一元二次方程的判别式
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。
判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。
正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。
举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。
对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。
对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。
对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。
解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。
对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。
在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。
当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。
例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。
一元二次方程求根虚根公式
一元二次方程求根虚根公式
一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a不等于0。
求解一元二次方程的根可以使用虚根公式（也称为根的判别式）。
一元二次方程的判别式Δ（delta）定义为：Δ = b^2 - 4ac
根据判别式Δ的值，可以得出以下结论：
1. 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实根：
x1 = (-b + √Δ) / (2a)
x2 = (-b - √Δ) / (2a)
2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实根（即重根）：
x1 = x2 = -b / (2a)
3. 当Δ < 0时，方程没有实根，但存在两个共轭复根：
x1 = (-b + i√(-Δ)) / (2a)
x2 = (-b - i√(-Δ)) / (2a)
其中，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
通过使用上述公式，可以计算一元二次方程的根，具体取决于判别式Δ的值。
请注意，在实际计算过程中，应该先计算Δ的值，然后根据Δ的结果选择相应的公式计算根。
第十四讲 一元二次方程之判别式
第十四讲一元二次方程—根的判别式与根系关系（1）【新知讲解】1、一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2 +bx+c=0 (a ≠0）是否有实根，完全取决于b 2 - 4ac的值的符号，我们就把 b 2 - 4ac 叫做一元二次方程ax 2 +bx+c=0的根的判别式，通常用“△”来表示，即：△= b 2 - 4ac注意：（1）根的判别式是指△=b 2 - 4ac，而不是△（2）使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式.2、一元二次方程的根的情况与判别式“△”的关系。
（1）判别式定理：△>0方程有两个不相等的实数根；△=0方程有两个相等的实数根；△<0方程没有实数根；△≥0方程有两个实数根。
（2）判别式定理的逆定理：方程有两个不相等的实数根△ > 0；方程有两个相等的实数根△ = 0；方程没有实数根△ < 0；方程有两个实数根△≥ 0；【例题解析】一、不解方程，判断方程根的情况。
例1：不解方程判断下列一元二次方程根的情况：（1）3x 2 -3x+1=0 (2) 2x 2 +1=(3) ax 2 +bx=0(a≠0) (4) (x-1) 2 -7x=0思路点拨：按照“一求二判”的思路来完成。
“一求”是指第一步求方程中“△”的值，“二判”是指第二步判断△的符号从而确定方程根的情况。
变式议练：1、下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A. 3x 2 -2x-2=0B. 3y 2 -222、已知方程mx 2 - mx+2=0有两个不相等的实数根，则m的取值是________。
3已知方程（5+11m)x2+(2-11m)x+3(m-1)=0有两个相等的实数根，则m=______。
4、已知方程2a(1-x)=b(1-x 2 )有两个相等的实数根, 则a与b的关系是_____。
5、关于x的一元二次方程（x-a)(x-b-a)=1（a、b均为实数）（）A. 无实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 有两个相等或不相等的实数根6、方程（2a-1)x 2 -8x+6=0没有实数根，则a的最小整数值是______。
一元二次方程的解法及判别
一元二次方程的解法及判别一、一元二次方程的定义一元二次方程是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。
一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二、一元二次方程的解法1.因式分解法：将一元二次方程进行因式分解，使其变为两个一次因式的乘积等于0的形式，然后根据零因子定律求解。
2.公式法：利用一元二次方程的求根公式（也称二次公式）求解。
求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
三、一元二次方程的判别式判别式是用来判断一元二次方程的根的情况的数值。
判别式的公式为：Δ = b^2 - 4ac。
四、判别式的性质与解的情况1.当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根。
2.当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，也称为重根。
3.当Δ < 0时，方程没有实数根，而是有两个共轭的复数根。
五、一元二次方程的解法比较1.因式分解法适用于方程的系数较小，且容易分解的情况。
2.公式法适用于任何形式的一元二次方程，无论系数的大小和是否容易分解。
六、一元二次方程的应用一元二次方程在实际生活中有广泛的应用，如物体的运动轨迹、投资收益、面积计算等方面。
总结：一元二次方程的解法及判别是中学数学中的重要知识点，掌握因式分解法和公式法求解一元二次方程，以及理解判别式的性质和解的情况，对于解决实际问题具有重要意义。
习题及方法：已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，求解该方程。
这是一个一元二次方程，我们可以尝试使用因式分解法来解它。
首先，我们需要找到两个数，它们的乘积等于常数项6，而它们的和等于一次项的系数（-5）。
这两个数是-2和-3。
因此，我们可以将方程重写为：(x - 2)(x - 3) = 0。
根据零因子定律，我们得到x - 2 = 0或x - 3 = 0。
解得x1 = 2，x2 = 3。
给定一元二次方程2x^2 + 5x - 3 = 0，求解该方程。
一元二次方程判别式
十二、判别式及其应用一、一元二次方程的根的判别式:一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， 当△＜0时，方程没有实数根． 二、判别式的应用：(1)运用判别式，判定方程实根的个数(2)利用判别式，建立等式、不等式,求方程中参数值或取值范围. (3)通过判别式，证明与方程相关的代数问题.(4)借助判别式，运用一元二次方程必有解的代数模型解代数问题.问题一、利用判别式,判定方程根的个数.例1.关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 的根的情况是（ ）. A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.根的情况无法判断222222.0,||,,()0( )a b c a b c x x b a c x b +>>-<++-+=例2设且那么关于的一元二次方程a 的根的情况A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法判断222222.0,||,,()0( )a b c a b c x a x b a c x b +>>->++-+=变式1设且那么关于的方程的根的情况A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法判断222222.0,||,,()0( )a b c a b c x x b a c x b +>>-<++-+=变式2设且那么关于的方程a 的根的情况A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法判断例3.已知关于x 的方程02)22=++-k x k x （. (1)求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边长为a=1,另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长；练习1.如果一直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，∠B=90°，那么，关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况是（ ）. A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.根的情况无法判断练习2.关于x 的方程068)6(2=+--x x a 有实数根，则整数a 的最大值（ ）. A.6 B.7 C.8 D.922.(31)220.(1):,;(2)6,,,,.x x k x k k k ABC a b c -+++==练习3已知关于的方程求证无论取何实数值方程总有实数根若等腰三角形的一边长另两边恰好是这个方程的两个根求此三角形的周长练习4.已知a>0,b>a+c.判断关于x 的方程02=++c bx ax 的根的情况，并给出必要的说明.问题二、求参数的值或取值范围例4.已知一元二次方程04)2422=+--k x k x （有两个不相等的实数根.则k 的最大整数值为_________.例5.关于x 的一元二次方程012)13(2=-+--m x m mx ，其根的判别式的值为1，求m 的值及该方程的根.例6.已知函数xy 2=和)0(1≠+=k kx y . （1） 若这两个函数的图像都经过点（1,a ）,求a 和k 的值； （2） 当k 取何值时，这两个函数的图像总有公共点？例7.对于实数a,只有一个实数值x 满足等式012211112=-++++-+-+x a x x x x x ，试求所有这样的实数a 的和.例8.关于x 的方程a x x =-12仅有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）.A.a>0B.a ≥4C.2<a<4D.0<a<4练习5.如果关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）.A.k<1B.k ≠0C.k<1且k ≠0D.k>1练习6.如果方程0)4(523=-++-k x k x x 的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，则实数k 的值为_________.练习7.设方程42=+ax x 只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根.问题三、运用一元二次方程必有解的代数模型解代数问题 例9．已知x z y =-33,求证:2y ≥xz 4．例10．已知实数a ，b 满足6)3()3(22=-+-b a ,求ab的最大值．22.,,3330, , .x y x xy y x y x y ++--+===练习8若为实数且则.,,30,a b a b u+-==练习9已知都是正数且求代数式1.;2.; 1.; 2.;3.(2)5 1. 2. 3.1622A C D CB B例例变式变式例练习；练习；练习或；11314.;5.2;6.(1)2,1;(2)0;7.;8.;482 k m a k k k D<===≥≠-例例例且例例1231235.;6.4;7.4,2,22-4,2,22C a x x xa x x x==-=-+=--===+=-练习练习练习当时当时10.3.x=1,y=1;.u=2+例练习8练习9。
方程判别式
方程判别式是针对一元二次方程的,用来判别一个方程是否有实根的，方程
aX^2+bX+c=0中根的判别式为△=b²-4ac
若判别式大于0则有两个不同实根；
若判别式等于0则有两个相同实根；
若判别式小于0则没有实数根。
扩展资料：
一元二次方程的根的判别式为△=b²-4ac（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。
韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式为了判断一元二次方程的根的情况，我们可以使用根的判别式。
根的判别式表示为Δ=b^2-4ac，其中Δ代表判别式，b代表x的一次项的系数，a代表x的二次项的系数，c代表常数项。
根的判别式Δ的值决定了一元二次方程的根的数量和性质。
1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
当判别式Δ大于零时，方程的根可以用求根公式来计算，即x=(-b±√Δ)/(2a)。
由于Δ大于零，所以√Δ也是实数，因此方程有两个实数根。
举个例子，假设我们有方程x^2-3x+2=0，将a=1，b=-3，c=2代入根的判别式Δ=b^2-4ac得到Δ=(-3)^2-4(1)(2)=9-8=1、因为Δ大于零，所以这个方程有两个实数根。
2.当Δ=0时，方程有两个相等的实数根。
当判别式Δ等于零时，方程的根仍然可以用求根公式来计算，即x=(-b±√Δ)/(2a)。
但是由于Δ等于零，所以方程的两个根将会相等。
举个例子，假设我们有方程x^2-4x+4=0，将a=1，b=-4，c=4代入根的判别式Δ=b^2-4ac得到Δ=(-4)^2-4(1)(4)=16-16=0。
因为Δ等于零，所以这个方程有两个相等的实数根。
3.当Δ<0时，方程没有实数根，而有两个虚数根。
当判别式Δ小于零时，方程没有实数根，而有两个虚数根。
此时，无法使用求根公式来计算方程的根，因为虚数不能直接在实数范围内进行计算。
举个例子，假设我们有方程x^2+2x+5=0，将a=1，b=2，c=5代入根的判别式Δ=b^2-4ac得到Δ=(2)^2-4(1)(5)=4-20=-16、因为Δ小于零，所以这个方程没有实数根，而有两个虚数根。
通过根的判别式，我们可以方便地判断一元二次方程的根的情况。
请牢记，Δ大于零时，方程有两个不相等的实数根；Δ等于零时，方程有两个相等的实数根；Δ小于零时，方程没有实数根，而有两个虚数根。
这一判别式是解决一元二次方程问题的重要基础。
一元二次方程的解与判别式
一元二次方程的解与判别式一元二次方程是由形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程表示的，其中a、b、c为已知的数，x为未知数。
解一个一元二次方程意味着找到方程中x的值，使得等式成立。
而判别式则可以通过计算得到，用于判断一元二次方程有几个实数解。
一、解一元二次方程求解一元二次方程可以分为两种情况：有实数解和无实数解。
1. 有实数解：当判别式大于或等于0时，方程会有实数解。
此时可以使用求根公式来求解，其公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)通过求根公式，我们可以得到两个解，分别是 x1 和 x2。
这两个解可以是相等的（当判别式等于0时），也可以是不相等的（当判别式大于0时）。
2. 无实数解：当判别式小于0时，方程没有实数解。
这种情况下，方程在实数范围内无解。
二、判别式的求解判别式是用来判断一元二次方程有几个实数解的重要指标。
对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 来说，其判别式D的计算公式为：D = b^2 - 4ac根据判别式的值可以判断方程具有以下三种情况：1. D > 0：当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数解。
2. D = 0：当判别式等于0时，方程有两个相等的实数解。
3. D < 0：当判别式小于0时，方程没有实数解。
判断一元二次方程的实数解的步骤如下：1. 计算判别式D的值。
2. 根据D的值判断方程的解的情况。
三、实例分析现在我们通过几个实际的例子来说明一元二次方程的解与判别式的关系。
例子1：考虑方程 x^2 + 2x + 1 = 01. 计算判别式D的值：D = 2^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 02. 根据D的值判断解的情况：由于D = 0，因此方程有两个相等的实数解。
例子2：考虑方程 3x^2 + 4x + 1 = 01. 计算判别式D的值：D = 4^2 - 4(3)(1) = 16 - 12 = 42. 根据D的值判断解的情况：由于D > 0，因此方程有两个不相等的实数解。
一元二次方程之判别式法与韦达定理
一元二次方程之判别式法与韦达定理（一）知识点梳理一元二次方程ax2+bx+c=0（a 、b 、c 属于R ，a≠0）根的判别，△=b2-4ac ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方式，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有超级普遍的应用。
韦达定理除已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还能够求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，和解一些有关二次曲线的问题等，都有超级普遍的应用。
一、一元二次方程根的判别式：ac b 42-=∆ （1）当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根；（2）当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根；（3）当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解；（4）当Δ≥0时⇔方程有两个实数根（5）根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程能够判别根的情形，还能够依照根的情形确信未知系数的取值范围。
二、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：（1）若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：a b x x -=+21，a c x x =⋅21 （2）以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x3、一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着普遍的应用：（1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。
（2）不解方程，求某些代数式的值。
（3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。
（4）已知两数和与积，求这两个数。
（5）二次三项式的因式分解。
注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。
∆≥≠⎧⎨⎩00a例题讲解例一、当k 为何值时，关于x 的方程()222123x k x k k --=-++：⑴ 两个不相等的实数根； ⑵有两个相等的实数根； ⑶没有实数根。
例二、m x mx mx m 为何值时，关于的方程有两个相等的实数根？并2350-++=求出这时方程的根。
一元二次方程的判别式及跟与系数的关系
一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系要点一、一元二次方程的判别式1．定义：在一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0中，只有当系数a 、b 、c 满足条件△≥b ac 2=−40时才有实数根．这里b ac 2−4叫做一元二次方程根的判别式，记作△．2．判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的根的情况由△b ac 2=−4确定． 设一元二次方程为()ax bx c a 2++=0≠0，其根的判别式为：△b ac 2=−4，则①△>0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个不相等的实数根,x 12．②△=0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个相等的实数根b x x a12==−2． ③△<0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0没有实数根． 特殊的：（1）若a ，b ，c 为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；（2）若△为完全平方式，同时b −±2a 的整数倍，则方程的根为整数根．【例1】（1）不解方程，直接判断下列方程的解的情况： ①x x 27−−1=0 ②()x x 29=43−1 ③x x 2+7+15=0④()mx m x 2−+1+=02（m 为常数）（2）已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()()a b x cx a b 2++2++=0的根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解析】（1）①△>0，有两个不等实根；②△=0，有两个相等实根； ③△<0，无实根；④△m 2=+1>0，方程有两个不等实根． （2）由题()()()()△c a b a b c c a b 22=2−4+=4++−−∵a b c ++>0，c a b −−<0，故方程没有实根．选A ．【点评】这道题（1）主要考察判别式与根的关系，属于特别基础的题，锻炼孩子们的思维，（2）结合三角形三边关系来考察一元二次方程的判别式和根的个数的关系．【例2】（1）若关于x 的一元二次方程()k x x 21−1+−=04有实根，则k 的取值范围为______． 【解析】（1）≥k 0且≠k 1；【变式2-1】若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ） A. 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,3【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，解得：k≤，且k≠0. 则k 的非负整数值为1．【变式2-2】已知关于x 的一元二次方程有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】且m≠1 【解析】因为方程有实数根，所以，解得， 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即， ∴ m 的取值范围是且m≠1． 【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即，m≠1．【例3】已知：关于x 的方程有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】.【变式3-1】关于x的一元二次方程()k x 21−2−−1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围______．≤k −1<2且k 1≠2， 由题意，得()()k k k k 4+1+41−2>0⎧⎪+1≥0⎨⎪1−2≠0⎩，解得≤k −1<2且k 1≠2；2(1)10m x x −++=54m ≤2(1)10m x x −++=214(1)450m m =−−=−+≥△54m ≤(1)0m −≠54m ≤(1)0m −≠2(1)04kkx k x +++=102k k ≠＞－且【变式3-2】已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 【思路点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b 2﹣4ac ＞0．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．（2）设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a 的值和方程的另一根． 【答案与解析】解：（1）∵b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0，解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：，解得：，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【变式3-2】关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】k ＜2且k≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0， 解得：k ＜2且k≠1． 故答案为：k ＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.【例4】当a 、b 为何值时，方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根？（3）要使关于x 的一元二次方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根，则必有△≥0，即()()≥a a ab b 22241+−43+4+4+20，得()()a b a 22+2+−1≤0．又因为()()a b a 22+2+−1≥0，所以()()a b a 22+2+−1=0，得a =1，b 1=−2．【变式4-1】已知关于x 的一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根，求代数式a a a21−2+1+的值．【解析】由题，一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根， 所以a a 2−3+1=0．所以有a a a 2−2+1=，a a 2+1=3．代入a a a21−2+1+，得a a a a a a a a a 2211+13−2+1+=+===3．【点评】这道题主要是考察判别式与代数式的结合，难度不大．【变式4-2】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根. 【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.【例5】在等腰△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知a =3，b 和c 是关于x 的方程x mx m 21++2−=02的两个实数根，求△ABC 的周长．【解析】当b c =时，方程有两个相等的实数根，则=△m m 21⎛⎫−42−=0 ⎪2⎝⎭，∴m 1=−4，m 2=2．若m =−4，原方程化为x x 2−4+4=0， 则x x 12==2，即b c ==2， ∴△ABC 的周长为2+2+3=7． 若m =2，原方程化为x x 2+2+1=0， 则x x 12==−1，不合题意．当a b =或a c =时，x =3是方程的一个根， 则m m 19+3+2−=02，则m 22=−5，原方程化为x x 22221−+=055，解得x 1=3，x 27=5， ∴ABC △的周长为7373+3+=55．综上所述，ABC △的周长为7或375． 【点评】这道题主要考察学生们的分类讨论能力，应对多种情况是要理清思路．要点二、一元二次方程的根与系数关系(韦达定理)1．韦达定理：如果()ax bx c a 2++=0≠0的两根是x 1，x 2，则b x x a 12+=−，cx x a12=．（使用前提：△≥0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x 1，x 2是方程x px q 2++=0的两个根，则x x p 12+=−，x x q 12=． 2．韦达定理的逆定理：如果有两个数x 1，x 2满足b x x a 12+=−，cx x a12=，那么x 1，x 2必定是()ax bx c a 2++=0≠0的两个根．特别地，以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是()x x x x x x 21212−++=0． 3．韦达定理与根的符号关系：在△≥b ac 2=−40的条件下，我们有如下结论： （1）当ca<0时，方程的两根必一正一负． ①若≥b a −0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若ba−<0，则此方程的正根小于负根的绝对值．（2）当ca>0时，方程的两根同正或同负． ①若b a −>0，则此方程的两根均为正根；②若ba−<0，则此方程的两根均为负根．注意：（1）若ac <0，则方程()ax bx c a 2++=0≠0必有实数根．（2）若ac >0，方程()ax bx c a 2++=0≠0不一定有实数根．【例6】（1）已知一元二次方程ax ax c 2+2+=0的一根x 1=2，则方程的另一根______x 2=．（2）已知x 1，x 2是方程x x 2−3+1=0的两个实数根，则：①x x 2212+；②()()x x 12−2⋅−2；③x x x x 221122+⋅+；④x x x x 2112+；⑤x x 12−；⑥x x 2212−；⑦x x 1211−．【解析】（1）−4；（2）()x x x x x x 2222121212+=+−2⋅=3−2⨯1=7， ()()()x x x x x x 121212−2⋅−2=⋅−2++4=1−2⨯3+4=−1， ()x x x x x x x x 22211221212+⋅+=+−⋅=9−1=8，x x x x x x x x 2221211212+7+===7⋅1，()()x x x x x x 222121212−=+−4⋅=3−4⨯1=5，∴x x 12−=，∴()()(x x x x x x 22121212−=+−=3⨯=x x x x x x 21121211−−==．【点评】第三小题，主要是考察韦达定理的灵活运用，包含了各种变形情况．【例7】（1）已知关于x 的方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，且x x x x 121211+=+，求k 值．（2）已知x 1，x 2是方程ax ax a 24−4++4=0的两实根，是否能适当选取a 的值，使得()()x x x x 1221−2−2的值等于54．【解析】（1）∵方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，∴()()△≥k k k 22=2−3−4−3=21−120得：≤k 74． 由韦达定理得，()x x k x x k 12212+=−2−3⎧⎪⎨⋅=−3⎪⎩． ∵x x x x 121211+=+，∴x xx x x x 121212++=，x x 12+=0或x x 12=1，当x x 12+=0时，k 3−2=0，k 3=2，∵k 37=<24，所以k 3=2符合题意． 当x x 12=1时，k 2−3=1，k =±2，∵k 7≤4，∴k =2舍去．∴k 的值为32或−2． （2）显然a ≠0由()△a a a 2=16−16+4≥0得a <0， 由韦达定理知x x 12+=1，a x x a12+4=4， 所以()()()()()a x x x x x x x x x x x x a 2221221121212129+4−2−2=5−2+=9−2+=−24a a+36=4 若有()(),x x x x 12215−2−2=4则a a +365=44，∴a =9，这与0a <矛盾， 故不存在a ，使()()x x x x 12215−2⋅−2=4． 【点评】这道题主要锻炼孩子们的过程，以及有两个实根，解出来别忘了限制条件，这种类型的题比较常见，一定不要忽视∆的限定条件以及用韦达定理可得到的限定条件．【例8】（1）若m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，则m m n 2+2+−1的值为________．（2）已知a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，则a ab a b 2−+3+的值为__________．（3）已知m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，则()()m m n n 22+2015+6+2017+8= ________．【解析】（1）∵m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，∴m n +=−1，m m 2+−1=0，则原式()()m m m n 2=+−1++=−1=−1，（2）∵a 是方程x x 2+2−5=0的实数根，∴a a 2+2−5=0，∴a a 2=5−2，∴a ab a b a ab a b a b ab 2−+3+=5−2−+3+=+−+5， ∵a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，∴a b +=−2，ab =−5，∴a ab a b 2−+3+=−2+5+5=8． 故答案为8．（3）∵m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，∴m n +=−2016，mn =7；∴m m 2+2016+7=0，n n 2+2016+7=0，()()()()m m n n m m m n n n 2222+2015+6+2017+8=+2016+7−−1+2016+7++1()()()()m n mn m n =−+1+1=−+++1=−7−2016+1=2008故答案是：2008．【点评】这道题主要考查韦达定理根系关系的应用，进一步强化孩子对于韦达定理应用的理解．【例9】（1）已知一元二次方程()ax a x a 2+3−2+−1=0的两根都是负数，则k 的取值范围是_________．（2）已知二次方程342x x k 2−+−=0的两根都是非负数，则k 的取值范围是__________．【解析】（1）此方程两实根为,x x 12，由已知得a x x x x 1212≠0⎧⎪∆0⎪⎨+<0⎪⎪>0⎩≥，∴()()a a a a a a a a2≠0⎧⎪3−24−10⎪⎪2−3⎨<0⎪⎪−1⎪>0⎩-≥g ,即a 91<8≤．（2）此方程两实根为,x x 12，由已知得≥x x x x 1212∆≥0⎧⎪+≥0⎨⎪0⎩，得：∴2()43()k k ⎧⎪−4−⨯−2≥0⎪4⎪>0⎨3⎪−2⎪≥0⎪3⎩即k 102≤≤3． 【点评】这道题主要考查韦达定理和判别式结合不等式组的形式去判定根的具体情况，这类题是比较常见一类题，要将这种不等的思想传授给孩子．【课后作业】1．已知关于x 的一元二次方程()()k x k x 22−1+2+1+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为_____________． A ．k 1≥4 B ．k 1>4且≠k 1 C ．k 1<4且≠k 1 D ．k 1≥4且≠k 1【解析】B ．2．已知关于x 的一元二次方程x m 2−=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围__________．3．关于x 的方程()()m x m x 22−4+2+1+1=0有实根，则m 的取值范围__________．【解析】2．由题意可知，原方程的判别式(m m m 21∆=+4=1+3>0⇒>−3．又≥≤m m 1−0⇒1， 故≤m 1−<13．3．题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分0m 2−4=和m 2−4≠0，两种情形讨论：当m 2−4=0即m =±2时，()m 2+1≠0，方程为一元一次方程，总有实根； 当m 2−4≠0即m ≠±2时，方程有根的条件是： [()]()≥m m m 22=2+1−4−4=8+20∆0，解得m 5≥−2．∴当m 5≥−2且m ≠±2时，方程有实根．综上所述：当m 5≥−2时，方程有实根．4．已知关于x 的方程()x k x k 2−+1+2−2=0． （1）求证：无论k 为何值，方程总有实根；（2）若等腰ABC △，底边a =3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．【解析】（1）()()()≥△k k k 22=+1−42−2=−30，∴无论k 为何值，方程总有实根．（2）当a =3为底，b ，c 为腰时，b c =，∴方程有两个相等的实根，∴∆=0，即()k 2−3=0，k =3，此时方程为x x 2−4+4=0，解x x 12==2，∴ABC △的周长为3+2+2=7，当a =3为腰，则方程有一根为3，将x =3代入方程，得k =4，方程为x x 2−5+6=0，解得x 1=2，x 2=3，∴ABC △的周长为2+3+3=8，综上所述，ABC △的周长为7或8．5．关于x 的方程x kx 22+=10的一个根是−2，则方程的另一根是_______；k =________．6．已知a ，b ，c 为正数，若二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根，那么方程a x b x c 2222++=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正实数根 B ．有两个异号的实数根 C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根7．设α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根，则ααβ2+4+=________．【解析】5．设另一根为x ，由根与系数的关系可建立关于x 和k 的方程组，解之即得．x 5=2，k =−1． 6．a x b x c 2222++=0的()()D b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2， ∵二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根， ∴≥b ac 2−40， ∴b ac 2−2>0，∴()()△b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2>0∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正． 故有两个负根．故选C ．7．∵α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根， ∴αβ+=−3，αα2+3−7=0， ∴αα2+3=7，∴ααβαααβ22+4+=+3++=7−3=4，故答案为：4．11 8．已知关于x 的方程()x m x m 22+2+2+−5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【解析】有实数根，则∆≥0，且x x x x 221212+−=16，联立解得m 的值．依题意有：()2()3()()x x m x x m x x x x m m 12212121222+=−2+2⎧⎪=−5⎪⎨+−=16⎪⎪∆=4+2−4−5≥0⎩，解得：m =−1或m =−15且m 9≥−4， ∴ m =−1．韦达定理说明了一元n 次方程中根和系数之间的关系。
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ax 2 bx c 0
b c x x 0 a a b c 2 x x a a
2
b c b b x x a a 2a 2a
2
2
2
2 b b 4ac x 2 2 a 4 a
2
b b 4ac (a 0) x 2 2a 4a
一元二次方程的判别式
学习目标： 能运用根的判别式，判别方程根的情况和 进行有关的推理论证 教学重点：根的判别式理解和运用 教学难点：根的判别式的运用。
用公式法求下列方程的根:
1 2x
3 x
2
2
x 2 0;
1 2 2 x x 1 0; 4
x 1 0.
Δ的值 根的 情况
0
有两个相等 的实数根
1 3
没有实数根
4
有两个不相 等的实数根
让我们一起学习例题
例2 不解方程，判别方程
4 y 1 4 y 的根的情况.
2
一般步骤： 1、化为一般式，确定 、 、 的值.
ab c
2、计算
的值，确定 的符号.
3、判别根的情况，得出结论.
你会了吗？来练一下吧！ 我相信你肯定行！
练习 不解方程，判别下列方程的根的情况：
1 2 (1) x 3 x 8； 4
(2)5 t 1 7t 0.
2
例3：不解方程，判别关于 x 的方程
x 2 2kx k 0
2 2
的根的情况.
解： 2 2k 4 1 k
2
2
8k 4k 4k
2 2
2 2
2
k 0, 4k 0，即 0, ∵
方程有两个实数根.
a x ax 1 0 a 0
2 2
不解方程，判别关于 x 的方程 的根的情况.
不解方程，判别关于 x 的一元二次方程
a x ax 1 0
2 2
的根的情况.
ax bx c 0(a 0)
当 b 4ac ＜0 时，方程的右边是一个负数，因为在实
2
数范围内，负数没x 反过来，对于方程 bx c 0 a 0 ，
如果方程有两个不相等的实数根，那么 b
2 2
4ac 0;
如果方程有两个相等的实数根，那么
如果方程没有实数根，那么
2
b 4ac 0;
b 4ac 0.
我们把b2 4ac 叫做一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0
”来表示, 的根的判别式，用符号“
2 ax 即一元二次方程 bx c 0 a 0 ，
当 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当方程有两个不相等的实数根时， 0 ；
2
方程的 形式
根的情况
方程有两个相等的 实数根 方程有两个实数根
b 0, c 0 ax2 0 b 0, c 0 ax 2 bx 0 b 0, c 0 ax 2 c 0
0
b
2
4 ac
a、c 异号，方程有两个不相
等的实数根
a、c 同号，方程无实数根
反之，
当 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 0 时，方程没有实数根.
当方程有两个相等的实数根时， 0 ； 当方程没有实数根时， 0 .
让我们一起学习例题
例1 按要求完成下列表格：
1 2 4 3x 4 x 0 x x 1 0 3 3
2
x2 1 0
2
2
当 b 2 4ac ＞0 时， 方程的右边是一个正数， 方程有两个不
b b2 4ac b b2 4ac 相等的实数根： x1 ; x2 ; 2a 2a
2 b 当 4ac =0 时，方程的右边是 0，方程有两个相等的 b 实数根： x1 x2 ; 2a
温故而知新
一元二次方程 ax bx c 0 a 0
2
的求根公式是：
b b 4ac x 2a
2
温故而知新
一元二次方程 ax bx c 0(a 0 , b 4ac 0 )
2
2
的求根公式是
b b 4ac x 2a
2
如何把一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 写 成 x h 2 k 的形式？