非平稳信号分析

若x(t1),..., x(tn )的联合分布函数与 x(t1 ),..., x(tn )的联合分布函数
对所有的t1,...,tn , T都相同，则由
随机过程x(t),t T表征的随机信号
称为（严格）平稳随机信号。
平稳信号与非平稳信号：
广义平稳随机信号
若随机信号x(t),t T满足： （1） Ex(t) m 常数
且，PV u 2 u,vk 2 kN
u H
定理：(正交展开定理) 3. u V的充分必要条件是：
u 2 u,vk 2 kN
支集和紧支集
支集：A={x|f(x)不等于零}。 紧支集：A是一个紧集。
Schuarzy不等式：
f,g 2 f g
（2） E | x(t) |2
（3） Rx[t1, t2 ] Rx (t1 t2 ) 称为广义（二阶）平稳随机信号。
平稳信号与非平稳信号：
广义(n阶）平稳随机信号 n阶统计量不随时间变化的随机信号
平稳信号与非平稳信号：
非平稳随机信号 不是广义平稳的信号为非平稳信号。
Fourier变换的意义：波的合成
输入：自然光
红色光 橙色光
紫色光
输入：f(x)
频率1 频率2. .Leabharlann Fourier变换的一种解释
一个反例：
1873年，Bois-Reymond构造了一个反例： 一个连续的周期函数，但它的
Fourier级数在给定点发散。
对Fourier变换理论的修正：
修正对函数的要求，并找出适合于Fourier级 数理论的活动类。
1/2 1

1
h(x) 1

0

x [0, 1) 2
x [1 ,1) 2
其他
j
hn (x) 22 h(2 j x k)
h0 (x) [0,1]
其中：n 2 j k
缺点：hn (x)不是连续函数。
基础知识：
群 一个集合X,在这个集合上有一个被称作
乘法的内部运算。且满足：
函数空间：
C[a,b] :{f(x)|f(x)是[a,b]上的连续函 数}
L2
:{f(x)|f(x)是平方可积函数}
二.内积空间
设X是一个复线性空间，若存在一个二元 映射<.,.>，满足：
1) 线性性:<au+bv,w>=a<u,w>+b<v,w> 2) 对称性： <u,v>=<v,u> 3) 非负性： u,u 0,并 u,u 0, u 0
1
xn ( cn 2 ) 2
Hilbert空间的正交概念：
H是Hilbert空间，u,v H ,若 u,v 0,则称u,v正交。 此时：u v 2＝ u 2 v 2
投影定理：
设V是Hilbert空间H的一个闭子空间，其正交补定义为：
V＝{w H w,u 0, V},则对u H，有唯一的分解：
控制收敛定理
假定fn (x) f (x)几乎处处,如果 fn (x) g(x) 对于所有的n成立，那么f (x)可积，并且
f (x)dx lim n
fn (x)dx
Fubili定理
如果 f (x, y)dxdy .
则
f (x, y)dxdy f (x, y)dx dy f (x, y)dy dx
修正Fourier级数收敛的定义。 找出另外的正交函数族，使其对三角函数族的
发散现象不在产生。
三个研究方向的结果：
第一个方向： 由Lebegue解决。平方可积函数。即：
L20,2
第二个方向： 产生了调和分析这一研究 领域。

部分和Sn (x)用部分和的平均（Ces a ro和）代替。
n

( S0＋S1＋＋S n1 ) n
第三个方向： 产生了最原始的小波：Harr小波
问题：
是否存在[0,1]上的正交函数族{hn(x)}， 对任意[0,1]上的连续函数，有

f , hn hn (x)
n0
在[0,1]上一致收敛于 f (x).
1909年，Haar找到了一个现在被称为 Haar函数（小波）的函数，满足上面的 要求。
若任一柯西序列都有极限，则称X为Banach空 间。
完备的内积空间就是Hilbert空间。
常用的函数空间：
C[a, b] :
x max x(t)
L2 :
f , g r fgdt
1
f ( f 2 dt) 2 r
l2 : xn
2
xn
cn,dn cndn
x x, x 1/ 2
赋范线性空间中的收敛概念：
若 xn x0 0，则称xn x0
完备性： xn X, xn x0,则x0 X
完备的赋范线性空间称为Banach空间。
Banach空间的另一种表述：
柯西序列：
xn X , xn xm 0,当n,m 时，则称xn是柯西序列。
非平稳信号分析
教学内容：
信号的时－频表示方法 短时傅立叶变换 分数傅立叶变换 Wigner分布与广义双线性时频分布 小波分析和应用
对学习者的要求
三个基本要求：
掌握时频分析的基本思想 熟悉处理非平稳信号的基本方法 能将非平稳信号分析方法应用在实际工作
中。
非平稳信号分析介绍：
某阶统计量随时间变化的信号。 （时变信号）
非平稳信号分析的主要研究领域：
短时傅立叶变换 时频分析 分数阶傅立叶变换 小波变换 其他新的信号分析和处理工具
Fourier的贡献：
用数学方式提出任何一个周期函数都能表 示为一组正弦函数和余弦函数之和。
他解释了这一数学论断的实际物理意义。
(1) X在加法下是一个可交换群。 (2)乘法是可结合的，且对加法可交换律。即
x, y, z, X (xy)z x( yz) x( y z) xy xz ( y z)x yx zx
环的恒等元
e X ,对x X，有 ex xe x
Abel环 在乘法运算下，还是一个Abel群的环。
N
PV u u, vk vk k 1
N
且，PV u 2 u, vk 2 k 1
u H
定理：(正交展开定理) 2.设{vk k N}是H的一组规范正交向量列，则
V span{u u ckvk}, kN
PV u u,vk vk kN
则称X是一个内积空间。
三.赋范线性空间
设X是一个线性空间，若存在X上的一个泛 函，满足：
1) 非负性: u 0,并 u 0 u 0
2) 齐次性：
au a u
3) 三角不等式： u v u u
则称X是赋范线性空间。
内积空间与赋范线性空间的关系：
内积空间可以下面的方法定义范数，成为一个 赋范线性空间。
信号是什么？ 信号分析的任务是什么？ 什么是非平稳信号？ 用什么方法来分析和处理非平稳信号？
信号：
信号是随时间或空间变化的物理量。 信号的数学表示方式：
多变量函数。
信号分析：
对信号基本性质的研究和表征。 多变量函数的不同表示。
平稳信号与非平稳信号：
平稳随机信号
再加上一个内部可结合运算（乘法）。
(1) A是一个环。
（2） (xy) (x) y x(y)
Lebesgue积分学定理 Riemann积分与Lebesgue积分
f(x)
f(x)
x Riemann积分
x Lebesgue积分
几乎处处收敛：
fn (x) f0 (x),
a.e
即：A {x fn(x)不收敛与f0(x)}是一个零测集。
(1)结合律 (xy)z x( yz) x, y, z, X
(2)存在恒等元e X，使 xe ex x x X
(3)对任意的x X , 存在x的逆元x1，使 x1x xx1 e
Abel群（可交换群）
xy yx x, y X
环
一个集合X,在这个集合上有两个分别被称 作乘法与加法的内部运算。且满足：
域
一个具有恒等元的环，且满 足除零（加法的恒等元）以外的 所有元素都有逆元。
模 在一个Abel群上再加上一个被称为
数乘的外部运算。
(x y) x y ( )x x x ( )x (x)
, R, x, y X
代数 一个在具有恒等元的环R上的模A，
u v w,
v V，w V
w u
v
投影算子：
PV : H V , PV u v
基的讨论：
基 Riesz基 正交基 规范正交基。
定理：(正交展开定理)
1.设{vk 1 k N}是H的一组规范正交向量组，则
N
V span{u u ckvk }, k 1