10个球，其中3个黑球，7个白球. 每次从中任取一球，直到第3次才取到黑球的概率为 ，至少取3次才能取到黑球的概率为 . 4．设随机变量X 的分布函数()??? ?? ??≥<≤<≤--<=31318 .0114 .010x x x x x F ，则X 的分布列为 . 5．进行10次独立重复射击，设X 表示命中目标的次数，若每次射击命中目标的概率都是4.0，则X 服从 分布，其数学期望为 ，方差为 . 6．设连续型随机变量()λe X ~，)0(>λ，则=k 时，{}4 12= >k X P . 7．已知随机变量()2~P X ，则102-=X Y 的数学期望=EY ，方差=DY . 8. 已知随机变量X 的概率密度函数为()?? ?>-<≤≤-=2 ,20 2225.0x x x x f ，则X 服从 分布，设随机变量 12+=X Y ，则=EY . 二、选择题（共10 分，每小题 2 分） 1．设事件B A ,互不相容，且()()0,0>>B P A P ，则有 （ ） （A ）()0>A B P （B ）() ()A P B A P = （C ）() 0=B A P （D ）()()()B P A P AB P =
概率论与数理统计第二章课后习题参考答案同济大学出版社林伟初
第二章 1．解：X 的可能取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12。 X =2对应于一种情形：（1，1），则{}1126636 P X == =′； X =3对应于两种情形：（1，2）、（2，1），则{}2136618 P X ===′； X =4对应于三种情形：（1，3）、（2，2）、（3，1），则{}3146612 P X ===′； X =5对应于四种情形：（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1），则 {}41 5669P X == =′； X =6对应于5种情形：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1），则 {}5566636P X == =′； X =7对应于6种情形：（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），则 {}617666 P X == =′； 类似地，可以算得 {}5586636P X == =′，{}419669P X ===′，{}31 106612P X ===′， {}21116618P X ===′，{}11 126636 P X ===′。 因此，X 的分布律为 [()](),,,{}[()](),,,|| ,,,,,166167 , 23736363666167 , 8912363667 234111236 i i i i P X i i i i i i ì------??===??==í ?-----?==????--= =L L L 2．解：设随机变量X 表示产品质量的等级，X 的可能取值为1，2，3。由题可知， 一级品数量：二级品数量：三级品数量=2 ：1 ：0.5= 4 ：2 ：1， 因此可求得X 的分布律为 1 23421777 k X P 3．解：X 的可能取值为0，1，2，3，4，其取值概率为 {}.007P X == ，{}...10307021P X ==?，{}....20303070063P X ==创=， {} (303030307) 00189P X ==创?，{} (403030303) 00081P X ==创?。 即X 的分布律为
华东师范大学末试卷(概率论与数理统计)复习题
华东师范大学期末试卷 概率论与数理统计 一． 选择题（20分，每题2分） 1. 已知随机变量X ~N(0,1),则2X 服从的分布为： A ．)1(χB 。)1(2 χC 。)1,0(N D 。)1,1(F 2. 讨论某器件的寿命，设:事件A={该器件的寿命为200小时}，事件B={该器件的寿 命为300小时}，则： A ． B A =B 。B A ? C 。B A ? D 。Φ=AB 3．设A,B 都是事件，且1)(,0)(,1)(≠>=A P A P B A P ,则=)(A B P （） A.1 B.0 C.0.5 D.0.2 4.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P ,A, B 互不相容，则=)(B A P （） B.41 C.0 D. 5 1 5.设A,B 都是事件，且2 1 )(= A P , A, B 互不相容，则=)(B A P （） B. 41 C.0 D. 5 1 B 。若A,B 互不相容，则它们相互独立 C ．若A,B 相互独立，则它们互不相容 D ．若6.0)()(==B P A P ，则它们互不相容 7.已知随机变量X ~)(λπ，且}3{}2{===X P X P ，则)(),(X D X E 的值分别为： A.3,3 B.9,9 C.3,9 D.9,3 8．总体X ~),(2 σμN ，μ未知，4321,,,X X X X 是来自总体的简单随机样本，下面估计量中的哪一个是μ的无偏估计量：、
A.)(31 )(21T 43211X X X X +++= C.)432(5 1 T 43213X X X X +++= A.)(4 1 T 43214X X X X +-+= 9.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，下列μ的无偏估计量哪一个是较为有效的估计量： A.54321141)(81)(41T X X X X X ++++= B.)(61 )(41T 543212X X X X X ++++= D.)2(6 1 T 543214X X X X X ++++= 10.总体X ~),(2 σμN ，μ未知，54321,,,,X X X X X 是来自总体的简单随机样本，记 ∑==n i i X n X 1 1， 21 21 )(11X X n S n i i --=∑=， 2 1 22 )(1X X n S n i i -=∑=， 21 23 )(1μ-=∑=n i i X n S ，21 24)(1μ-= ∑=n i i X n S ，则服从自由度为1-n 的t 分布的 1X t 2 --=n S μ C.n S 3X t μ-= D .n S 4 X t μ -= 11.如果存在常数)0(,≠a b a ，使1}{=+=b aX Y p ，且+∞<<)(0X D ，则Y X ,
概率论与数理统计题库及答案
概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1．写出下列随机试验的样本空间． (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取 出3个球； (3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：(1)}100,,2,1{ =Ω； (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω； (3)},2,1{ =Ω； (4)}|),{(22y x y x +=Ω． 2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ． 解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ， }5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ； (3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ， }10,9,8,7,6,1{=B A ， }5,4,3,2{=B A ； 法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ； (4)}5{=BC ， }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ， }4,3,2{=BC A ， }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ；
(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ， {1,8,9,10}=C B A ． 3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121| {≤<=x x A ，}2 341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ． 解：(1)B B A = ， }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ?； (3)A AB =， }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ； (2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ． 解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生； (2)A ，B ，C 中至少有一个发生； (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生； (4)A ，B ，C 中不多于一个发生． 6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．
概率论与数理统计试题库
《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.
概率论与数理统计同济大学第1章
1.4 电炉上安装了4个温控器.在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ,电炉就断电.事件A 表示“电炉断电”.4个温控器显示的温度按递增顺序记作(),1,2,3,4,i T i =即(1)(2)T T ≤≤(3)T (4).T ≤试问,4个事件()0{}(1,2,3,4)i T t i ≥=中,哪一个恰等于A ？ 1.6 已知N 件产品中有M 件是不合格品,今从中随机地抽取n 件.试求,(1)n 件中恰有k 件不合格品的概率;(2)n 件中至少有一件不合格品的概率.假定k M ≤且n k N M -≤-. 1.7 一个口袋里装有10只球,分别编上号码1,…,10,随机地从口袋里取3只球.试求:(1)最小号码是5的概率;(2)最大号码是5的概率. 1.8一份试卷上有6道题.某位学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误.试求,(1)这4处错误发生在最后一道题上的概率;(2)这4处错误发生在不同题上的概率;(3)至少有3道题全对的概率. 1.9 在单位圆内随机地取一点Q ,试求以Q 为中点的弦长超过1的概率. 1.10 在长度为T 的时间段内,有两个长短不等的信号随机地进入接收机.长信号持续时间为1()t T ≤,短信号持续时间为2()t T ≤.试求这两个信号互不干扰的概率. 1.11 设,A B 是两个事件,已知()0.5,()0.7,()0.8P A P B P A B === ,试求()P A B -与()P B A -. 1.12 设,,A B C 是三个事件,已知()()()0.3,()0.2,()P A P B P C P AB P BC ====()0P CA ==.试求,,A B C 中至少有一个发生的概率与,,A B C 全不发生的概率.
考研概率论与数理统计题库-题目
概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9）
6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P
工程经济学复习参考书籍《工程经济学》,邵颖红黄渝祥等编著,同济大学出版社
工程经济学复习 第一章 1、关键概念：技术与经济 技术：研究如何把自然规律应用于工程实践 经济：研究经济规律在工程问题中的应用（page1） 2、掌握经济与技术的关系 技术创新是经济发展的不竭动力,工程经济分析是对技术实践活动的系统评价,工程经济分析的目的是提高技术实践活动的经济效果。工程经济分析的重点是科学地预见活动的结果, 3、工程经济分析的原则和方法框架 第二章工程项目现金流识别与估算0 1、关键概念：现金流量。 现金流量是在整个计算期所发生的实际现金流入和流出，简称现金流。包括现金流入，现金流出，净现金流量 2、项目投资的构成： 项目总投资 ?建设投资包括：工程费用工程建设其他费用预备费用 ?建设期利息 ?流动资金 3、工程项目投资现金流量的估算 由于工程项目投资处在工程项目建设期阶段，该阶段基本没有现金流入，而主要是各项投资所形成的现金流出。因此，建设期净现金流量为： NCF=CI-CO=0-建设投资-建设利息-流动资金=-（建设投资+建设期利息+流动资金）
第三年静态投资=53746*20%=10749.2万 第一年涨价预备费=13436.5*[(1+5%)1/2-1] =331.82万 第二年涨价预备费=29560.3*[(1+5%)1/2+1-1] =2244.51万 第三年涨价预备费=10749.2*[(1+5%)1/2+2-1] =1394.45万 涨价预备费=331.82+2244.51+1394.45=3970.78 预备费=基本预备费+涨价预备费=4886+3970.78=8856.78万 建设投资=工程费用+工程建设其他费用+预备费 =45000+3860+8856.78=57716.78万 ? 3.2建设期利息的容与估算 建设期利息包括银行借款和其他债务资金的利息，以及其他融资费用 例子2-2：某新建项目，建设期为3年，在建设期第一年借款400万，第二年借款500万，第三年借款400万，每年借款平均使用，年利率为6%。用复利法计算建设期借款利息。解：建设期各年利息计算如下： 第一年利息=（0+400/2)*6%=12万 第二年初本利额=400+12=412万 第二年利息=（412+500/2)*6%=39.72万 第三年初本利额=412+500+39.72=951.72万 第三年利息=（951.72+400/2)*6%=69.10万 建设期利息=12+39.72+69.10=120.82万 ? 3.3流动资金的容与估算 流动资金指在工业项目中投产前预先垫付，在投产后生产经营过程中用于购买原材料、燃料动力、支付工资和其他费用以及在产品、半产品、产出品和其他存货占用的周转资金。流动资金以现金、各种存款、存货、应收账款等流动资产的形态出现 一般项目的流动资金应采用流动资金估算表来计算。流动资产包括：（5个） 应收账款----指企业对外销售商品、提供服务尚未收回的资金； 存货-----指企业在日常生产经营过程中持有的以备出售或仍在生产过程的物料；
同济大学版概率论与数理统计——修改版答案
概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A A B - （B ）()A B B ?- （C ）A B （D ）A B 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则A B 表示 [ A] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<
概率论与数理统计试卷及答案(1)
模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = , P(B) = , P(B|A ) = , 则P(A|B ) = P( A ∪B) = 2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为1 9 ，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ； 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：,0 ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??为未知参数，12,, ,n X X X 为其样本，1 1n i i X X n ==∑为样本均值， 则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置 信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它
概率论与数理统计第三章课后习题参考答案同济大学出版社林伟初
第三章 1．解：考虑分5次取产品，每次取一个。设随机变量X 表示取出的5个产品中的次品数，引入随机变量X i 表示第i 次取产品的结果： 1 0 i i X i i ?=??，第次取到次品 （=1,2,3,4,5)，第次取到合格品 则有 12345X X X X X X =++++ 易知，X i 有相同的分布律： 14 1099 5 1001{1}10 i C P P P X ?=== ， 19{0}110 10 i X P ==- = 则911 ()0110 10 10 i X E =? +?= ，于是 5 123451 1()()()50.510 i i E X E X X X X X E X ==++++= = ?=∑ 。 注意：随机变量X 并不服从二项分布，这是因为每次取产品的结果不是相互独立的，前面取产品的结果会影响到后面取产品的结果。为了理解这一点，可以考虑求任意取出的20个产品中次品数的期望值；或者改成100个产品中有2个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值；注意在这两种情形下，随机变量X 的可能取值。 2．解：设随机变量X 表示3人中生日在第一季度的人数，由于每个人生日在各个月份的机会是同样的，并且每个人的生日应该相互独立，因此(,)1 3 4X B ，那么3人中生日在第 一季度的平均人数为().130754 E X n p ==?=。 3．略。 4．解：由于()X P λ ，因此(),()E X D X λλ==，再由公式()()[()]22 D X E X E X =-，可求得()()[()]2 2 2 E X D X E X λλ=+=+。 由数学期望的性质，有 [()()][]()()2 222 1232 32 32 22 E X X E X X E X E X λλλλλ--=-+=-+=+-+=-+ 则可得到关于λ的方程 2 221λλ-+= 亦即 2 210λλ-+=
概率论与数理统计考试试卷与答案
0506 一.填空题(每空题2分，共计60 分) 1、A、B 是两个随机事件，已知p(A) 0.4,P(B) 0.5,p(AB) 0.3 ，则p(A B) 0.6 , p(A -B) 0.1 ，P(A B)= 0.4 , p(A B) 0.6。 2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。(1)从中不放回地任取2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：1/3 。(2)若有放回地任取 2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：9/25 。( 3)若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为：21/55 。 3、设随机变量X 服从B(2，0.5)的二项分布，则p X 1 0.75, Y 服从二项分 布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从B(100,0.5)，E(X+Y)= 50 ， 方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、 0.15．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取 一件。 ( 1)抽到次品的概率为：0.12 。 2)若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为：0.5 6、若随机变量X ~N(2,4)且(1) 0.8413 ，(2) 0.9772 ,则P{ 2 X 4} 0.815 ， Y 2X 1,则Y ~ N( 5 ，16 )。
7、随机变量X、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2, 方差D(X)=1 ，D(Y)=2, 且 X、Y 相互独立，则：E(2X Y) - 4 ，D(2X Y) 6 。 8、设D(X) 25 ，D( Y) 1，Cov( X ,Y) 2，则D(X Y) 30 9、设X1, , X 26是总体N (8,16)的容量为26 的样本，X 为样本均值，S2为样本方 差。则：X~N(8 ，8/13 )，25S2 ~ 2(25)，X 8 ~ t(25)。 16 s/ 25 10、假设检验时，易犯两类错误，第一类错误是：”弃真” ,即H0 为真时拒绝H0, 第二类错误是：“取伪”错误。一般情况下，要减少一类错误的概率，必然增大另一类错误的概率。如果只对犯第一类错误的概率加以控制，使之 北京语言大学网络教育学院 《概率论与数理统计》模拟试卷一 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、设A,B 是两个互不相容的事件，P （A ）>0 ，P （B ）>0，则（ ）一定成立。 [A] P （A)＝1－P （B ） [B] P （A│B)＝0 [C] P （A│B )＝1 [D] P （A B )＝0 2、设A,B 是两个事件，P （A ）>0 ， P （B ）>0 ，当下面条件（ ）成立时，A 与B 一定相互独立。 [A] P(A B )＝P （A ）P （B ） [B] P （AB ）＝P （A ）P （B ） [C] P （A│B ）＝P （B ） [D] P （A│B ）＝P(A ) 3、若A 、B 相互独立，则下列式子成立的为（ ）。 [A] )()()(B P A P B A P = [B] 0)(=AB P [C] )()(A B P B A P = [D] )()(B P B A P = 4、下面的函数中，（ ）可以是离散型随机变量的概率函数。 [A] {}1 1(0,1,2)!e P k k k ξ-=== [B] {}1 2(1,2)! e P k k k ξ-=== [C] {}31 (0,1,2)2 k P k k ξ=== [D] {}41 (1,2,3)2 k P k k ξ== =--- 5、设1()F x 与2()F x 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为了使 12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，则下列个组中应取（ ）。 [A]1 ,2a =-32 b = [B] 2,3a = 23b = [C] 3,5a = 2 5 b =- [D] 1,2a = 32 b =- 二、【判断题】(本大题共5小题，每小题3分，共15分)正确的填T ，错误的填F ，填在答题卷相应题号处。 6、事件“掷一枚硬币，或者出现正面，或者出现反面”是必然事件。 （ ） 7、通过选取经验函数()12;,,...,k x a a a μ中的参数使得观察值i y 与相应的函数值 ()12;,,...,i k x a a a μ之差的平方和最小的方法称之为方差分析法。 （ ） 8、在进行一元线性回归时， 通过最小二乘法求得的经验回归系数^ b 为xy xx l l 。 （ ） 9、连续抛一枚均匀硬币6 次，则正面至少出现一次的概率为 9 2 。（ ） 10、设某次考试考生的成绩服从正态分布( )2 70,N σ ，2 σ 未知，为了检验样本均 值是否显著改变，抽取36名同学测得平均成绩为66.5分，标准差为15分，显著水平0.05α=，则应该接受原假设。 （ ） 2019年概率论与数理统计期末测试复习题200题[含 答案] 一、选择题 1．设)(x Φ为标准正态分布函数，100, ,2, 1, 0A ,1 =???=i X i 否则，发生事件且 ()0.6P A =，10021X X X ，，， 相互独立。令∑==1001i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布 函数)(y F 近似于（B ）。 A. )(y Φ B. Φ C.(60)y Φ- D.60()24y -Φ 2．设随机变量X ～N(μ，9)，Y ～N(μ，25)，记}5{},3{21+≥=-≤=μμY p X P p ，则（ B ）。 A. p1 概率论与数理统计题库及答案 、单选题 1. 在下列数组中，( )中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布 1 1 1 1 1 1 1 1 (A) (B) 2 3 4 5 2 4 8 8 1 1 1 1 1 1 1 1 (C) (D) 2 2, 2， 2 \ / 2 4， 8 ， 16 2. 下列数组中，( )中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布. (A) 1 1 1 1 1 (B) 丄 1 1 1 2 4 4 4 2 4 8 16 1 1 1 3 1 1 3 1 (C) (D) - 2 4 16 16 2 4 8 8 3.设连续型随机变量 X 的密度函数 2x, 0 x 1, f(x) 0,其他， 则下列等式成立的是( )? (A) P(X > 1) 1 (B) 1 P(X -) 1 1 — 2 2 …、 1 1 1 1 (C) P(X -)- (D) P(X -) 2 2 2 2 立. b (A) P(a X w b) F(x)dx (B) P(a X w b) F(x)dx a (C) P(a X w b) b f(x)dx a (D) P(a X w b) f (x)dx 5.设 f(x)和F(x)分别是随机变量 X 的分布密度函数和分布函数，则对任意 P(a X w b)( ). (A) b a F(x)dx (B) b a f(x)dx (C) f(b) f(a) (D) F(a) F(b) 4.若f(x)与F(x)分别为连续型随机变量 X 的密度函数与分布函数, 则等式( a b ，有 6.下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是( )? )成 《概率论与数理统计》试卷题 供参考 1．计算机在进行加法运算时，有时要对每个加数取整（取最接近它的整数）。设所有取整误差都是相互独立的，且都在（－0.5，0.5）上服从均匀分布。 （1） 若进行1500个数的加法运算，问误差总和绝对值超过15的概率多大？ （2） 进行多少个数的加法运算，才能使得误差总和绝对值小于10的概论为 0.9？ （已知 1.3420.91, 1.290.90 1.6450.95ΦΦΦ（）＝（）＝，（）＝） 2.设总体X 服从参数为λ的泊松分布，12...n X X X ，，为样本， 2 2 1 1 1 1 ,() 1 n n i i i i X X S X X n n === = --∑∑。 求：（1）()E X （2）2()E S (3)()D X (4)λ的矩估计量 3． (1)设样本12,,X X X 来自同一总体 X ， ()E X θ=，则 121231231111 (), 3 4 42X X X X X X θθ∧ ∧ = ++= + + ， ① 证明它们是θ的无偏估计量 ② 12,θθ∧∧ 哪个更有效？ （2）已知()X t n ,求证：2(1,)X F n 。 4．设总体2(0,)X N σ ，12X X ，是样本。 （1）证明12X X +和12X X -不相关。由此说明它们是否独立？ （2）求2122 12()() X X Y X X += +的分布 5设总体X 的分布函数为 11 1(,)0 1x F x x x β β? ->?=??≤? 。其中未知参数1,β>12...n X X X ，，为来自总体X 的简单随机样本。求： （1）β的矩估计 （2）β的极大似然估计量 6．概率论与数理统计模拟试卷和答案
新版精选2019概率论与数理统计期末考试题库200题(含答案)
概率论与数理统计题库与答案
厦门大学概率论与数理统计试卷