襄阳四中2018届高二(上)理科数学强化训练(六)
2023-2024学年湖北省荆荆襄宜七校考试联盟高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖北省荆荆襄宜七校考试联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线l 经过点（﹣3，﹣2），（1，2），则下列不在直线l 上的点是（ ） A ．（﹣2，﹣1）B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（2，1）2．2013年7月18日，第31届全国青少年爱国主义读书教育活动启动，某校为了迎接此次活动，对本校高一高二年级学生进行了前期阅读时间抽查，得到日阅读时间（单位：分钟）的统计表如下：则估计两个年级学生日阅读时间的方差为（ ） A ．52B ．29.2C ．10D ．6.43．如图，在空间四边形OABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，点M 满足OM →=2MA →，点N 为BC 的中点，则MN →=（ ）A ．12a →−23b →+12c →B ．−23a →+12b →+12c →C ．12a →+12b →−12c →D ．23a →+b →−12c →4．已知直线l 1：ax +y +a ＝0与l 2：（a ﹣6）x +（a ﹣4）y ﹣4＝0，则“a ＝2”是“l 1∥l 2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知点P 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)上，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若PF 1→•PF 2→=−2，且△PF 1F 2的面积为1，则a 2的最小值为（ ） A ．2B ．2√2C ．2√3D ．46．如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D ，E ，F ，经测量知SD ：DA ＝CF ：FS ＝2：1，SE ：EB ＝3：1，这个容器最多可盛原来水的（ ）A ．34B ．49C ．56D ．797．已知点P 是直线l 1：mx ﹣ny ﹣5m +n ＝0和l 2：nx +my ﹣5m ﹣n ＝0（m ，n ∈R ，m 2+n 2≠0）的交点，点Q 是圆C ：（x +3）2+（y +5）2＝1上的动点，则|PQ |的最大值是（ ） A ．9+2√2B ．10+2√2C ．11+2√2D ．12+2√38．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），过点F 1的直线l 与双曲线C 的左支交于点A ，与双曲线C 的一条渐近线在第一象限交于点B ，且|F 1F 2|＝2|OB |（O 为坐标原点）．下列三个结论正确的是（ ）①B 的坐标为（a ，b ）；②|BF 1|﹣|BF 2|＞2a ；③若AB →=3F 1A →，则双曲线C 的离心率1+√173．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
荆、荆、襄、宜四地七校2018届高三10月联考数学文
2018届“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三10月联考 数学（文）命题学校：襄阳四中 命题人：王保清 审题人：王爱成 张 宇一、选择题：1．设集合},5{*N x x x U ∈<=,}065{2=+-=x x x M ,则=M C U （ ）A ．}3,2{B ．}5,1{C ．}4,1{D ．}4,3{ 2．下列判断错误．．的是（ ） A ．“22bm am <”是“b a <”的充分不必要条件B ．命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“01,23>--∈∃x x R x ”C ．若,p q 均为假命题,则q p ∧为假命题D ．命题“若21x =,则1x =或1x =-”的逆否命题为“若1x ≠或1x ≠-,则21x ≠” 3．已知扇形的弧长是4cm ,面积是22cm ,则扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．1或4 4．若幂函数122)12()(-+-=m x m m x f 在),0(+∞上为增函数,则实数m 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．0或2 5．若函数()()()sin 23cos 2f x x x ϕϕ=++为奇函数,则ϕ的一个值为（ ）A ．3π-B ．3π C ．6π D ．43π6．已知函数1)(+-=mx e x f x 的图像为曲线C ,若曲线C 存在与直线ex y =垂直的切线,则实数m 的取值范围是（ ）A ．)1,(e -∞B ．),1(+∞eC ．),1(e eD ．),(+∞e7．已知α、β均为锐角, 3sin 5α=, ()1tan 3βα-=,则tan β=（ ）A ． 139B ． 913C ． 3D ． 138．设函数,)1)(ln()1()(⎩⎨⎧≥+<-=x a x x a e x f x 其中1->a ．若)(x f 在R 上是增函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ．),1[+∞+eB ．),1(+∞+eC ．),1[+∞-eD ．),1(+∞-e9．在钝角．．三角形ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若ABC ∆的面积是1,2,2==a c ,则=b （ ）A ．10B ．10C ．2D ．210．函数()21xy x e =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数,0,log 0,1)(3⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=x x x x x f 若方程a x f =)(有四个不同的解4321,,,x x x x ,且4321x x x x <<<,则432111x x x x +++的取值范围是（ ）A ． ]34,0[B ． )34,0[C ． ]34,0( D ． )1,0[12．已知函数)(x f y =的定义域为),(ππ-,且函数)1(-=x f y 的图像关于直线1=x 对称,当),0(π∈x 时,x x f x f ln sin )2()('ππ+-= (其中)('x f 是)(x f 的导函数)．若0.3(8),a f =(log 3),b f π=)81(log 2f c =,则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a >> B ．c a b >> C ．a b c >> D ．b a c >> 第Ⅱ卷二、填空题: 本题共4小题,每小题5分,共20分． 13．函数xx x f )1ln()(-=的定义域为_______________．（结果用区间表示）14．已知函数)(x f 是定义在R 上的周期为2的奇函数,当10<<x 时,xx f 9)(=,则=+-)2()25(f f _____________．15．已知:p 关于x 的方程012=+-ax x 有实根；:q 关于x 的函数422++=ax x y 在),0[+∞上是增函数．若“p 或q ”是真命题,“p 且q ”是假命题,则实数a 的取值范围是_________________．16．设函数)(x f 的定义域为R ,其图像是连续不断的光滑曲线,设其导函数为)('x f ．若对R x ∈∀,有x x f x f 2)()(=--,且在),0(+∞上,恒有1)('<x f 成立．若t t f t f 22)()2(-≥--,则实数t 的取值范围是_________________．M 三、解答题: 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-,数列{}n b 满足()*n n b S n N =∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．（本题满分12分）如图,在四棱锥中ABCD P -中,底面ABCD 为菱形,60BAD ∠=o,Q 为AD 的中点． （1）若PD PA =,求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若平面PAD ⊥平面A B C D ,且2PA PD AD ===,点M 在线段PC 上,且MP CM 2=,求三棱锥QBM P -的体积．19．（本题满分12分）经市场调查：生产某产品需投入年固定成本为3万元,每生产x 万件,需另投入流动成本为()W x 万元,在年产量不足8万件时,()W x 213x x =+（万元）,在年产量不小于8万件时,100()638W x x x=+-（万元）．通过市场分析,每件产品售价为5元时,生产的商品能当年全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式； （2）当产量为多少时利润最大？并求出最大值．20．（本题满分12分）在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足cos2cos22sin sin 33C A C C ππ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求角A 的大小；（2）若a =b a ≥,求2b c -的取值范围．21．（本题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过)23,22(),22,1(-B A 两点,O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点,且与圆3:22=+y x O 相交于N M ,两点,试问直线OM 与ON 的斜率之积ON OM k k ⋅是否为定值？若是,求出该定值；若不是,说明理由． 22．（本题满分12分）已知).,0()(R b a b ax e x f x ∈>--= （1）当1==b a 时,求函数)(x f 的极值；（2）若)(x f 有两个零点,,21x x 求证:.ln 221a x x <+2018届“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三10月联考文科数学（参考答案）1.【答案】C 【解析】由集合U={x|x<5,x ∈N ∗}={1,2,3,4},M={x ∣x 2−5x+6=0}={2,3},则∁U M={1,4}.本题选择C 选项.2.【答案】D 【解析】 对于,由知,不等式两边同乘以得,,反之,若,则取时,不能得到,故是的充分不必要条件,故正确；对于,因为“”是全称命题,故其否定是特称命题,为“”,故正确；对于,若均为假命题,则为假命题,故正确；对于,若,则或的逆否命题为,若且则,D 错,故选D.3. 【答案】C 【解析】因为扇形的弧长为4,面积为2,所以扇形的半径为： ×4×r=2,解得：r=1,则扇形的圆心角的弧度数为=4．故选：C ．4.【答案】C 【解析】因为是幂函数,所以可得或,又当时在上为减函数,所以不合题意,时,在上为增函数,合题意,故选C.5.【答案】A 【解析】为奇函数,所以,本题选择A 选项.6. 【答案】B 【解析】 由题意知,方程f′(x)＝－e 1有解,即e x －m ＝－e 1有解,即e x ＝m －e 1有解,故只要m －e 1>0,即m>e 1即可,选B. 7.【答案】A 【解析】∵,∵α为锐角∴,∴,∴.故选A.8. 【答案】C 【解析】 根据指数函数、对数函数性质知,显然在(－∞,1)和[1,＋∞)上函数f(x)均为增函数,若f(x)在R 上是增函数,则只需满足ln(1＋a)≥e －a 即可．构造函数g(a)＝ln(1＋a)－e ＋a,显然在(－1,＋∞)上g(a)单调递增,且g(e －1)＝0,故由g(a)≥0,得a≥e －1,即实数a 的取值范围是[e －1,＋∞)．9. 【答案】 B 【解析】根据三角形面积公式,得21c·a·sin B ＝1,即得sin B ＝22,其中C<A.若B 为锐角,则B ＝4π,所以b ＝＝a,易知A 为直角,此时△ABC 为直角三角形,所以B 为钝角,即B ＝43π,所以b ＝.10.【答案】A 【解析】由函数的解析式可得函数为偶函数,排除B 选项,且时：,排除C选项；当时,,当时,只有一个根,函数只有一个极值点,排除D 选项,本题选择A 选项.11. 【答案】C 【解析】作出f(x)的图像可知,,且,进而.12. 【答案】D 【解析】 函数y ＝f(x)的图像可由函数y ＝f(x-1)的图像向左平移一个单位长度得到,由函数y ＝f(x-1)的图像关于直线x ＝1对称,可得函数y ＝f(x)的图像关于y 轴对称,即函数y ＝f(x)是偶函数．f′(x)＝－f′2πcos x+x π,令x ＝2π可得f′2π＝2,所以当x ∈(0,π)时,f(x)＝-2sinx+πln x,f′(x)＝-2cos x+x π.当0<x<2π时,x π>2,2cos x<2,此时f′(x)>0；当2π≤x<π时,cos x≤0,此时f′(x)>0.故x ∈(0,π)时,f′(x)>0,又f(x)的图像连续不断,即函数f(x)在(0,π)上单调递增．由于,所以c ＝f(－3)＝f(3),又0<log π3<1<80.3<80.5＝<3,所以b<a<c.13.【答案】【解析】要使函数有意义,需满足,解得,故答案为. 14. 【答案】-3【解析】 因为f(x)是周期为2的函数,所以f(x)＝f(x ＋2)．因为f(x)是奇函数,所以f(0)＝0,所以f(2)＝f(0)=0.又f 25＝f 21＝－f 21,f 21＝＝3,所以f 25＝－3,从而f 25＋f(2)＝－3.15. 【答案】(－∞,－2∪2) 【解析】 若p 为真,则Δ＝a 2－4≥0,解得a≤－2或a≥2；若q为真,则－4a≤0,解得,a≥,0.p 或q 是真命题, p 且q 是假命题,则p 和q 一真一假．当p 真q 假时,a ；当q 真p 假时,.故实数a 的取值范围是(－∞,－2∪2)．16.【答案】【解析】设则,为偶函数,又依题意,,即表明在是减函数,结合g(x)是偶函数以及其图像连续可得在上是增函数.又g(x)为偶函数,进而17.【解析】（1）∵, ∴当时,； ……(2分)当时,, ……(4分)又∵, ∴. ……(5分)（2）由已知,,∴……(10分)18.【解析】（1）,为的中点,, ……(2分)又底面为菱形,,, ……(4分)又平面,又 平面,平面平面. ……(6分)（2）平面平面,平面平面,,平面,平面,, ……(8分)又,,平面, ……(10分)又,. …(12分)19.【解析】（1）；……(6分)（2）当时,,∴当时,, ……(8分)当时,,当且仅当,即时等号成立,∴. ……(11分)综上，当总产量达到万件时利润最大,且最大利润为15万元．……(12分)20.【解析】（1）由已知得．……(2分)化简得, ……(4分) 故或．……(6分)（2）由正弦定理,得, , ……(8分) 故．…(10分)因为,所以, ,所以．(12分)21.【解析】（1）依题意,解得进而可得椭圆方程：……(4分)（2）当直线的斜率存在时,可设直线,与椭圆方程联立可得,由相切可得……(6分)又,设则……(9分)进而,将带入可得恒成立,故为定值且定值为……(11分)当直线的斜率不存在时，直线的方程为.若直线的方程为，则的坐标为此时满足若直线的方程为，则的坐标为此时也满足综上，为定值且定值为……(12分)22.【解析】（1）.当时当时进而在单调递减,在单调递增,所以有极小值无极大值.……(4分)（2）易得在单调递减,在单调递增.依题意,不妨设.……(6分)方法一：要证即证,又,所以,而在单调递减,即证,又即证.……(9分)构造函数,在单调递增,所以进而所以,即得结论.……(12分)方法二：依题意,也即可得要证即证即证,即证设,则即证…(9分)构造函数再设则在单调递减,即在单调递增,进而,进而即得结论.……(12分)。
湖北省襄阳市第四中学2023-2024学年高一上学期9月月考数学试题
ba
四、双空题
16．已知集合U 1, 2,3,L , n n N*, n 2 ，对于集合U 的两个非空子集 A, B ，若
A B ，则称 A, B 为集合U 的一组“互斥子集”.记集合U 的所有“互斥子集”的组数 为 f n（当且仅当 A B 时， A, B 与 B, A 为同一组“互斥子集”），则 f 4 ， f n .
名学生参加了兴趣班，有 17 人参加音乐班，有 20 人参加体育班，有 12 人参加美术班，
同时参加音乐班与体育班的有 6 人，同时参加音乐班与美术班的有 4 人.已知没有人同
时参加三个班，则仅参加一个兴趣班的人数为（ ）
A．19
B．20
C．21
D．22
4．集合 A {1, 2, 4}，B x x2 A ，将集合 A，B 分别用如图中的两个圆表示，则圆中
2
C．二次函数 y x2 x 6 的零点为 2,0 和 3, 0
D．“ a2 b2 ”是“ a b ”的必要不充分条件
11．已知正实数 x，y 满足 3x y xy 13 0 ，且 2t2 t 4„ 2y xy 恒成立，则 t 的取值
可能是（ ）
A． 3 2
B． 1
C．1
D． 3 2
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为
12000
500
a
1152 x
a
元
(a
0)
，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成
功，试求 a 的取值范围．
2023-2024学年湖北省部分高中联考协作体高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖北省部分高中联考协作体高二（上）期中数学试卷一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则DA →+CD →−CB →等于（ ） A ．DB →B ．AC →C ．AB →D ．BA →2．已知空间向量a →=(1，2，−3)，则向量a →在坐标平面Oxy 上的投影向量是（ ） A ．（0，2，3）B ．（0，2，﹣3）C ．（1，2，0）D ．（1，2，﹣3）3．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A ．2a →−b →，a →+b →−c →，7a →+5b →+3c →B ．2a →+b →，a →+b →+c →，7a →+5b →+3c →C ．2a →+b →，a →+b →+c →，6a →+2b →+4c →D ．2a →−b →，a →+b →−c →，6a →+4b →+2c →4．一入射光线经过点M （2，6），被直线l ：x ﹣y +3＝0反射，反射光线经过点N （﹣3，4），则反射光线所在直线方程为（ ） A ．2x ﹣y +13＝0B ．6x ﹣y +22＝0C ．x ﹣3y +15＝0D ．x ﹣6y +27＝05．已知直线l 1：（3+m ）x +4y ＝5﹣3m ，l 2：2x +（5+m ）y ＝8平行，则实数m 的值为（ ） A ．﹣7 B ．﹣1C ．﹣1或﹣7D ．1336．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一条弦所在的直线方程是x ﹣y +5＝0，弦的中点坐标是M （﹣4，1），则椭圆的离心率是（ ） A ．12B ．√22C ．√32D ．√557．已知F 是椭圆C ：x 23+y 22=1的右焦点，P 为椭圆C 上一点，A （1，2√2），则|P A |+|PF |的最大值为（ ） A ．4+√2B ．4√2C ．4+√3D ．4√38．已知空间中三个点A （1，1，0）、B （0，1，1），C （0，3，0）组成一个三角形，分别在线段AB 、AC ，BC 上取D 、E 、F 三点，当△DEF 周长最小时，直线CD 与直线BE 的交点坐标为（ ） A ．（23，2，23）B ．（49，119，49）C ．（79，2，79）D ．（59，139，59）二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
专题5.3 三角函数的图象与性质(原卷版)
专题5.3 三角函数的图象与性质题型一 三角函数的值域题型一 三角函数的值域例1．（2023春·重庆铜梁·高一铜梁中学校校考期中）求2()2cos 2sin 3R f x x x x =--+∈（）的最小值是_____例2．（2023·上海·高三专题练习）已知函数()1πsin 223f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的值域为______．练习1．（2023春·北京·高一清华附中校考期中）当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()14sin sin f x x x =+的最小值为（ ） A ．5 B ．4C ．2D ．1练习2．（2023春·江苏镇江·高三江苏省扬中高级中学校联考期中）函数π()cos (sin ),[0,]4f x x x x x =∈的最大值与最小值的和为（ ）A B C D ．3练习3．（2022·高三课时练习）函数y ＝tan(π－x )，x ∈(,)43ππ-的值域为________．练习4．（2023·全国·高三专题练习）函数()sin 2sin 1cos x xf x x=+的值域__________．练习5．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）已知()23sin 8cos2xf x x =-，若()()f x f θ≤恒成立，则sin θ=（ ）A ．35B ．35 C ．45D ．45-题型二 求三角函数的周期性，奇偶性，单调性，对称性例3．（2023春·北京·高三北京一七一中校考期中）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（ ）A ．sin2cos2y x x =+B ．sin cos y x x =+C ．πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．πcos 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭例4．（2023春·海南海口·高三海口一中校考期中）（多选）已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭则（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图像关于直线π6x =-对称 C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 的图像向左平移ϕ个单位后关于y 轴对称，则ϕ可以为5π6练习6．（2023春·全国·高三专题练习）（多选）若函数44()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．函数()f x 的一条对称轴为π4x =B ．函数()f x 的一个对称中心为π,04⎛⎫⎪⎝⎭C ．函数()f x 的最小正周期为π2D ．若函数3()8()4g x f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则()g x 的最大值为2练习7．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）（多选）函数()π2sin 2f x x =+⎛⎫ ⎪⎝⎭，则以下结论中正确．．的是（ ）A ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．直线 π6x =为()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 的最小正周期为2πD ．()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域是(练习8．（2023春·江西·高三校联考期中）（多选）已知函数π()cos 25x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的图象关于2π,05⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于直线8π5x =对称 C ．3π5f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数D ．()f x 为偶函数练习9．（2023·北京海淀·高三专题练习）函数()cos π6f x x ω=+⎛⎫ ⎪⎝⎭在[]π,π-的图象如图所示．则（1）()f x 的最小正周期为__________； （2）距离y 轴最近的对称轴方程__________．练习10．（2023·北京海淀·高三专题练习）函数()()()cos sin f x x a x b =+++，则（ ） A ．若0a b +=，则()f x 为奇函数B ．若π2a b +=，则()f x 为偶函数C ．若π2b a -=，则()f x 为偶函数 D ．若πa b -=，则()f x 为奇函数题型三 解三角不等式例5．（2023春·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）不等式tan 1x >-的解集是________．例6．（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）已知函数()π2cos 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)用五点法画出函数()f x 在2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图像，并写出()f x 的最小正周期；(2)1≤.练习11．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知函数()()lg 2cos 1f x x =-，则函数()f x 的定义域为（ ）A ．ππ2π,2π,Z 33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．ππ2π,2π,Z 33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．Z ππ,ππ2,266k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．Z ππ,ππ2,266k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦练习12．（2023春·广东深圳·高一深圳市光明区高级中学统考期中）已知函数()()2sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若()f x >x 的取值范围.练习13．（2021春·高三课时练习）解不等式1tan x ≤≤－练习14．（2023春·辽宁铁岭·高三铁岭市清河高级中学校考阶段练习）已知某地某天从6时到22时的温度变换近似地满足函数π510sin π2084y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求该地这一天该时间段内温度的最大温差；(2)若有一种细菌在15C 到25C 之间可以存活则在这段时间内，该细菌最多能存活多长时间？练习15．（2023春·江西南昌·高三校考阶段练习）函数lgsin y x =_________．题型四 由三角函数的值域（最值）求参数例7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()11sin 06f x a x x a =-≠，且()7π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则()f x =______例8．（2023春·上海青浦·高三上海市朱家角中学校考期中）设函数sin y x =定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值为______练习16．（2023春·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考期中）已知()π0,sin sin3a f x x a x ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭=a __________.练习17．（2023春·辽宁朝阳·高三朝阳市第一高级中学校考期中）已知函数()cos f x x x =-的定义域为[,]a b ，值域为[1,2]-，则b a -的取值范围是（ ） A ．π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π24π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2433ππ,⎡⎤⎢⎥⎣⎦练习18．（2023·上海·高三专题练习）若函数πsin 3y x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（常数0ω>）在区间()0,π没有最值，则ω的取值范围是__________.练习19．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）若函数()sin cos()f x x x ϕ=++的最小值为ϕ的一个取值为___________.（写出一个即可）练习20．（2023春·北京·高三北师大二附中校考期中）已知函数()ππ2sin 25f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤，则12x x -的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．πD ．2π题型五 根据单调求参数例9．（2021·高一课时练习）若不等式tan x a >在ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭- 上恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．1a > B ．1a ≤ C ．1a <- D ．1a ≤-例10．（2023·山东烟台·统考二模）已知函数()()()cos 202πf x x ϕϕ=+≤<在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ϕ的取值范围为（ ）． A ．4ππ3ϕ≤≤ B ．π4π23ϕ≤≤ C ．4π2π3ϕ≤≤ D ．4π3π32ϕ≤≤练习21．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知函数()()πcos 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()f x 在区间3π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数，则ω的取值范围是______．练习22．（2023春·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）（多选）若函数cos2y x =与函数()sin 2y x ϕ=+在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性相同，则ϕ的一个值为（ ）A ．π6B ．3π4C ．4π3-D ．4π3练习23．（2023春·四川成都·高三成都市第二十中学校校考阶段练习）已知函数 tan y x ω=在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内是减函数， 则（ ） A ．01ω<< B ．10ω-≤< C ．1ω≥ D ．1ω≤-练习24．（2023春·辽宁·高二辽宁实验中学校考阶段练习）若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，则实数ω的取值范围是______.练习25．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知1ω>，函数π()cos 3f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)当2ω=时，求()f x 的单调递增区间； (2)若()f x 在区间ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，求ω的取值范围.题型六 根据对称求参数例11．（2023春·河北石家庄·高三石家庄市第十五中学校考阶段练习）若()ππcos 232f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，则ϕ=_________.例12．（湖南省名校2023届高三考前仿真模拟（二）数学试题）函数()()()sin cos f x x x ϕϕ=++的图象的一条对称轴方程是π4x =-，则ϕ的最小正值为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2练习26．（2023·全国·高三专题练习）（多选）若函数()ππsin cos sin sin 36f x x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象关于坐标原点对称，则ϕ的可能取值为（ ） A ．π3-B ．π6-C ．π3D ．2π3练习27．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数π()sin()(0)3f x x ωω=+>，若对于任意实数x ，都有π()()3f x f x =--，则ω的最小值为（ ）A ．2B ．52C ．4D ．8练习28．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）已知函数()2s πsin co 2f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)设[0,π)θ∈，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；(2)若()f x 在区间,π3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有三条对称轴，求实数m 的取值范围．练习29．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，若()0f =π6x =为()f x 图象的一条对称轴，则ω的最小值为______．练习30．（2022·高三课时练习）已知()()3sin f x x ωϕ=+对任意x 都有()()33ππ+=-f x f x ，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭等于________．题型七 由图象确定三角函数解析式例13．（2023春·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知函数()()πcos 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．()7ππ2cos 123f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．()ππ2cos 243f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()11ππ2cos 243f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．()11ππ2cos 243f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭例14．（2022春·福建·高二统考学业考试）（多选）函数()()sin 0y A x A ωϕ=+>的一个周期内的图象如图所示，下列结论正确的有（ ）A ．函数()f x 的解析式是()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的最大值是2C ．函数()f x 的最小正周期是πD ．函数()f x 的一个对称中心是π,06⎛⎫⎪⎝⎭练习31．（2023春·四川成都·高三石室中学校考期中）如图，函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π<ϕ）的部分图象与坐标轴的三个交点分别为()1,0P -，Q ，R ，且线段RQ 的中点M 的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()2f -等于（ ）A ．1B ．－1CD ．练习32．（2023春·吉林长春·高三东北师大附中校考阶段练习）函数()()πsin (0,0,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部图象如图所示，则ω=______，ϕ=______；练习33．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）（多选）已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭ 的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图像关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图像关于直线5π12x =-对称 C ．将函数2cos2y x =的图像向右平移π12个单位长度得到函数()f x 的图像D ．若方程()f x m =在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-练习34．（湖南省部分名校联盟2023届高三5月冲刺压轴大联考数学试题）（多选）如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移y （单位：mm ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系式是()sin 0,0,0,2y A t A πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列命题正确的是（ ）A ．该简谐运动的初相为π6B ．该简谐运动的频率为12πC ．前6秒该质点的位移为12mmD ．当42π,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，位移y 随着时间t 的增大而增大练习35．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）已知函数()()tan f x A x ωϕ=+π02ϕϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭,，()y f x =的部分图象如图，则 7π24f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2+BC ．D ．题型八 描述三角函数的变换过程例15．（2022春·福建·高二统考学业考试）为了得到函数π()2cos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把曲线()cos f x x =上所有的点（ ）A ．向左平移π3个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍B ．向右平移π3个单位，再把纵坐标伸长到原来的2倍C ．向左平移π3个单位，再把纵坐标缩短到原来的12D ．向右平移π3个单位，再把纵坐标缩短到原来的12例16．（北京市2023届高三高考模拟预测考试数学试题）要得到cos 2xy =的图像，只要将sin 2xy =的图像（ ）A ．向左平移π2个单位B ．向右平移π2个单位C ．向左平移π个单位D ．向右平移π个单位练习36．（2021·高三课时练习）函数ππ()2sin(),0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示， 为了得到这个函数的图象，只要将2sin y x =的图象上所有的点 （ ）A ．向右平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B ．向右平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变练习37．（2023春·江西赣州·高三校考期中）（多选）要得到函数y x =的图象，只需将函数π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点的（ ）A ．先向左平移π8个单位长度，再横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）B ．先向左平移π4个单位长度，再横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）C ．先横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π4个单位长度D ．先横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π8个单位长度练习38．（2023春·贵州·高三校联考期中）为了得到函数πsin 28y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只要将函数πcos 24y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．向左平移5π8个单位长度 B ．向右平移5π8个单位长度 C ．向左平移5π16个单位长度 D ．向右平移5π16个单位长度练习39．（2023春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考期中）为得到函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数()cos g x x =图象上的所有点的（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π6个单位长度B ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移π12个单位长度 C ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π6个单位长度D ．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移π12个单位长度练习40．（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中（多选））已知函数()()2sin (π0,)f x x ωϕϕω><=+的部分图象如图所示，则()f x 的图象可以由函数()2sin g x x =的图象（ ）A ．先纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再向左平移11π12个单位长度得到 B ．先纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向右平移π12个单位长度得到 C ．先向右平移π12个单位长度，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12得到 D ．先向右平移π6个单位长度，再纵坐标不变，横坐标变为原来的12得到题型九 求图象变换前（后）的函数解析式例17．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）将函数cos2y x =的图象向右平移π20个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），所得图象的一条对称轴为x =（ ） A ．π80B ．π60C ．π40D ．π20例18．（2023·江苏南通·统考模拟预测）将函数()πsin 13f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象上的点横坐标变为原来的12（纵坐标变）得到函数()g x 的图象，若存在()0,πθ∈，使得()()2g x g x θ+-=对任意x ∈R 恒成立，则θ=（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6练习41．（2023·河南郑州·模拟预测）把函数()y f x =图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再把所得曲线向右平移π4个单位长度，得到函数πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，则()f x =（ ） A ．15πsin 212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭B ．πsin 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5πsin 212x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．1πsin 212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭练习42．（2023·辽宁·校联考三模）（多选）已知函数()()cos 202f x x πϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图像的一条对称轴为8x π=，先将函数()f x 的图像上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图像上所有的点向右平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的图像在以下哪些区间上单调递减（ ） A ．[],2ππ B ．[]2,ππ--C ．79,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．9,42ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦练习43．（2023春·重庆铜梁·高三铜梁中学校校考期中）（多选）将函数π3sin()3y x =+的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移π3个单位长度，得到函数()y g x =的图象，下列结论正确的是（ ） A ．函数()y g x =的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．函数()y g x =的图象最小正周期为πC ．函数()y g x =的图象在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()y g x =的图象关于直线5π12x =对称练习44．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知π3是函数()sin cos f x x a x =+的一个零点，将函数()2y f x =的图象向右平移π12个单位长度后所得图象的表达式为（ ） A ．7π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．2cos 2y x =-D ．2cos2y x =。
2024-2025学年湖北省襄阳四中八年级(上)月考数学试卷(9月份)(含答案)
2024-2025学年湖北省襄阳四中八年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是( )A. 5米B. 15米C. 10米D. 20米2.不是利用三角形稳定性的是( )A. 自行车的三角形车架B. 三角形房架C. 照相机的三脚架D. 学校的栅栏门3.如图，在△ABC中，BC边上的高为( )A. BFB. CFC. BDD. AE4.在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°−∠B，④∠A=∠B=12∠C，⑤∠A=2∠B=3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个5.如图，在△ABC中，∠A=60度，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为多少度( )A. 140B. 190C. 320D. 2406.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE.如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA′=γ，那么下列式子中正确的是( )A. γ=2α+βB. γ=α+2βC. γ=α+βD. γ=180°−α−β7.如图，BE、CF分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠A=50°，那么∠BDF的度数为( )A. 80°B. 65°C. 100°D. 115°8.正多边形的一个外角不可能是( )A. 50°B. 40°C. 30°D. 20°9.如果一个多边形的每个内角都是144°，则它的边数为( )A. 8B. 9C. 10D. 1110.如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AB=7，AC=10，△ACE的周长是25，则△ABE的周长是( )A. 18B. 22C. 28D. 3211.如图，△ACE≌△DBF，AD=8，BC=2，则AC=( )A. 2B. 8C. 5D. 312.如图，已知∠ABC=∠BAD，再添加一个条件，仍不能判定△ABC≌△BAD的是( )A. ∠ABD=∠BACB. ∠C=∠DC. AD=BCD. AC=BD二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
湖北省八校第二次联考理数试题
绝密★启用前鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中荆州中学 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中2018届高三第二次联考理科数学试题命题学校：鄂南高中 命题人：陈佳敏 审题人：吕 骥 审题学校：襄阳四中 审定人：王启冲 张 婷1．设集合{|2,}x A y y x R ==∈，{|1,}B x y x x R ==-∈，则A B =I A ．{}1 B ．(0,)+∞ C ．(0,1) D ．(0,1]2．若复数z 满足22zi z i +=-（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则1z +=A ．5B ．2C ．3D ．33．在矩形ABCD 中，4,3AB AD ==，若向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与ADP ∆的面积都不小于2的概率为A ．14 B ．13 C ．47 D ．494．已知函数()(1)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则(3)0f x -<的解集为A ．(2,4)B ．(,2)(4,)-∞+∞UC ．(1,1)-D ．(,1)(1,)-∞-+∞U 5．已知双曲线22212x y a a -=-的离心率为2，则a 的值为 A ．1 B ．2- C ．1或2- D ．-16．等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项和分别为,,A B C ，则A ．ABC += B ．2B AC = C ．3A B C B +-=D ．22()A B A B C +=+ 7．执行如图所示的程序框图，若输入0,2m n ==，输出的 1.75x =，则空白判断框内应填的条件为A ．1?m n -<B ．0.5?m n -<C ．0.2?m n -<D ．0.1?m n -<8．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移12π个单位得到函数()g x 的图象，在()g x 图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为 A ．24x π=-B ．4x π=C ．524x π=D ．12x π=9．在239(1)(1)(1)x x x ++++++L 的展开式中，含2x 项的系数是 A ．119 B ．120 C ．121 D ．72010．我国古代数学名着《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈．刍，草也；甍，屋盖也．”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．则它的体积为A ．1603B ．160C ．2563D ．6411．已知椭圆22:143x y C +=，直线:4l x =与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，点C 在直线l 上，则“BC x AC EF ln 33ln 2<ln e ππ<15215<3ln 242e <a r b r 045(1,1),1a b =-=r r 2a b +=r r ,x y 2001x y x y k x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩2z x y=+k =x y e =ln y x =21ln e xdx =⎰ABCD 2AD =4CD =ABC ∆BCD ∆{}n a n n S 10a >22n n n S a a =+()n N *∈{}n a 0()n a n N *>∈1(+2)n n n b a a ={}n b n n T ABCD BDEF FA FC=60DAB DBF ∠=∠=︒AC ⊥BDEF AD ABF a a a [)160,180[)180,200[)200,220[)220,240[)240,260[)260,280[280,300)x μX ()2,N μσ240μ～240μ～Y Y ()E Y 22:4O x y +=(2,0),(2,0)A B -D O DO 2x =2x =-,E F ,AF BE G G C （1）记,AF BE 斜率分别为12,k k ，求12k k ⋅的值并求曲线C 的方程；（2）设直线:(0)l y x m m =+≠与曲线C 有两个不同的交点,P Q ，与直线2x =交于点S ，与直线1y =-交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值．21．(12分)已知函数2()(1+)1xf x ax e =-．（1）当0a ≥时，讨论函数()f x 的单调性；（2）求函数()f x 在区间[0,1]上零点的个数．（二）选考题：共10分。
湖北省黄冈市2018-2019学年高二(上)期末数学试卷(理科)解析版
湖北省黄冈市2018-2019学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.任意抛两枚一元硬币，记事件p：恰好一枚正面朝上；q：恰好两枚正面朝上；l：恰好两枚正面朝下；m：至少一枚正面朝上；n：至多一枚正面朝上，则下列事件为对立事件的是（）A. p与qB. l与mC. q与lD. l与n2.对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为84；②众数为85；③平均数为85；④极差为12．其中，正确说法的序号是（）A. ①②B. ③④C. ②④D. ①③3.已知双曲线方程为，则其焦点到渐近线的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 64.点A，B的坐标分别是（-1，0），（1，0），直线AM与BM相交于点M，且直线AM与BM的斜率的商是λ（λ≠1），则点M的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 抛物线5.下列命题中的假命题是（）A. 对于命题，：，则￢：，B. “”是“”的充分不必要条件C. 若命题为真命题，则p，q都是真命题D. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”6.南北朝时期的数学家祖冲之，利用“割圆术”得出圆周率π的值在3.1415926与301415927之间，成为世界上第一把圆周率的值精确到7位小数的人，他的这项伟大成就比外国数学家得出这样精确数值的时间，至少要早一千年，创造了当时世界上的最高水平．我们用概率模型方法估算圆周率，向正方形及其内切圆随机投掷豆子（豆子大小忽略不计），在正方形中的1000颗豆子中，落在圆内的有782颗，则估算圆周率的值为（）A. B. C. D.7.某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为x分钟，有1200名小学生参加了此项调查，调查所得到的数据用程序框图处理（如图），若输出的结果是840，若用样本频率估计概率，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的学生的概率是（）A.B.C.D. 8.已知圆C：x2+y2-8x+15=0，直线y=kx+2上至少存在一点P，使得以P为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是（）A. B. C. D.9.2018年秋季，我省高一年级全面实行新高考政策，为了调查学生对新政策的了解情况，准备从某校高一A，B，C三个班级抽取10名学生参加调查．已知A，B，C三个班级学生人数分别为40人，30人，30人．考虑使用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按A，B，C三个班级依次统一编号为1，2，…，100；使用系统抽样，将学生统一编号为1，2，…，100，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有下列四种情况：①7，17，27，37，47，57，67，77，87，97；②3，9，15，33，43，53，65，75，85，95；③9，19，29，39，49，59，69，79，89，99，；④2，12，22，32，42，52，62，73，83，96．关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A. ①③都可能为分层抽样B. ②④都不能为分层抽样C. ①④都可能为系统抽样D. ②③都不能为系统抽样10.已知在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB=3，AD=4，AA′=5，∠BAD=120°，∠BAA′=60°，∠DAA′=90°，则AC′的长为（）A. B. C. D.11.已知双曲线-=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.12.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形底面ABCD为正方形侧面PAD⊥底面ABCD，M为平面ABCD上的动点，且满足=0，则点M到直线AB的最远距离为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设边长为2的正方形ABCD的中心为O，过O作平面ABCD垂线VO，VO=2，E为VO中点，则与夹角余弦值为______．14.为此进行了5次试验，收集数据如下：由表中数据，求得线性回归方程x+a，则估计加工70个零件时间为______分钟（精确到0.1）．15.有三张卡片编号A，B，C，卡片上分别写有数字1和2，1和3，2和3，甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是1”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上上相同的数字是1”，丙说：“我的卡片上的数字之后大于3”，则甲取走的卡片编号为______（填A，B，C）．16.给出下列命题，其中所有正确命题的序号是______．①抛物线y2=8x的准线方程为y=2；②过点M（2，4）作与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线l仅有1条；③P是抛物线y2=8x上一动点，以P为圆心作与抛物线准线相切的圆，则此圆一定过定点Q（2，0）．④抛物线y2=8x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为M（2，4）．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知命题p：=1表示椭圆，命题：q：x R，mx2+2mx+2m-1≤0．（1）若命题q为真，求实数m的取值范围；（2）若p q为真，￢p为真，求实数m的取值范围．18.（1）已知函数f（x）=ax2+4x-b，其中a，b{-2，-1，1，2}，求函数f（x）的图象恰好经过第一、二、三象限的概率；（2）某校早上8：10开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～8：00之间到校，且每人到该时间段内到校时刻是等可能的，求两人到校时刻相差10分钟以上的概率．19.如图，已知在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（1）试在棱CD上确定一点M，使平面BEM∥平面PAD，说明理由．（2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-C的余弦值．20.为了了解我市参加2018年全国高中数学联赛的学生考试结果情况，从中选取60名同学将其成绩（百分制，均为正数）分成[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、均值；（3）根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要所少分？21.已知圆O：x2+y2=4，直线l：y=kx+4．（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当|AB|=2时，求实数k的值；（2）若k=1，P是直线上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点分别为C、D，试探究：直线CD是否过定点．若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．22.已知椭圆C：=1，直线l：y=kx+1，若椭圆C上存在两个不同的点P，Q关于l对称，设PQ的中点为M．（1）证明：点M在某定直线上；（2）求△OPM面积的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：任意抛两枚一元硬币，记事件p：恰好一枚正面朝上；q：恰好两枚正面朝上；l：恰好两枚正面朝下；m：至少一枚正面朝上；n：至多一枚正面朝上，在A中，p与q不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故A错误；在B中，l与m即不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故B正确；在C中，q与l不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故C错误；在D中，l与n能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选：B．利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．本题考查对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：将各数据按从小到大排列为：78，83，83，85，90，91．可见：中位数是=84，∴①是正确的；众数是83，②是不正确的；=85，∴③是正确的．极差是91-78=13，④不正确的．故选：D．根据统计知识，将数据按从小到大排列，求出相应值，即可得出结论．本题借助茎叶图考查了统计的基本概念，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由题双曲线方程为，得：其焦点坐标为（-，0），（，0）．渐近线方程为3y±2x=0，所以焦点到其渐近线的距离d==2．故选：A．先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：设点M的坐标为（x，y），则∵点A，B的坐标分别是（-1，0），（1，0），直线AM与BM的斜率的商是λ（λ≠1），∴，，可得λx-x+1+λ=0．则点M的轨迹是直线．故选：A．设点M的坐标，利用直线AM与BM的斜率的商是λ（λ≠1），建立方程，即可求得点M的轨迹方程．本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：对于命题，，则￢p：R，x2+x＞0，故A正确；“x=3”可得“x2-3x=0”，反之，不能得到x=3，“x=3”是“x2-3x=0”的充分不必要条的充分不必要条件，故B正确；若命题p q为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，故C错误；命题“若x2-3x+2＞0，则x＞2”的逆否命题为：“若x≤2，则x2-3x+2≤0”，故D正确．故选：C．由特称命题的否定为全称命题，可判断A；由二次方程的解法和充分必要条件的定义可判断B；由p或q为真命题，可得p，q中至少有一个为真，可判断C；由原命题的逆否命题的形式，即可判断D．本题考查命题的否定和命题的逆否命题，以及充分必要条件的判断和复合命题的真假判断，考查判断能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：由几何概型中的面积型有：=，所以πR2=（2R）2×，即π=3.128，故选：C．由几何概型中的面积型可得：=，所以πR2=（2R）2×，即π=3.128，得解．本题考查了几何概型中的面积型，属简单题．7.【答案】B【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是统计1200名中学生中，平均每天做作业的时间不在0～60分钟内的学生的人数S．由输出结果为S的值为840，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的学生的人数为1200-840=360，故平均每天做作业的时间在0～60分钟内的学生的频率P==0.3．故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是统计1200名中学生中，平均每天做作业的时间不在0～60分钟内的学生的人数，进而计算得解．本题考查的知识点是程序框图和分层抽样，根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：问题等价于圆心（4，0）到直线l的距离小于等于2，∴≤2，解得-≤k≤0，故选：C．问题等价于圆心（4，0）到直线l的距离小于等于2．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．9.【答案】A【解析】解：对于①，数据7，17，27，37，47，57，67，77，87，97；间隔相同，符合系统抽样特征；对于②，数据3，9，15，33，43，53，65，75，85，95；间隔不同，不符合系统抽样特征；对于③，数据9，19，29，39，49，59，69，79，89，99；间隔相同，符合系统抽样特征；对于④，数据2，12，22，32，42，52，62，73，83，96；间隔不同，不符合系统抽样方法．综上，①③都可能为分层抽样．故选：A．根据题意，分析题目中的四组数据，间隔相同，符合系统抽样特征，否则，不符合系统抽样特征，也可能是简单随机抽样和分层抽样．本题考查了简单随机抽样、系统抽样和分层抽样方法的应用问题，是基础题．10.【答案】D【解析】解：在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB=3，AD=4，AA′=5，∠BAD=120°，∠BAA′=60°，∠DAA′=90°，可得=+=++，故||2=|++|2=+++2（++）=42+32+52+2（-4×3×+3×5×+3×5×0）=53，故AC′的长等于||=．故选：D．可得=+=++，由数量积的运算可得||2，开方可得．本题考查空间向量的模长和夹角的余弦值的运算，化向量为，，是解决问题的关键，属中档题．11.【答案】B【解析】解：由于双曲线-=1（a＞0，b＞0），则直线AB方程为：x=-c，因此，设A（-c，y0），B（-c，-y0），∴=1，解之得y0=，得|AF|=，∵双曲线的右顶点M（a，0）在以AB为直径的圆外，∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，将b2=c2-a2，并化简整理，得2a2+ac-c2＞0两边都除以a2，整理得e2-e-2＜0，∵e＞1，∴解之得1＜e＜2．故选：B．由右顶点M在以AB为直径的圆的外，得|MF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2-e-2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．本题给出以双曲线通径为直径的圆，当左焦点在此圆内时求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：如图，在正三角形PAD中取AD中点E，连接PE，CE，则PE⊥AD∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥EC，取PC中点O，EC中点O′，连接OO′，则OO′∥PE，∴OO′⊥平面ABCD，由得MP⊥MC，可知M可与E重合，且点M在以PC为直径的球面上，又M为平面ABCD上的点，故M在以O′为圆心，以O′E为半径的圆上，过O′作FH∥AD，通过计算不难得出，O′F=3，故圆O′上的点M到直线AB的最远距离为3，故选：B．取AD中点E，易证PE⊥平面ABCD，利用数量积为0，可得MP⊥MC，即点M在以PC为直径的球面被平面ABCD截得的球小圆上，问题转会化为求圆上点到直线的距离最值问题，求解就容易了．此题考查了线面垂直，面面垂直，圆上的点到直线的距离最值问题等，难度适中．13.【答案】【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则B（1，1，0）C（-1，1，0，）V（0，0，2）E（0，0，1），则=（（-1，-1，2），=（1，-1，1），则与夹角余弦值为==，故答案为：先建立空间直角坐标系，再进行空间向量的坐标运算，结合数量积表示两个向量的夹角公式可得：与夹角余弦值为==，得解．本题考查了空间向量的坐标运算及数量积表示两个向量的夹角，属简单题．14.【答案】101.7【解析】解：==31，==76，∴76=0.66×31+，解得=55.54，∴=0.66x+55.54，∴x=70时，y=101.7，故答案为：101.7．先求出样本中心点，再根据回归直线过样本中心点得，从而得回归直线方程，再令x=70代入计算可得．本题考查了线性回归方程，属中档题．15.【答案】C【解析】解：①当甲取走的卡片编号为A，由甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是1”，则乙取走的卡片编号为C，则与乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上上相同的数字是1”矛盾，即甲取走的卡片编号不是A，②当甲取走的卡片编号为B，由甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是1”，则乙取走的卡片编号为C，则与乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上上相同的数字是1”矛盾，即甲取走的卡片编号不是B，③当甲取走的卡片编号为C，由丙说：“我的卡片上的数字之后大于3”，则丙取走的卡片编号为B，则乙取走的卡片编号为A，满足题意，即甲取走的卡片编号为C，综合①②③得：甲取走的卡片编号为C，故答案为：C．先阅读题意，再逐一进行简单的合情推理，得解．本题考查了阅读理解能力及进行简单的合情推理，属简单题．16.【答案】③④【解析】解：①抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，故①错误；②由M在抛物线y2=8x上，过点M（2，4）作与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线t有2条，1条为切线，另一条为过M平行于对称轴的直线，故②错误；③抛物线y2=8x的焦点为（2，0），准线方程为x=-2，P是抛物线y2=8x上一动点，以P为圆心作与抛物线准线相切的圆，可得P到准线距离为圆的半径，由抛物线的定义可得P到焦点的距离为P到准线的距离，则这个圆一定经过一个定点Q（2，0），故③正确；设此点M （，a），M到x-y+3=0距离d==，当a=4时，d取得最小值，可得M（2，4），故④正确．故答案为：③④．由抛物线的准线方程，可判断①；考虑M在抛物线上，可得所求直线可为切线或过M平行于对称轴的直线，可判断②；由抛物线的定义和直线与圆相切的条件，可判断③；由点到直线的距离公式和二次函数的最值求法，即可判断④．本题考查抛物线的定义、方程和性质，同时考查直线和圆的位置关系，主要是相切，考查方程思想和数形结合思想，属于基础题．17.【答案】解：（1）若：x R，mx2+2mx+2m-1≤0为真命题，则当m=0时，不等式等价为-1≤0为真命题，当m＞0时，要使mx2+2mx+2m-1≤0为真命题，则判别式△=4m2-4m（2m-1）≥0，即4m（1-m）≥0，得0＜m≤1，当m＜0时，不等式恒成立，综上m≤1，即q：m≤1．（2）若=1表示椭圆，则＞＞，得＞＜，得-6＜m＜7且m≠，即p：-6＜m＜7且m≠，若￢p为真，则p为假，同时p q为真，则q为真命题，则或或，得m=或m≤-6，即实数m的取值范围是m=或m≤-6．【解析】（1）根据特称命题为真命题，结合一元二次函数的性质进行求解即可（2）根据复合命题真假关系得到p为假，q为真，然后求出命题p，q为真命题的等价条件进行求解即可本题主要考查复合命题真假关系的应用，结合条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．18.【答案】解：（1）若函数f （x ）的图象恰好经过第一、二、三象限，则满足 ＞ △ ＞ ＞＜ ，即＞ ＞＜＞ ，即 ＞ ＜ ＞ ， 当a =1时，b =-1，或b =-2满足条件．当a =2时，b =-1，满足条件．即函数图象过第一、二、三象限的a ，b 有3种组合， ∵a ，b {-2，-1，1，2}，∴a ，b 的组合有4×4=16种组合，对应的概率P =（2）设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x 分钟，第y 分钟，则满足30≤x ≤60，30≤y ≤60 由题意可画出图形，则总事件所占的面积为（60-30）2=900． 两人到校时刻相差10分钟，则满足A ={（x ，y ）|y -x ≥10或x -y ≥10，30≤x ≤60，30≤y ≤60}， 作出对应的区域如图：由得，即F （30，40）， 由，得，即E （50，60）， 则三角形DEF 的面积S =×20×20=200， 则阴影部分的面积和S =200+200=400， 则两人到校时刻相差10分钟以上的概率P = =【解析】（1）先求出函数f （x ）的图象恰好经过第一、二、三象限的等价条件，利用列举法结合古典概型的概率公式进行求解即可（2）设出小张与小王的到校时间分别为7：00后第x 分钟，第y 分钟，建立不等式组关系，求出对应区域的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可本题主要考查古典概型和几何概型的概率的计算，利用列举法以及作出区域面积，利用面积法是解决本题的关键．19.【答案】解：（1）取CD 中点，则CD 中点取为所求的点M ，理由如下：∵E ，M 分别为PC ，CD 的中点，∴EM ∥PD ， 又∵PD ⊂面PAD ，EM ⊄面PAD ，∴EM ∥面PAD ， 同理可证，BM ∥面PAD ，又EM ∩BM =M ，∴平面BEM ∥平面PAD ．（2）由题意知AB ，AD ，AP 两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则 =（1，2，0）， =（-2，-2，2），=（2，2，0）， =（1，0，0），由点F 在棱PC 上，设 =，0≤λ≤1， ∴ = = =（1-2λ，2-2λ，2λ）， ∵ ⊥ ，∴ =2（1-2λ）+2（2-2λ）=0， 解得λ=，即 =（-，，）， 设=（x ，y ，z ）为平面FAB 的法向量， ∴，取z =1，得 =（0，-3，1）， 平面ABC 的一个法向量=（0，0，1）， 则cos ＜ ， ＞===， ∴二面角F -AB -C 的余弦值为．【解析】（1）取CD 中点M ，得EM ∥PD ，从而EM ∥面PAD ，同理可证，BM ∥面PAD ，由此推导出在棱CD 上存在中点M ，使平面BEM ∥平面PAD ．（2）由题意知AB ，AD ，AP 两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F-AB-C 的余弦值．本题考查满足面面平行的点的位置的确定，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 20.【答案】解：（1）分数在[70，80）内的频率为：1-（0.010+0.015+0.020+0.025+0.05）=0.25．补全这个频率分布直方图如下图：（2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数为：=80，均值为：45×0.01×10+55×0.015×10+65×0.020×10+75×0.025×10+85×0.025×10+95×0.005×10=70.5．（3）根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，[90，100）的频率为0.005×10=0.05，[80，90）的频率为0.025×10=0.25，∴估计获奖的同学至少需要的分数为：90-×10=88（分）．【解析】（1）先求出分数在[70，80）内的频率，由此能求出结果．（2）根据频率分布直方图，能估计本次考试成绩的众数和平均数．（3）根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，[90，100）的频率为0.05，[80，90）的频率为0.25，由此能估计获奖的同学至少需要的分数．本题考查样本频数众数、均值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．21.【答案】解：（1）∵|AB|=2，设O到AB的距离为d，则，∴点O到l的距离d=，即，解得k=；（2）由题意可知，O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，t+4），则此圆的方程为x（x-t）+y（y-t-4）=0，即x2-tx+y2-（t+4）y=0．又C，D在圆O：x2+y2=4上，两圆方程相减得：l CD：tx+（t+4）y=4．即（x+y）t+（4y-4）=0．由，解得．故直线CD过定点：（-1，4）．【解析】（1）由已知结合垂径定理求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k；（2）由题意可知，O，P，C，D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设P（t，t+4），写出以OP为直径的圆的方程，与已知圆的方程作差求得CD所在直线方程，再由直线系方程求得直线CD所过定点．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．22.【答案】证明：（1）当k=0时，显然不符合题意，舍去；当k≠0时，设直线PQ方程为y=-x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0），由相减，整理得，•=-．即-•=-，∴kx0=2y0，又M l，∴y0=kx0+1∴y0=2y0+1，即y0=-1．∴M（-，-1）故点M在定直线y=-1上．解：（2）由（1）得点M（-，-1），由题意知，点M必在椭圆内部，∴，+＜1，解得k＜-或k＞，令-=t，则t（-，0）∪（0，），则PQ的方程为y=tx+m，代入到=1整理可得（1+2t2）x2+4tmx+2m2-4=0，∴x1+x2=-，x1x2=，∴x0==-=-=2t，由于t≠0，∴-m=1+2t2，∴|PQ|=•=•=•=•，点O到直线PQ的距离为d==，∴S△OPM=•|PQ|•d=×ו•=•，∵t（-，0）∪（0，），∴t4（0，），∴S△OPM（0，）．【解析】（1）当k=0时，显然不符合题意，舍；当k≠0时，设直线PQ方程为y=-x+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x0，y0），利用平方差法，转化求解即可．（2）先求出k的取值范围，令-=t ，则PQ的方程为y=tx+m，代入到=1整理可得（1+2t2）x2+4tmx+2m2-4=0，根据韦达定理和点到直线的距离，即可求出表示出面积，根据t的范围，即可求出三角形的面积的取值范围本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．。
2023-2024学年湖北省部分省级示范高中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖北省部分省级示范高中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知点A （2，0），B （0，4），若过P （﹣6，﹣8）的直线l 与线段AB 相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k ≤1B ．k ≥2C ．k ≥2或k ≤1D ．1≤k ≤22．圆 C 1：（x +2）2+（y ﹣2）2＝4和圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2＝16的位置关系是（ ） A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切3．若圆C 经过点A （2，5），B （4，3），且圆心在直线l ：3x ﹣y ﹣3＝0 上，则圆C 的方程为（ ） A ．（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4 B ．（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝8 C ．（x ﹣3）2+（y ﹣6）2＝2D ．（x ﹣3）2+（y ﹣6）2＝104．已知直线ax +3y +2a ＝0和2x +（a +1）y ﹣2＝0平行，则实数a 的值等于（ ） A ．a ＝2或a ＝﹣3B ．a ＝2C ．a ＝﹣3D ．a ＝﹣2或a ＝35．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1，B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则向量BM →=（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →6．若椭圆x 29+y 24=1的弦AB 被点P （1，1）平分，则AB 所在直线的方程为（ ）A ．4x +9y ﹣13＝0B ．9x +4y ﹣13＝0C ．x +2y ﹣3＝0D ．x +3y ﹣4＝07．若直线l ：kx ﹣y ﹣2＝0与曲线C ：√1−(y −1)2=x ﹣1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ＞43B ．43＜k ≤2C ．43＜k ≤2或−2≤k ＜−43D ．43＜k ≤48．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆．半椭圆y 2a 2+x 2b 2=1（y ≥0，a ＞b ＞0且为常数）和半圆x 2+y 2＝b 2（y ＜0）组成的曲线C 如图2所示，曲线C 交x 轴的负半轴于点A ，交y 轴的正半轴于点G ，点M 是半圆上任意一点，当点M 的坐标为(√22，−12)时，△AGM 的面积最大，则半椭圆的方程是（ ）A ．4x 23+y 22=1(y ≥0)B ．16x 29+y 23=1(y ≥0)C ．2x 23+4y 23=1(y ≥0)D ．4x 23+2y 23=1(y ≥0)二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有2个或2个以上选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．下面结论正确的是（ ）A ．若事件A 与B 是互斥事件，则A 与B 也是互斥事件 B ．若事件A 与B 是相互独立事件，则A 与B 也是相互独立事件C ．若P （A ）＝0.6，P （B ）＝0.2，A 与B 相互独立，那么P （A +B ）＝0.8D ．若P （A ）＝0.8，P （B ）＝0.7，A 与B 相互独立，那么P(AB)=0.2410．已知直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为（2，1），则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 恒过点（0，1）B ．D ＝﹣4，E ＝﹣2C ．直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√2D ．当k ＝1时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称 11．设椭圆x 29+y 23=1的右焦点为F ，直线y =m(0＜m ＜√3)与椭圆交于A ，B 两点，则（ ） A ．|AF |+|BF |＝6B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12]C ．当m ＝1时，△ABF 的面积为√6D ．当m =√32时，△ABF 为直角三角形12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 为平面ABCD 内一动点，则下列说法正确的是（ ） A ．若点P 在棱AD 上运动，则A 1P +PC 的最小值为2+2√2B ．若点P 是棱AD 的中点，则平面PBC 1截正方体所得截面的周长为2√5+3√2C ．若点P 满足PD 1⊥DC 1，则动点P 的轨迹是一条直线 D ．若点P 在直线AC 上运动，则P 到棱BC 1的最小距离为2√33三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡上相应位置的横线上.） 13．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2+y 2＝16内的概率是 ．14．已知两点A （﹣3，﹣4），B （6，3）到直线l ：ax +y +1＝0的距离相等，则实数a 的值等于 ． 15．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若动点P 满足|PA||PB|=12，设点P 的轨迹为C ，过点（1，2）作直线l ，C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，则满足条件的一条直线l 的方程为 ． 16．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆的下顶点，直线AF 2交椭圆于另一点P ，若|PF 1|＝|P A |，则椭圆的离心率为 ．四、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余各小题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）甲、乙两名魔方爱好者在30秒内复原魔方的概率分别是0.8和0.6．如果在30秒内将魔方复原称为“复原成功”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求：（1）甲复原三次，第三次才成功的概率；（2）甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功的概率． 18．（12分）已知△ABC 中，A （﹣2，1），B （4，3）．（1）若C （3，﹣2），求BC 边上的高AD 所在直线的一般式方程； （2）若点M （3，1）为边AC 的中点，求BC 边所在直线的一般式方程．19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝AA 1＝2，点E 在AB 上，且AE ＝1． （1）求直线A 1E 与BC 1所成角的余弦值； （2）求点B 到平面A 1EC 的距离．20．（12分）已知点A （1，2），圆C ：x 2+y 2+2mx +2y +2＝0． （1）若过点A 可以作两条圆的切线，求m 的取值范围；（2）当m ＝﹣2时，过直线2x ﹣y +3＝0上一点P 作圆的两条切线PM 、PN ，求四边形PMCN 面积的最小值．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F(√3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点A （1，0）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ．若点B （0，1）在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．22．（12分）如图1，已知ABFE 是直角梯形，EF ∥AB ，∠ABF ＝90°，∠BAE ＝60°，C 、D 分别为BF 、AE 的中点，AB ＝5，EF ＝1，将直角梯形ABFE 沿CD 翻折，使得二面角F ﹣DC ﹣B 的大小为60°，如图2所示，设N 为BC 的中点．（1）证明：FN ⊥AD ；（2）若M 为AE 上一点，且AMAE =λ，则当λ为何值时，直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值为5√714．2023-2024学年湖北省部分省级示范高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知点A （2，0），B （0，4），若过P （﹣6，﹣8）的直线l 与线段AB 相交，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k ≤1B ．k ≥2C ．k ≥2或k ≤1D ．1≤k ≤2解：过P （﹣6，﹣8）的直线l 与线段AB 相交，如图所示：可得k AP ≤k ≤k PB ， 即0−(−8)2−(−6)≤k ≤4−(−8)0−(−6)，即k ∈[1，2]．故选：D ．2．圆 C 1：（x +2）2+（y ﹣2）2＝4和圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2＝16的位置关系是（ ） A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切解：两个圆的圆心分别为 C 1（﹣2，2）、C 2：（2，5），半径分别为2、4，两圆的圆心距 C 1C 2=√(2+2)2+(5−2)2=5，大于半径之差而小于半径之和，故两个圆相交， 故选：B ．3．若圆C 经过点A （2，5），B （4，3），且圆心在直线l ：3x ﹣y ﹣3＝0 上，则圆C 的方程为（ ） A ．（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4 B ．（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝8 C ．（x ﹣3）2+（y ﹣6）2＝2D ．（x ﹣3）2+（y ﹣6）2＝10解：圆C 经过点A （2，5），B （4，3），可得线段AB 的中点为（3，4），又 k AB =5−32−4=−1，所以线段AB 的中垂线的方程为y ﹣4＝x ﹣3，即x ﹣y +1＝0． 由{x −y +1=03x −y −3=0，解得{x =2y =3，即C （2，3），圆C 的半径 r =√(2−2)2+(5−3)2=2， 所以圆C 的方程为 （x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4． 故选：A ．4．已知直线ax +3y +2a ＝0和2x +（a +1）y ﹣2＝0平行，则实数a 的值等于（ ） A ．a ＝2或a ＝﹣3B ．a ＝2C ．a ＝﹣3D ．a ＝﹣2或a ＝3解：由直线ax +3y +2a ＝0和2x +（a +1）y ﹣2＝0平行， 可得{a(a +1)=2×33×(−2)≠2a(a +1)，解得a ＝2或a ＝﹣3．故选：A ．5．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1，B 1D 1的交点．若AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，则向量BM →=（ ）A ．−12a →+12b →+c →B ．12a →+12b →+c →C ．−12a →−12b →+c →D ．12a →−12b →+c →解：∵在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1，B 1D 1的交点． AB →=a →，AD →=b →，AA 1→=c →，∴向量BM →=BB 1→+12B 1D 1→=BB 1→+12(BA →+AD →) =−12a →+12b →+c →．故选：A ． 6．若椭圆x 29+y 24=1的弦AB 被点P （1，1）平分，则AB 所在直线的方程为（ ）A ．4x +9y ﹣13＝0B ．9x +4y ﹣13＝0C ．x +2y ﹣3＝0D ．x +3y ﹣4＝0解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则{x 129+y 124=1x 229+y 224=1，所以x 12−x 229+y 12−y 224=0，整理得y 1−y 2x 1−x 2=−4(x 1+x 2)9(y 1+y 2)，因为P （1，1）为弦AB 的中点，所以x 1+x 2＝2，y 1+y 2＝2， 所以k AB =y 1−y2x 1−x 2=−4(x 1+x 2)9(y 1+y 2)=−49，所以弦AB 所在直线的方程为y −1=−49(x −1)，即4x +9y ﹣13＝0． 故选：A ．7．若直线l ：kx ﹣y ﹣2＝0与曲线C ：√1−(y −1)2=x ﹣1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ＞43B ．43＜k ≤2C ．43＜k ≤2或−2≤k ＜−43D ．43＜k ≤4解：直线l ：kx ﹣y ﹣2＝0恒过定点（0，﹣2），∵√1−(y −1)2=x −1，得到（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1（x ≥1），∴曲线C 表示以点（1，1）为圆心，半径为1，且位于直线x ＝1右侧的半圆（包括点（1，2），（1，0）），如下图所示：当直线l 经过点（1，0）时，l 与曲线C 有两个不同的交点，此时k ＝2； 当l 与半圆相切时，则由题可得√k 2+1=1，解得k =43，由图可知，当43＜k ≤2时，l 与曲线C 有两个不同的交点． 故选：D ．8．吹奏乐器“埙”（如图1）在古代通常是用陶土烧制的，一种埙的外轮廓的上部是半椭圆，下部是半圆．半椭圆y 2a 2+x 2b 2=1（y ≥0，a ＞b ＞0且为常数）和半圆x 2+y 2＝b 2（y ＜0）组成的曲线C 如图2所示，曲线C 交x 轴的负半轴于点A ，交y 轴的正半轴于点G ，点M 是半圆上任意一点，当点M 的坐标为(√22，−12)时，△AGM 的面积最大，则半椭圆的方程是（ ）A ．4x 23+y 22=1(y ≥0)B ．16x 29+y 23=1(y ≥0)C ．2x 23+4y 23=1(y ≥0)D ．4x 23+2y 23=1(y ≥0)解：由点M(√22，−12)在半圆上，所以b =√32，G （0，a ），A （﹣b ，0）， 要使△AGM 的面积最大，可平行移动AG ，当AG 与半圆相切于M(√22，−12)时，M 到直线AG 的距离最大， 此时OM ⊥AG ，即k OM •k AG ＝﹣1； 又k OM =−12√22=−√22，k AG =a b ，∴−√22⋅a b =−1，∴a =√2b =√62，所以半椭圆的方程为4x 23+2y 23=1(y ≥0)．故选：D ．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有2个或2个以上选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．下面结论正确的是（ ）A ．若事件A 与B 是互斥事件，则A 与B 也是互斥事件 B ．若事件A 与B 是相互独立事件，则A 与B 也是相互独立事件C ．若P （A ）＝0.6，P （B ）＝0.2，A 与B 相互独立，那么P （A +B ）＝0.8D ．若P （A ）＝0.8，P （B ）＝0.7，A 与B 相互独立，那么P(AB)=0.24解：A 中，由互斥事件的定义可知，事件A 、B 互斥，则A 与B 也是互斥事件不成立， 比如事件A 、B 是对立事件，则A 与B 是同一事件，显然不互斥，故A 错误； B 中，若A 与B 相互独立，则A 与B ，B 与A ，A 与B 都是相互独立事件，故B 正确；C 中，如果A 与B 相互独立，则P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）﹣P （AB ）＝0.8﹣0.12＝0.68，故C 错误；D 中，如果A 与B 相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)=P(A)(1−P(B))=0.8×(1−0.7)=0.24，故D 正确． 故选：BD ．10．已知直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为（2，1），则下列说法正确的是（ ） A ．直线l 恒过点（0，1） B ．D ＝﹣4，E ＝﹣2C ．直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√2D ．当k ＝1时，圆M 上存在无数对点关于直线l 对称解：对于A ，直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0⇒k （x ﹣1）﹣y ＝0，恒过点（1，0），所以A 不正确；对于B ，圆M ：x 2+y 2+Dx +Ey +1＝0的圆心坐标为(−D2，−E2)，所以D ＝﹣4，E ＝﹣2，所以B 正确； 对于C ，圆M ：x 2+y 2﹣4x ﹣2y +1＝0⇒（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝4的圆心坐标为（2，1），圆的半径为2． 直线l ：kx ﹣y ﹣k ＝0，恒过点（1，0），圆的圆心到定点的距离为：√12+12=√2＜2，直线与圆相交， 直线l 被圆M 截得的最短弦长为2√4−2=2√2，所以C 正确；对于D ，当k ＝1时，直线方程为：x ﹣y ﹣1＝0，经过圆的圆心，所以圆M 上存在无数对点关于直线l 对称，所以D 正确． 故选：BCD ． 11．设椭圆x 29+y 23=1的右焦点为F ，直线y =m(0＜m ＜√3)与椭圆交于A ，B 两点，则（ ） A ．|AF |+|BF |＝6B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12]C ．当m ＝1时，△ABF 的面积为√6D ．当m =√32时，△ABF 为直角三角形解：∵椭圆方程为x 29+y 23=1，∴a ＝3，b =√3，c =√6，设椭圆的左焦点为F '，则|AF '|＝|BF |，∴|AF |+|BF |＝|AF |+|AF '|＝2a ＝6，∴A 选项正确； ∵△ABF 的周长为|AB |+|AF |+|BF |，又|AF |+|BF |＝6，易知|AB |的范围是（0，6）， ∴△ABF 的周长的范围是（6，12），∴B 选项错误；将y ＝1与椭圆方程联立，解得A(−√6，1)，B(√6，1)，∴S △ABF =12×2√6×1=√6，∴C 选项正确；将y =√32与椭圆方程联立，可解得A(−3√32，√32)，B(3√32，√32)，又易知F(√6，0)， ∴AF →⋅BF →=(√6+3√32)(√6−3√32)+(√32)2=0，∴△ABF 为直角三角形，∴D 选项正确． 故选：ACD ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 为平面ABCD 内一动点，则下列说法正确的是（ ） A ．若点P 在棱AD 上运动，则A 1P +PC 的最小值为2+2√2B ．若点P 是棱AD 的中点，则平面PBC 1截正方体所得截面的周长为2√5+3√2C ．若点P 满足PD 1⊥DC 1，则动点P 的轨迹是一条直线D ．若点P 在直线AC 上运动，则P 到棱BC 1的最小距离为2√33解：对于A ：如图将平面ABCD 展开与平面ADD 1A 1处于一个平面，连接A 1C 与AD 交于点P ， 此时A 1P +PC 取得最小值，即(A 1P +PC)min =√22+42=2√5，故A 错误；对于B ：如图取DD 1的中点E ，连接BP 、PE 、C 1E 、AD 1， 因为点P 是棱AD 的中点，所以PE ∥AD 1且PE =12AD 1，又AB ∥C 1D 1且AB ＝C 1D 1，所以四边形ABC 1D 1为平行四边形，所以AD 1∥BC 1， 所以PE ∥BC 1，所以四边形EPBC 1即为平面PBC 1截正方体所得截面， 又BC 1=2√2，PE =12AD 1=√2，BP =EC 1=√12+22=√5， 所以截面周长为3√2+2√5，故B 正确；对于C ：如图，DC 1⊥D 1C ，BC ⊥平面DCC 1D 1，DC 1⊂平面DCC 1D 1， 所以DC 1⊥BC ，又D 1C ∩BC ＝C ，D 1C ，BC ⊂平面BCD 1A 1， 所以DC 1⊥平面BCD 1A 1，因为平面ABCD ∩平面BCD 1A 1＝BC ， D 1∈平面BCD 1A 1，P ∈平面ABCD ，又PD 1⊥DC 1，所以P 在直线BC 上，即动点P 的轨迹是一条直线，故C 正确；对于D ：如图建立空间直角坐标系，则B （2，2，0），C 1（0，2，2），设P （a ，2﹣a ，0）（a ∈[0，2]）， 所以BC 1→=(−2，0，2)，BP →=(a −2，−a ，0)， 所以P 到棱BC 1的距离d =√|BP →|2−(BC 1→⋅BP →|BC 1→|)2=√32a 2−2a +2=√32(a −23)2+43，所以当a =23时d min =√43=2√33，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡上相应位置的横线上.） 13．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2+y 2＝16内的概率是29．解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，共有6×6＝36种结果， 而满足条件的事件是点P 落在圆x 2+y 2＝16内，列举出落在圆内的情况：（1，1）（1，2）（1，3） （2，1）（2，2）（2，3）（3，1）（3，2），共有8种结果， 根据古典概型概率公式得到P =836=29， 故答案为：2914．已知两点A （﹣3，﹣4），B （6，3）到直线l ：ax +y +1＝0的距离相等，则实数a 的值等于 −79或−13． 解：∵两点A （﹣3，﹣4），B （6，3）到直线l ：ax +y +1＝0的距离相等， ∴√a 2+1=√a 2+1，化为|3a +3|＝|6a +4|．∴6a +4＝±（3a +3），解得a =−79或−13． 故答案为：a =−79或−13．15．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若动点P 满足|PA||PB|=12，设点P 的轨迹为C ，过点（1，2）作直线l ，C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，则满足条件的一条直线l 的方程为 x ＝1或3x ﹣4y +5＝0（写出一条即可） ． 解：因为A （1，0），B （4，0），点P 满足|PA||PB|=12，设P （x ，y ），则2222=12，化简得x 2+y 2＝4，因为圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为1，所以圆心到直线的距离为1． 若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为x ＝1；若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ﹣2＝k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k +2＝0， d =|−k+2|√k +1=1，解得k =34，直线l 的方程为：3x ﹣4y +5＝0．故答案为：x ＝1或3x ﹣4y +5＝0（写出一条即可）．16．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆的下顶点，直线AF 2交椭圆于另一点P ，若|PF 1|＝|P A |，则椭圆的离心率为 √33解：如图所示，∵点P 在椭圆上，∴|PF 1|+|PF 2|＝2a ， ∵点A 是椭圆的下顶点，∴|AF 1|＝|AF 2|＝a ，又∵|PF 1|＝|P A |＝|PF 2|+|AF 2|＝|PF 2|+a ＝2a ﹣|PF 1|+a ＝3a ﹣|PF 1|， ∴|PF 1|=3a 2，|PF 2|=12a ， 在△PF 1A 中，|PF 1|=3a 2，|P A |=3a2，|AF 1|＝a ， 由余弦定理可得：cos ∠F 1AP =|AF 1|2+|PA|2−|PF 1|22|AF 1||AP|=13，∴sin 2∠F 1AO =1−cos∠F 1AP 2=13， ∴sin ∠F 1AO =√33，又∵sin ∠F 1AO =ca ， ∴离心率e =ca =√33， 故答案为：√33．四、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余各小题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（10分）甲、乙两名魔方爱好者在30秒内复原魔方的概率分别是0.8和0.6．如果在30秒内将魔方复原称为“复原成功”，且每次复原成功与否相互之间没有影响，求：（1）甲复原三次，第三次才成功的概率；（2）甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功的概率．解：记“甲第i 次复原成功”为事件A i ，“乙第i 次复原成功”为事件B i ， 依题意，P （A i ）＝0.8，P （B i ）＝0.6．（1）“甲第三次才成功”为事件A 1A 2A 3，且三次复原过程相互独立， 所以，P(A 1A 2A 3)=P(A 1)P(A 2)P(A 3)=0.2×0.2×0.8=0.032． （2）“甲、乙两人在第一次复原中至少有一人成功”为事件C ． 所以P(C)=1−P(A 1⋅B 1)=1−P(A 1)⋅P(B 1)=1−0.2×0.4=0.92． 18．（12分）已知△ABC 中，A （﹣2，1），B （4，3）．（1）若C （3，﹣2），求BC 边上的高AD 所在直线的一般式方程； （2）若点M （3，1）为边AC 的中点，求BC 边所在直线的一般式方程．解：（1）因为B （4，3），C （3，﹣2）， 所以k BC =−2−33−4=5， 因为AD 是BC 边上的高， 所以k AD ⋅k BC =−1⇒k AD =−15，所以高AD 所在直线的方程为y −1=−15(x +2)⇒x +5y −3=0； （2）因为点M （3，1）为边AC 的中点，所以{3=−2+C x21=1+C y 2⇒C(8，1)，因此BC 边所在直线的方程为y−33−1=x−44−8⇒x +2y −10=0．19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝AA 1＝2，点E 在AB 上，且AE ＝1． （1）求直线A 1E 与BC 1所成角的余弦值； （2）求点B 到平面A 1EC 的距离．解：（1）由题意，建立如图所示空间直角坐标系，A 1(2，0，2)，E(2，1，0)，A 1E →=(0，1，−2)，B(2，3，0)，C 1(0，3，2)，BC 1→=(−2，0，2)， 设直线A 1E 与直线BC 1所成角为α，则cosα=|A 1E →⋅BC 1→|A 1E →|⋅|BC 1→||=5×22=√105．（2）由题意C(0，3，0)，EC →=(−2，2，0)， 设平面A 1EC 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅A 1E →=y −2z =0n →⋅EC →=−2x +2y =0，取n →=(2，2，1)，又BE →=(0，−2，0)，所以B 到平面A 1EC 的距离为|n →⋅BE →|n →||=|−43|=43．20．（12分）已知点A （1，2），圆C ：x 2+y 2+2mx +2y +2＝0． （1）若过点A 可以作两条圆的切线，求m 的取值范围；（2）当m ＝﹣2时，过直线2x ﹣y +3＝0上一点P 作圆的两条切线PM 、PN ，求四边形PMCN 面积的最小值．解：（1）由题意得A （1，2）在圆外， 则1+4+2m +6＞0，即m ＞−112， 又4m 2+4﹣8＞0，即m ＞1或m ＜﹣1， 所以−112＜m ＜−1或m ＞1；故m 的取值范围为（−112，﹣1）∪（1，+∞）； （2）m ＝﹣2时，圆方程为（x ﹣2）2+（y +1）2＝3， 则圆的半径r =√3，圆心C （2，﹣1），∴S 四边形PMCN =|PM|⋅r =√3|PM|=√3⋅√|PC|2−r 2=√3⋅√|PC|2−3． 直线方程为2x ﹣y +3＝0，设圆心（2，﹣1）到直线2x ﹣y +3＝0的距离为d ，∴|PC|min =d =|2×2−(−1)+3|5=85，∴(S 四边形PMCN )min =√3√645−3=√3√495=75√15． 21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的右焦点为F(√3，0)，长半轴长与短半轴长的比值为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点A （1，0）的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ．若点B （0，1）在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．解：（1）由题可知c =√3，ab =2，a 2＝b 2+c 2，∴a ＝2，b ＝1．∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my +1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 联立{x =my +1x 2+4y 2=4，消去x ，可得（4+m 2）y 2+2my ﹣3＝0． Δ＝16m 2+48＞0，y 1+y 2=−2m 4+m 2，y 1y 2=−34+m 2． ∵点B 在以MN 为直径的圆上，∴BM →⋅BN →=0．∵BM →⋅BN →=(my 1+1，y 1−1)⋅(my 2+1，y 2−1)=（m 2+1）y 1y 2+（m ﹣1）（y 1+y 2）+2＝0， ∴(m 2+1)⋅−34+m 2+(m −1)⋅−2m4+m 2+2=0， 整理，得3m 2﹣2m ﹣5＝0， 解得m ＝﹣1或m =53．∴直线l 的方程为x +y ﹣1＝0或3x ﹣5y ﹣3＝0．22．（12分）如图1，已知ABFE 是直角梯形，EF ∥AB ，∠ABF ＝90°，∠BAE ＝60°，C 、D 分别为BF 、AE 的中点，AB ＝5，EF ＝1，将直角梯形ABFE 沿CD 翻折，使得二面角F ﹣DC ﹣B 的大小为60°，如图2所示，设N 为BC 的中点．（1）证明：FN ⊥AD ；（2）若M 为AE 上一点，且AM AE=λ，则当λ为何值时，直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值为5√714． 解：（1）证明：如图1，已知ABFE 是直角梯形，EF ∥AB ，∠ABF ＝90°，∠BAE ＝60°，C 、D 分别为BF 、AE 的中点，AB ＝5，EF ＝1，将直角梯形ABFE 沿CD 翻折，使得二面角F ﹣DC ﹣B 的大小为60°，如图2所示，设N 为BC 的中点．∵由图1得：DC ⊥CF ，DC ⊥CB ，且CF ∩CB ＝C ，∴在图2中DC ⊥平面BCF ，∠BCF 是二面角F ﹣DC ﹣B 的平面角，则∠BCF ＝60°， ∴△BCF 是正三角形，且N 是BC 的中点，FN ⊥BC ， 又DC ⊥平面BCF ，FN ⊂平面BCF ，可得FN ⊥CD ， ∵BC ∩CD ＝C ，BC ，CD ⊂平面ABCD ． ∴FN ⊥平面ABCD ，∵AD ⊂平面ABCD ，∴FN ⊥AD ．（2）∵FN ⊥平面ABCD ，过点N 做AB 平行线NP ，∴以点N 为原点，NP ，NB 、NF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系N ﹣xyz ，如图，则A(5，√3，0)，B(0，√3，0)，D(3，−√3，0)，E （1，0，3）， 设M （x 0，y 0，z 0）则AM →=(x 0−5，y 0−√3，z 0)，AE →=(−4，−√3，3)， AD →=(−2，−2√3，0)，DE →=(−2，√3，3)．∵AM →=λAE →，∴{x 0−5=−4λy 0=√3−√3λz 0=3λ⇒{x 0=5−4λy 0=√3−√3λz 0=3λ．∴M(5−4λ，√3−√3λ，3λ)，∴BM →=(5−4λ，−√3λ，3λ)， 设平面ADE 的法向量为n →=(x ，y ，z)则{n →⋅AD →=0n →⋅DE →=0⇒{−2x −2√3y =0−2x +√3y +3z =0，取x =√3，得n →=(√3，−1，√3)， 设直线BM 与平面ADE 所成角为θ， ∴sinθ=|cos〈n →，BM →〉|=|n →⋅BM →||n →|⋅|BM →|=5√3√3+1+3⋅√28λ−40λ+25=5√714，∴28λ2﹣40λ+13＝0，解得λ=12或λ=1314． 故当λ为12或1314时，直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值为5√714．。
2025届襄阳市四中高三数学上学期10月考试卷及答案解析
襄阳四中2025届高三上学期10月月考数学试卷命题人：陈国兵 审题人：饶雨一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合31A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z ，则用列举法表示A =（ ）A. {}2,0,1,2,4- B. {}2,0,2,4- C. {}0,2,4 D. {}2,4【答案】B 【解析】【分析】由题意可得1x -可为1±、3±，计算即可得.【详解】由题意可得1x -可为1±、3±，即x 可为0,2,2,4-，即{}2,0,2,4A =-.故选：B.2. 设3i,ia a z +∈=R ，其中i 为虚数单位.则“1a <-”是“z >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简z ，再求出z，令z >a 的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为23i 3i 3i i ia az a +-===-，所以z =令z >>1a >或1a <-，所以1a <-推得出z >，故充分性成立；由z >推不出1a <-，故必要性不成立；所以“1a <-”是“z >的充分不必要条件.故选：A3. 已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+ ，()21d a b λ=++ ，若c 与d 同向共线，则实数λ的值为（ ）A. 1B.12C. 1或12-D. 1-或12【答案】B 【解析】【分析】先根据向量平行求参数λ，再根据向量同向进行取舍.【详解】因为c与d 共线，所以()2110λλ+-=，解得1λ=-或12λ=.若1λ=-，则c a b =-+，d a b =- ，所以d c =- ，所以c 与d 方向相反，故舍去；若12λ=，则12c a b =+ ，2d a b =+ ，所以2d c = ，所以c与d 方向相同，故12λ=为所求.故选：B4. 已知3322x y x y ---<-，则下列结论中正确的是（ ）A. ()ln 10y x -+> B. ln0yx> C. ln 0y x +> D. ln 0y x ->【答案】A 【解析】【分析】构造函数()32xf x x -=-，利用()f x 的单调性可得x y <，进而可得.【详解】由3322x y x y ---<-得3322x y x y ---<-，设()32xf x x -=-，因函数3y x =与2x y -=-都是R 上的增函数，故()f x 为R 上的增函数，又因3322x y x y ---<-，故x y <，()ln 1ln10y x -+>=， 故A 正确，因y x，y x +，y x -与1的大小都不确定，故B ，C ，D 错误，故选：A5. 从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数12345a a a a a ”（满足12345a a a a a >><<），则这样的“五位凹数”的个数为（ ）A. 126个 B. 112个 C. 98个 D. 84个【答案】A 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理可得.【详解】第一步，从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个共有57C 种方法，第二步，选出的5个数中，最小的为3a ，从剩下的4个数中选出2个分给12,a a ，由题意可知，选出后1245,,,a a a a 就确定了，共有24C 种方法，故满足条件的“五位凹数”5274C C 126=个，故选：A6. 若数列{}n a 满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，n 为正整数），则称数列{}n a 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论成立的是（ ）A. 78a = B. 135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=C. 754S = D. 24620202021a a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】B 【解析】【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可.【详解】解析：按照规律有11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，733S =，故A 、C 错；21112123341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a S ++--------=+=+++=+++++==+ ，则202020181220183520191352019111a S a a a a a a a a a a =+=++++=++++=++++ ，故B 对；24620202234520182019a a a a a a a a a a a ++++=+++++++ 1234520182019201920211a a a a a a a S a =+++++++==- ，故D 错．故选:B ．7. 已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B = ，且12π4AF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A13B.C.D.23【答案】B 【解析】【分析】设1AF =，结合题意可得2AF，根据椭圆定义整理可得22b c m -=，根据向量关系可得1F A ∥2F B，且2BF =2b c m+=，进而可求离心率.【详解】由题意可知：()()12,0,,0F c F c -，设1,0AF m =>，因为12π4AF F ∠=，则()2,2A c m m -+，可得2AF =由椭圆定义可知：122AF AF a+=，即2a +=，整理可得22b c m-=；又因为122F A F B = ，则1F A ∥2F B，且2112BF AF ==，则(),B c m m +，可得1BF =由椭圆定义可知：|BF 1|+|BF 2|=2a2a =，.2bcm+=；即2c c-=+3c=，所以椭圆C的离心率cea==.故选：B.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．8. 圆锥的表面积为1S，其内切球的表面积为2S，则12SS的取值范围是（）A. [)1,+∞ B. [)2,+∞C. )∞⎡+⎣ D.[)4,+∞【答案】B【解析】【分析】选择OBC∠（角θ）与内切球半径R为变量，可表示出圆锥底面半径r和母线l，由圆锥和球的表面积公式可得()122212tan1tanSSθθ=-，再由2tan(0,1)tθ=∈换元，转化为求解二次函数值域，进而得12SS的取值范围.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥内切球半径为R，如图作出圆锥的轴截面，其中设O为外接圆圆心，,D E为切点，,AB AC为圆锥母线，连接,,,OB OD OA OE.设OBCθ∠=，tanRrθ=，0tan1θ<<tanRrθ∴=.OD AB⊥，OE BC⊥，πDBE DOE∴∠+∠=，又πAOD DOE∠+∠=，2AOD DBE θ∴∠=∠=，tan 2AD R θ∴=，22tan 2tan Rl r AD BD r AD r R θθ∴+=++=+=+，则圆锥表面积()21πππS r rl r l r =+=+，圆锥内切球表面积224πS R =，所求比值为()212222π2tan 21tan 1tan tan 4π2tan 1tan R R R S S R θθθθθθ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==-，令2tan 0t θ=>，则()2211()2122222g t t t t t t ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，则10()2g t <≤，且当12t =时，()g t 取得最大值12，故122S S ≥，即12S S 的取值范围是[)2,+∞.故选：B.【点睛】关键点点睛：求解立体几何中的最值问题一般方法有两类，一是设变量（可以是坐标，也可以是关键线段或关键角）将动态问题转化为代数问题，利用代数方法求目标函数的最值；二是几何法，利用图形的几何性质，将空间问题平面化，将三维问题转化为二维问题来研究，以平面几何中的公理、定义、定理为依据，以几何直观为主要手段直接推理出最值状态何时取到，再加以求解.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率. ()P A ，()()0,1P B ∈，则下列说法正确的是（ ）A. 若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+B. 若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C 若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D. 若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =【答案】ABD 【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A 选项；由相互独立事件的概念可判断B 选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C 选项；由相互独立事件的概念，可判断D 选项.【详解】对于选项A ，若,A B 互斥，根据互斥事件的概率公式，则()()()P A B P A P B ⋃=+，所以选项A 正确，.对于选项B ，由相互独立事件概念知，若()()()P AB P A P B =，则事件,A B 是相互独立事件，所以选项B 正确，对于选项C ，若,A B 互斥，则,A B 不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A ：“正面朝上”，事件B ：“反面朝上”，事件A 与事件B 互斥，但()0P AB =，1()()2P A P B ==，不满足相互独立事件的定义，所以选项C 错误，对于选项D ，由相互独立事件的定义知，若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =，所以选项D 正确，故选：ABD.10. 已知函数()sin sin cos 2f x x x x =-，则（ ）A. ()f x 的图象关于点(π,0)对称B. ()f x 的值域为[1,2]-C. 若方程1()4f x =-在(0,)m 上有6个不同的实根，则实数m 的取值范围是17π10π,63⎛⎤⎥⎝⎦D. 若方程[]22()2()1(R)f x af x a a -+=∈在(0,2π)上有6个不同的实根(1,2,,6)i x i = ，则61i i ax =∑的取值范围是(0,5π)【答案】BCD 【解析】【分析】根据(2π)()f f x =-是否成立判断A ，利用分段函数判断BC ，根据正弦函数的单调性画出分段函数()f x 的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D.【详解】因为()sin sin cos 2f x x x x =-，所以(2π)sin(2π)sin(2π)cos 2(2π)sin sin cos 2()f x x x x x x x f x -=----=--≠-，所以()f x 的图象不关于点(π,0)对称，故A 错误；当sin 0x ≥时，()222()sin 12sin 3sin 1f x x x x =--=-，由[]sin 0,1x ∈可得[]()1,2f x ∈-，当sin 0x <时，()222()sin 12sin sin 1f x x x x =---=-，由[)sin 1,0x ∈-可得(]()1,0f x ∈-，的综上[]()1,2f x ∈-，故B 正确：当sin 0x ≥时，由21()3sin 14f x x =-=-解得1sin 2x =，当sin 0x <时，由21()sin 14f x x =-=-解得sin x =，所以方程1()4f x =-在(0,)+∞上的前7个实根分别为π6，5π6，4π3，5π3，13π6，17π6，10π3，所以17π10π63m <≤，故C 正确；由[]22()2()1f x af x a -+=解得()1f x a =-或()1f x a =+，又因为()223sin 1,sin 0sin 1,sin 0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，所以根据正弦函数的单调性可得()f x 图象如图所示，所以()1f x a =-有4个不同的实根，()1f x a =+有2个不同的实根，所以110012a a -<-<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，设123456x x x x x x <<<<<，则1423πx x x x +=+=，563πx x +=，所以615πii x==∑，所以61i i a x =∑的取值范围是(0,5π)，故D 正确.故选：BCD.11. 在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点()11,A x y 、()22,B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，给出下列四个命题，正确的是（ ）A 对任意三点,,ABC ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；B. 已知点()2,1P 和直线:220l x y --=，则()83d P l =,；C. 到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.D. 定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()()12,,2220d P F d P F a c a =>>-，则点P 的轨迹.与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点.【答案】AD 【解析】【分析】对于选项A ，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；对于选项B ，设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，讨论|2|x -，1|2|2x -的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值；对于选项C ，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；对于选项D ，根据定义得{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．【详解】A 选项，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y ，由题意可得：()(){}{},,max ,max ,,A C A CBC B C A C B C A B d C A d C B x x y y x x y y x x x x x x +=--+--≥-+-≥-同理可得：()(),,A B d C A d C B y y +≥-，则：()(){}(),,max ,,A B A B d C A d C B x x y y d A B +≥--=，则对任意的三点A ，B ，C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；故A 正确；B 选项，设点Q 是直线220x y --=上一点，且1,12Q x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，由1222x x -≥-，解得0x ≤或83x ≥，即有(),2d P Q x =-，当83x =时，取得最小值23；由1222x x -<-，解得803x <<，即有()1,22d P Q x =-，(),d P Q 的范围是2,23⎛⎫⎪⎝⎭，无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为23，故B 错误；C 选项，设(),M ab {}max ,x a y b =--，若y b x a -≥-，则y b =-，两边平方整理得x a =；此时所求轨迹为x a=(y b ≥或)y b ≤-若y b x a -<-，则x a =-，两边平方整理得y b =；此时所求轨迹为y b=(x a ≥或)x a ≤-，故没法说所求轨迹是正方形，故C 错误；D 选项，定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()12,,2d P F d P F a -=（220c a >>），则：{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x ≥0，y ≥0.(1)当x c yx c y ⎧+≥⎪⎨-≥⎪⎩时，有2x c x c a +--=，得：0x a y a c =⎧⎨≤≤-⎩；(2)当x c y x c y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩时，有02a =，此时无解；(3)当x c y x c y⎧+>⎪⎨-<⎪⎩时，有2,x c y a a x +-=<；则点P 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图像可知，点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点，故D 正确.故选：AD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若)nax的展开式的二项式系数和为32，且2x -的系数为80，则实数a 的值为________．【答案】―2【解析】【分析】由二项式系数和先求n ，再利用通项53215C ()r r rr T a x -+=-得到2x -的指数确定r 值，由2x -的系数为80，建立关于a 的方程求解可得.【详解】因为)na x-的展开式的二项式系数和为32，所以012C C C C 232nnn n n n ++++== ，解得5n =.所以二项式展开式的通项公式为5352155C ()C ()rr rr r rr a T a x x--+=-=-，由5322r-=-，解得3r =，所以2x -的系数为3335C ()1080a a -=-=，解得2a =-.故答案为：2-.13. 已知函数()()()2f x x a x x =--在x a =处取得极小值，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求得()()()221f x x x x a x =-+--'，根据()0f a ¢=，求得a 的值，结合实数a 的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解.【详解】由函数()()()2f x x a x x =--，可得()()()221f x x x x a x =-+--'，因为x a =处函数()f x 极小值，可得()20f a a a =-='，解得0a =或1a =，若0a =时，可得()(32)f x x x '=-，当0x <时，()0f x '>；当203x <<时，()0f x '<；当23x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在2(,0),(,)3-∞+∞单调递增，在2(0,)3上单调递减，所以，当0x =时，函数()f x 取得极大值，不符合题意，（舍去）；若1a =时，可得()(1)(31)f x x x '=--，当13x <时，()0f x '>；当113x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在1(,),(1,)3-∞+∞单调递增，在(0,1)上单调递减，所以，当1x =时，函数()f x 取得极小值，符合题意，综上可得，实数a 的值为1.故答案为：1.14. 数学老师在黑板上写上一个实数0x ，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数0x 乘以2-再加上3得到1x ，并将0x 擦掉后将1x 写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数0x 除以2-再减去3得到1x ，也将0x 擦掉后将1x 写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为2x ．现已知20x x >的概率为0.5，则实数0x 的取值范围是__________．【答案】()(),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】构造函数()23f x x =-+，()32xg x =--，由两次复合列出不等式求解即可.【详解】由题意构造()23f x x =-+，()32xg x =--，则有()()43f f x x =-，()()9f g x x =+，()()92g f x x =-，()()342x g g x =-．因为()()f g x x >，()()g f x x <恒成立，又20x x >的概率为0.5，所以必有43,3,42x x x x ->⎧⎪⎨-≤⎪⎩或者43,3,42x x x x -≤⎧⎪⎨->⎪⎩解得()(),21,x ∈-∞-⋃+∞．故答案为：()(),21,-∞-+∞ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由112333BD BC CA BA BC =+=+ ，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V π3B =，所以1sin 2ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当a c ==时取等号，所以BD .16. 已知抛物线2:2(0)E y px p =>与双曲线22134x y -=的渐近线在第一象限的交点为Q ，且Q 点的横坐标为3．（1）求抛物线E 的方程；（2）过点(3,0)M -的直线l 与抛物线E 相交于,A B 两点，B 关于x 轴的对称点为B '，求证：直线AB '必过定点．【答案】（1）24y x = （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点Q 的坐标，由此可求抛物线方程；（2）联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).【小问1详解】设点Q 的坐标为()03,y ，因为点Q 在第一象限，所以00y >，双曲线22134x y -=的渐近线方程为y x =，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以0y =，所以点Q的坐标为(3,，又点(3,Q 在抛物线22y px =上，所以1223p =⨯，所以2p =，故抛物线E 的标准方程为：24y x =；【小问2详解】设直线AB 的方程为3x my =-，联立243y xx my ⎧=⎨=-⎩，消x 得，24120y my -+=，方程24120y my -+=的判别式216480m ∆=->，即230m ->，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则12124,12y y m y y +==，因为点A 、B 在第一象限，所以121240,120y y m y y +=>=>，故0m >，设B 关于x 轴的对称点为()22,B x y '-， 则直线AB '的方程为212221()y y y y x x x x ---+=-，令0y =得：212221x x x y x y y -=+-⨯-122121x y x y y y +=+()()12211233y my y my y y -+-=+()21121223my y y y y y -+=+241212344m m mm m-===．直线AB '过定点(3,0)．【点睛】方法点睛：联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).17. 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为,AD BC 的中点，沿EF 将四边形EFCD 折起，使二面角A EF C --的大小为60°，点M 在线段AB 上．（1）若M 为AB 的中点，且直线MF 与直线EA 的交点为O ，求OA 的长，并证明直线OD //平面EMC ；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】（1）2OA =；证明见解析.（2）存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；此时二面角M EC F --的余弦值为14.【解析】【分析】（1）根据中位线性质可求得OA ，由//MN OD ，结合线面平行判定定理可证得结论；（2）由二面角平面角定义可知60DEA ∠=︒，取AE ，BF 中点O ，P ，由线面垂直的判定和勾股定理可知OD ，OA ，OP 两两互相垂直，则以O 为坐标原点建立空间直角坐标系；设()1,,0M m ()04m ≤≤，利用线面角的向量求法可求得m ；利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】,E F 分别为,AD BC 中点，////EF AB CD ∴，且2AE FB ==，又M 为AB 中点，且,AB OE AB BF ⊥⊥，易得OAM FBM ≅ ，2OA FB AE ∴===，连接,CE DF ，交于点N ，连接MN ，由题设，易知四边形CDEF 为平行四边形，N Q 为DF 中点，//,AM EF A 是OE 的中点，M ∴为OF 中点，//MN OD ∴，又MN ⊂平面EMC ，OD ⊄平面EMC ，//OD ∴平面EMC ；【小问2详解】////EF AB CD ，EF DE ⊥ ，EF AE ⊥，又DE ⊂平面CEF ，AE ⊂平面AEF ，DEA ∴∠即为二面角A EF C --的平面角，60DEA ∴=︒∠；取,AE BF 中点,O P ，连接,OD OP ，如图，60DEA ∠=︒ ，112OE DE ==，2414cos 603OD ∴=+-︒=，222OD OE DE +=，OD AE ∴⊥，//OP EF ，OP DE ⊥，OP AE ⊥，又,AE DE ⊂平面AED ，AE DE E = ，OP ∴⊥平面AED ，,OD AE ⊂ 平面AED ，,OD OP AE OP ∴⊥⊥，则以O 为坐标原点，,,OA OP OD方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，则(D ，()1,0,0E -，()1,4,0F -，(0,C ，设()()1,,004M m m ≤≤，则(1,0,DE =-，()2,,0EM m =，(1,EC = ，设平面EMC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1)，则1111111·20·40EM n x my EC n x y ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，令12y =，则1x m =-，1z =1,m m ⎛∴=- ⎝，∵直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ，·sin 60cos ,·DE n DE n DE n ∴︒==111==1m =或3m =，存在点M ，当1AM =或3AM =时，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ；设平面CEF 的法向量()2222,,n x y z=，又(1,EC = ，(FC =，2222222·40·0EC n x y FC n x ⎧=++=⎪∴⎨==⎪⎩，令21z =，则2x =，20y =，()2m ∴=；当1m =时，11,2,n ⎛=- ⎝，121212·1cos ,4·n n n n n n ∴=== ；当3m =时，23,2,n ⎛=- ⎝，121212·1cos ,4·n n n n n n ∴=== ；综上所述：二面角M EC F --的余弦值为14.【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点M 的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键.18. 已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 图象在点(1,f (1))处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e 2e*n n n n nnn ++++-+++->∈N .【答案】（1）0y = （2）[)1,+∞ （3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为212ln x x xλ≥+，求出函数()212ln xg x x x =+的最大值得解；（3）先构造函数()12ln x x x x ϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，可得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，迭代累加可证得结果.【小问1详解】当1λ=时，()12ex xf x x -=-，f (1)=0，的则()12121e x x f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝'⎭，则()0122e 0f =-='，所以()f x 在点(1,f (1))处的切线方程为0y =.【小问2详解】由1x ≥时，()0f x ≤，即12e0x xx λ--≤，整理得212ln x x xλ≥+，对1x ≥恒成立，令()212ln x g x x x =+，则()()42321ln 222ln x x x x x g x x x x---=-+'=，令()1ln h x x x x =--，1x ≥，所以()ln 0h x x '=-≤，即函数ℎ(x )在1x ≥上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()0g x '≤，所以函数()g x 在1x ≥上单调递减，则()()11g x g ≤=，1λ∴≥.【小问3详解】设()12ln x x x xϕ=-+，1x >，则()()222221212110x x x x x x x xϕ---+-='=--=<，所以φ(x )在(1,+∞)上单调递减，则()()10x ϕϕ<=，即12ln 0x x x-+<，11ln 2x x x ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，*N n ∈，可得1111111ln 1112211n n n n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+<+-=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，()()111ln 2ln 1212n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，()()111ln 3ln 2223n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，…()()111ln 2ln 212212n n n n ⎛⎫--<+ ⎪-⎝⎭，以上式子相加得()112221ln 2ln 212212n n n n n n n ⎛⎫-<+++++ ⎪++-⎝⎭，整理得，11111ln 2412212n n n n n-<++++++-L ，两边取指数得，11111ln 2412212e e n n n n n -++++++-<L ，即得111114122122e e n n n n n -++++-<L ，()*Nn ∈得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数()12ln x x x xϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，得到()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭.19. 已知整数4n …，数列{}n a 是递增的整数数列，即12,,,n a a a ∈Z 且12n a a a <<<．数列{}n b 满足11b a =，n n b a =．若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i b a --等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“左k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b +-等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“右k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b k +-=或者1i i b a k --=，则称数列{}n b 为{}n a 的“左右k 型间隔数列”．（1）写出数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）已知数列{}n a 满足()81n a n n =-，数列{}n b 是{}n a 的“左k 型间隔数列”，数列{}n c 是{}n a 的“右k 型间隔数列”，若10n =，且有1212n n b b b c c c +++=+++ ，求k 的值；（3）数列{}n a 是递增的整数数列，且10a =，27a =．若存在{}n a 的一个递增的“右4型间隔数列{}n b ”，使得对于任意的{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，求n a 的关于n 的最小值（即关于n的最小值函数()f n ）．【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9． （2）80k =（3）()()382n n f n -=+【解析】【分析】（1）由“左右k 型间隔数列”的定义，求数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）根据“左k 型间隔数列”和“右k 型间隔数列”的定义，由1212n n b b b c c c +++=+++ ，则有1291016a a k a a ++=+，代入通项计算即可；（3）由“右4型间隔数列”的定义，有144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣，则有()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ，化简即可．【小问1详解】数列{}:1,3,5,7,9n a 的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．【小问2详解】由12101210b b b c c c +++=+++ ，可得239239b b b c c c +++=+++ ，即128341088a a a k a a a k ++++=+++- ，即1291016a a k a a ++=+，即16168988109k +=⨯⨯+⨯⨯，所以80k =．【小问3详解】当{}2,3,,1i n ∈- 时，由144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣．又因为对任意{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，即当{}2,3,,1i n ∈- 时，i i b a -两两不相等．因为()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()2233117444n n b a b a b a --=++-++-+++- ()()()()223311742n n n b a b a b a --=+-+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ()382n n -=+．所以n a 的最小值函数()()382n n f n -=+．另外，当数列{a n }的通项()0,1,38,2,2i i a i i i n =⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩间隔数列{b n }的通项(),1,13,21,2i i a i i n b i i i n ==⎧⎪=⎨-+≤≤-⎪⎩或时也符合题意．【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。
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襄阳四中2018届高二（上）理科数学强化训练（六）
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1、设变量,x y 满足约束条件0,0,220,x x y x y ≥⎧⎪
-≥⎨⎪--≤⎩
则
32z x y =-的最大值为（ ）
A 、0
B 、2
C 、4
D 、6 2、根据右边的算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 ( )
A 、25
B 、30
C 、31
D 、61 3、阅读下边的程序框图,运行相应的程序,若输入x 的值为1,则输出S 的值为 ( )
A 、64
B 、73
C 、512
D 、585 4、设平面点集
()⎭⎬⎫⎩
⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛
--=01),(x y x y y x A ,
()(){}
111),(2
2
≤-+-=y x y x B ,
则B A ⋂所表示的平面图形的面积为( )
A 、
43π B 、5
3π C 、74π D 、2π
5、若直线y x b =+
与曲线3y =有公共点，则b 的取值范围是（ ）
A 、
[1- B 、
[1、
[-1,1+、
[1-,3]
6
，0）引直线l
与曲线y =A 、B 两点，O 为坐标原点，当ABC ∆的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）
A
B
、 C
、
、 7、设k m ,为整数,方程022=+-kx mx 在)1,0(内有两个不同的根,则k m +的最小值为( ) A 、8- B 、8 C 、12 D 、13
8、已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ,直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是 ( )
A 、（0，1） B
、112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C 、
113⎛⎤- ⎥ ⎦⎝
D 、 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9、直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A ，B 两点，则AB ∣∣= . 10、过点（-1,2）的直线l 被圆222210x y x y +--+=
，则直线l 的斜率为__________ .
11、已知点3(0,0),(0,),(,).O A b B a a 若OAB ∆为直角三角形，则必有 . ①2b a = ②31b a a =+
③331()()0b a b a a ---= ④331
||||0b a b a a
---=
12、在等腰直角三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P .若光线QR 经过
ABC ∆的重心，则AP 等于______________.
13、已知圆1C ：2
2
(2)(3)1x y -+-=，圆2C ：2
2
(3)(4)9x y -+-=，
M 、N 分别是圆1C 、2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN
+的最小值为 _______. 14、设12,,
,n P P P 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到12,,,n P P P 点的
距离之和最小，则称点P 为12,,,n P P P 点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都
是端点,A B 的中位点．现有下列命题：
①若三个点,,A B C 共线, C 在线段AB 上,则C 是,,A B C 的中位点; ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点,,,A B C D 共线,则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是 _______.(写出所有真命题的序号) 三、计算题（本大题共3小题，共38分）
15、已知直线l 经过点(3,1)P ，且被两平行直线1:10l x y ++=和2:60l x y ++=截得的线段之长为5，求直线l 的方程.
16、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x
轴上截得线段长为，在y 轴上截得线段长
为。
（1）求圆心P 的轨迹方程；（2）若P 点到直线y x =
，求圆P 的方程.
17、已知圆C 的方程为22(4)4x y +-=，点O 是坐标原点。
直线:l y kx =与圆C 交于,M N 两点.（1）求k 的取值范围；（2）设(,)Q m n 是线段MN 上的点，且
222
211
||||||OQ OM ON =+
，请将n 表示为m 的函数.。