2020年高考数学试题分类汇编数列.docx

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十、数列一、选择题

1.(天津理 4)已知a n

为等差数列,其公差为-2,且

a7

a3

a9

的等比中项,

S n

a

n的前 n 项和, n N *,则S

10的值为

A . -110B. -90

C. 90D. 110

【答案】 D

2.(四川理8)数列a

n

的首项为 3 ,

b

n为等差数列且

b

n a n1a n (n

N *)

.若则

b

3 2 ,

b1012 ,则 a8

A . 0

B . 3

C . 8D. 11【答案】 B

【解析】由已知知b n2n8, a n 1a n2n 8,

由叠加法

(a2a1 ) ( a3a2 ) L ( a8a7 )64 2 0 2 4 6 0a8a13 3.(四川理 11)已知定义在0,上的函数 f (x) 满足 f ( x) 3 f ( x2) ,当x0,2时,

f (x)x22x .设 f (x) 在2n2,2n上的最大值为a

n

(n

N *) ,且a n的前

n

项和为

lim S n

S

n ,则 n

53

A . 3

B .2

C. 2 D .

2

【答案】 D

f (x2)1

f ( x)

2,2 n] 上,

【解析】由题意3,在 [2 n

1111 (

1

)n

3

n 1, f (x)1,n2, f (x)3, f (x)2L a n n 1S n3lim S n

, n( )( )

12

3331

3

4.(上海理18)设{ a n }

是各项为正数的无穷数列,

A i

是边长为

a i, a i1

的矩形面积(

i1,2,L

),

则{ A

n

}

为等比数列的充要条件为

A .

{ a

n

}

是等比数列。

B.

a

1

, a

3

,L, a

2n 1

,L

a

2

, a

4

,L ,a

2n

,L

是等比数列。

C.a

1

, a

3

,L

, a2n 1,L和

a

2

, a

4

,L

,a2n ,L均是等比数列。

L

, a2n 1,

L

和 a2 , a4 ,L, a2 n ,L均是等比数列,且公比相同。

D. a1 , a3 ,【答案】 D

5.(全国大纲理 4)设S

n为等差数列

a

n的前n项和,若

a

1

1

,公差 d2,

S

k 2S k24 ,

k

A . 8

B . 7

C . 6D. 5【答案】 D

6.(江西理 5)已知数列 {a n

} 的前 n 项和

S n

满足:

S n S m

S

n m

,且

a1

a

10

=

=1 .那么

A . 1

B . 9C. 10 D. 55

【答案】 A

7.(福建理 10)已知函数 f( x)=e+x ,对于曲线 y=f( x)上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ,给出以下判断:

①△ ABC 一定是钝角三角形

②△ ABC 可能是直角三角形

③△ ABC 可能是等腰三角形

④△ ABC 不可能是等腰三角形

其中,正确的判断是

A .①③

B .①④C.②③ D .②④

【答案】 B

二、填空题

8.(湖南理 12)设S

n是等差数列

{ a

n

} (n N )

,的前 n 项和,且

a

11,a

4 7 ,

则S

9 =.

【答案】 25

9.(重庆理 11)在等差数列{ a

n

}

中,

a

3

a7

37

,则

a

2a4 a6a8__________

【答案】 74

1

10 .(北京理11 )在等比数列 {an} 中, a1= 2, a4=-4 ,则公比 q=______________ ;a1 a2 ...a n

____________ 。— 2

2n 11

【答案】2

11.(安徽理 14)已知ABC 的一个内角为120o,并且三边长构成公差为 4 的

等差数列,则ABC

的面积为 _______________.

【答案】

15 3

12.(湖北理 13)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9 节的竹子,自上而下各节的容积成

等差数列,上面 4 节的容积共为 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为升。

67

【答案】 66

13.(广东理

a n

前9 项的和等于前 4 项的和.若

a1 1,a k a40

,则11)等差数列

k=____________ .【答案】 10

14.(江苏 13)设1 a

1

a2

a

7 ,其中

a

1

, a

3

, a

5

, a

7 成公比为q的等比数列,

a

2

, a

4

, a

6

成公差为 1 的等差数列,则q 的最小值是 ________ 33

【答案】

三、解答题

15.(江苏 20)设M部分为正整数组成的集合,数列{ a n }的首项 a11

,前 n 项和为

S n

,已

知对任意整数k M ,当整数n

k

时, S

n k

S

n k

2(S

n

S

k

)

都成立

( 1)设M{1}, a22,求 a5

的值;

(2)设M{ 3,4}, 求数列 { a

n

}

的通项公式

本小题考查数列的通项与前n

项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识,考查考生分析探

究及逻辑推理的能力,满分16 分。

解:( 1)由题设知,当n 2时 , S n 1 S n

12( S n

S

1

)

即( S

n 1S n ) ( S n

S

n 1

)2S

1,

从而a

n 1a n2a12, 又 a22, 故当 n2时 , a n a22(n2)2n 2.

所以a

5的值为 8。

( 2)由题设知,当k

M{3, 4}, 且 n k时 ,S n k

S

n k2S n2S k

且S

n 1 k S

n 1 k2S n 1

2S

k ,

两式相减得a

n 1

k

a

n 1 k2a n 1 ,即 a n 1 k

a

n 1k

a

n 1a n1k

所以当n8时, a

n 6

, a

n 3

, a

n

, a

n 3

,a

n 6 成等差数列,且

a

n 6

,a

n 2

, a

n 2

, a

n

6 也成等差数列

从而当n

8时,

2a

n a n3

a

n 3

a

n 6

a

n 6

.

(*)

a

n

6 a

n 6

a n 2 a n 2 , 所以当 n 8时 , 2a n a n 2

a

n 2 ,

即 a n

2

a n

a n

a n 2 .于是当 n 9时, a n 3 , a n 1 ,

a n 1 , a n

3

成等差数列,

从而

a

n 3

a

n 3

a

n 1

a

n 1 ,

故由( * )式知

2a n

a n 1

a

n

1,即 a n

1

a

n

a n a n 1 .

n

9 时,设

d

a n

a n 1 .

当 2 m 8时, m 6 8 ,从而由( * )式知 2a m 6

a m

a

m 12

故 2a m 7

a m 1 a m 13.

从而

2(a

m 7

a m 6 )

a m 1

a

m

( a m 13a

m 12

) ,于是 a m 1

a

m

2d d

d.

因此,

a n

1

a n

d

对任意 n 2都成立,又由

S n k

S n k

2S k

2S k (k {3, 4}) 可知

(S n k

S n ) (S n S n k ) 2S k ,故 9d

2S 3且16d 2S 4 ,

a 4

7

d ,从而 a 2

3

d, a 1 d .

解得

2

2

2

因此,数列 { a n }

为等差数列,由

a 1

1知 d 2.

所以数列

{ a n }

的通项公式为

a n

2n

1.

16.(安徽理 18)

在数 1 和 100 之间插入 n

个实数,使得这 n 2 个数构成递增的等比数列,将这

n 2 个数的

乘积记作

T n

,再令

a n

lg T

n,

n ≥1 .

(Ⅰ)求数列

{ a n }

的通项公式;

(Ⅱ)设

b

n

tan a n

gtan a n 1

, 求数列 { b n

} 的前 n 项和 S n

.

本题考查等比和等差数列,指数和对数的运算,两角差的正切公式等基本知识,考查灵活运

用知识解决问题的能力,综合运算能力和创新思维能力

.

l 1 ,l 2

,

,l n 2

构成等比数列,其中

t 1 1, t n 2 100,

解:( I )设

T n

t 1 t 2

t

n 1

t

n 2

,

T n

t n 1 t n 2

t 2 t 1,

①×②并利用 t 1t n 3 i

t 1t n 2

10 2 (1 i n

2),得

T n 2 (t 1t n 2 ) (t 2 t n 1 )

(t n 1 t 2 ) (t n 2t 1 ) 102( n 2) , a n lg T n

n 2, n 1.

b n tan(n 2)

tan(n

3), n

1.

(II )由 意和( I )中 算 果,知

tan1 tan((k

1) k )

tan(k 1) tan k , 另一方面,利用

1 tan(k 1) tan k

tan(k

1) tan k tan(k

1) tan k

1.

tan1

n

n 2

S n

b k tan(k 1) tan k

所以

k 1 k 3

n 2

( tan(k

1) tan k 1)

k 3

tan1 tan(n 3) tan3

tan1

n.

17.(北京理 20)

若数列

A n

a 1, a 2,..., a n (n 2)

a

n 1

a 1

1(k 1,2,..., n

1)

,数列

A

n

E 数列,

S( A n )

=

a

1

a 2

...

a

n

(Ⅰ)写出一个 足 a 1 a s

0 ,且 S( A s ) 〉 0 的 E 数列 A n ;

(Ⅱ)若

a 1 12

, n=2000, 明: E 数列 A n

是 增数列的充要条件是

a n

=2020 ;

(Ⅲ) 任意 定的整数

n ( n ≥2),是否存在首 0 的 E 数列

A n

,使得

S A n

=0?如

果存在,写出一个 足条件的

E 数列

A n

;如果不存在, 明理由。

解:(Ⅰ) 0, 1,2, 1, 0 是一具 足条件的 E 数列(答案不唯一, 0, 1, 0,1, 0 也是一个 足条件的(Ⅱ)必要性:因 E 数列 A5 是 增数列,

A5 。

E 的数列

A5 )

所以

a k 1

a k

1(k

1,2, ,1999) .

所以 A5 是首 12,公差

1 的等差数列 .

所以 a2000=12+ (2000— 1)×1=2020.

充分性,由于 a2000—a1000≤1,

a2000— a1000 ≤1

??

a2— a1≤1

所以 a2000— a≤ 19999,即 a2000 ≤ a1+1999.

又因 a1=12, a2000=2020,

所以 a2000=a1+1999.

故a

n 1

a

n 1 0(k1,2,

,1999),即A

n 是增数列.

上,得。

(Ⅲ)令c

k

a

k 1

a

k10(k 1,2, ,n 1), 则 c A1.

因a

2a1c1a1a1 c1c2

??

a n a1c1c2c n 1 ,

所以S( A

n

)na

1(n 1)c1(n 2)c2( n 3)c3

c

n 1

n(n1)

[(1c1 )(n1)(1 c2 )( n2)(1c n 1 )].

2

因c

k1, 所以1c k为偶数 (k1,, n1).

所以* 1

c1 )(n 1)(1c2 )(n 2)(1

c

n

)

偶数, S( A n )0,必须使

n(n 1)

所以要使2偶数 ,

即 4整除 n( n1), 亦即 n4m或n4m1(m N*) .

当n

4m1( m

N *) 时, E数列 A n的项满足

a4k1

a

4 k 10, a4 k 21, a4 k 1

(k1,2,, m),有a10, S( A n )0;

a

4k1( k1,2,, m),a4 k 10时, 有

a10, S( A n )0;

当n

4m1(m

N *)时, E数列A

n 的足,

a

4 k 1

a

3k3

0, a

4 k 21,

当n

4m

2或

n4m3(m N )时, n( m

1)

不能被 4 整除,此不存在 E 数列 An ,

使得 a10, S( A n ) 0.

18.(福建理16)

13已知等比数列{an} 的公比 q=3,前 3 和 S3= 3。

( I )求数列 {an} 的通项公式;

( II )若函数 f ( x) Asin(2 x )( A 0,0

p) 在

x

6 处取得最大值, 且最大值为

a3,求函数 f ( x )的解析式。

本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,满分 13 分。

q 3, S 3

13 得 a 1(1 33 ) 13 ,

解:( I )由

31 33

a 1

1. 解得

3

a n

1 3n 1 3n 2. 所以

3

( II )由( I )可知

a

n

3n 2

,所以 a

3

3.

因为函数

f ( x)

的最大值为

3,所以 A=3 。

x

因为当

6 时

f ( x)

取得最大值,

sin(2

) 1.

所以

6

,故

.

6

f ( x) 3sin(2 x

) 所以函数

f ( x)

的解析式为

6

19.(广东理 20)

a n

nba n 1

(n 2)

a n

a

n 1

2n 2

设 b>0, 数列

满足 a1=b ,

( 1)求数列

a n

的通项公式;

a n

b n 1 1.

( 2)证明:对于一切正整数 2n 1 n ,

解:

a

b

0, 知 a

nba n

1

n

1 2 n

1

0,

.

1

n

a

n 1

2n 2

a n

b b a n 1

( 1)由

A n

n

, A 1 1

a n

b ,

n 2时, A n

1 2

A n 1

b

b

1 2

2n 2

2n

1

b b 2

L

b n 1 b n 1

A

1

1 2

L 2n 2

2n

1

b

b 2

n 1

b n .

b

①当

b

2时,

1

(1

2 n

)

b n

2n

A n

b b

,

2

b n (b

1

2)

b

b 2时 , A n

n . ②当

2

a n

nb n (b 2) , b 2

b n 2n

2, b 2

a n n

b n (b 2) b n 1

1,只需证 nb n

(

b n 1

b n 2n ( 2)当

b

b n

2 n

n 1

n 1

1)

2 )

2

时,(欲证

2

2

b (2

n 1

b n 1 ) b n

2n (2 n 1

b n 1 )(b n

1

2b n 2

L 2n

1 )

b

2

2n 1b n 1 2n 2 b n 2 L 22 n

b 2n 2b 2n 1 L2n 1b n 1

2n b n ( 222

L

2n b n b n 1 L

b )

b b 2

b n 2n

2n 1

2

2n b n

(2 2 L 2) 2n 2n

b n

n 2n 1b n ,

a n

nb n (b 2) b n 1

1.

b

n

2

n

2n 1

b 2时, a n 2b n1

1. 2n1

a n

b n1

1. 2n1

上所述20.(湖北理 19)

已知数列a

n的前 n 和S n,且足: a1 a

(a 0)

,a n 1rS n

(n

N* ,

r

R, r1) .

(Ⅰ)求数列a n的通公式;

(Ⅱ)若存在 k N* ,使得S

k1

,S k,S k 2 成等差数列,是判断:于任意的

m

N* ,且

m

2 ,

a m 1, a m, a m 2 是否成等差数列,并明你的.

本小主要考等差数列、等比数列等基知,同考推理能力,以及特殊与一般的思想。(分13 分)

解:( I)由已知a

n 1

rS

n

,

可得

a

n2

rS

n 1,两式相减可得

a

n 2a

n 1r ( S n 1S n ) ra n 1 ,

即a

n 2

(r 1)a

n 1

,

又a2 ra1 ra , 所以r=0,

数列{ a

n

}

: a,0,?, 0,?;

当 r 0, r 1

,由已知

a0,所以a

n

(n N *),

a n2

r1(n N)

于是由 a n 2( r1)a n 1, 可得 a n1,a2, a3,L,a n L成等比数列,

当 n 2时,a

n r ( r 1)n 2 a.

a n

a n n1,

{ a n }r ( r 1)n 2 a, n 2上,数列的通公式

( II )于任意的m

N *,且

m

2, a m1

, a

m

,a

m 2 成等差数列,明如下:

a m

a, n1,

0,n2

当 r=0 ,由( I)知,

于任意的 m N *,且m

2, a m 1 , a m ,a m2 成等差数列,

r

0 , r 1 ,

Q S k 2 S k a k 1 a k 2 , S k 1 a k 1.

若存在

k

N *

,使得

S k 1

, S 1

, S

k 2

成等差数列,

S

k

1

S

k 2

2S k

2S k 2a k 1

a

k 2

2S k ,即 a k 2

2a k 1,

由( I )知,

a 2

, a 3

,L

, a m ,L 的公比 r 1 2 ,于是

于任意的

m

N *

,且

m

2, a m 1

2a m ,从而 a m 2 4a m ,

a

m 1

a

m 2

2a m ,即 a m 1 ,a m ,a m 2 成等差数列,

上, 于任意的 m

N *

,且 m

2, a m 1

, a m

, a

m 2

成等差数列。

21.( 宁理 17)

已知等差数列 {an} 足 a2=0, a6+a8=-10 ( I )求数列 {an} 的通 公式;

a n

n 1

2

a 1 d 0, ( I ) 等差数列

{ a n }

的公差

d ,由已知条件可得

2a 1 12d10,

a 1

1,

解得

d

1.

故数列

{ a n }

的通 公式

a n 2

n.

??????5 分

{ a n }的前 n 项和为 S n S n a 1 a 2 L

a n , 故S 1

1

( II ) 数列

2n 1

,即

2 2n 1

S n a 1 a 2 L a n

2

2

4

n

.

2

所以,当 n

1 ,

S n a 1 a 2

a 1 L

a n

a

n 1

a n

2

2

2n 1

2n

1 1 1 L 1

2 n

)

(

4

2

n 1 n

2

2

1 (1

n

1 1 )

2 2n n

2

n

2 n

.

所以 S n

2 n

n

1 .

{

a n

n

1

}的前n 项和S n

n

n 1 .

上,数列

2

2

?????? 12分

22.(全国大 理

20)

1

1

a n

a 1 0

1 a n 1

1.

数列

足 且 1 a n

(Ⅰ)求

a n

的通 公式;

1

a

n 1

n

b

,记 S

b ,证明: S 1.

n

n

n

k

n

(Ⅱ) k 1

解:

1 1

( I )由

1

1,

a

n 1

1 a n

{ 1

}

1

a n

是公差

1 的等差数列。

1

1,故

1

又 1 a 1

n.

1 a n

a n

1 1 .

所以

n

( II )由( I )得

b n

1

a n 1 ,

n

n 1 n n 1 n 1 1

n

n

1 ,

???? 8 分

n

n

1

1

1

S n

b k

( ) 1 1.

k 1

k 1

k

k 1

n 1

???? 12 分

23.(全国新 理 17)

已知等比数列

{ a n }

的各 均 正数,且

2a 1 3a 2 1,a 3

2

9a 2a 6 .

( I )求数列

{ a n }

的通 公式.

b n log 3 a 1 log 3 a 2 L

log 3 a n

{ 1

}

( II )

,求数列 b n 的前 n 和.

解:

2

3 2

q 2

1 (Ⅰ) 数列 {an} 的公比 q ,由

a 3

9a 2a 6 得 a 3 9a 4 所以

9 .

1

q

由条件可知 c>0,故

3 .

2a

1

3a 2

1得

2a 1

3a 2

q

a 1

1

3 .

1

,所以

1

故数列 {an} 的通 式 an= 3n

(Ⅱ )

b n

log 3 a 1 log 3 a 2 ... log 3 a n

(1 2 ... n) n(n

1)

2

1

2 2(

1

1 ) 故 b n

n(n 1) n

n 1

1 1 (1)

2((1 1 ) (1 1

) ...

(

1

1

))

2n

b 1 b 2

b n

2 2

3 n n 1

n 1

1 }

2n

{

所以数列

b n 的前 n 项和为

n 1

24.(山东理 20)

等比数列 a n 中, a 1

, a 2 , a 3

分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且

a 1

, a 2

,a

3 中的任何

两个数不在下表的同一列.

第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10

第二行 6 4 14

第三行

9

8

18

(Ⅰ)求数列

a n 的通项公式;

(Ⅱ)若数列 b n 满足:

b n

a n ( 1)ln a n ,求数列

b n

的前 n 项和

S

n .

解:( I )当

a 1

3

时,不合题意;

a

1

2

时,当且仅当

a 2

6, a 3

18 时,符合题意;

a

1

10 时,不合题意。

因此

a

1

2, a 2 6, a 3 18,

所以公式 q=3,

a

n

2 3n 1.

( II )因为

b n

a n ( 1)n ln a n

2 3n 1 ( 1)n (2 3n 1 )

2 3n 1 ( 1)n [ln 2 ( n 1) ln 3]

2

3n 1 (

1)n (ln 2 ln 3) ( 1)n nln 3,

所以

S

2n

2(1 3 L

32 n 1)

[ 1 1 1

L ( 1)2n ](ln 2 ln 3) [ 1 2 5 L ( 1)n n]ln 3,

所以

S n

2

1

3n

n

1

3

ln 3

当 n 为偶数时,

2

3

n

n

ln 3 1;

2

S n

2

1

3n

(ln 2 ln 3) n

1

1

3

(

n)ln 3

当 n 为奇数时,

2

3n n

1

ln 3ln 2 1. 2

上所述,

3n n

ln 31,n为偶数

S n2n 1

ln3-ln2-1,n

3n -为奇数

2

25.(上海理 22)已知数列{ a

n

}

{b

n

}

的通公式分a n3n 6 ,b n 2n

7

( n N *),

将集合

{ x | x a n , n N * } U { x | x b

n

, n N

*

}

中的元素从小到大依次排列,构成数列

c1 , c2 , c3 ,L ,c n ,L 。(1)求 c1 ,c2 , c3 ,c4;

(2)求:在数列{ c

n

}

中.但不在数列

{ b

n

}

中的恰

a

2

, a

4

,L ,a

2n

,L

( 3)求数列{ c

n

}

的通公式。

解:⑴c19, c211,c312, c413 ;

⑵①任意 n N*,

a

2 n 13(2n1)66n3

b

k

2k 7

,k3n 2 ,即

a 2n1b

3n 2

假 a2n6n6b k2k7k3n1N *

a2n{ b n}

②2(矛盾),∴

∴在数列{ c

n

}

中.但不在数列

{ b

n

}

中的恰

a

2

, a

4

,L , a

2 n

,L

⑶b3k22(3k2)76k3a2 k 1,

b

3 k 16k5

a

2k6k

6

b

3 k6k 7

∵6k36k56k66k7

∴ 当k

1,依次有

b

1

a1c1 ,b2c2 ,a2c3 ,b3

c

4 ,??

6k3(n4k3)

c n6k 5 ( n 4k2) , k N*

6k6( n4k1)

∴6k 7(n4k )。26.(四川理 20)

设 d 为非零实数,a n

1

(C n1 d 2C n2 d 2L ( n 1)C n n 1 d n 1nC n n d n ](n N * )

n

( 1)写出a

1

, a

2

, a

3并判断

{ a

n

}

是否为等比数列。若是,给出证明;若不是,说明理由;

( II )设b

n

nda n (n

N

*

)

,求数列

{ b

n

}

的前n项和

S

n .

解析:(1)

a1d

a2 d ( d1)

2

a3 d (d1)

a n C n0 d C n1d 2C n2 d 3 L C n n 1d n d (1 d )n 1 a d (1d)n

n 1

a

n 1d1

a n

因为 d 为常数,所以{ a

n

}

是以 d 为首项, d

1

为公比的等比数列。

b nd 2 (1 d ) n 1

n

S n d 2 (1 d )02d 2 (1 d )13d 2 (1 d) 2 L L nd 2 (1 d )n 1

( 2)

d 2[(1 d)02(1 d )13(1d) 2L L n(1 d )n1](1)

(1 d )S n d 2[(1 d )12(1d)23(1d) 3L L n(1d) n ](2)

dS n d 2[1 (1(1d)n ) d 2n(1 d )n d(d 2n d )(1 d )n ( 2)( 1)1(1 d )

S n1(dn 1)(1 d )n

27.(天津理 20)

已知数列 { a n} 与 { b n } 满足:b

n

a

n

a

n 1

b

n 1

a

n 20, b n

3( 1)n

N *,且

2,

n

a

12, a

2

4

(Ⅰ)求a

3

, a

4

, a

5的值;

(Ⅱ)设c

n

a2n 1a2 n 1 ,n N *,证明:c n是等比数列;

S k a2a4

a

2k, k N* ,

4n S k

7

(n N * )

( III )设证明:k 1 a k6.

本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识,考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分 14 分 .

b n 3 ( 1)n,n N * ,

( I)解:由2

为奇数

b n1,n

2,n为偶数

可得

又b

n

a

n

a

n 1

b

n 1

a

n 2

0,

当n=1时,a 1+a2 +2a3 =0, 由a1=2,a 2 =4, 可得 a33;当n=2时,2a 2 +a3 +a4 =0, 可得

a45;

当n=3时,a 3 +a4 +2a5 =0, 可得

a4 4.

( II )证明:对任意n

N * ,

a

2n 1a

2 n2a2n10,①

2a2 n a

2n1

a

2n20,②

a2n 1a2 n 22a2 n 30,③

②—③,得a

2 n

a

2 n 3

.

将④代入①,可得a

2n 1

a

2 n 3

(a

2 n 1

a

2n 1

)

即c

n 1c n (n N * )

又c

1a1a31,故 c n0,

c n 1

1,所以 { c n}

因此c

n是等比数列 .

( III )证明:由(II )可得a

2k 1

a

2k 1( 1)

k

于是,对任意k

N *且 k

2

,有

a1a31,

(a3a5 )1,

a5a71,

M

( 1)k (a2k 3a2 k 1)将以上各式相加,得

即a

2k 1

(

1)k 1( k

此式当 k=1时也成立

1.

a1 ( 1)k a2k 1(k 1), 1) ,

.由④式得

a

2k

( 1)k 1 (k 3).

从而 S2k(a2a4 ) (a6a8 ) L(a4k 2 a4 k )k,

S

2k 1S

2 k

a

4 k k 3.

所以,对任意n

N * , n 2 ,

4 n S k

n (

S

4m 3

S

4m 2

S

4 m 1

S

4m )

k 1 a k m 1 a4m 3a

4m 2

a

4 m 1

a

4m

n m 1( 2m 2 2m12m 32m ) 2m2m22m 12m 3

n m 1

23

() 2m(2 m 1)(2 m 2)(2 m 2)

2n53

23m 2 2m(2 m1)(2n2)(2 n3)

1n53

3m 2 (2 m1)(2m1)(2 n2)(2 n3)

15

[(

1 1

) (

1 1

) L(1

1

1)]3

3235572n2n1(2 n 2)(2 n 3)

15513

36 2 2n 1(2 n2)(2 n3)

7 .

6

对于 n=1,不等式显然成立.

所以,对任意n N * ,

S 1 S 2 L

S 2 n 1

S

2n

a 1

a 2

a

2 n 1

a

2n

( S 1 S 2 )( S 3

S

4

) L(

S

2 n 1

S

2 n )

a 1 a 2 a 3 a 4

a

2 n 1

a

2 n

(1

1 1

) (1

1

42

2 1) ) L (1 1 n 1)

)

4 12

42 (4 2

4n (4 n

1

1 ) ( 1

2

) L 1

n

)

n (

42

4 2

(42

( n

4 n

(4 n

1)

4 12

1)

4

n 1 1

) 1

( n.

4 12 3

28.(浙江理 19)已知公差不为

0 的等差数列

{ a n }

的首项 a 1

为 a ( a

R

),设数列的前 n 项和

1

1

1

为 S n ,且 a 1 , a 2 , a 4 成等比数列

( 1)求数列 { a n } 的通项公式及 S n

A n

1

1 1

1

B n

1 1 1

...

1

...

a 1 a 2

a 2 2

a 2n

,当 n 2 时,试比较

A n

( 2)记

S 1

S 2

S 3

S

n ,

B n

的大小.

本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识,同时考查分类讨论思想。 满分 14 分。

( 1 )2

1 1 ,

( I )解:设等差数列

{ a n }

的公差为

d ,由 a 2

a 1 a 4

(a

1

d )2

a 1 (a 1 3d )

a n na 1 an(n 1)

. 因为

d

,所以

d

a

所以 , S n

2

1

2 ( 1

1 )

( II )解:因为

S n

a n

n 1

,所以

A n

1 1 1 L 1

2 (1

1 ) S 1 S

2 S 3

S n a

n 1

因为

a

2n

1

2

n

1

a ,所以

1 n

1 1

1

1 1 1 ( 2)

2

1

B n

a 1

a 2 a 22

L

a 2

n 1

a

1

1

a (1 2n

).

2

n

2时, 2n C n 0 C n 1 C n 2 L C n n n 1 ,

1

1 1 1n , 即

n

1 2

所以,当

a

0时, A

n

B n

;

a 0时 , A n B n .

29.(重庆理 21)

设实数数列

{ a }

的前 n 项和

S

S

n 1

a n 1 S n (n N * )

n n

,满足

( I )若 a 1 ,S 2 2a 2

成等比数列,求 S 2

和 a 3

k 3有 0

a k 1 a k

4

3

( II )求证:对

S 22 2a 1a 2 , 得S 22 2S 2

( I )解:由题意 S 2 a 2 S 1 a 1a 2 ,

由 S2 是等比中项知 S 2

0.因此 S 2

2.

S

2

a 3 S 3

a 3

S

2 解得

a 3

S 2

1

2 2 .

S 2 2 1 3

( II )证法一:由题设条件有

S n

a

n 1

a n 1S n ,

S 1,a

1且 a

S n , S

a n 1

,

n

n 1

n 1

S n 1n

a

n 1

1

从而对 k

3 有

a k

1

a k 1

S

k 1

a

k 1

S

k 2

a

k 1

1

a k 2

1

a k

.

S k 1

1 a k 1

S k 2

1

a k 1

a k 2

1 a k 1 1

a k

1

1

a

k 1

1

a k 2

1

a

k 1

1 (a k 1

1 )

2

3 0且 a k 2

1

2

4

,由①得

a k 0

4

a k 2

1

4

要证 a

k

,由①只要证

a k 2

,

3 1

a k 1 1 3

即证

3a k 2

1

4(a k 2

1

a k 1 1),即(a k

1

2)2

0.

此式明显成立 .

a k

4

(k

3).

因此

3

a k

a k 2

a k ,

a

k 1

a k .

1

a k 2

a k

最后证

若不然

1

a k 0, 故

a k

1,即(a k 1)

2

0.

a k 1

又因

a k 2

矛盾 .

因此

a

k 1

a k (k 3).

证法二:由题设知 S n 1

S n a n 1

a n 1S n ,

故方程 x

2

S n 1 x

S

n 1

0有根 S n 和

a n

1

(可能相同) .

因此判别式 S n 2

1

4S n

1

0.

S n 2

S n 1

a n 2

a n 2 S n 1得 a n 2

1且 S n 1

a

n 2 .

又由

a n 2

1

a n 2 2

4a n 2 0,即 2 4a n 2

(a n

1)

2

a n

1 3a n 2

因此 2

2

0 a n 2

4 . 解得

3

a k 4

(k 3).

因此

3

数列历年高考真题分类汇编

专题六 数列 第十八讲 数列的综合应用 答案部分 2019年 1.解析:对于B ,令2 104x λ-+=,得12 λ=, 取112a = ,所以211 ,,1022n a a == ?? ?…, 10n n a a +->,{}n a 递增, 当4n … 时,11132122 n n n n a a a a +=+>+=,

所以54 65109 323232a a a a a a ?>???> ???? ?>??M ,所以6 10432a a ??> ???,所以107291064a > >故A 正确.故选A . 2.解析:(1)设数列{}n a 的公差为d ,由题意得 11124,333a d a d a d +=+=+, 解得10,2a d ==. 从而* 22,n a n n =-∈N . 由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得 () ()()2 12n n n n n n S b S b S b +++=++. 解得()2 121n n n n b S S S d ++= -. 所以2* ,n b n n n =+∈N . (2 )*n c n = ==∈N . 我们用数学归纳法证明. ①当n =1时,c 1=0<2,不等式成立; ②假设() *n k k =∈N 时不等式成立,即12h c c c +++

2015高考数学分类汇编数列

专题六 数列 1.【2015高考重庆,理2】在等差数列{}n a 中,若2a =4,4a =2,则6a = ( ) A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B 【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=?-=,选B . 【考点定位】本题属于数列的问题,考查等差数列的通项公式及等差数列的性质. 【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解,也可应用等差数列的性质求解,主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题. 2.【2015高考福建,理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零 点,且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p q + 的值等于( ) A .6 B .7 C .8 D .9 【答案】D 【解析】由韦达定理得a b p +=,a b q ?=,则0,0a b >>,当,,2a b -适当排序后成等比数列时,2-必为等比中项,故4a b q ?==,.当适当排序后成等差数列时,2-必不是等差中项,当a 是等差中项时,,解得1a =,4b =;当 4 a 是等差中项时,,解得4a =,1b =,综上所述,5a b p +==,所以p q +9=,选D . 【考点定位】等差中项和等比中项. 【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项,其中分类讨论和逻辑推理是解题核心.三个数成等差数列或等比数列,项及项之间是有顺序的,但是等差中项或等比中项是唯一的,故可以利用中项进行讨论,属于难题. 3.【2015高考北京,理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是( ) A .若120a a +>,则230a a +> B .若130a a +<,则120a a +< C .若120a a <<,则2a > D .若10a <,则()()21230a a a a --> 【答案】C

2017高考试题分类汇编-数列

数列 1(2017山东文)(本小题满分12分) 已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) {}n b 为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ??????的前n 项和n T . 2(2017新课标Ⅰ文数)(12分) 记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知S 2=2,S 3=-6. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求S n ,并判断S n +1,S n ,S n +2是否成等差数列。 3((2017新课标Ⅲ文数)12分) 设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=K . (1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列21n a n ????+?? 的前n 项和. 4(2017浙江)(本题满分15分)已知数列{x n }满足:x 1=1,x n =x n +1+ln(1+x n +1)(n N *∈). 证明:当n N *∈时,

(Ⅰ)0<x n +1<x n ; (Ⅱ)2x n +1? x n ≤12 n n x x +; (Ⅲ)112 n -≤x n ≤212n -. 112()2 n n n n x x x x n *++-≤∈N . 5(2017北京理)(本小题13分) 设{}n a 和{}n b 是两个等差数列,记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--???-(1,2,3,)n =???, 其中12max{,,,}s x x x ???表示12,,,s x x x ???这s 个数中最大的数. (Ⅰ)若n a n =,21n b n =-,求123,,c c c 的值,并证明{}n c 是等差数列; (Ⅱ)证明:或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n m ≥时, n c M n >;或者存在正整数m ,使得12,,,m m m c c c ++???是等差数列. 6(2017新课标Ⅱ文)(12分) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的前n 项和为n T ,11221,1,2a b a b =-=+=. (1)若335a b +=,求{}n b 的通项公式; (2)若321T =,求3S . 7(2017天津文)(本小题满分13分) 已知{}n a 为等差数列,前n 项和为*()n S n ∈N ,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于 0,

2018年高考数学试题分类汇编数列

2018试题分类汇编---------数列 一、填空题 1.(北京理4改)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理 论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为__________. 1.1272f 2.(北京理9)设{}n a 是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{}n a 的通项公式为__________. 2.63n a n =- 3.(全国卷I 理4改)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若3243S S S =+,12a =,则=5a __________. 3.10- 4.(浙江10改).已知1234,,,a a a a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若11a >,则13,a a 的大小关系是_____________,24,a a 的大小关系是_____________. 4.1324,a a a a >< 5.(江苏14).已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ,*{|2,}n B x x n ==∈N .将A B 的所有元素从小到大依 次排列构成一个数列{}n a .记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________. 5.27 二、解答题 6.(北京文15)设{}n a 是等差数列,且123ln 2,5ln 2a a a =+=. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求12e e e n a a a +++. 6.解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,∵235ln 2a a +=,∴1235ln 2a d +=, 又1ln 2a =,∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. (2)由(I )知ln 2n a n =,∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==, ∴{e }n a 是以2为首项,2为公比的等比数列.∴2 12ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a ++ +=++ + 2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =,()121n n na n a +=+,设n n a b n = . (1)求123b b b , ,; (2)判断数列{}n b 是否为等比数列,并说明理由; (3)求{}n a 的通项公式. 7.解:(1)由条件可得a n +1=2(1) n n a n +.将n =1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以,a 2=4. 将n =2代入得,a 3=3a 2,所以,a 3=12.从而b 1=1,b 2=2,b 3=4. (2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得121n n a a n n +=+,即b n +1=2b n ,又b 1=1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得12n n a n -=,所以a n =n ·2n -1. 8.(全国卷II 理17)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知17a =-,315S =-. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求n S ,并求n S 的最小值. 8. 解:(1)设{}n a 的公差为d ,由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为 29n a n =-.(2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--,所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16.

数列历年高考真题分类汇编(3)

专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和 答案部分 2019年 1.解析 (Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q , 依题意得2 662,6124q d q d =+?? =+?解得3 .2d q =??=? 故14(1)331, 6232n n n n a n n b -=+-?=+=?=?. 所以,{}n a 的通项公式为(){}31, n n a n n b *=+∈N 的通项公式为() 32n n b n *=?∈N . (Ⅱ)(i )()()()() 22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=?+?-=?-. 所以,数列(){} 221n n a c -的通项公式为()() 221941n n n a c n *-=?-∈N . (ii ) ()()22221 1 1 1 2211n n n n i i i i i i i i i i i i c a c a a c a a ====-??=+-=+??∑∑∑∑ () () 12212439412n n n n i i =??- ?=?+?+?- ??? ∑ ( )( )21 1 41432 52 914 n n n n ---=?+?+? -- ()211* 2725212 n n n n --=?+?--∈N . 2010-2018年 1.【解析】∵113 n n a a +=-,∴{}n a 是等比数列 又243a =-,∴14a =,∴()1010101413313113 S -????-- ? ? ?????==-+ ,故选C . 2.D 【解析】由数列通项可知,当125n 剟,n N +∈时,0n a …,当2650n 剟, n N +∈ 时,0n a …,因为1260a a +>,2270a a +>???∴1250,,,S S S ???都是

历年数列高考题汇编精选

历年数列高考题汇编 1、(全国新课标卷理) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ?? ??的前项和. 解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ,由 2 3 26 9a a a =得 3234 9a a =所以 21 9q = .有条件可知a>0,故 13q = . 由 12231 a a +=得 12231 a a q +=,所以 113a = .故数列{a n }的通项式为a n =13n . (Ⅱ ) 111111 log log ...log n b a a a =+++ (12...)(1)2 n n n =-++++=- 故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21n n - + 2、(全国新课标卷理)设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=g (1) 求数列{}n a 的通项公式;

(2) 令n n b na =,求数列的前n 项和n S 解(Ⅰ)由已知,当n ≥1时, 111211 [()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L 21233(222)2n n --=++++L 2(1)12n +-=. 而 12, a =所以数列{ n a }的通项公式为 21 2n n a -=. (Ⅱ)由 21 2n n n b na n -==?知 3521 1222322n n S n -=?+?+?++?L ① 从而 235721 21222322n n S n +?=?+?+?++?L ② ①-②得 2352121 (12)22222n n n S n -+-?=++++-?L . 即 211 [(31)22] 9n n S n +=-+ 3.设}{n a 是公比大于1的等比数列,S n 为数列}{n a 的前n 项和.已知S 3=7,且 a 1+3,3a 2,a 3+4构成等差数列.(1)求数列}{n a 的通项公式;(2)令Λ2,1,ln 13==+n a b n n ,求数列}{n b 的前n 项和T n . . 4、(辽宁卷)已知等差数列{a n }满足a 2=0,a 6+a 8=-10

2019年高考数学真题分类汇编专题18:数列

2019年高考数学真题分类汇编 专题18:数列(综合题) 1.(2019?江苏)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”. (1)已知等比数列{a n }()* n N ∈满足:245324,440a a a a a a =-+=,求证:数列{a n }为 “M-数列”; (2)已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ,其中S n 为数列{b n }的前n 项和. ①求数列{b n }的通项公式; ②设m 为正整数,若存在“M-数列”{c n }()* n N ∈ ,对任意正整数k , 当k ≤m 时,都有1k k k c b c +≤≤成立,求m 的最大值. 【答案】 (1)解:设等比数列{a n }的公比为q , 所以a 1≠0,q ≠0. 由 ,得 ,解得 . 因此数列 为“M—数列”. (2)解:①因为 ,所以 . 由 得 ,则 . 由 ,得 , 当 时,由 ,得 , 整理得 . 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此,数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知,b k =k , . 因为数列{c n }为“M–数列”,设公比为q , 所以c 1=1,q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1 , 所以 ,其中k =1,2,3,…,m .

当k=1时,有q≥1; 当k=2,3,…,m时,有. 设f(x)= ,则. 令,得x=e.列表如下: x e(e,+∞) +0– f(x)极大值 因为,所以. 取,当k=1,2,3,4,5时,,即, 经检验知也成立. 因此所求m的最大值不小于5. 若m≥6,分别取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,从而q15≥243,且q15≤216,所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上,所求m的最大值为5. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用,等比数列的通项公式,等差关系的确定 【解析】【分析】(1)利用已知条件结合等比数列的通项公式,用“M-数列”的定义证出数列{a n}为“M-数列”。(2)①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列,并利用等差数列通项公式求出数列的通项公式。②由①知,b k=k, .因为数列{c n}为“M–数列”,设公比为q,所以c1=1,q>0,因为c k≤b k≤c k+1,所以,其中k=1,2,3,…,m ,再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性,从而求出函数的极值,进而求出函数的最值,从而求出m的最大值。

高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列 条件中,使得()*∈q a (B )6.07.0,01-<<-q a (D )7.08.0,01-<<-

A .{}n S 是等差数列 B .2{}n S 是等差数列 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若16a =,350a a +=,则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则 a 1= ,S 5= . 【答案】1 121

(完整版)历年数列高考题及答案

1. (福建卷)已知等差数列 }{n a 中,12497,1,16a a a a 则==+的值是( ) A .15 B .30 C .31 D .64 2. (湖南卷)已知数列 }{n a 满足 ) (1 33,0*11N n a a a a n n n ∈+-= =+,则 20a = ( ) A .0 B .3- C .3 D .23 3. (江苏卷)在各项都为正数的等比数列{a n }中,首项a 1=3 ,前三项和为21,则a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189 4. (全国卷II ) 如果数列{}n a 是等差数列,则( ) (A)1845a a a a +<+ (B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 5. (全国卷II ) 11如果128,,,a a a L 为各项都大于零的等差数列,公差0d ≠,则( ) (A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a = 6. (山东卷) {}n a 是首项1a =1,公差为d =3的等差数列,如果n a =2005,则序号n 等于( ) (A )667 (B )668 (C )669 (D )670 7. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个 顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2,且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39,则该塔形中正方体的个数至少是( ) (A) 4; (B) 5; (C) 6; (D) 7。 8. (湖北卷)设等比数列 }{n a 的公比为q ,前n 项和为S n ,若S n+1,S n ,S n+2成等差数列,则q 的值为 . 9. (全国卷II ) 在83和27 2之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积为______ 10. (上海)12、用n 个不同的实数 n a a a ,,,21Λ可得到!n 个不同的排列,每个排列为一行写成一个!n 行的数阵。 对第i 行in i i a a a ,,,21Λ,记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=,!,,3,2,1n i Λ=。例如:用1,2,3可得数阵 如图,由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以,2412312212621-=?-?+-=+++b b b Λ,那么,在 用1,2,3,4,5形成的数阵中, 12021b b b +++Λ=_______。 11. (天津卷)在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且 )( )1(12* +∈-+=-N n a a n n n ,

历年高考理科数列真题汇编含答案解析

高考数列选择题部分 (2016全国I )(3)已知等差数列{}n a 前9项的和为27,10=8a ,则100=a (A )100 (B )99 (C )98 (D )97 (2016上海)已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且S S n n =∞ →lim .下列条 件中,使得() * ∈q a (B )6.07.0,01-<<-q a (D )7.08.0,01-<<-

1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ,(P Q P Q ≠表示点与不重合). 若1n n n n n n n d A B S A B B +=,为△的面积,则 A .{}n S 是等差数列 B .2 {}n S 是等差数列 C .{}n d 是等差数列 D .2{}n d 是等差数列 1.【2015高考重庆,理2】在等差数列{}n a 中,若2a =4,4a =2,则6a = ( ) A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 2.【2015高考福建,理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的 零点,且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p q + 的值等于( ) A .6 B .7 C .8 D .9 3.【2015高考北京,理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是( ) A .若120a a +>,则230a a +> B .若130a a +<,则120a a +< C .若120a a <<,则2a > D .若10a <,则()()21230a a a a --> 4.【2015高考浙江,理3】已知{}n a 是等差数列,公差d 不为零,前n 项和是n S ,若3a , 4a ,8a 成等比数列,则( ) A.

2020年高考试题分类汇编(数列)

2020年高考试题分类汇编(数列) 考法1等差数列 1.(2020·全国卷Ⅱ·理科)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心由一块圆心石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一层多 9块, 已知每层的环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石) A .3699块 B .3474块 C .3402块 D .3339块 2.(2020·全国卷Ⅱ·文科)记n S 是等差数列{}n a 的前n 项的和,若12a =-,262a a +=,则10S = . 3. (2020·山东卷)将数列{21}n -与{32}n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ,则{}n a 的前n 项和为 . 4.(2020·上海卷)已知{}n a 是公差不为零的等差数列,且1109a a a +=,则12910 a a a a +++= . 5.(2020·浙江卷)已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ,公差0d ≠, 11a d ≤.记12b S =,122n n n b S S ++=-,n N *∈,下列等式不可能成立的是 A.4262a a a =+ B.4262b b b =+ C. 2428a a a =? D.2428b b b =? 6.(2020·北京卷)在等差数列{}n a 中,19a =-,31a =-.记12n n T a a a =(1,2,n =),则数列{}n T A.有最大项,有最小项 B.有最大项,无最小项 C.无最大项,有最小项 D.无最大项,无最小项

2017年高考数学试题分类汇编之数列(精校版)

2017年高考试题分类汇编之数列 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. (2017年新课标Ⅰ) 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则 {}n a 的公差为( )1.A 2.B 4.C 8.D 2.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( ) 1.A 盏 3.B 盏 5.C 盏 9.D 盏 3.(2017年新课标Ⅲ卷理) 等差数列{}n a 的首项为1,公差不为0.若632,,a a a 成等比数列,则{}n a 前6项的和为( ) 2 4.-A 3.-B 3.C 8.D 4. (2017年浙江卷) 已知等差数列}{n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0>d ”是 “5642S S S >+”的( ) .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 5.(2017年新课标Ⅰ) 几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家 学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列?,16,8,4,2,1,8,4,2,1,4,2,1,2,1,1其中第一项是0 2,接下来的两项是1 2,2,再接下来的三项是2 1 2,2,2,依此类推.求满足如下条件的最小整数 100:>N N 且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) 440.A 330.B 220.C 110.D 二、填空题(将正确的答案填在题中横线上) 6. (2017年北京卷理) 若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足8,14411==-==b a b a , 2 2 a b =_______. 7.(2017年江苏卷)等比数列的各项均为实数,其前项和为,已知, 则=_______________. {}n a n n S 36763 44 S S ==,8a

历年数列高考题(汇编)答案

历年高考《数列》真题汇编 1、(2011年新课标卷文) 已知等比数列{}n a 中,113a =,公比13q =. (I )n S 为{}n a 的前n 项和,证明:12n n a S -= (II )设31323log log log n n b a a a =+++L ,求数列{}n b 的通项公式. 解:(Ⅰ)因为.31)31(311n n n a =?=-,23113 11)311(3 1n n n S -=--= 所以,2 1n n a S -- (Ⅱ)n n a a a b 32313log log log +++=Λ ).......21(n +++-= 2)1(+-=n n 所以}{n b 的通项公式为.2 )1(+-=n n b n 2、(2011全国新课标卷理) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?????? 的前项和. 解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ,由23269a a a =得32349a a =所以219 q =。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=,所以113a = 。故数列{a n }的通项式为a n =13n 。 (Ⅱ )111111log log ...log n b a a a =+++ 故12112()(1)1 n b n n n n =-=--++ 所以数列1{ }n b 的前n 项和为21n n -+ 3、(2010新课标卷理)

2008年高考数学试题分类汇编(数列)

2008年高考数学试题分类汇编 数列 一. 选择题: 1.(全国一5)已知等差数列{}n a 满足244a a +=,3510a a +=,则它的前10项的和10S =( C ) A .138 B .135 C .95 D .23 2.(上海卷14) 若数列{a n }是首项为1,公比为a -3 2的无穷等比数列,且{a n }各项的 和为a ,则a 的值是(B ) A .1 B .2 C .12 D .5 4 3.(北京卷6)已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ,满足p q p q a a a +=+,且26a =-,那么 10a 等于( C ) A .165- B .33- C .30- D .21- 4.(四川卷7)已知等比数列()n a 中21a =,则其前3项的和3S 的取值范围是(D ) (A)(],1-∞- (B)()(),01,-∞+∞ (C)[)3,+∞ (D)(][),13,-∞-+∞ 5.(天津卷4)若等差数列{}n a 的前5项和525S =,且23a =,则7a =B (A )12 (B )13 (C )14 (D )15 6.(江西卷5)在数列{}n a 中,12a =, 11 ln(1)n n a a n +=++,则n a = A A .2ln n + B .2(1)ln n n +- C .2ln n n + D .1ln n n ++ 7.(陕西卷4)已知{}n a 是等差数列,124a a +=,7828a a +=,则该数列前10项和10S 等于( B ) A .64 B .100 C .110 D .120 8.(福建卷3)设{a n }是公比为正数的等比数列,若n 1=7,a 5=16,则数列{a n }前7项的和为C A.63 B.64 C.127 D.128

2017年高考试题分类汇编(数列)

2017年高考试题分类汇编(数列) 考点1 等差数列 1.(2017·全国卷Ⅰ理科)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=, 648S =,则{}n a 的公差为 C A .1 B .2 C .4 D .8 2.(2017·全国卷Ⅱ理科)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,410S =,则 11n k k S ==∑ . 21n n + 3.(2017·浙江)已知等差数列{}n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,则“0d >”是 “465+2S S S >”的 C A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点2等比数列 1.(2017·全国卷Ⅲ理科)设等比数列{}n a 满足121a a +=-,133a a -=-,则 4a =____.8- 2.(2017·江苏卷)等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知 374S = ,6634 S =,则8a = . 32 3.(2017·全国卷Ⅱ理科)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远 望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是: 一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍, 则塔的顶层共有灯 B A .1盏 B .3盏 C .5盏 D .9盏 考法3 等差数列与等比数列综合 1.(2017·全国卷Ⅲ理科)等差数列{}n a 的首项为1,公差不为0.若2a ,3a , 6a 成等比数列,则{}n a 前6项的和为 A A .24- B .3- C .3 D .8

2014高考数学真题分类汇编- 数列

D 单元 数列 D1 数列的概念与简单表示法 17.、、[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{a n },{b n }(b n ≠0,n ∈N *)满足a n b n +1 -a n +1b n +2b n +1b n =0. (1)令c n =a n b n ,求数列{c n }的通项公式; (2)若b n =3n - 1,求数列{a n }的前n 项和S n . 17.解:(1)因为a n b n +1-a n +1b n +2b n +1b n =0,b n ≠0(n ∈N *),所以a n +1b n +1-a n b n =2,即c n +1-c n =2, 所以数列{c n }是以c 1=1为首项,d =2为公差的等差数列,故c n =2n -1. (2)由b n =3n -1,知a n =(2n -1)3n -1,于是数列{a n }的前n 项和S n =1×30+3×31+5×32 +…+(2n -1)×3n -1,3S n =1×31+3×32+…+(2n -3)×3n -1+(2n -1)×3n ,将两式相减得 -2S n =1+2×(31+32+…+3n -1)-(2n -1)×3n =-2-(2n -2)×3n , 所以S n =(n -1)3n +1. 17.、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,a n ≠0,a n a n +1=λS n -1,其中λ为常数. (1)证明:a n +2-a n =λ. (2)是否存在λ,使得{a n }为等差数列?并说明理由. 17.解:(1)证明:由题设,a n a n +1=λS n -1,a n +1a n +2=λS n +1-1, 两式相减得a n +1(a n +2-a n )=λa n +1. 因为a n +1≠0,所以a n +2-a n =λ. (2)由题设,a 1=1,a 1a 2=λS 1-1,可得 a 2=λ-1, 由(1)知,a 3=λ+1. 若{a n }为等差数列,则2a 2=a 1+a 3,解得λ=4,故a n +2-a n =4. 由此可得{a 2n -1}是首项为1,公差为4的等差数列, a 2n -1=4n -3; {a 2n }是首项为3,公差为4的等差数列,a 2n =4n -1. 所以a n =2n -1,a n +1-a n =2. 因此存在λ=4,使得数列{a n }为等差数列. 17.、、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n +1. (1)证明???? ??a n +12是等比数列,并求{a n }的通项公式; (2)证明1a 1+1a 2+…+1a n <32 . 17.解:(1)由a n +1=3a n +1得a n +1+12=3? ???a n +12. 又a 1+12=32,所以???? ??a n +12是首项为32,公比为3的等比数列,所以a n +12=3n 2,因此数列{a n }的通项公式为a n =3n -12 . (2)证明:由(1)知1a n =23n -1 . 因为当n ≥1时,3n -1≥2×3n -1, 所以13n -1≤12×3 n -1,即1a n =23n -1≤13n -1.

历年数列高考题大全答案

历年数列高考题大全答 案 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

历年高考《数列》真题汇编 1、(2011年新课标卷文) 已知等比数列{}n a 中,113 a =,公比1 3q =. (I )n S 为{}n a 的前n 项和,证明:12n n a S -= (II )设31323log log log n n b a a a =++ +,求数列{}n b 的通项公式. 解:(Ⅰ)因为.31)3 1 (311 n n n a =?=-,23113 11)311(3 1n n n S -=--= 所以,2 1n n a S -- (Ⅱ)n n a a a b 32313log log log +++= ).......21(n +++-= 2 ) 1(+- =n n 所以}{n b 的通项公式为.2 ) 1(+- =n n b n 2、(2011全国新课标卷理) 等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== (1)求数列{}n a 的通项公式. (2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. 解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ,由23269a a a =得32349a a =所以21 9 q = 。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=,所以113a =。故数列{a n }的通项式为a n =1 3n 。 (Ⅱ?)111111log log ...log n b a a a =+++ 故 1211 2()(1)1 n b n n n n =-=--++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21 n n -+ 3、(2010新课标卷理) 设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=

全国卷数列高考题汇总附答案

数列专题 高考真题 (2014·I) 17. (本小题满分12分) 已知数列{}的前项和为,=1, , ,其中为常数. (Ⅰ)证明:; (Ⅱ)是否存在,使得{}为等差数列并说明理由. (2014·II) 17.(本小题满分12分) 已知数列 满足=1, . (Ⅰ)证明是等比数列,并求 的通项公式; (Ⅱ)证明: . (2015·I)(17)(本小题满分12分) 为数列的前项和.已知, (Ⅰ)求的通项公式: (Ⅱ)设 ,求数列 的前项和。 (2015·I I)(4)等比数列 满足 ,135a a a ++ =21,则357a a a ++= ( )

(A )21 (B )42 (C )63 (D )84 (2015·I I)(16)设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且11a =-,11n n n a S S ++=,则n S =________. (2016·I)(3)已知等差数列 前9项的和为27, ,则 (A )100 (B )99 (C )98 (D )97 (2016·I)(15)设等比数列满足 的最大值为 __________。 (2016·II)(17)(本题满分12分) S n 为等差数列的前项和,且=1 ,=28 记 ,其中表示不超过的最大整数, 如 . (I )求,, ; (II )求数列的前1 000项和. (2016·III)(12)定义“规范01数列” 如下: 共有项,其中项为0,项为1,且对任意, 中0的个数不少于1的个数.若 ,则不同的“规范01数列”共有 (A )18个 (B )16个 (C )14个 (D )12个 (2016·III)(17)(本小题满分12分) 已知数列的前项和 ,其中 (I )证明是等比数列,并求其通项公式; (II )若 ,求. (2017·I)4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为 A .1 B .2 C .4 D .8 (2017·I)12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列

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