采用反正切变换降低小波去噪对野值的敏感性
小波图像去噪研究方法概述
小波图像去噪研究方法概述如何消除图像中的噪声是图像处理中古老的课题. 长期以来, 人们根据图像的特点、噪声的统计特征和频谱分布的规律, 提出和发展了不同的去噪方法[1] . 图像去噪存在一个如何兼顾降低图像噪声和保留细节的难题.用滤波器对非平稳信号处理时不能有效地将信号高频和由噪声引起的高频干扰加以区分.具有“数字显微镜” 之称的小波变换在时频域具有多分辨率的特性,可同时进行时频域的局部分析和灵活地对信号局部奇异特征进行提取以及时变滤波.利用小波对含噪信号进行处理时,可有效地达到滤除噪声和保留信号高频信息, 得到对原信号的最佳恢复. 目前, 小波图像去噪方法已成为去噪的一个重要分支和主要研究方向, 在过去的十多年, 小波方法在信号和图像去噪方面的应用引起学者广泛的关注[2].本文阐述小波图像去噪方法的发展历程和小波去噪机理, 概括目前的小波图像去噪的主要方法以及应用, 最后对小波图像去噪方法的发展和应用进行展望.1.小波图像去噪发展小波图像去噪方法大体经过了5个阶段: 第一阶段早在1992年, Mallat提出奇异性检测的理论, 从而可以利用小波变换模极大值的方法结合边缘检测来去除噪声. 第二阶段是小波图像萎缩法: 将含噪信号做正交小波变换,然后对其系数进行阈值操作得到去噪信号. 1992和1995年, Donoho等[ 3 ]提出非线性小波变换阈值去噪法, James S. Walker[ 4 ]提出自适应树小波萎缩法, 去噪效果相当好. 1995年, Coifman &Donoho[5, 6 ]在阈值法的基础上提出了平移不变量小波去噪法, 它是对阈值法的一种改进. 第三阶段是多小波去噪法. 1994年Geronimo, Ha rdin& Masso pus构造了著名的GHM 多小波, 它既保持了单小波所具有的良好的时域与频域的局部化特性,又克服了单小波的缺陷. 第四阶段是基于小波系数模型的去噪法:将小波与隐式马尔可夫、多尺度随机过程、上下文、Bayes等模型结合起来, 可获得满意的去噪效果. 第五阶段是最近提出的脊波、曲波去噪法.2.小波去噪的机理噪声去噪问题一般采用模型:()()()e e , 0, 1,, 1,s i f i i i n =+=⋯-其中, f (i) 是期望图像; s( i) 是观测的含噪图像; e (i)是噪声; e 是噪声方差.去噪目的就是从含噪图像 s(i)中恢复原始图像的同时保持图像 s(i) 的特征,优化均方差,即在一组正交基{}() , 0 m B g m N =≤≤下通过分解()()() e s i f i e i =+得到()()() , , , .s i gm f i gm ee i gm =+ 〈〉〈〉〈〉由于小波函数在时频域都具有较好的局域性,其变尺度特性使小波变换对确定信号具有一种 “集中” 的能力, 且能较好地表示信号的局部结构特征. 所以小波变换去噪主要是利用信号和噪声的 Lipschilz 指数在局部结构特征下所表现的奇异性对小波系数进行处理.3. 小波去噪的方法3.1 基于模极大值的图像去噪法1992年, Mallat 提出用奇异点-模极大值法检测信号的奇异点 ,根据有用信号和噪声的小波变换在奇异点的模极大值的不同特性, 采用多分辩率理论, 由粗即精地跟踪各尺度 j 下的小波变换极大值来消除噪声. 其去噪算法是:步骤 1: 对含噪图像进行小波变换.步骤 2: 提取小波分解中第一层的低频图像, 跟踪该尺度下的小波变换极值点. 步骤 3: 令 j = 1, 对第一层低频图像进行小波变换, 提取第二层低频图像信号, 且以步骤 2中的小波变换极值点为参考, 清除幅值减小的极值点, 保留幅值增加的极值点.步骤 4: 令 j= 2, 3, …… , 重复步骤 3.步骤 5: 重构图像, 得到去噪后的图像.模极大值法主要适于图像中混有白噪声且图像中含有较多奇异点的情况,去噪后的图像没有多余振荡, 能获得较高的信噪比, 保持较高的时间分辨率.另外模极大值法要利用复杂的交替投影法来进行重构小波系数, 因而计算速度非常慢且有时不稳定[ 7] .3.2 小波萎缩法3. 2. 1 阈值萎缩法阈值萎缩法去噪的算法为:步骤 1: 选择合适的小波基并确定小波分解的层次 N 对含噪图像进行小波变换, 得到小波分解系数. 步骤 2: 在小波变换域设定阈值对小波系数进行处理, 获得新的小波系数. 硬阈值处理法:(), , h j k n X T w t == , , , j k j k n w w t ≥ ,0, .j k n w t < 软阈值处理法:,k X = T ( w , t ) =S j n ,, , ,j k n j k n w t w t -≥, 0, .j k n w t < 半软阈值处理法:sem i j tn X = T ( w , k ) = , , ,? 2 ,j k j k n w w t > ()()2 , 1 / 2 1 , 1 , 2 ,tn wj k tn tn tn tn wj k tn --<≤0，, 0,?j k n w t ≤ 步骤 3: 通过小波逆变换,重构图像,得到去噪图像.阈值法去噪的应用具体有以下几个方面:( 1) 通用阈值去噪法. 这是应用最广泛的一种小波去噪方法,[8]2 ) ,(T e log M N =⨯ 其中e 是噪声标准方差; M× N 为图像尺寸,实际应用时根据图像的特点选取硬、软、半软阈值处理法.( 2) 自适应阈值去噪法. 阈值过大或过小都不能达到在去噪的同时保留图像细节和边缘信息. 通过对阈值函数进行修改[2] , Maarten Jansen 等[9]提出能提高去噪效率的不同阈值选取法,诸如水平相关阈值去噪法, Mario 等[10]提出基于贝叶斯估计的小波收缩阈值的图像降噪方法, Mario 和胡海平等[10, 11 ]通过最小 Bayes 风险的方法对图像小波变换后的小波系数进行估计, 尚晓清等[12]提出基于子带的自适应阈值, Huang X等[13 ]利用统计学中的毕达哥斯定理选取小波阈值进行图像去噪, Grace Chang S 和Detlev Ma rpe等[14, 15]自适应小波阈值图像去噪法, 同时给出相应阈值优化的公式,通过选取最佳的阈值来达到理想的效果.( 3) 小波包阈值去噪法. 小波包分析能为信号提供一种更精细的分析方法,它将频带进行多层次划分, 对多分辨率没有细分的高频部分进一步分解, 并能根据被分析信号的特征, 自适应地选择相应频带,提高时频分辨率.基于小波包变换的阈值法去除图像斑点噪声效果很好且保持了边缘特征信息[16] . 在贝叶斯结构中自动估计阈值采用复小波包来去噪,其实验表明, 它比小波包变换具有计算速度快等特点[6 ] .( 4) 平移不变小波去噪法. 它在阈值法的基础上加以改进[5, 6] , 其方法是: 对含噪图像进行n次循环平移, 对平移后的图像进行阈值去噪处理, 再对去噪的结果进行平均. 它不仅能有效的抑制阈值去噪法产生的伪Gibbs现象, 而且能减小原始信号和估计信号之间的M SE和提高SNR. 缺点是是计算复杂度太高. Tien等人则进一步利用平移不变多小波变换进行去噪, Cohen等人将小波包和平移不变法结合起来[1] , 避免了一些特征模糊化的现象.( 5) 迭代小波阈值法. Coifman& Wickerhauser提出迭代去噪算法, R. Ranta等提出固定点的小波阈值迭代算法, 大大提高计算效率. Detlev Ma rpe[15 ]提出通过对基于上下文的自适应阈值进行迭代运算,可取得更准确的重构,图像视觉质量大增, M SE较低.3. 2. 2比例萎缩法它是将每一个带噪系数乘以一个比例系数来对原系数进行估计. 目前最具代表性的比例萎缩法是利用最大似然准则的LAWM L和利用最大后验概率准则的LAWM AP .相对来说,比例萎缩去噪后的重建误差比阈值萎缩法小,但重建的信号没有阈值萎缩那样光滑且不利于信号的压缩. 谢杰成等[8 ]提出一些改进措施.3. 2. 3自适应树小波萎缩法信号在各层相应位置上的小波系数往往具有很强的相关性, 而噪声具有弱相关或不相关的特点, 根据对小波系数树结构及在边缘处呈现的所谓“父子” 相关性[4, 12] ,将小波尺度的相关信息和阈值结合起来, 能较好的将边缘结构从噪声中区分开来, 这样可对图像进行去噪. Walker J S等[4 ]提出一种将小波变换四叉树的统计特性和小波收缩结合起来的图像去噪新方法.3.3多小波去噪法在信号去噪中多小波优于标量波[9]. Jean-LucStarck提出通过合并邻域系数的办法来进行多小波阈值化处理图像噪声, 去噪效果超过了单小波, 优于传统的方法. 多小波去噪算法[23, 24 ]为:步骤1: 运用一个预滤波器将含噪图像转变成多流数据.步骤2: 对预处理后多流数据执行多小波变换,得到多小波系数.步骤3: 对多小波系数阈值化.步骤4: 对阈值化后的多流数据IDMW T.步骤5: 对IDMW T后的数据进行后滤波处理,得到去噪图像.3.4基于小波系数模型的去噪法小波去噪中, 小波系数模型非常重要, 只有在成功的小波系数模型上, 才可能提出成功的去噪方案[8 ] . S. Grace Chang提出基于上下文模型的空间自适应小波去噪法, 结果表明图像质量好. Grouse等提出一种基于小波域隐式马尔可夫模型的统计信号处理结构, Hua Xie和Aleksandra Pizurica[15]运用有关小波系数空间族的先验知识,采用马尔可夫随机场模型进行图像去噪. 利用多尺度随机过程对小波图像系数进行建模,通过阈值判断和邻域判断相结合的方法区分对应边缘处的系数,然后对边缘区和非边缘区的小波系数进行不同的估计, 达到图像去噪的目的. 文献将层内和层外统计模型联合起来去噪, 效果相当好.3.5脊波、曲波去噪法Candes& Donoho应用现代调和分析的概念和方法, 并使用在小波分析和群展开理论中发展的技术,针对具有较多突变边缘的问题,构造特殊结构的小波基, 如ridgelets和curvelets, 以修正小波变换减少在不连续的边缘附近高频系数产生的数量. 为了将脊波变换应用到数字图像中, Do提出一种可逆变换的、正交的、重构性相当好的有限脊波变换, 其实现机制是Radon变换[30 ] . 脊波分析等效于目标函数的Radon变换域的小波分析, 即若令函数的脊波变换为()() ,.=〈〉R f V f hv单尺度脊波是在一个基准尺度s进行脊波变换,对应于单尺度脊波, Candes和Donoho 构造了曲线波或者称为多尺度脊波, 它是在所有可能的尺度s≥ 0进行脊波变换,曲波变换是可逆变换的二维各向同性的小波变换、分割、Radon变换、1D小波变换的结合. 在二维情况, 当图像具有奇异曲线, 并且曲线是二次可微的, 则曲线波可以自适应地“跟踪” 这条奇异曲线, 并且他们构造曲线波的紧的框架, 对于具有光滑奇异性曲线的目标函数, 曲线波提供稳定的、高效的和近于最优的表示.3.6综合法小波图像去噪效果比经典的方法要好,实际应用中将小波和经典的方法结合起来,去噪效果往往会更好, 本人对B超图像做过试验, 去噪效果优于单独的小波去噪或经典方法.小波图像去噪与经典方法的结合主要有以下几种:( 1) 小波变换与维纳滤波器或中值滤波等结合起来[13 ] .( 2) 将小波变换、小波收缩、小波压缩与广义验证法结合起来去噪.( 3) 利用聚类分析和小波变换结合起来进行去噪.( 4) 将小波与PDE结合起来去噪, 在去噪的同时较好的解决了突变边缘的问题. 4展望目前小波去噪方法已成为去噪一个重要分支和主要研究方向, 小波阈值萎缩法的研究仍非常活跃, 小波在高斯噪声的滤除方面收到了很好的效果.由于非高斯噪声还没有找到理想的小波系数模型,故对斑点噪声的去噪效果总是不太理想. 抑制斑点噪声仍然是SAR和医学超声图像的一个研究重点. 近两年来应用多小波去噪也日益成熟[7, 9 ] . 如何建立非高斯噪声的分布模型,根据获得的先验知识和已有先验知识进行准确的建模,对于对非高斯噪声的去除非常重要.寻找理想的小波系数模型已成为目前小波去噪研究的一个方向, 如何使用高斯噪声分布的去噪方法对非高斯噪声进行延拓都是值得进一步探讨的课题.随着脊波和曲波的出现,提高了模型的准确性, 改善了小波的去噪性能, 脊波、曲波、边缘波也会成为当前研究的一大趋势. 实践证明, 根据具体图像选择恰当的结合方法往往比任一单独去噪方法要好. 当前小波去噪方法几乎是针对灰度图像的,对彩色图像的研究不多.随着小波去噪方法的不断完善和发展,对彩色图像去噪的研究是一个很有研究潜力的领域, 它在图像去噪领域将会有更广阔的前景.参考文献[1]谢杰成,张大力,徐文立. 小波图象去噪综述. 中国图象图形学报, 2002, 7( 3A): 209～217.[2]Jea n-Luc Starck, Emma nuel J Candè s, David L Do noho. 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一种改进小波阈值图像去噪方法
一种改进小波阈值图像去噪方法【摘要】：采用MATLAB进行仿真实验，首先分别对含噪图像使用改进的阈值，改进的阈值函数进行降噪处理，然后将两者结合起来应用于含噪图像。
实验结果表明，使用改进后的阈值和阈值函数进行图像降噪，较之现有的经典方法，通常可获得更好的效果。
【关键词】：小波；阈值；阈值函数；去噪近年来，出现了一种新的数学工具——小波变换，它较之只能提取出函数在整个频率轴上的频率信息，却不能反映信号在局部时间范围内的特征傅立叶变换，在时域和频域同时具有良好的局部化性质，且对于高频成分采用逐渐精细的时频取样步长，从而可以充分突出研究对象的任何细节。
小波变换的这种特点非常符合图像去噪中保留图像细节方面的要求，并且以其低熵性、多分辨率、去相关性、选基灵活性等优点，在图像降噪处理中得到越来越广泛的应用，本文重点讨论利用小波变换进行图像去噪的方法。
1.小波图像去噪小波图像去噪方法属于图像变换域去噪方法，从信号学的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题，而且尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波，但是由于在去噪后，还能成功地保留图像特征，所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。
小波去噪实际上是特征提取和低通滤波功能的综合，其流程如图所示：图1小波去噪框图小波去噪方法中最早被提出的是小波阈值去噪方法，它是一种实现简单而效果较好的去噪方法。
1.1小波阈值去噪1.1.1选取阈值函数在阈值去噪中，阈值函数体现了对超过和低于阈值的小波系数模的不同处理策略以及不同估计方法。
常用的阈值函数有硬阈值函数和软阈值函数两种，硬阈值策略保留大于阈值的小波系数，而把小于阈值的小波系数都设定为零。
软阈值策略把小于阈值的小波系数置零，把大于阈值的小波系数的绝对值减去阈值以去除噪声的影响。
硬阈值方法可以很好的保留图像边缘等局部特征，但图像会出现振铃、伪Gibbs效应等视觉失真，而软阈值处理虽相对平滑，但可能会造成边缘模糊等失真现象，这都是我们在工程降噪中所不希望看到的。
多尺度小波变换在野值剔除中的应用
ｆ ｒ ， ｈ ｙ ｔｍ ｉ ｎ ｌ ｓｄ ｓ ｏ ｏ ｅ ｏ ｅ ｃ ｃ ｌ ｅ ｅ ｔ ｅｄ ｓ ｓ ｅ ｌｄ ｓｇ ａ ｓ ｉ ｔ ｄ ｂ ｌ ｎ ｆ — ｏ ｍ ｔ ｅ ｓ ｓ ｅ ｓ ａ ｉｃ ｍｐ ｓ ｄ ｔ ａ ｈ ｓ ａ ｅｗｈ ｒ ｈ ｉａ ｓ ｍｂ ｅ ｉ ｎ ｌ ｓ ｅ ｔ ｇ ｉ ｉ ｍａ ｅ ｙ Ｋａｍａ ｉ ｌ
ｔ ｒ ａ ｄ ｔ ｎ ｗａ ｌｔｒ ｃ ｎｓ ｒ ｔｏｎ ｉ ｐｐｌ ｄ ｔ ｔｔ ｅ ｂ ｓ ｓ ｉ ａ ｉ ｎ ｖａ ｉ ｃ ｅ Ｔ ｈ ｓａｇｏ ｉｈｍ ｏｍ ｂ— ｅ ， ｎ ｈｅ ｖｅｅ ｅ ｏ ｔｕｃ ｉ ｓａ ｉ Ｏ ｇｅ ｈ ｅ ｔｅ ｔｍ ｔｏｎ ｉ ｒｏｕｓｓ ａｌ． ｉ ｌ ｒｔ ｅ ｃ ｉ
ｃ ｏｍ ｐ ｅ ｉｙ ｏ ｈｅＫ ａ ｍ ａ ｉｔ ｒａｇｏ ｉｈｍ ， ｎ ｅｆｃｅ ｔｆｌｅ ｉ ｇ ａｌｏｒｔ ｍ ｓｐｒ ｏ ｅ ｗ ｈｉｈ ｉ ｂｌ Ｏ ｅｌ ｉ ｔ ｌ ｘ ｔ ｆｔ ｌ ｎ ｆｌｅ ｌ ｒｔ ａ ｆｉｉ ｎ ｉｔ ｒｎ ｇ ｉｈ ｉ ｏｐ ｓ ｄ， ｃ ｓ ａ ｅｔ ｉ ｎａ ｅ ｍ ｏｕｔｉｒ ｌ ｆｅ ｖ ｅ ｕ ｔｓ ａｅ ｄ ｃ ｍ ｐｏ ｉｉ ｎ ａ ｅ ｏｎｓｒ ｔｏ Ｓｉ ｕｌｔｏ ｈ ｌｅ ｓ ｗｅ ｌａ ｔ ｒ ｗａ ｅｌｔｍ ｌｉｃ ｌ ｅ ｏ ｓｔｏ ｎｄ ｒ ｃ ｔ ｕｃ ｉｎ． ｍ ａ ｉｎ ｓ ｏｗｅ ｔ ｗｏ ｍ ｕ ｔｓ ａｅ ｄ ｂｏ ｈ ｔ ｌｉｃ ｌ ｗ ａ ｅ ｅ ｒ ｎｓ ｏ ｍ ｌｏｒｔ ｓｈａ ｅ ｇｏ ｄ ｒ ｓ ｔ ｎ ｅｉ ｉ ｔｏ ｏ ｔｉｒ ． ｖ ｌ ｔｔａ ｆ ｒ ａｇ ｉｈｍ ｖ ｏ ｅ ｕｌｓ ｉ ｌｍ ｎａ ｉｎ ｆｏｕ ｌｅ ｓ Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｓ： ａｍ ａ ｆｌｅ ； ｖｅｅ ｒ ｎｓ ｏ ｍ ； ｕｈｉｃ ｌ ｄ Ｋ ｌ ｎ ｉｔ ｒ ｗａ ｌｔｔａ ｆ ｒ ｍ ｓａｅ
(完整版)小波变换去噪基础知识整理
1.小波变换的概念小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。
所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。
与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。
有人把小波变换称为“数学显微镜”。
2.小波有哪几种形式?常用的有哪几种?具体用哪种，为什么？有几种定义小波(或者小波族)的方法:缩放滤波器:小波完全通过缩放滤波器g——一个低通有限脉冲响应(FIR)长度为2N和为1的滤波器——来定义。
在双正交小波的情况，分解和重建的滤波器分别定义。
高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算，而重建滤波器为分解的时间反转。
例如Daubechies和Symlet 小波。
缩放函数:小波由时域中的小波函数(即母小波)和缩放函数(也称为父小波)来定义。
小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。
这产生了一个问题，如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。
缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。
对于有紧支撑的小波，可以视为有限长，并等价于缩放滤波器g。
例如Meyer小波。
小波函数:小波只有时域表示，作为小波函数。
例如墨西哥帽小波。
3.小波变换分类小波变换分成两个大类：离散小波变换(DWT) 和连续小波转换(CWT)。
两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。
DWT用于信号编码而CWT用于信号分析。
所以，DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。
4.小波变换的优点从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点：(1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述)(2)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性(3)小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口)(4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法)另:1) 低熵性变化后的熵很低;2) 多分辨率特性边缘、尖峰、断点等;方法, 所以可以很好地刻画信号的非平稳特性3) 去相关性域更利于去噪;4) 选基灵活性: 由于小波变换可以灵活选择基底, 也可以根据信号特性和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等。
小波去噪文献综述
图像去噪处理1.1 小波去噪在数学上，小波去噪问题的本质是一个函数逼近问题，即如何在有小波母函数伸缩和平移所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原图像的最佳逼近，以完成原图像和噪声的区分。
这个问题可以表述为：()()s opt f f -=ββmin arg ()()代表最优解opt f f opt opt β= 为噪声图像为原图像n s n s f f f f f ,,+={}(){}J j Jj span W f f I 212,ϕψ===，为实际图像{}的函数空间影射为W I T →=ββ由此可见，小波去噪方法也就是寻找实际图像空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原图像的最佳恢复。
从信号的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题，而且尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波，但是由于在去噪后，还能成功地保留图像特征，所以在这一点上优于传统的低通滤波器。
由此可见，小波实际上是特征提取和低通滤波功能的综合，其等效框图如图1-2所示。
图1-1小波去噪的等效框图1.1.1小波变换理论基础 1.连续小波变换设()()R L t 2∈ψ，其傅里叶变换为()w ψ，当()w ψ满足允许条件(完全重构条件)：⎰∞<⎪⎭⎫ ⎝⎛=-R dw w w C 2^ψψ (1-1)时，我们称()w ψ为一个基本小波或母小波(Mother Wavelet)。
它说明了基本小波在其频域内具有较好的衰减性。
其中，当0=w 时，有()w ψ=0，即()0=⎰∞∞-dt t ψ同时有()0=∞ψ。
因此，一个允许的基本小波的幅度频谱类似于带通滤波器的传递函数。
事实上，任何均值为零(即()0=⎰∞∞-dt t ψ )且在频率增加时以足够快的速度消减为零(空间局域化特征)的带通滤波器的冲激响应(传递函数)，都可以作为一个基本小波。
将母函数()t ψ经过伸缩和平移后得到：()0;,,1,≠∈⎪⎭⎫⎝⎛-=a Rb a a b t at b a 其中ψψ (1-2) 称其为一个小波序列。
小波去噪及其MATLAB中的函数
一、小波去噪中信号阈值的估算
信号去噪是信号处理领域的经典问题之一。 传统的去噪方法主要包括线性滤 波方法和非线性滤波方法，如中值滤波和 wiener 滤波等。传统去噪方法的不是 在于使信号变换后的熵增高、 无法刻画信号的非平稳特性并且无法得到信号的相 关性。为了克服上述缺点，人们开始使用小波变换解决信号去噪问题。 小波变换具有下列良好特性： (1) 低熵性：小波系数的稀疏分布，使信号变换后的熵降低； (2) 多分辨率特性：可以非常妤地刻画信号的非平稳特性，如边缘、尖峰、 断点等； (3) 去相关性：可取出信号的相关性，且噪声在小波变换后有白化趋势，所 以比时域更利于去噪； (4) 选基灵活性：由于小波变换可以灵活选择基函数，因此可根据信号特点 和去噪要求选择适合小波。 小波在信号去噪领域已得到越来越广泛的应用。 阈值去噪方法是一种实现简 单、效果较好的小波去噪方法。阈值去噪方法的思想就是对小波分解后的各层系 数中模大于和小于某阈值的系数分别处理， 然后对处理完的小波系数再进行反变 换，重构出经过去噪后的信号。下面从阈值函数和阈值估计两方面对阈值去噪方 法进行介绍。 1．阈值函数 常用的阈值函数主要是硬阈值函数和软阈值函数。 (1)硬阈值函数。表达式为 ( w) wI (| w | T ) ，如图 4.18 所示，其中横坐标 表示信号的原始小波系数，纵坐标表示阈值化后的小波系数。 (2)软阈值函数。 表达式为 ( w) ( w sgn( w)T ) I (| w | T ) ， 如图 4.19 所示， 其中横坐标表示信号的原始小波系数，纵坐标表示阈值化后的小波系数。
2 2
/N。
/ N ，则
1 2 2 2 t (Y ) Y ER(t ) n E V , t (Y ) N N 1 2 2 E t (Y ) X X Y 2 t (Y ) X , X Y N 最后可得到风险函数的表达式： ET (t )
一种基于小波阈值去噪的改进方法在气液两相流图像中的应用
域和频域 中对信号进行分析 ， 因此它能较好地 区分信号 中突变部分和噪声 ， 从而实现对信号的降噪。小 波去噪方法的成功主要得益于小波具有如下特点 ： 低熵性 ， 小波系数 的系数分布 ， 使得信号变换后的熵 降低 ； 多分辨 ， 由于采用 了多分辨率的方法 ， 以可以非常好地刻画信号的非平稳特征 ， 所 如边缘 、 尖峰、 断 点等 ； 去相 关性 ， 因为小 波变 换 可 以对 信 号进行 去 相关 ， 噪声在 变换 后有 白化 趋势 ， 以小波 域 比时域 且 所
一
种 基 于 小 波 阈 值 去 噪 的 改 进 方 法 在 气 液 两 相流 图像 中 的应 用
宋 倩 ， 云 龙 ２ 周
（． １ 东北电力大学 自动化工程学 院， 吉林 吉林 １２ １ ２ 东北电力大学 能源与动力工程学院 ， ３ ０２；． 吉林 吉林 １２ １ ） ３ ０ ２
摘
要： 利用 高速摄影 机拍 摄 了气 液两相 流 的图像 ， 它们往 往会伴 随一些 噪声 ， 因此 ， 去噪处 理成
第３ ２卷第 １ 期
２１ ０ ２年 ２月
东
北
电
力
大
学
学
报
Ｖｏ ． ２． ． １ ３ Ｎｏ １ Ｆｂ ２ ２ ｅ ．。 ０１
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＮ ｒｈ ａｔ ｉｎｉ ｉｅｓ ｙ ｏ ｒ ａ ｏ ｔｅ ｓ Ｄ ａ ｌＵｎｖ ｒｉ Ｏ ｔ
文 章 编 号 ：０ ５—２ ９ （ ０ ２ ０ ０ ４ １０ ９２ ２ １ ） １— ０ １—０ ４
（ ２ ）
关 键 词： 气液两相 流 ； 小波变换 ； 图像去噪 ； 阈值
小波变换在信号去噪中的应用
小波变换在信号去噪中的应用随着数字化技术的不断发展，各行业的数据量也在不断增加，因此如何对高噪声的数据进行可靠处理变得尤为重要。
在信号处理领域中，小波变换已经成为一种非常有效的信号去噪方法。
接下来将对小波变换在信号去噪中的应用进行深入探讨。
一、小波变换的原理和特点小波变换是一种将函数分解为不同频率组成部分的数学方法。
和传统傅里叶变换不同，小波变换具有更好的时间-频率局限性，能够有效的提取出不同频率成分的信号。
同时，小波变换能够处理非平稳信号，也就是信号的频率随时间的变化。
小波变换能够将信号分解为低频和高频两部分，其中低频部分表示信号的整体趋势，高频部分表示信号的细节部分。
二、小波去噪的实现过程小波去噪是通过去掉信号中的高频部分来达到减少噪声的目的，实现的具体步骤如下：1. 对信号进行一次小波变换，得到低频部分和高频部分；2. 计算高频部分的标准差，并通过阈值处理去掉低于阈值的高频部分；3. 将处理后的低频部分和高频部分进行反变换，得到去噪后的信号。
三、小波去噪的优点和适用范围小波去噪相比传统方法具有以下优点：1. 处理效果更好：小波变换能够更好地提取信号的不同频率成分，而传统方法只能处理平稳的信号；2. 处理速度更快：小波去噪具有并行处理能力，可以在相同时间内处理更多的数据；3. 阈值处理更加方便：小波去噪阈值处理的方法相对于传统方法更加方便。
小波去噪主要适用于以下信号：1. 高噪声信号：高噪声的信号难以处理，而小波变换能够有效提取信号的不同成分，因此小波去噪在处理高噪声信号时效果更佳；2. 非平稳信号：信号的频率随时间变化的情况下，小波去噪将比传统方法更为有效。
四、小波去噪在实际应用中的意义小波去噪在实际应用中的意义主要体现在以下方面：1. 信号传输：在信号传输中，噪声会对传输信号造成影响，而小波去噪能够降低信号噪声，提高传输质量。
2. 图像处理：小波去噪也可以应用于图像处理领域。
在图像处理中，噪声也会对图像造成影响，而小波去噪能够去除图像中的噪声，提高图像质量。
小波阈值去噪法的选择和改进
“数字图像处理与目标跟踪技术”[摘要]图像是一种重要的信息源，通过图像处理可以帮助人们了解信息的内涵。
数字图像噪声去除涉及光学系统、微电子技术、计算机科学、数学分析等领域，是一门综合性很强的边缘科学，如今其理论体系已十分完善，且其实践应用很广泛，在医学、军事、艺术、农业等都有广泛且成熟的应用。
本文概述了小波阈值去噪的基本原理。
对常用的几种阈值去噪方法进行了分析比较和仿真实现。
最后结合理论分析和实验结果，讨论了一个完整去噪算法中影响去噪性能的各种因素。
为实际的图像处理中，小波阈值去噪法的选择和改进提供了数据参考和依据。
[关键字]：小波变换图像去噪阈值[引言]图像在生成和传输过程中常常因受到各种噪声的干扰和影响而使图像降质，这对后续图像的处理(如分割、压缩和图像理解等)将产生不利影响。
噪声种类很多，如：电噪声、机械噪声、信道噪声和其他噪声。
在图像处理中，图像去噪是一个永恒的主题，为了抑制噪声，改善图像质量，便于更高层次的处理，必须对图像进行去噪预处理。
计算机图像处理主要采取两大类方法：一是在空间域中的处理，即在图像空间中对图像进行各种处理；另一类是把空间域中的图像经过正交变换到频域，在频域里进行各种处理然后反变换到空间域，形成处理后的图像。
人们也根据实际图像的特点、噪声的统计特征和频谱分布的规律，发展了各式各样的去噪方法。
其中最为直观的方法，是根据噪声能量一般集中于高频而图像频谱则分布于一个有限区间的这一特点，采用低通滤波方式来进行去噪，或对图像进行平滑处理等，这属于第一类图像处理方法。
还有就是在频域进行处理，如：傅立叶变换、小波基变换。
近年来，小波理论得到了非常迅速的发展，而且由于其具备良好的时频特性，实际应用也非常广泛。
其中图像的小波阈值去噪方法可以说是众多图像去噪方法的佼佼者。
基本思想就是利用图像小波分解后，各个子带图像的不同特性选取不同的阈值，从而达到较好的去噪目的。
而且，小波变换本身是一种线形变换，而国内外的研究大多集中在如何选取一个合适的全局阈值，通过处理低于该阈值的小波系数同时保持其余小波系数值不变的方法来降噪，因而大多数方法对于类似于高斯噪声的效果较好，但对于混有脉冲噪声的混合噪声的情形处理效果并不理想。
小波变换的阈值选取与去噪效果评估方法
小波变换的阈值选取与去噪效果评估方法小波变换是一种常用的信号分析方法，可以将信号分解成不同频率的子信号，从而实现信号的去噪和特征提取。
在小波变换中，阈值选取是一个重要的步骤，它决定了去噪效果的好坏。
本文将介绍小波变换的阈值选取方法，并探讨如何评估去噪效果。
一、小波变换的阈值选取方法小波变换的阈值选取方法有很多种，常用的有固定阈值法、基于统计特性的阈值法和基于小波系数分布的阈值法。
1. 固定阈值法固定阈值法是最简单的阈值选取方法，它将小波系数的绝对值与一个固定阈值进行比较，大于阈值的系数保留，小于阈值的系数置零。
这种方法简单直观，但对于不同信号的去噪效果不一致，需要根据实际情况进行调整。
2. 基于统计特性的阈值法基于统计特性的阈值法是根据信号的统计特性来选择阈值。
常用的方法有均值绝对偏差（MAD）和中值绝对偏差（MAD）。
MAD方法是通过计算小波系数的平均值和标准差来确定阈值。
具体步骤是先计算小波系数的平均值和标准差，然后将平均值加减一个倍数的标准差作为阈值。
一般情况下，取倍数为2或3可以得到较好的去噪效果。
3. 基于小波系数分布的阈值法基于小波系数分布的阈值法是根据小波系数的分布特点来选择阈值。
常用的方法有软阈值和硬阈值。
软阈值将小于阈值的系数置零，并对大于阈值的系数进行缩放。
这种方法可以保留信号的主要特征，同时抑制噪声。
硬阈值将小于阈值的系数置零，而大于阈值的系数保留。
这种方法对于信号的边缘特征保留较好，但可能会导致一些细节信息的丢失。
二、去噪效果评估方法选择合适的阈值选取方法可以实现较好的去噪效果，但如何评估去噪效果也是一个关键问题。
下面介绍两种常用的评估方法。
1. 信噪比（SNR）信噪比是一种常用的评估指标，它可以衡量信号与噪声的相对强度。
计算公式为SNR = 10 * log10(信号能量 / 噪声能量)。
当SNR值越大，说明去噪效果越好。
2. 均方根误差（RMSE）均方根误差是评估去噪效果的另一种指标。
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2017，53（10）1引言从非平稳时间序列中分离出白噪声是一个尚未解决的重要难题。
2000年考普斯会长奖（COPSS Presidents ’Award ，国际数理统计学最高奖）得主范剑青在2003年说：一般来讲，由观测数据得到白噪声的“正确”分布函数是困难的[1]。
通常认为，高斯白噪声序列无法通过科学的方法进行预测。
小波去噪是实际中广泛应用的噪声分离方法。
小波也逐步发展到提升小波、曲波，以及第三代小波[2-5]。
其中的小波阈值去噪，计算量小、去噪效果好，在各领域去噪的实际应用中使用最为广泛[6-9]。
在非平稳时间序列去噪中，野值（outlier ）或突变点往往会降低小波阈值去噪的准确性和稳健性。
为了提高去噪效果，目前学者们主要对阈值函数和阈值的选取方式进行研究和改进[10-14]。
阈值函数和阈值选取方式是采用反正切变换降低小波去噪对野值的敏感性杨正瓴1，2，张玺1，张军1，2，杨钊1，刘亚迪1YANG Zhengling 1，2,ZHANG Xi 1,ZHANG Jun 1，2,YANG Zhao 1,LIU Yadi 11.天津大学电气与自动化工程学院，天津3000722.天津市过程检测与控制重点实验室，天津3000721.School of Electrical Engineering and Automation,Tianjin University,Tianjin 300072,China2.Tianjin Key Laboratory of Process Measurement and Control,Tianjin 300072,ChinaYANG Zhengling,ZHANG Xi,ZHANG Jun,et al.Reduce sensitivity of wavelet denoising to outliers by arc-tangent function puter Engineering and Applications,2017,53（10）：241-245.Abstract ：For nonstationary time series with outliers and strong noises,in order to increase the accuracy and robustness of wavelet threshold denoising in the low frequency signal decomposition,the arc-tangent function transformation is employed to transform the original nonstationary time series to a new more stationary series.The SNR （Signal-to-Noise Ratio ）is improved and the negative effect of outliers is insulated.The suppressing capability of arc-tangent function transforma-tion to outliers is explained analytically,and its parameters are optimized.Numerical experiments/simulations of a given signal prove that the arc-tangent function transformation can improve the resistance against outliers,and enhance the per-formance of wavelet threshold denoising.An example of wind speed time series denoising shows that the new method can provide a more real wind speed signal by eliminating the outliers with larger amplitudes.Key words ：nonstationary time series;wavelet threshold denoising;arc-tangent function transformation摘要：对存在野值和较强噪声的非平稳时间序列，为提高小波阈值去噪在低频信号分解中的准确性和稳健性，采用反正切变换将原始非平稳时间序列转换成新的更平稳的序列，以提高信噪比，并抑制野值的不利影响。
通过解析分析，解释了反正切变换抑制野值的成因，并优化了其中的参数。
采用已知信号的数值实验（仿真）证明，反正切变换能够提高对野值的抵抗能力，改善小波阈值去噪的效果。
应用于风速时间序列的去噪表明，新方法能够有效抑制风速里的野值，获得更符合实际的风速信号。
关键词：非平稳时间序列；小波阈值去噪；反正切变换文献标志码：A 中图分类号：TP911.7doi ：10.3778/j.issn.1002-8331.1512-0019基金项目：天津市科技计划项目基金（No.13ZXCXGX40400）。
作者简介：杨正瓴（1964—），男，博士，副教授，研究领域为非线性时间序列分析与预测，风电功率预测；张玺（1987—），男，硕士，研究领域为风电功率预测，E-mail ：zhangxi1220@ ；张军（1964—），男，副教授，研究领域为时间序列分析与预测，智能交通与图像处理；杨钊（1990—），男，硕士，研究领域为风电功率预测；刘亚迪（1991—），女，硕士，研究领域为非线性时间序列分析与预测。
收稿日期：2015-12-01修回日期：2016-03-09文章编号：1002-8331（2017）10-0241-05CNKI 网络优先出版：2016-05-10,/kcms/detail/11.2127.TP.20160510.1102.018.htmlComputer Engineering and Applications 计算机工程与应用241Computer Engineering and Applications 计算机工程与应用2017，53（10）小波阈值去噪中直接决定去噪效果的关键。
为进一步改进传统阈值函数和阈值选取方式，文献[11]随着分解尺度的变化而改变阈值，以减少小波系数和原系数之间的偏差。
文献[12]提出新的阈值函数以提高语音去噪后的信噪比。
文献[13]提出的阈值函数具有整体连续、调节灵活的特点。
文献[14]提出的阈值函数兼顾软、硬函数的优点，解决了连续性差以及存有固定偏差问题。
这些新的阈值函数、阈值选取的改进方式，都改善了小波阈值去噪的性能。
短时风速、短时公路交通流等重要的非平稳时间序列里包含较强的噪声和野值。
近年的研究发现[15]：低阶非线性变换[16]能够抑制这类非平稳时间序列的波动性，减小野值的不利影响。
与常见的改进小波阈值去噪思路不同，本文拟采用反正切变换（一种低阶非线性变换）来抑制野值的不利影响，以提高信噪比，并提高小波阈值去噪的效果。
同时采用解析方法来优化反正切变换的参数。
最后用数值实验（仿真）验证反正切变换改进小波去噪的效果。
2反正切变换改进小波阈值去噪的流程小波阈值去噪的基本原理为：原始信号经过小波变换后，信号的能量通常对应那些较大的小波变换系数；相反地，噪声由于能量分布范围广，而产生较小的小波系数。
选择合适的阈值，将对应噪声的那些较小的小波系数去除，将剩余的较大的小波系数进行小波重构，就得到了原始信号里包含的信号。
从而达到了从原始信号中消去噪声的目的。
不同于现有的阈值优化改进的常见思路，本文采用反正切变换来抑制原始信号里野值的不利影响，来改进小波阈值去噪的效果。
具体流程如图1所示。
类似文献[15]的图1，反正切变换可以明显抑制野值并提高信噪比，这样即使不改进小波阈值去噪本身的性能，也可以获得更好的去噪效果，降低小波阈值去噪对野值的敏感性，使得到的信号更接近其真实值。
3反正切变换抑制野值的理论分析3.1采用反正切变换提高信噪比记x i 为原始时间序列，其反正切变换为f ()x i =arctan ()ax i +b ，这里a 、b 为需要优化的实数系数，i =1,2,⋯,n 。
采用反正切函数的导数来表示信噪比的提高。
记d x i 为微分，Δx i 为其对应的差分。
根据d f()x i d x i =a1+()ax i +b 2可知反正切变换后的相对误差（即某种推广意义下的信噪比）为：||||||||Δf ()x if ()x i =||||||||a Δx i()1+()ax i +b 2arctan ()ax i +b =||||||||ax i ()1+()ax i +b 2arctan ()ax i +b ||||||Δx i x i （1）当||||||||ax i ()1+()ax i +b 2arctan ()ax i +b <1时，有：||||||||Δf ()x i f ()x i <||||||Δx ix i （2）当满足公式（2）要求的条件时，即可通过反正切变换抑制野值造成的不利影响。
由公式（1）可知，反正切变换的压缩率越大，即||||||||Δf ()x i f ()x i 越小，则对野值的抑制作用越明显。
由于反正切的一阶导数绝对值不大于1，所以可以通过反正切的二阶导数来计算压缩率的大小：||||||||d 2f ()x i d x i 2=||||||||||||2a 2()ax i +b ()1+()ax i +b 22（3）二阶导数绝对值大的区域，对应一阶导数变化率大的区域，亦即对应参数a 和b 的优化区域。
如公式（3）和图2所示。
实际应用中，建议ax i +b 取值在区间[]0.2,2.5里。
ax i +b =0.5773时二阶导数取得极值即压缩率最大，该区间位于其周围。
满足该区间取值的参数a 、b ，是这两个参数的优化值。
图1采用反正切变换改进小波阈值去噪的流程图0.40.8 1.2 1.6 2.0 2.41.21.00.80.60.40.2ax i +b 反正切的二阶导数反正切函数一阶导数二阶导数图2反正切函数的二阶导数与参数a 、b 的优化2422017，53（10）3.2反正切变换后小波分解系数的变化从小波分解系数计算的角度看：（1）对于“突变点”，其后的信号数值出现了持续性变化。