叙述并证明全概率公式
第3次课--条件概率全概率公式
验反应为阳性”，则由条件得
概率论与数理统计
2013
练习：某工厂生产的产品中９６％是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为 是次品的概率为０.０２，一个次品被认为是合格品的概率为０.０５，求在被检 查后认为是合格品产品确是合格品的概率． 解：设A={产品确为合格品} ， B={产品被认为是合格品}
分析：如果设事件A为“第一次取到正品”，事件B为“第二次取 到正品”，则问题转化为求条件概率P(B|A).
〖解〗：由条件可得：
P(A) 3 4 12 , P(AB) 3 2 6 ,
5 4 20
5 4 20
故有
P(B | A) P(AB) 1 . P(A) 2
概率论与数理统计
3
2013
【例2】 : 某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为 0.5，既下雪又下雨的概率为0.1，求： （1）在下雨条件下下雪的概率； （2）这天下雨或下雪的概率.
解 ：设A={下雨}，B={下雪}.
（1） P(B | A) P( AB) 0.1 0.2
P( A) 0.5
（2）P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.3 0.5 0.1 0.7
概率论与数理统计
2013
二、条件概率的性质
1、条件概率也是概率.因而也满足概率的三条公 理及其各个性质。
P（A|B）
Байду номын сангаас
概率论与数理统计
2013
显然，P(A|B)≠P(A)=1/2。
此外,在样本空间 中易计算得:P(B)=3/4,P(AB)=
1/4,且有
P(A | B) P(AB) . P(B)
1_5全概率与贝叶斯公式
练习：在 n 张彩票中有一张奖券， 现有两人依次摸取彩票， 分两步才能完成 第一步有两种取法 求第二人摸到奖券的概率. 解 设 A={第二人摸到}, B1 ={ 第1人摸到 }, B2 ={ 第1人没摸到 },
再看一个问题： 某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自 1号罐的概率. 或问: 该球取自哪号罐的可能性最大? 它实际上是本节引例的反问题， 是“已知结果求原因” 这一类问题在实际中是更为常见， 它所求的是已知某结果发生的条件下，各 1 2 3 原因发生可能性大小，或帮助人们确定某 结果(事件 A)发生的最可能原因. 是求一个条件概率. 下面就介绍为解决这类问题而引出的 Bayes(贝叶斯)公式
j 1
(2) 类似(1)的计算可得 P(B2|A) 0. 063 , P(B3|A) 0. 223 , 比较可知是机器甲生产出来的可能性大.
下页
例4 现用甲胎球蛋白检验法普查肝癌, 设 B1={ 被检查者 患肝癌 }, B2 ={被检查者未患肝癌}, A={甲胎球蛋白 检验反应是阳性}, 且 P(A|B1)= 0. 95, P(A|B2)= 0.90, 某一地区患有肝癌症的人占0.0004 , 在普查中若有人 检验反应呈阳性, 问此人真正患肝癌的概率有多大?
i 1
3
代入数据计算得：P(A)≈ 0.639 . 1/3 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算 中常用的全概(率)公式 .
P(A|B2 )=3/4, P(A|B3 )=1/2,
下页
一、全概率公式: 定义 若 n个事件 B1,B2, …,Bn 满足
(1) B i Bj
( i j , i , j 1, 2, n) ,
解 由 Bayes公式有
1.7 全概率公式
划分的图示 B1 B3 B4
n
B2
B
Ω
B5
n
B = BΩ = B(U Ai ) = U BAi
i 全概率公式) 设样本空间 Ω 的一个划分为 全概率公式
B1 , B2 ,L , Bn 且 P ( Bi ) > 0, i = 1, 2,L , n. 则对任
一事件 A ⊂ Ω 有
1.7 全概率公式
全概率公式是概率论的一个重要公式， 全概率公式是概率论的一个重要公式，应用全 概率公式的关键是建立样本空间的正确划分(即构 概率公式的关键是建立样本空间的正确划分 即构 造一个正确的完备事件组)， 造一个正确的完备事件组 ，然后计算各个概率和 条件概率，最后代入全概率公式。 条件概率，最后代入全概率公式。它是求复杂事件 概率的有力工具。 概率的有力工具。
某工厂有四条流水线生产同一种产品， 练习 某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条 流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%， 流水线的产量分别占总产量的 ， ， ， 35%，又这四条流水线的不合格品率依次为 ，又这四条流水线的不合格品率依次为0.05， ， 0.04，0.03，0.02。现在从出厂的产品中任取一件， ， ， 。现在从出厂的产品中任取一件， 问恰好抽到不合格品的概率为多大？ 问恰好抽到不合格品的概率为多大？
定义 设 Ω是样本空间。若存在 Ai ⊂ Ω, i = 1, 2,L , n 是样本空间。 满足
Ai Aj = φ , (i ≠ j ), U Ai = Ω
i =1
n
的一个划分 则称 A1 , A2 ,L , An 是 Ω 的一个划分 注： 若 A1 , A2 ,L , An 是 Ω 的一个划分 则在一次试验中 的一个划分 事件 A1 , A2 ,L , An 中有且仅有一个会发生。 有且仅有一个会发生。 一个会发生
条件概率、乘法公式、全概率公式
• 条件概率的定义与性质 • 乘法公式及其应用 • 全概率公式及其应用 • 条件概率、乘法公式、全概率公式的
联系与区别 • 案例分析
01
条件概率的定义与性质
条件概率的定义
条件概率是指在某一事件B已经发生的情况下，另一事件A发生的概率。数学上表示为P(A|B)，读作“在B 的条件下A的概率”。
总结词
应用乘法公式
详细描述
天气预报中经常使用概率模型来预测未来天 气情况。例如，预测明天下雨的概率是70%， 那么应用乘法公式可以计算出在明天下雨的 条件下，明天是阴天的概率是30%。
案例三：保险业务中的风险评估
总结词
利用全概率公式
详细描述
在保险业务中，全概率公式用于评估风险。例如，一辆 汽车在一年内发生事故的概率是0.01，那么可以根据全 概率公式计算出在1000辆汽车中，预计有10辆汽车会 发生事故。
条件概率的定义公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B) 表示事件B发生的概率。
条件概率的性质
非负性
01
P(A|B) ≥ 0，即条件概率不能是负数。
归一性
02
P(A|B) = 1 - P(¬A|B)，即条件概率满足归一化条件，其中¬A
05
案例分析
案例一：赌博游戏中的概率计算
总结词
理解条件概率
VS
详细描述
在赌博游戏中，条件概率是一个重要的概 念。例如，在掷骰子游戏中，如果已知前 一个骰子的点数，那么下一个骰子的点数 与此无关。这可以通过条件概率公式来描 述，即P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
案例二：天气预报的概率模型
全概率公式
一、事件的独立性
定义1：对于事件
A, B 若有 PA B PAPB
成立，则称A与B 是相互独立的事件。否则
A与B就是相依事件。
若A与B 是相互独立，由概率的乘法公式，得
P ( B A) P B ;
P ( A B ) P A;
上式说明：事件A发生与否并不影响事件B的概率； 同理事件B发生与否并不影响事件A的概率。
解：设
B
{这批种子任意一颗所结的穗含有 50颗以上麦粒}
Ai {从这批种子中任取一粒为i等种子 i} 1,2,3,4
则 A i 1,2,3,4 （ i 件组
）为完备事
且 P( A1 ) 95.5% P( A3 ) 1.5%
P( A2 ) 2%
P( A4 ) 1%
PB A2 0.15
0.77 1 0.84 1 0.77 0.84 0.77 0.84 0.9632
解法二 由事件 A与B互相独立，得
P( A B) P A PB P AB
0.77 0.84 0.77 0.84 0.9632
解法三 由事件 A与B的对立事件，得
定理1：设 A, B 两个事件
P( A) 0, P
P A B P APB
,
与任何事件都独立. 独立则
如果事件 A与B
A与B, A与B,
A与B 都是相互独立.
例1
某产品可能有两类缺陷 A与B 的一个或两个，缺陷 A与B 发生是独立的
i 0,1,2,3
则依据题意有 P( A) 0.4
P( B) 0.5
P(C ) 0.7
全概率公式及其应用
12
P(B) P(B | A1)P(A1) P(B | A2)P(A2)
P(A3)P(B / A3) 0.458
9
例5 一批产品100件, 其中4件次品. 每次抽取 一件检验，有放回抽取3 次. 如发现次品则认为 这批产品不合格. 但检验时,一正品被误判为次 品的概率为0.05，而一次品被误判为正品的概 率为0.01，求这批产品被认为是合格品的概率
解 设 事件A 表示“学生作弊”
事件 B表示“监考教师”严格监考”
由题意 P(B) p, P(B) 1 p
P(A B) 0.01, P(A B) 0.15
P(A) P(B)P(A| B) P(B)P(A| B)
0.01p 0.15(1 p) 0.15 0.14 p
思考题：某人从外地来参加会议, 他乘火车, 汽车, 轮船或飞机来的概率为 0.3, 0.2, 0.1, 0.4 如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车, 轮船或 汽车来迟的概率为 1 4, 1 3, 1 12
试求: 他来迟的概率
11
内容小结
• 划分（完备事件组）的概念 • 全概率公式 • 全概率公式的应用：适用于前提未知或前
解: 设A = “任取一件被认为是合格品”
B = “任取一件是次品”C = “这批产品被认为合格品”
由题意 P(B) 0.04 P(B) 0.96
P(A | B) 0.01 P(A | B) 0.95
P(A) P(B)P(A/ B) P(B)P(A/ B) 0.9124
P(C) 0.91243 0.7595 10
全概率公式证明过程
全概率公式证明过程全概率公式是概率论中的一个重要公式，它可以用来计算一个事件在不同条件下的概率。
在本文中，我们将详细介绍全概率公式的证明过程。
我们需要明确全概率公式的表达式：P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn)其中，A表示事件，B1、B2、…、Bn表示一组互不相交的事件，且它们的并集等于样本空间。
P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率。
接下来，我们来证明全概率公式。
假设事件A和B1、B2、…、Bn满足上述条件，我们需要证明：P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn)我们可以将事件A表示为：A = (A∩B1) ∪ (A∩B2) ∪ … ∪ (A∩Bn)这是因为事件A可以被分解为在B1、B2、…、Bn中的任意一个事件发生时，A发生的情况。
接下来，我们可以利用加法公式将上式展开：P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + … + P(A∩Bn)然后，我们可以将每个交集表示为条件概率的形式：P(A∩Bi) = P(Bi)P(A|Bi)这是因为在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率可以表示为P(A|Bi)。
将上式代入前面的公式中，我们得到：P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn)这就是全概率公式的证明过程。
总结一下，全概率公式是概率论中的一个重要公式，它可以用来计算一个事件在不同条件下的概率。
证明过程中，我们利用了事件A 可以被分解为在B1、B2、…、Bn中的任意一个事件发生时，A发生的情况这一性质，然后利用加法公式和条件概率的定义，推导出了全概率公式的表达式。
概率论全概率公式
3 6 5 8 2 3 3 5 8 5
P( A2 ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A1 ) P( A2 / A1 )
问题：A3由哪几个原因引起？
P( A3 ) P( A1 A2 ) P( A3 / A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A3 / A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A3 / A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A3 / A1 A2 )
P ( B) 0 P( A) 0
5
P( AB) P( A) P( B / A)
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 ) P( An / A1 A2 An1 )
例2 设A盒内有M 个黑球，B盒内有同种质地、大小的M个 白球。现让某人从B 盒内随机摸取一球放入 A盒中，然后 再从A 盒中随机摸取一球放入B盒中，称此为一次交换。 若经M次交换后，A中恰有M个白球则此人可获奖。问此人 获奖的概率是多少？
(1-p/2) =p(3 p) / 2 (1)P(A1 A2 )=1-P(A1 A2 )=1-P(A1 )P(A2|A1 )=1-(1-p)*?
P( Ai / B) P( Ai ) P( B / Ai )
P( A ) P( B / A )
j 1 j j
n
P(Ai) —— 先验概率
i 1, 2, ..., n
证明
A 1 A2 … A n
P(B/Ai)
后验概率
P(Ai/B)
P( Ai B ) P( Ai / B) P( B ) P( Ai ) P( B / Ai ) n P ( Aj ) P( B / Aj )
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叙述并证明全概率公式
叙述并证明全概率公式
全概率公式（total probability theorem）是概率论中非常重要的定理，它对多变量的概率分布有深刻的见解。
它提供了计算多变量概率分布中特定事件发生的概率的方法，并且极大地拓宽了概率论的应用范围。
全概率公式可以表达为：
P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+...+P(A∣Bn)P(Bn)
其中，P(A)表示实验A的概率；P(B1)、P(B2)、…、P(Bn)表示事件B1、B2、…、Bn的概率；P(A∣B1)、P(A∣B2)、…、P(A∣Bn)表示在B1、B2、…、Bn条件下A发生的概率。
其下面给出全概率公式的证明：
首先，考虑一个实验A，该实验由事件B1、B2、…、Bn共同组成，且可以互斥，即B1∩B2=，B2∩B3=，…，Bn-1∩Bn=。
在这些互斥的情况下，可以将实验A分解为n个互斥的子实验，即
A=B1∪B2∪…∪Bn。
根据概率论的基本定理，有：
P(A)=P(B1)+P(B2)+...+P(Bn)
又设在B1、B2、…、Bn情况下A发生的概率分别为
P(A∣B1)、P(A∣B2)、…、P(A∣Bn)，可得：
P(A∩B1)=P(A∣B1)P(B1)
P(A∩B2)=P(A∣B2)P(B2)
……………………
P(A∩Bn)=P(A∣Bn)P(Bn)
根据实验A=B1∪B2∪…∪Bn，又有：
P(A)=P(A∩B1)+P(A∩B2)+...+P(A∩Bn)
因此，将上面的两式相结合，可以得到全概率公式：
P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+...+P(A∣Bn)P(Bn)从而证明了全概率公式的正确性。