§6.1 特殊和式的极限--定积分的概念
第六章 求总量的问题——定积分
§6.1 特殊和式的极限 ——定积分的概念
一、 抽象定积分概念的两个现实原型 1.求曲边梯形的面积 2.求变力所作的功
原型1. 求曲边梯形的面积
如图,曲边梯形由连续曲线y=f(x) ( f(x)≥0), x轴与两条直线x=a, x=b所 围成 y y=f(x) S=?
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
1 2
i 1 n
f ( )x
i i i 1 n 2
n
n
2 i
x i x i x i
2 i 1
n
i )2 1 1 ( n n n3 i 1
Hale Waihona Puke 1 n( n 1)( 2n 1) i n3 6 i 1
1 (1 1 )(2 1 ) 6 n n
路程的精确值
s lim v ( i )t i
t 0 i 1
n
上述三个问题的共性:
• 解决问题的方法步骤相同 :
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
二、 定积分的概念
分割、近似求和、取极限
定积分的定义 设函数f(x)在[a,b]上有界,用点a=x0 <x1<x2< ...<xn1<xn=b将[a,b]分割成n个 子区间, 各子区间的长度为 xi=xixi1 (i=1,2,...,n).在每个子区间上任取一点i n (ixi),作乘积f(i)xi的和式 f ( i )xi 记=max{xi},当0时, f ( i )xi
即
b
n
注意: (1)积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的字母无关
b
a
f ( x )dx f (t )dt f ( u)du
b b a a
(2)定义中区间的分法和i的取法是任意的 (3)当函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在 时,称f(x)在区间[a,b]上可积,否则不可积
曲边梯形面积为:
S lim f ( i )xi
0
i 1 n
原型2 求变力所作的功 F m a o x b 设质点m受水平力F的作用沿x轴由 点a移动到点b 若F是常量,则它对质点所作的功为: W=F(ba) 若F不是常量,而是质点所在位置x的连 续函数F=F(x),如何求对质点所作的功?
b b a a a
性质3(对积分区间的可加性) b c b f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a a c
性质4
b
a
dx b a
性质5 若在[a,b] (a<b)上f(x)≥0,则
b
a
f ( x )dx 0
性质6(保序性) 若在[a,b](a<b)上f(x)≤g(x),则
（1）分割 a t0 t1 t 2 t n1 t n b
t i t i t i 1
部分路程值
n
si v( i )t i
某时刻的速度
（2）近似求和 （3）取极限
s v ( i )t i
i 1
t max{ t1 , t 2 ,, t n }
(1)当a=b时,
a b a
f ( x )dx 0 f ( x )dx f ( x )dx
a b
说明: 在下面的性质中,假定定积分都存 在,且不考虑积分上下限的大小
性质1 a kf ( x )dx k a f ( x )dx (k为常数) 性质2 b b b [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx
b a
b
a
f ( x )dx g( x )dx
b a b
性质7(定积分的绝对值不等式)
| f ( x )dx | | f ( x ) |dx (a b)
a
∵|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|
| f ( x ) |dx f ( x )dx | f ( x ) |dx
小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和
取极限
积零为整
取极限
精确值——定积分
3. 定积分的性质
在每个小区间[xi1, a o xi]上任取一点i
x1
xi1 xi xn1
i
b
x
以[xi1,xi]为底, f(i)为高的小矩形面积为 Si=f(i)xi
曲边梯形面积的近似值为
S f ( i )xi
i 1 n
当分割无限加细,即小区间的最大 长度=max{x1,x2,...,xn}0时,
b
a
f ( x )dx f ( )(b a )
——积分中值公式
积分中值定理的几何意义
f ( )
y f()
o a
1 a f ( x )dx ba
b
b
若f(x)在[a,b]上连续 且非负,则f(x)在[a, b] 上的曲边梯形的面积 等于与该曲边梯形同 x 底,以f( )为高的矩形 面积
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
如图, 在区间[a, b]内插入n1个分点 a=x0<x1<x2< ...<xn1<xn=b 把区间[a,b]分成n 个小区间[xi1,xi], 长度为xi=xixi1 y
1
0
x dx lim i xi
2
2
n
0
(0n)
i 1
lim1 (1 1 )(2 1 ) n 6 n n
1 3
三、 求定积分过程中的辩证思维
四、 可积条件
定理1(可积的必要条件) 若函数f(x)在 [a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界.
注： 无界函数一定不可积
i 1 n i 1
的极限存在,并且其极限值与[a,b]的分法
以及i的取法无关,则该极限值称为函数 b f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作 f ( x )dx
a
积分上限
f ( x )dx lim f ( i )xi 0 a i 1 被 被积 积 积 积 分 积 积分 分 分 元 函 表变 号 和 素 数 达量 积分下限 式 [a,b]:积分区间
例2 比较积分值 e dx和 0 xdx 的大小
x 0
2
2
解: 令f(x)=exx , x[2,0] ∵f(x)>0
∴ex>x
e dx xdx
0 x 0 2 2
e dx xdx
x 0 0
2
2
1 dx 的值 例3 估计积分 3 0 3 sin x 1 f ( x) 解: 3 3 sin x x[0,],有 0≤sin3x≤1 1 1 1 3 4 3 sin x 3 1dx 1 dx 1dx 0 3 sin3 x 0 4 0 3 1 0 3 sin3 xdx 3 4
o a
bx
用矩形面积近似代替曲边梯形面积
y y
o a b x b x o a (九个小矩形) (四个小矩形) 显然,小矩形越多,矩形总面积越接 近曲边梯形面积
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
b b b a a a
性质8(有界性) 设m, M分别是f(x)在[a,b] 上的最小值和最大值,则
m(b a ) f ( x )dx M (b a )
b a
此性质可用于估计积分值的大致范围 性质9(积分中值定理) 若函数f(x)在[a,b] 上连续,则在[a,b]上至少存在一点,使得
例4 设f(x)可导,且 lim f ( x ) 1 ,求 x x2 3 f ( t )dt lim t sin x x t
解: 由积分中值定理知,有[x, x+2],使 x 2 3 f ( t )dt sin 3 f ( )( x 2 x ) x t sin t x2 lim t sin 3 f ( t )dt x x t 3 f ( ) 2 lim 3 f ( ) 2 lim sin =6
有界函数不一定可积
定理2 (可积的充分条件) 若f(x)是闭区间 [a,b]上的连续函数,或者是闭区间[a,b]上
的单调函数,或者是[a,b]上只有有限个间
断点的有界函数,则f(x)在[a,b]上可积
五、 定积分的性质
使用上的方便,规定
b
a
f ( x )dx 只有当a<b时才有意义,为了
b
(2)当a>b时,
0
i 1 n
原型3
求变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，已知速度v v (t )是 时 间 间 隔 [a , b ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v ( t ) 0 ，求物体在这段时间内所经过的路程.
§6.1 特殊和式的极限 ——定积分的概念
一、 抽象定积分概念的两个现实原型 1.求曲边梯形的面积 2.求变力所作的功
原型1. 求曲边梯形的面积
如图,曲边梯形由连续曲线y=f(x) ( f(x)≥0), x轴与两条直线x=a, x=b所 围成 y y=f(x) S=?
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
1 2
i 1 n
f ( )x
i i i 1 n 2
n
n
2 i
x i x i x i
2 i 1
n
i )2 1 1 ( n n n3 i 1
Hale Waihona Puke 1 n( n 1)( 2n 1) i n3 6 i 1
1 (1 1 )(2 1 ) 6 n n
路程的精确值
s lim v ( i )t i
t 0 i 1
n
上述三个问题的共性:
• 解决问题的方法步骤相同 :
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限 ”
• 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
二、 定积分的概念
分割、近似求和、取极限
定积分的定义 设函数f(x)在[a,b]上有界,用点a=x0 <x1<x2< ...<xn1<xn=b将[a,b]分割成n个 子区间, 各子区间的长度为 xi=xixi1 (i=1,2,...,n).在每个子区间上任取一点i n (ixi),作乘积f(i)xi的和式 f ( i )xi 记=max{xi},当0时, f ( i )xi
即
b
n
注意: (1)积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的字母无关
b
a
f ( x )dx f (t )dt f ( u)du
b b a a
(2)定义中区间的分法和i的取法是任意的 (3)当函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在 时,称f(x)在区间[a,b]上可积,否则不可积
曲边梯形面积为:
S lim f ( i )xi
0
i 1 n
原型2 求变力所作的功 F m a o x b 设质点m受水平力F的作用沿x轴由 点a移动到点b 若F是常量,则它对质点所作的功为: W=F(ba) 若F不是常量,而是质点所在位置x的连 续函数F=F(x),如何求对质点所作的功?
b b a a a
性质3(对积分区间的可加性) b c b f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a a c
性质4
b
a
dx b a
性质5 若在[a,b] (a<b)上f(x)≥0,则
b
a
f ( x )dx 0
性质6(保序性) 若在[a,b](a<b)上f(x)≤g(x),则
（1）分割 a t0 t1 t 2 t n1 t n b
t i t i t i 1
部分路程值
n
si v( i )t i
某时刻的速度
（2）近似求和 （3）取极限
s v ( i )t i
i 1
t max{ t1 , t 2 ,, t n }
(1)当a=b时,
a b a
f ( x )dx 0 f ( x )dx f ( x )dx
a b
说明: 在下面的性质中,假定定积分都存 在,且不考虑积分上下限的大小
性质1 a kf ( x )dx k a f ( x )dx (k为常数) 性质2 b b b [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx
b a
b
a
f ( x )dx g( x )dx
b a b
性质7(定积分的绝对值不等式)
| f ( x )dx | | f ( x ) |dx (a b)
a
∵|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|
| f ( x ) |dx f ( x )dx | f ( x ) |dx
小结
１．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和
取极限
积零为整
取极限
精确值——定积分
3. 定积分的性质
在每个小区间[xi1, a o xi]上任取一点i
x1
xi1 xi xn1
i
b
x
以[xi1,xi]为底, f(i)为高的小矩形面积为 Si=f(i)xi
曲边梯形面积的近似值为
S f ( i )xi
i 1 n
当分割无限加细,即小区间的最大 长度=max{x1,x2,...,xn}0时,
b
a
f ( x )dx f ( )(b a )
——积分中值公式
积分中值定理的几何意义
f ( )
y f()
o a
1 a f ( x )dx ba
b
b
若f(x)在[a,b]上连续 且非负,则f(x)在[a, b] 上的曲边梯形的面积 等于与该曲边梯形同 x 底,以f( )为高的矩形 面积
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
如图, 在区间[a, b]内插入n1个分点 a=x0<x1<x2< ...<xn1<xn=b 把区间[a,b]分成n 个小区间[xi1,xi], 长度为xi=xixi1 y
1
0
x dx lim i xi
2
2
n
0
(0n)
i 1
lim1 (1 1 )(2 1 ) n 6 n n
1 3
三、 求定积分过程中的辩证思维
四、 可积条件
定理1(可积的必要条件) 若函数f(x)在 [a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界.
注： 无界函数一定不可积
i 1 n i 1
的极限存在,并且其极限值与[a,b]的分法
以及i的取法无关,则该极限值称为函数 b f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作 f ( x )dx
a
积分上限
f ( x )dx lim f ( i )xi 0 a i 1 被 被积 积 积 积 分 积 积分 分 分 元 函 表变 号 和 素 数 达量 积分下限 式 [a,b]:积分区间
例2 比较积分值 e dx和 0 xdx 的大小
x 0
2
2
解: 令f(x)=exx , x[2,0] ∵f(x)>0
∴ex>x
e dx xdx
0 x 0 2 2
e dx xdx
x 0 0
2
2
1 dx 的值 例3 估计积分 3 0 3 sin x 1 f ( x) 解: 3 3 sin x x[0,],有 0≤sin3x≤1 1 1 1 3 4 3 sin x 3 1dx 1 dx 1dx 0 3 sin3 x 0 4 0 3 1 0 3 sin3 xdx 3 4
o a
bx
用矩形面积近似代替曲边梯形面积
y y
o a b x b x o a (九个小矩形) (四个小矩形) 显然,小矩形越多,矩形总面积越接 近曲边梯形面积
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边三角形面积的关系
b b b a a a
性质8(有界性) 设m, M分别是f(x)在[a,b] 上的最小值和最大值,则
m(b a ) f ( x )dx M (b a )
b a
此性质可用于估计积分值的大致范围 性质9(积分中值定理) 若函数f(x)在[a,b] 上连续,则在[a,b]上至少存在一点,使得
例4 设f(x)可导,且 lim f ( x ) 1 ,求 x x2 3 f ( t )dt lim t sin x x t
解: 由积分中值定理知,有[x, x+2],使 x 2 3 f ( t )dt sin 3 f ( )( x 2 x ) x t sin t x2 lim t sin 3 f ( t )dt x x t 3 f ( ) 2 lim 3 f ( ) 2 lim sin =6
有界函数不一定可积
定理2 (可积的充分条件) 若f(x)是闭区间 [a,b]上的连续函数,或者是闭区间[a,b]上
的单调函数,或者是[a,b]上只有有限个间
断点的有界函数,则f(x)在[a,b]上可积
五、 定积分的性质
使用上的方便,规定
b
a
f ( x )dx 只有当a<b时才有意义,为了
b
(2)当a>b时,
0
i 1 n
原型3
求变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，已知速度v v (t )是 时 间 间 隔 [a , b ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v ( t ) 0 ，求物体在这段时间内所经过的路程.
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区 间 [ x ,x 的长度不趋于 0 . 要 保 证 每 个 区 间 i 1 i]
[ x , x ] 的 长 度 趋 于 0 , 需 引 入 分 割 T 的 细 度 ( 模 ) : i 1 i
T m a x x 1 , 2 ,, n . ii
就能保证分割越来越细. 则 当 T 0 时 ,
i
x n1 b
x
i
可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边
梯形的面积.
前页 后页 返回
如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的
过程呢？ 可以分三步进行. 1. 分割：把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形
A , A , , A , 1 2 n
xx , 2 , , x } , 即在 [ a , b ] 上找到 n 1 个分点 { 1 n 1
积.
一分为二
y
y f x
S(A)
O
a
x
1
b
x
前页 后页 返回
y 一分为四
y f x
S(A)
O
a
x
1
x
2
x
3
b
x
前页 后页 返回
y
一分为八
y f x
S(A)
O
a
x
1
x
3
x 81 b
x
前页 后页 返回
一分为 n
y
y f x
S(A)
O
a x
1
x i1 x
用 T x , x , , x 或 T = , , 来 记 这 个 分 割 . 0 1 n 0 n
i
[ x , x ] 的 长 度 趋 于 0 , 需 引 入 分 割 T 的 细 度 ( 模 ) : i 1 i
T m a x x 1 , 2 ,, n . ii
就能保证分割越来越细. 则 当 T 0 时 ,
i
x n1 b
x
i
可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边
梯形的面积.
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如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的
过程呢？ 可以分三步进行. 1. 分割：把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形
A , A , , A , 1 2 n
xx , 2 , , x } , 即在 [ a , b ] 上找到 n 1 个分点 { 1 n 1
积.
一分为二
y
y f x
S(A)
O
a
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1
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y 一分为四
y f x
S(A)
O
a
x
1
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y
一分为八
y f x
S(A)
O
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一分为 n
y
y f x
S(A)
O
a x
1
x i1 x
用 T x , x , , x 或 T = , , 来 记 这 个 分 割 . 0 1 n 0 n
i
§6.1 特殊和式的极限--定积分的概念
n 6
n
n
1 3
三、 求定积分过程中的辩证思维
四、 可积条件
定理1(可积的必要条件) 若函数f(x)在 [a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界.
注： 无界函数一定不可积 有界函数不一定可积
定理2 (可积的充分条件) 若f(x)是闭区间 [a,b]上的连续函数,或者是闭区间[a,b]上 的单调函数,或者是[a,b]上只有有限个间 断点的有界函数,则f(x)在[a,b]上可积
xi=xixi1 Wi=F(i)xi
(2)近似求和
n
n
W Wi F (i )xi
i 1
i 1
(3)取极限 =max{x1,x2,...,xn}
n
W
lim
0
i 1
F (i )xi
原型3 求变速直线运动的路程
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是 时 间 间 隔 [a,b] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
性质8(有界性) 设m, M分别是f(x)在[a,b] 上的最小值和最大值,则
b
m(b a) a f ( x)dx M(b a)
此性质可用于估计积分值的大致范围
性质9(积分中值定理) 若函数f(x)在[a,b]
上连续,则在[a,b]上至少存在一点,使得
b
a f ( x)dx f ( )(b a)
注意:
(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的字母无关
b
b
b
a f ( x)dx a f (t)dt a f (u)du
(2)定义中区间的分法和i的取法是任意的
(3)当函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在 时,称f(x)在区间[a,b]上可积,否则不可积
定积分的概念 课件
a
若 f(x)≤0，则在[a，b]上曲边梯形的面积 S＝－bf(x)dx；
a
若在[a，c]上，f(x)≤0，在[c，b]上，f(x)≥0，则在[a，
b]上曲边梯形的面积 S＝－cf(x)dx＋bf(x)dx.
a
c
【正解】 05(x－2)dx＝S2－S1＝12×32－12×22＝52，故502(x －2)dx＝5.
∴05(x－2)dx＝S1＋S2＝12×22＋12×32＝123，
∴052(x－2)dx＝2×123＝13.
【错因分析】 在应用定积分的几何意义求定积分时，
错解中没有考虑在 x 轴下方的面积取负号，x 轴上方的面积取
正号，导致错误． 【防范措施】 若 f(x)≥0，则在[a，b]上曲边梯形的面
积 S＝bf(x)dx；
间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f(ξi)Δx
＝
，当 n→∞时，上述和式无限接近某个常
数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的 定积分 ，记作
bf(x)dx，
a
即bf(x)dx＝
．
a
其中 a 与 b 分别叫做 积分下限 与 积分上限 ，区间 [a，b]叫做 积分区间 ，函数 f(x)叫做 被积函数 ，x 叫做 积分变量 ，f(x)dx 叫做 被积式 .
定积分的概念
定积分的概念 【问题导思】 分析求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的步 骤，试找出它们的共同点． 【提示】 两个问题均可通过“分割、近似代替、求和、 取极限”解决．都可以归结为一个特定形式和的极限．
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi －1<xi<…<xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区
若 f(x)≤0，则在[a，b]上曲边梯形的面积 S＝－bf(x)dx；
a
若在[a，c]上，f(x)≤0，在[c，b]上，f(x)≥0，则在[a，
b]上曲边梯形的面积 S＝－cf(x)dx＋bf(x)dx.
a
c
【正解】 05(x－2)dx＝S2－S1＝12×32－12×22＝52，故502(x －2)dx＝5.
∴05(x－2)dx＝S1＋S2＝12×22＋12×32＝123，
∴052(x－2)dx＝2×123＝13.
【错因分析】 在应用定积分的几何意义求定积分时，
错解中没有考虑在 x 轴下方的面积取负号，x 轴上方的面积取
正号，导致错误． 【防范措施】 若 f(x)≥0，则在[a，b]上曲边梯形的面
积 S＝bf(x)dx；
间[xi－1，xi]上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，作和式 f(ξi)Δx
＝
，当 n→∞时，上述和式无限接近某个常
数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的 定积分 ，记作
bf(x)dx，
a
即bf(x)dx＝
．
a
其中 a 与 b 分别叫做 积分下限 与 积分上限 ，区间 [a，b]叫做 积分区间 ，函数 f(x)叫做 被积函数 ，x 叫做 积分变量 ，f(x)dx 叫做 被积式 .
定积分的概念
定积分的概念 【问题导思】 分析求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程的步 骤，试找出它们的共同点． 【提示】 两个问题均可通过“分割、近似代替、求和、 取极限”解决．都可以归结为一个特定形式和的极限．
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点 a＝x0<x1<…<xi －1<xi<…<xn＝b 将区间[a，b]等分成 n 个小区间，在每个小区
《大学数学》习题及答案
《大学数学》习题及答案大学数学习题第一章微积分的基础和研究对象?1 微积分的基础——集合、实数和极限一(论述第二次数学危机产生的背景和解决方法。
二(叙述极限，实数和集合在微积分中的作用。
二(叙述实数系的演变和性质，写出邻域的概念。
?2 微积分的研究对象——函数一(填空题21x，1(函数的定义域 . y,221xx,,1,|x|,1,2(设函数f (x) = 则函数f[f(x)]= . 2,,0|x|,1,1,x3(函数y =的反函数为 . 1，x11,4(设是奇函数,且(x)=.() , 则(x) 是___________函数. f(x),f(x),x22，15(函数f (x) = sinxsin3x的周期T= . 二(求下列函数定义域x,13arcsin 1(y = 4 + . 3x，222 2(y = + . ln(3，x)x,x2,0,,1xx三(设 , 求. (，1),x,(x),,21,,2xx,20,,1xx,四(设函数 f (x) = , g (x) = ln x ，求f [ g(x) ] , g[ f(x) ]. ,2x1,x,2,xx五(已知f (sin) = cos x + 1 , 求f (cos). 22六(证明题:设f(x)为定义在(-L,L)内的奇函数，若f(x)在(0,L)内单调增加，证明f(x)在(-L,0)内也单调增加.第二章微积分的直接基础——极限?1 数列的极限一、判断题1(数列中去掉或增加有限项，不影响数列的极限;( ) {a}n2(数列极限存在，则与极限均存在;( ) {a，b}{a}{b}nnnn3(若，存在无限多个满足，则有.( ) |a,a|,,}{a}lima,a,,,0nnn,，,n二(填空题1(数列有界是数列收敛的条件; {a}n2 2( ; lim,nn,，,3ncos 3( ; ,limn,，,n3n2，4( . lim,n,，,5n3,三(用极限定义证明2n，5 1(. lim,1n,，,n2 2(. lim(n,5,n),0n,，,ncos, 3(. lim,0n,，,n四(证明:若，则有，并举例说明其逆命题不成立.lim|a|,|a|lima,ann,，,,，,nnn,五(证明数列极限不存在. {cos}3?2 函数的极限一(填空题x，4,x,1,1(设函数f(x),，则, ，, . limf(x)limf(x),x,1,0x,1，02x,1,x,1, 12( . ,limsinx,0xx,ex,0，,3(设，则，，f(x),f(0),f(0),,ax，bx,0,当时，. limf(x),1b,x,0二(判断题f(x)lim1. 若，，则有不存在;( ) limf(x),Alimg(x),0x,xx,xx,x000g(x) 22. ;( ) lim(x，sinx),，,x,,3. 若，，且A,B，则;( ) limf(x),Alimg(x),Bf(x),g(x)x,xx,x00114. x;( ) limx,limcos,0limcosx,0x,0x,0xxf(x)lim5. 若存在，且则.( ) limg(x),0limf(x),0x,xx,xx,x000g(x)xsin 6(; ( ) lim,1x,,x1x 7(;( ) lim(1，x),e,,x1118(当时，与是等价无穷小量，则; ( ) x,,k,2，32kxxx9(无穷小量的代数和还是无穷小量 ;( )34 10(当时，无穷小量是关于的4阶无穷小量; ( ) y,x，xxx,0xxtan,sin0,0 11(因为时,,，所以有.( ) xtanxlim,lim,0x,0sinx33x,x,00xx 三(利用定义证明下列函数的极限x21,; 1(lim,2x,24x4,,2(。
6.1 定积分的概念及性质
b c b b b
b
b
b
（线性性)
f ( x)dx .
（积分区间具有可加性)
补充 不论 a , b, c 的相对位置如何,上式总成立.
四、定积分的性质
• 性质 4 性质 4
a1dx a dx b a .
b
b
b
•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
a f (x)dx 0 (ab).
2
2
1
x dx （2） ln(1 x)dx 与
2
1
0
1
0
ln 2 (1 x)dx
2 x [1, 2] x x 时， ，由保序性可知 解 （1）当
可知
2
1
xdx x 2 dx ．
1
2
2
x ，由保序性 ) （2 ）当 x [0,1]时， ln(1 x ) ln (1
i 1,2, n
a
b xn x
解决步骤
(2) 取近似
在每个小区间上任 取一点 i 设函数在区间 a, b 上连续
y
xi 1 i xi
y f x 0
为高，以 xi为底， 以 f ( i ) 作 n 个小矩形，其面积分 别为 f i xi , 则 Ai f i xi (i 1,2,, n)
结
1. 定积分的实质: 特殊和式的极限.
思想 以直代曲、以常代变. 取极限. 方法 四步曲: 分割、取近似、求和、
3. 定积分的性质 (注意估值性质、积分中值定理的应用)
4. 典型问题 (1) 估计积分值; (2) 不计算定积分比较积分大小.
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
b
b
b
（线性性)
f ( x)dx .
（积分区间具有可加性)
补充 不论 a , b, c 的相对位置如何,上式总成立.
四、定积分的性质
• 性质 4 性质 4
a1dx a dx b a .
b
b
b
•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
a f (x)dx 0 (ab).
2
2
1
x dx （2） ln(1 x)dx 与
2
1
0
1
0
ln 2 (1 x)dx
2 x [1, 2] x x 时， ，由保序性可知 解 （1）当
可知
2
1
xdx x 2 dx ．
1
2
2
x ，由保序性 ) （2 ）当 x [0,1]时， ln(1 x ) ln (1
i 1,2, n
a
b xn x
解决步骤
(2) 取近似
在每个小区间上任 取一点 i 设函数在区间 a, b 上连续
y
xi 1 i xi
y f x 0
为高，以 xi为底， 以 f ( i ) 作 n 个小矩形，其面积分 别为 f i xi , 则 Ai f i xi (i 1,2,, n)
结
1. 定积分的实质: 特殊和式的极限.
思想 以直代曲、以常代变. 取极限. 方法 四步曲: 分割、取近似、求和、
3. 定积分的性质 (注意估值性质、积分中值定理的应用)
4. 典型问题 (1) 估计积分值; (2) 不计算定积分比较积分大小.
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
6.1定积分的概念
数学教研室
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
积分上限
b
[a , b] 称为积分区间
f ( i ) xi a f ( x) dx lim 0 i 1
被 积 积 积 分 分 表 变 和 达 量 式 (1)定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 b b 变量用什么字母表示无关 , 即 f ( x) d x f (t ) d t
数学教研室
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
数学教研室
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
数学教研室
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
数学教研室
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
0
i 1
= y lim f ( i )( x i xi 1 )
0
i 1 n
= 右端
i 1
o ax
x1
1
xi 1 i xi
xn 1
b
x
o a xn1
xi
i
xi 1
b
x
数学教研室
可积的充分条件:
定理1. 定理2. 且只有有限个间断点
(证明略)
例1. 利用定义计算定积分
解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 取
y
yx
O
2
则
2 i f (i )xi i2 xi 3 n
i n
1x
数学教研室
1 n 2 1 1 f (i )xi 3 i 3 n(n 1)(2n 1) n i 1 n 6 i 1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
积分上限
b
[a , b] 称为积分区间
f ( i ) xi a f ( x) dx lim 0 i 1
被 积 积 积 分 分 表 变 和 达 量 式 (1)定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分 b b 变量用什么字母表示无关 , 即 f ( x) d x f (t ) d t
数学教研室
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
数学教研室
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
数学教研室
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
数学教研室
观察下列演示过程，注意当分割加细时，
矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
0
i 1
= y lim f ( i )( x i xi 1 )
0
i 1 n
= 右端
i 1
o ax
x1
1
xi 1 i xi
xn 1
b
x
o a xn1
xi
i
xi 1
b
x
数学教研室
可积的充分条件:
定理1. 定理2. 且只有有限个间断点
(证明略)
例1. 利用定义计算定积分
解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 取
y
yx
O
2
则
2 i f (i )xi i2 xi 3 n
i n
1x
数学教研室
1 n 2 1 1 f (i )xi 3 i 3 n(n 1)(2n 1) n i 1 n 6 i 1
6-1定积分概念(1)
n
1 1 1 n( n + 1)( 2n + 1) 1 = 1 + 2 + ,λ → 0 ⇒ n → ∞ = 3⋅ 6 n n n 6 n 1 2 1 1 1 2 x dx =பைடு நூலகம்lim ∑ ξ i ∆xi = lim 1 + 2 + = 1 . ∫0 λ → 0 i =1 n→ ∞ 6 n n 3
第一节
定积分概念(1) 定积分概念
一、 问题的提出 二、 定积分定义 三、 定积分存在定理 四、 定积分的几何意义 五、 小结
一、问题的提出
实例1 求曲边梯形的面积) 实例1(求曲边梯形的面积) 曲边梯形由连续曲线 y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、 x 轴与两条直线 x = a 、 x = b 所围成. 所围成. 用矩形面积近似取代曲边梯形面积
定理6.1.1 设 f ( x )在区间 [a , b] 上有定义 若积分 定理 上有定义, b f ( x )dx存在 则 f ( x )在区间 [a , b] 上有界 上有界. 存在, ∫a 证明 若 f ( x )在区间 [a , b] 上无界 则对每种分割 上无界, 至少存在一个子区间[ xi −1 , xi ], 使得 f ( x )在区间
1、 函数 f ( x ) 在[ a , b ] 上的定积分是积 分和的极限，即∫ f ( x )dx = _________ . 2、 定积分的值只与______及_______ 有关，而与_________的记法无关 . 3、 定积分的几何意义是__________. 4、区间[ a , b ]长度的定积分表示是____ . 二、 利用定积分的定义计算由抛物 线 y = x + 1 , 两直线 x = a , x = b ( b > a ) 及 横轴所围成的图形的面积 . 三、利用定积分的定义计算积分 ∫ xdx ， (a<b) .
定积分的定义
第六章
定积分
§6.1 定积分的定义
一、曲边梯形的面积 从几何的角度， 利用曲线的切线斜率可引出导数.现在通过计算曲线所围的平 面图形的面积可引出定积分。 已给连续曲线 y f ( x) , a x b ,(假定 f ( x) 0 )，问 S=?
y ↑
y=f(x )
S
0 a
△ Si
x i-1 xi
i 1 n
是辩证法的运用） 。 反过来，有了定积分的概念，曲边梯形的 面积 A= f ( x) dx
a b
( f ( x) 0 )
y ↑
y=f(x) A 0 a b →x
若 f ( x) 0 ，则 f ( 0 i)
n
(i 1,2, , n) ，此时曲边梯形的面积
n b
A= lim [ f ( xi lim f ( xi f ( x)dx i )] i )
231
的极限，是解决“求总量问题”的数学模型。这种和式极限方法是通过 “化整为零” ,在足够小的局部范围内用初等数学方法求出部分分量的近似值（以 直代曲） 。只有当对总量 S 无限细分，即当
n , 0 时，总量 S 的近似值（ f ( xi ）才能转化为总量的精确值（这 i )
( a, b).
y=f (x) d f (ξ ) c
例 判断 1 x ln xdx 的符号。
2 2
0
1
a
ξ
b
→
x
解
x
1 2 1 2
由积分中值定理有
1 1 2 2 ln xdx ( ln )(1 ) ( ln ) 0, 2 2
1 1. 2
第二积分中值定理： f ( x), ( x) C a , b , 且 ( x) 在 a, b 上不变号，则在 a, b 上至
定积分
§6.1 定积分的定义
一、曲边梯形的面积 从几何的角度， 利用曲线的切线斜率可引出导数.现在通过计算曲线所围的平 面图形的面积可引出定积分。 已给连续曲线 y f ( x) , a x b ,(假定 f ( x) 0 )，问 S=?
y ↑
y=f(x )
S
0 a
△ Si
x i-1 xi
i 1 n
是辩证法的运用） 。 反过来，有了定积分的概念，曲边梯形的 面积 A= f ( x) dx
a b
( f ( x) 0 )
y ↑
y=f(x) A 0 a b →x
若 f ( x) 0 ，则 f ( 0 i)
n
(i 1,2, , n) ，此时曲边梯形的面积
n b
A= lim [ f ( xi lim f ( xi f ( x)dx i )] i )
231
的极限，是解决“求总量问题”的数学模型。这种和式极限方法是通过 “化整为零” ,在足够小的局部范围内用初等数学方法求出部分分量的近似值（以 直代曲） 。只有当对总量 S 无限细分，即当
n , 0 时，总量 S 的近似值（ f ( xi ）才能转化为总量的精确值（这 i )
( a, b).
y=f (x) d f (ξ ) c
例 判断 1 x ln xdx 的符号。
2 2
0
1
a
ξ
b
→
x
解
x
1 2 1 2
由积分中值定理有
1 1 2 2 ln xdx ( ln )(1 ) ( ln ) 0, 2 2
1 1. 2
第二积分中值定理： f ( x), ( x) C a , b , 且 ( x) 在 a, b 上不变号，则在 a, b 上至
定积分的和式极限
定积分的和式极限
数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值a不断地逼近而被人为规定为“永远靠近而不停止”。
另外，极限是一种“变化状态”的描述。
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指“用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想”。
用音速思想解决问题的通常步骤可以归纳为：
对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
音速思想就是微积分的基本思想，就是数学分析中的一系列关键概念，例如函数的连续性、导数（为0获得极大值）以及的定分数等等都就是借助音速去定义的。
如果必须反问：“数学分析就是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用音速思想去研究函数的一门学科，并且计算结果误差大至难于想象，因此可以忽略不计。
第六章 定积分
n
f (ξi ) ∆xi
叫做f ( x)在区间[a, b]上的定积分。
[a, b] : 积分区间
定积分是特殊和式的极限
前言
积分学两大问题： 积分学两大问题： 求原函数： 求原函数：
∫ f (x)dx = F(x) + C
计面积： 计算面积： A =
∫
b
a
f ( x)dx
微 积 分 基 本 定 理
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 63
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 73
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 123
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 133
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例1
计算抛物线y = x 2 , 直线x = 1和x轴所围成的 曲边梯形的面积。
1 解： 把区间[0,1]n等分，则∆xi = (1) n i i 2 y （2）取ξ = ， f (ξ ) = ( )
i
n
i
n
i 2 1 作乘积 f (ξi )∆xi = ( ) ⋅ n n n i2 1 1 n 2 (3) S ≈ ∑ 2 ⋅ = 3 i n n i =1 i =1 n
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 43