高中数学选修本(理科)微分的概念和运算

微分的概念和运算
教学目的
1．初步掌握微分的概念；
2．掌握微分的计算方法．
教学重点和难点
微分的概念既是本节课的重点也是本节课的难点．
教学过程
一、复习提问
当自变量x有一个改变量Δx时，求以下函数的增量Δy：
(请两名学生分别板演．)
解：1．Δy＝(x＋Δx)2－x2
2．Δy＝(x＋Δx)3－x3
二、引入新课
由上面二例可见，一个函数的增量Δy往往是Δx的一个比较复杂的函数，而实际问题中却往往需要求出函数的增量．因此我们自然希望能找到一个Δx的简单表达式来近似地(但又要比较精确地)代替Δy．
不妨先就上面二例加以研究，请同学们找出上述两例中Δy的近似表达式：
提问：为什么能用上面简单的表达式来近似地代替函数增量Δy呢？
这是因为当|Δx|变小时，(Δx)2和|(Δx)3|要比|Δx|变得更小，即(Δx)2和|(Δx)3|变小的速度要比|Δx|变小的速度更快．因此当|Δx|充分小时，含有(Δx)2和(Δx)3的项可以略去．
可以观察到：象(3)和(4)那样，用Δx的线性函数(一次函数)来近似地代替Δy是再理想不过了．同时，我们也自然会产生如下的猜想：
1．对于一般的函数y＝f(x)，是否都能用Δx的线性函数来近似地代替Δy？
2．如果能够的话，有什么规律可循？
(让学生观察(3)和(4)中Δx前面系数部分与原来函数y＝x2和y＝x3有什么联系．)
细心的同学会发现如下的规律：
Δy≈2x·Δx中的2x正好是函数y＝x2的导数y'＝2x，所以有
Δy≈(x2) '·Δx；
Δy≈3x2·Δx中的3x2正好是函数y＝x3的导数y'＝3x2，所以有
Δy≈(x3) '·Δx．
由此，我们可进一步猜想：对于任意可导函数y＝f(x)，是否也有
Δy≈f'(x)·Δx
三、新课
1．微分的概念．
假设函数y＝f(x)在x点可导，那么由导数的定义，有：
所以由函数极限的定义可知：
显见，当Δx→0时，α·Δx变小的速度比Δx快得多．所以可以用f'(x)·Δx来近似代替Δy，即
我们把f'(x)·Δx称为函数改变量Δy的线性主部．“线性〞是指其为Δx的一次函数；“主部〞是指其为Δy的主要部分．
至此，我们可以得到一个重要的定义——微分的定义．
定义假设函数y＝f(x)在点x处可导，那么y＝f(x)在点x处的导数f'(x)与自变量的改变量Δx的积叫做函数y＝f(x)在点x处关于改变量Δx的微分．简称为函数y＝f(x) 的微分．记作dy，即
dy＝f'(x)·Δx．
由此可见，可导函数的改变量Δy可用它的微分dy近似地表示出来．今后，我们可把计算较为复杂的Δy近似地转化为计算dy，即只要求出导数值f'(x)再乘以Δx就可以了．
假设函数为y＝x，那么有
dy＝dx＝(x) '·Δx＝Δx．
所以我们通常把自变量的改变量Δx记作dx，即dx＝Δx，称为自变量的微分．
于是函数y＝f(x)的微分也可写成
dy＝f'(x)dx．
两边同除以dx得
这样，函数y＝f(x)的导数f'(x)就等于函数的微分dy与自变量的微分dx的商，所以导数也叫微商．
2．微分的几何意义．
设函数y＝f(x)在点x处可导，如图2－8所示：在y＝f(x)所表示的曲线上取点P(x，y)及它邻近的点P'(x＋Δx，y＋Δy)，过点P及P'作MP及M'P'垂直于x轴，分别交x轴于点M及M'，过点P作平行于x轴的直线交M' P'于点N，又作曲线y＝f(x)在点P处的切线，交M'P'于T．
提问：图中哪些线段分别表示Δx，Δy和dy？
PN＝Δx，NP'＝Δy，NT＝f'(x)·Δx＝dy．
可见：当自变量的改变量为Δx时，Δy就是曲线的纵坐标的改变量；dy就是切线的纵坐标的改变量，这就是微分的几何意义．
当|Δx|充分小的时候，可以用切线的纵坐标的改变量dy来代替曲线的纵坐标的改变量Δy，这相当于在点P(x，y)附近，可用切线段PT近似地代替曲线段PP'．这种在一定条件下以直线代替曲线的方法是微分和积分中常用的典型方法．
3．微分的运算．
请同学们用求导公式和微分的定义完成以下微分公式表：
(以上各公式的等号右端由学生自己完成．)
再让同学们由求导数的四那么运算法那么和微分的定义写出微分的四那么运算法那么：
①d(u±v)＝du±dv；
②d(uv)＝udv＋vdu；
例1 求y＝e ax sinbx的微分．
解法1：(直接用微分定义)
dy＝(e ax sinbx) 'dx
＝(e ax·b cos bx＋sin bx·ae ax)dx
＝e ax(bcosbx＋asinbx)dx．
解法2：(用微分的四那么运算法那么)
dy＝e ax·d(sin bx)＋sin bx·d(e ax)
＝e ax·bcosbx·dx＋sin bx·ae ax dx
＝e ax(bcosbx＋asinbx)dx．
例2 函数y＝f(x)在x点处的增量Δx＝0.2，它所对应的函数增量的线性主部等于0.8，试求函数在x点的导数．
解：根据题意有
dx＝Δx＝0.2，
dy＝f'(x)dx．
四、小结
1．函数y＝f(x)在x点的微分
dy＝f'(x)Δx＝f'(x)dx
是函数改变量Δy的线性主部．
dy≠Δy，dy≈Δy；dx＝Δx．
2．由微分的定义可知，函数y＝f(x)在x点的微分存在即导数存在，故函数在x点有导数存在时，也称函数在该点是可微的．求函数的微分和求函数的导数的方法都叫做微分法．
3．由微分的表达式可得到
即函数的导数可看作函数的微分dy与自变量的微分dx的商．
4．由微分定义和求导法那么及公式可直接推得一整套与求导相似的微分法那么和公式(略)．
五、布置作业
1．对于函数y＝x3－x和以下的Δx值，求点x＝2处的Δy和dy：
2．(1)在以下图形中，标出相应的Δy和dy．
(2)自变量x的微分dx是否一定为正？当dx为正时，函数y＝f(x)的微分dy是否一定为正？
3．求以下函数的微分：
4．某运动方程为s＝4t2，其中t的单位是秒，s的单位是米，求t＝2秒，Δt＝0.001秒时路程的改变量Δs及路程的微分ds，并加以比较．。