7图论-邻接矩阵11-3
离散数学邻接矩阵
离散数学邻接矩阵离散数学中邻接矩阵是一个非常重要的概念，它与图论密不可分。
在这篇文章中，我将简单介绍什么是邻接矩阵，如何使用邻接矩阵表示图，以及邻接矩阵的一些应用。
1.什么是邻接矩阵？邻接矩阵是一个正方形的矩阵，用来表示无向图或有向图的连接关系。
在一个n个节点的图中，邻接矩阵是一个n×n的矩阵。
如果一个节点i与节点j有边相连，则邻接矩阵A中第i行第j列的元素为1，否则为0。
如果是有权图，则邻接矩阵的元素可以表示边的权值。
当图中存在自环时，邻接矩阵中的对角元素可以代表自环的权值。
邻接矩阵可以用下面的公式来表示：\[ A_{i,j} = \begin{cases}1, & \mbox{如果(i, j)是有向边或无向边} \\0, &\mbox{否则}\end{cases}\]考虑下面的无向图：用邻接矩阵表示这个图，得到：2.如何使用邻接矩阵表示图？使用邻接矩阵来表示图，需要明确图的类型。
对于无向图，邻接矩阵是对称的；对于有向图，邻接矩阵则不一定是对称的。
使用邻接矩阵可以方便地计算图的一些性质，例如计算度、邻居、路径等。
当然，为了提高计算效率和节省空间，通常使用压缩存储的方法来存储邻接矩阵。
3.邻接矩阵的应用邻接矩阵在图论中有很广泛的应用。
下面列举几个应用：（1）判断节点之间是否有连接关系。
如果邻接矩阵中第i行第j列的元素为1，表示节点i和节点j有连接关系。
（2）计算节点的度。
对于无向图，节点的度数是指与该节点相连的边的数目。
邻接矩阵中第i行或第i列的元素加起来就是节点i的度数。
对于有向图，节点的度数分入度和出度，可以通过邻接矩阵的不同来计算。
（3）计算路径矩阵。
路径矩阵表示从一个节点到另一个节点的最短路径。
通过邻接矩阵和路径算法，可以计算任意两个节点之间的最短路径。
邻接矩阵和关联矩阵
邻接矩阵和关联矩阵一、概念解释邻接矩阵和关联矩阵是图论中常用的两种表示图的方式。
邻接矩阵是指用一个二维数组来表示图中各个节点之间的连接情况，其中数组的行和列分别代表节点，如果节点i和节点j之间有连边，则邻接矩阵中第i行第j列的元素为1，否则为0。
关联矩阵是指用一个二维数组来表示图中各个节点和边之间的联系，其中数组的行代表节点，列代表边，如果节点i与边j有关联，则关联矩阵中第i行第j列的元素为1或-1，分别表示该节点是边的起点或终点；如果该节点与该边没有关联，则为0。
二、邻接矩阵1.构建邻接矩阵要构建一个无向图G={V,E}的邻接矩阵A（V*V），可以按以下步骤进行：（1）初始化A为全0矩阵；（2）遍历E集合中每一条边(u,v)，将A[u][v]和A[v][u]均设为1；（3）对角线上所有元素均设为0。
2.应用场景邻接矩阵适用于稠密图（即节点数较多，边数较多）的存储和计算，因为其空间复杂度为O(V^2)，而且可以快速判断任意两个节点之间是否有连边。
3.优缺点邻接矩阵的优点包括：（1）易于理解和实现；（2）空间利用率高；（3）可以快速判断任意两个节点之间是否有连边。
邻接矩阵的缺点包括：（1）对于稀疏图（即节点数很多，但是边数很少），会浪费大量空间；（2）插入或删除节点时需要重新构建整个矩阵，时间复杂度为O(V^2)；（3）如果图中存在重边或自环，则需要额外处理。
三、关联矩阵1.构建关联矩阵要构建一个无向图G={V,E}的关联矩阵B（V*E），可以按以下步骤进行：（1）初始化B为全0矩阵；（2）遍历E集合中每一条边(u,v)，将B[u][e]和B[v][e]均设为1，其中e表示第e条边；（3）对于每个节点i，在B中找到与之相关的所有边，并将它们标记为-1，表示该节点是这些边的终点。
2.应用场景关联矩阵适用于稀疏图（即节点数很多，但是边数很少）的存储和计算，因为其空间复杂度为O(V*E)，而且可以快速判断任意两个节点之间是否有连边。
邻接矩阵和度矩阵的公式
邻接矩阵和度矩阵的公式邻接矩阵和度矩阵是图论中常用的两种表示图的方式，它们可以帮助我们更方便地分析和研究图的性质和特征。
邻接矩阵指的是通过矩阵来表示图的边和节点之间的关系，而度矩阵则是表示节点的度数情况的矩阵。
下面我们就来详细讲解这两种矩阵的公式和用法。
一、邻接矩阵邻接矩阵是一种方阵，从第i行第j列到第j行第i列也具有相同的值，表示了节点之间的邻接关系。
主要公式如下：1. 无向图对于一个n个节点的无向图来说，邻接矩阵的元素a[i][j]表示的是节点i和节点j之间是否存在边，其中0表示没有边，1表示有边。
由于是无向图，所以矩阵的上下三角是对称的。
下面是一个无向图的邻接矩阵示例：```0 1 1 01 0 1 01 1 0 10 0 1 0```2. 有向图对于一个n个节点的有向图来说，邻接矩阵的元素a[i][j]表示的是节点i到节点j是否存在有向边，其中0表示没有有向边，1表示有有向边。
下面是一个有向图的邻接矩阵示例：```0 1 0 00 0 1 01 0 0 10 0 1 0```邻接矩阵的优点是方便且易于理解，可以用于表示不同类型的图。
但是在稀疏图中会存在大量的0元素，浪费空间，此时可以使用邻接表优化。
二、度矩阵度矩阵是一个n维的矩阵，表示每个节点的度数情况。
主要公式如下：1. 无向图对于无向图来说，每个节点的度数等于该节点所连的所有边的数量。
度矩阵的第i个对角线元素d[i][i]表示节点i的度数。
下面是一个无向图的度矩阵示例：```2 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 1```2. 有向图对于有向图来说，每个节点的入度和出度可以分别计算。
入度是指以节点i为终点的边的数量，出度是指以节点i为起点的边的数量。
度矩阵的第i个对角线元素d[i][i]表示节点i的总度数，即入度与出度之和。
下面是一个有向图的度矩阵示例：```2 1 0 00 0 1 01 0 1 10 1 0 0```度矩阵的优点是可以方便地计算得到每个节点的度数情况，可以用于分析图的特性和性质，如连通性、欧拉图等。
第七章 图论
本讲稿第十三页，共九十一页
§7.1 图的基本概念
例：若图Ｇ有n个顶点，（n+1）条边，则Ｇ中至少 有一个结点的度数≥３。
证明：设Ｇ中有n个结点分别为v1,v2,…,vn，则由握手
定理：
n
degvi)(2e2(n1)
i1
而结点的平均度数=
2(n1)212
n
n
∴结点中至少有一个顶点的度数≥３
本讲稿第十四页，共九十一页
▪ 若Ｇ’ Ｇ，且Ｇ’ ≠Ｇ（即Ｖ’Ｖ或Ｅ’ Ｅ），则称Ｇ’是Ｇ的真子图；
▪ 若Ｖ’＝Ｖ,Ｅ’Ｅ,则称Ｇ’是Ｇ的生成子图(支 撑子图)。
本讲稿第二十三页，共九十一页
§7.1 图的基本概念
２．子图和图的同构：
例：Ｇ图如下：Ｇ的真子图：
生成子图：
说明： （1）Ｇ也是Ｇ的生成子图； （2）Ｇ’＝〈Ｖ，〉也是Ｇ的生成子图。
（3）路径长度：若两个结点之间有一条路经Ｐ，则路 径|Ｐ|＝Ｐ中边的条数。 例：给出有向图Ｇ，求起始于１，终止于３的路径
本讲稿第三十二页，共九十一页
§7.2 路与回路
下面介绍一些专有名词：
(1)穿程全部结点的路径：经过图中所有结点的路径。 (2)简单路径：在有向图中经过边一次且仅一次的路径。
(3)基本路径：在）从一个结点到某一结点的路径，（若有的话）不 一定是唯一的； （2）路径的表示方法：
(a)边的序列表示法： 设Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞为一有向图， ，则路径可以表示
成：(<v1,v2>,<v2,v3>,….<vk-1,vk>)vi V
本讲稿第三十一页，共九十一页
§7.2 路与回路
(b)结点序列表示法： (v1,v2vk)
邻接矩阵符号
邻接矩阵符号邻接矩阵是图论中一种常见的数据结构，用于表示图中的节点之间的连接关系。
在邻接矩阵中，使用特定的符号来表示节点之间的连接状态，这些符号具有特定的含义和规定。
一、邻接矩阵简介邻接矩阵是一个二维矩阵，矩阵的行数和列数分别对应图中节点的个数。
矩阵中的元素表示节点之间的连接关系，常用的符号有以下几种：1. "1"：表示两个节点之间存在连接关系；2. "0"：表示两个节点之间不存在连接关系；3. "∞"：表示节点自身，即对角线上的元素，表示该节点与自身的连接关系，在一些算法中也用其他符号代替，如"X"；4. "-"：表示不允许直接连接。
二、邻接矩阵符号的应用场景邻接矩阵符号在图论中有着广泛的应用，常见的应用场景包括：1. 图的表示：邻接矩阵符号可以清晰地表示图中节点之间的连接关系，帮助我们理解和分析图的结构特征；2. 最短路径算法：在一些最短路径算法中，我们需要使用特定的符号来表示不可达的节点之间的距离，邻接矩阵符号可以帮助我们直观地进行计算和分析；3. 网络拓扑分析：在计算机网络领域，邻接矩阵符号被广泛应用于网络拓扑分析和路由算法中，帮助我们评估网络中节点之间的连接质量和距离。
三、邻接矩阵符号的举例为了更好地理解邻接矩阵符号的应用，我们以一个简单的图为例进行说明。
假设我们有一个有向图，有四个节点A、B、C和D。
以下是这个图的邻接矩阵表示：A B C DA 0 1 0 1B 1 0 1 0C 1 1 0 0D 0 1 1 0在上述邻接矩阵中，"1"表示两个节点之间存在连接关系，"0"表示两个节点之间不存在连接关系。
根据上述邻接矩阵，我们可以得出以下结论：1. 节点A与节点B、D存在连接关系，而与节点C不存在连接关系；2. 节点B与节点A、C存在连接关系，而与节点D不存在连接关系；3. 节点C与节点A、B存在连接关系，而与节点D不存在连接关系；4. 节点D与节点B、C存在连接关系，而与节点A不存在连接关系。
邻接矩阵-南京大学
v4
v3
0 0 A(G) 1 1
1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
可推广到简单无向图
举例（邻接矩阵）
v1 v2
v4
v3
0 1 A(G) 1 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 1 0
简单无向图的邻接矩阵是对称矩阵
邻接矩阵(adjacency matrix)
简单有向图G = (V, E, ) ，设V＝v1，…，vn，E＝ e1，…，em。
A(G)＝aij称为G的邻接矩阵(n×n 阶矩阵)，其中
1 如果v i邻接到v j a ij 0 否则
eE. (e)=(vi, vj)
举例（邻接矩阵）
邻接矩阵的运算
逆图（转置矩阵）
设Ｇ的邻接矩阵为 A ，则 G 的逆图的邻接矩阵是 A 的转 置矩阵，用AT表示。
０１００ ００１１ A １１０１ １０００
００１１ １０１０ T A ０１００ ０１１０
邻接矩阵的运算
邻接矩阵的运算
顶点的度
行中1的个数就是行中相应结点的出度
列中1的个数就是列中相应结点的入度
v1
v2
v4
v3
Hale Waihona Puke 0 0 A 1 11 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0
Deg+(1)=1,Deg-(1)=2
Deg+(2)=2,Deg-(2)=2
Deg+(3)=3,Deg-(3)=1 Deg+(4)=1,Deg-(4)=2
邻接表
7图的基本概念
18
7.2通路、回路、图的连通性
Graphs/图论
有向图的连通性 (1)弱连通：
若Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）对应的无向图是连通图，则称 Ｇ为弱连通。 (2）强连通：
若Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）中任两点间都有路，即对ａ与 ｂ，ａ到ｂ可达，ｂ到ａ可达，称Ｇ为强连通。
（3）单侧连通
有向图 G 中，任何一对结点间，至少从一个结点到另一个
的始点
j
0，vi与e
不关联
j
-1，vi为e
的终点
j
则称 (mij )nm 为D的关联矩阵, 记为M(D)
v1
e2
v4
e1 e3 e4
v2
e5
v3
1 1 0 0 0
M
(G)
1 0
0 0
1 0
1
1
0 1
0 1 1 1 0
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当Ｖ0=Ｖk时，该通路称为回路。
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7.2通路、回路、图的连通性
Graphs/图论
简单通路 一条通路中没有两条边是相同的，称此通路为
简单通路（迹）。当其是回路时，称为简单回路。
初级通路 一条通路中，除了起点和终点可以相同，没有
其他相同顶点出现，称此通路为初级通路（基本通 路或路径）。当其是回路时，称为初级回路（基本 回路或圈）。
vi 与边 e j的关联次数,则称矩阵 (mij )nm为G的关联矩阵,记为
M(G) .
显然, mij 的可能取值为0( vi 与 e j不关联),1( vi与 e j 关联1次), 2( vi与e j 关联2次)即 e j 的以 vi 为端点的环.
第七章图论
以上三个条件并 不是两图同构的 充分条件，如：
a
b
c
d
e
(a)
a'
c'
b'
e'
d'
(b)
第七章 图论
图的基本概念 路与回路 图的矩阵表示 欧拉图与哈密尔顿图
7-2 路与回路
1、路的基本概念：
路： 图G=<V, E>，设 v0, v1, …, vn∊V, e1, e2, …, en∊E, 其中
ei是关联于结点vi-1, vi的边，交替序列设 v0 e1 v1 e2 … en vn称为
若 连 通 图 G中 某 两 个 结 点 都 通 过 v， 则 删 去 v 得 到 子 图 G ， 在 G 中 这 两个结点必定不连通，故v是图G的割点。
7-2 路与回路
deg(v)为偶数 vV1
|V1|为偶数
定理： 有向图中所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和
7-1 图的基本概念
（5）多重图：含有平行边的图
简单图：不含有平行边和环的图
完全图：每一对结点之间都有边关联的简单图
有向完全图：完全图中每条边任意确定一个方向所得的图
a
e
b
d
f
h
c
g
定理： n个结点的无向（有向）完全图Kn的边数为n(n-1)/2
证明： 在完全图中，每个结点的度数应为n－1，则n个结点的
度数之和为n(n-1)，因此|E|＝n(n-1)/2
7-1 图的基本概念
（6）子图：
G V , E ， 有 G ' V ', E ' ， 且 E ' E ， V ' V ，
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上次课主要内容： 图的连通性 无向图： 1、结点的连通： 设无向图G＝<V，E>，∀ u,v ∈V，若u，v之间 存在通路，则称u,v是连通的，记作u ～ v，∀ u ∈V，规定u ～u ～ ＝{<u，v> ┃u，v∈V且 u与v之间有通路} 结点的连通关系是等价关系 2、无向图的连通图 若无向图G是平凡图或G中任何两个顶点都是连通的，则称G为连 通图， 否则称G为非连通图或分离图（各子图为连通分支- 等价类） 3、结点之间的距离 设u，v为无向图G中任意两个顶点， 若u ～ v，称u，v之间长度最短的通路为u，v之间的短程线 短程线的长度称为u，v之间的距离，记作 d(u，v) 当u，v不连通时，规定d(u，v)＝ ∞ ．
例：给定有向图D，4个顶点7条边 邻接矩阵为
0 0 1 1 0 1 0 0 A= 0 0 1 1 A2= 2 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 反映图中任意两个顶点间 有多少长度为2的通路 3 4 2 3
1 1 0 1
1 0 0 0 4*4矩阵中有7个1（边）
返回
1 2 1 1 2 1 0 1 A3= 1 2 1 1 2 2 1 2 0 0 1 1 反映图中任意两个顶点间 有多少长度为3的通路 A4= 2 2 2 3 3 3 2 3 2 1 0 1 反映图中任意两个顶点间 有多少长度为4的通路
4) 阶数n比较小的所有非同构的无向树． 例：画出6阶所有非同构的无向树． m=n-1=5 从树的节点之和来分析：结点之和为10分配给6个结点 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 2 4 1 1 1 1 3 3 1 1 1 2 2 3 1 1 2 2 2 2 例：7阶无向树中有3片树叶和1个3度顶点，其余3个顶点的度数均无1和3．试画 出满足要求的所有非同构的无向树． 从树的节点之和来分析： Ti为满足要求的无向树，则边数mi = 6， 于是∑d(vi)＝12＝3＋3 + d(v5)+d(v6)+d(v7) 1 1 1 2 2 2 3 2，2，2 加入如何组成结点的度数序列使之不同构 主要分析：度为3的结点v与其三个邻接点的关系 邻接关系不同就能得到不同构的树 三个结点的分布：1 1 2 1 2 2 2 2 2
v1 e2 e3 v2 e4 2 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 M(G)= 0 1 1 0 0 e5
v3
2）有向图的关联矩阵 定义：设有向图D＝<V，E>中无环， v4 v1 令 1 vi为边ej的终点 mij = 0 vi为边ej不关联 e2 e5 e1 －1 vi为边ej的起点 e3 e4 则称(mij)nxm，为D的关联矩阵，记作M(D） v2 有向图关联矩阵的性质 v3 ∑mij= 0，j＝1，2，…，m M(D)中，负1的个数等于正1的个数，都 1 -1 0 0 0 等于边数m，这正是有向图握手定理 的内容（入度之和等于出度之和） M(D)= - 1 1 -1 0 0 第i行中，正1的个数等于d+(vi)（结点 0 0 0 -1-1 的入度），负1的个数等于d (vi)（结 0 0 1 1 1 点的出度）． 平行边所对应的列相同
利用A(D)确定出D中长度为L的通路数和回路数,就需要用到邻接矩 该项不为0表 阵的幂次运算
A2中的元素值b
ij是结点vi到vj长度为2
的通路条数：
示vi到vk有边Biblioteka 说明：由矩阵的乘积定义 bij = ∑k aik * akj
该项不为0表 该项不为0表示vi到vj 示vk到vj有边 A3矩阵中的Cij元素值，表示从 有长为 vi到v2 到长度恰为3的通路数 j 的通路
§16.2 生成树 （一些连通图不是树，但它的子图是树-重要的是生成树） 1、定义：设T是无向图G的子图并且为树，则称T为G的树． 若T是G的树且为生成子图，则称T是G的生成树． 设T是G的生成树，∀e∈ E(G)，若e ∈ E(T)，则称e为T的树枝， 否则称e为T的弦．并称导出子图G[E(G)—E(T)]为T的余树，记作T ． 注：T不一定连通，也不一定不含回路 2、生成树的性质 1）定理：无向图G具有生成树当且仅当G是连通图 （破圈法-不断去掉回路） 2）设G为n阶m条边的无向连通图，则m =|E(G)|≥|E(T)| = n - 1． 3）设G是n阶m 条边的无向连通图，T为G的生成树， 则T的余树T中含m - n十1条边(即T有m—n+1条弦) 4 ）任何无向连通图G 都存在生成树 无向连通图G的生成树 是不唯一的 实边图为该图的一棵生成树T， 余树T为虚边所示，它不连通， 同时也含回路
上次课主要内容： 1、图的矩阵表示 1）无向图的关联矩阵 设无向图G＝<V，E>，V＝{v1,v2,…，vn}。E={e1,e2,e3，…em} 令mij为顶点vi与边ej的关联次数，则称(mij)nxm为G的关联矩阵， 记作 M(G)． 性质：M(G)每列元素之和均为2 M(G)第i行元素之和为结点vi的度数，i＝1，2，…n 所有行的和（即矩阵所有元素之和）等于边数的2倍 第j列与第k列相同，当且仅当边ej与ek是平行边． e1 某行i的和为 0（即 ∑mij = 0）,当且仅当vi是孤立点
(5)G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到 惟一的一个含新边的初级回路． G无回路：n=1时成立， 归纳看n: 至少有一个结点度数为1（不然，结点的度>=2则边>=n) 去掉此结点所得到的G’无回路，再加上结点及边也无回路 任何二个结点有通路，增加一条新边构成简单回路（若不是初级的则删去 此边，则G中必有简单回路） (6)G是连通的，但删去任何一条边后，所得图不连通． G连通：存在二个结点无通路，则在二个结点添加边后不会出现回路 由于无回路则删去任一条边，图不连通 只要证G无回路：若有回路-则删去一条边后仍连通-与条件矛盾 3）树的性质 对于给定的无向图—树是边数最小的连通图（m<n-1则不连通） 树是边数最多的无回路图（m>n-1则有回路） 结点的度： Σd(vi) = 2 m =2(n-1) 定理： 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶 设：所有结点度>=2 则 Σd(vi) >=2n 有一个结点度为1其余的>=2 则 Σd(vi)>=2(n-1)+1=2n-1 （也可以设k个度为1的结点，其余结点的度大于等于2 ） 例：无向树T中度为4、3、2的结点各一个，其余为树叶，树叶＝？
作业问题： 1：证明3个4阶四条边的无向简单图至少有二个是同构的 2：无向完全图Kn中任意二个顶点的距离d(u,v)=?
有向完全图中任意二个顶点的距离d<u,v>=? N阶竞赛图中任意二个顶点的距离d<u,v>=?
3：n阶k-正则图G的边数 m = ?
无向图G有16条边，有3个4度结点和4个3度结点，其余结点 的度数均小于3，则G至少有几个结点？
4、有向图的可达矩阵 1）定义：设D＝<V，E>为有向图, V＝{v1，v2，…，vn} 令 1 vi可达vi pij ＝ 0 否则 称(pij)nxn为D的可达矩阵，记作P(D)，简记为P 2）可达矩阵的性质 （1）主对角线元素均为1 （每个结点自身可达） （2）可通过图的邻接矩阵A的n-1次幂的和矩阵Bn-1得到（将其 非零元素换为1，主对角线元素均设为1即可）
3、带权图的最小生成树 (1) 定义5 设无向连通带权图：G＝<V ，E，W > ，T是G的一棵生成树． T的各边权之和称为T的权，记作W(T)； G的所有生成树中权最小的生成树称为G的最小生成树 (2) 最小生成树的求法（这里介绍避圈法Kruskal算法) 设n阶无向连通带权圈G ＝ < V ，E, W > 有m条边． 不妨设G中没有环(否则，可以将所有的环先删去)，将m条边按权从小到 次顺序排列，设为e1,e2，…,em 取e1在T中，然后依次检查e2，e3，…，em.若ej(j≥2)与已在T中的边 不能构成回路，则取ej在T中，否则弃去ej． 算法停止时得到的T为G的最小生成树
3、生成树的应用 要建6个工厂，修建连接的通路 （见图），为使5处都有路相通，至 少要建几条路？如何铺设？ 由于n=6 所以建5条路即可 4、无向图G的生成树的确定： 二种方法：1、破圈法：每次去掉回路中的一条边， 去掉总数为 m-n+1 条弦 2、避圈法：由一个结点开始选一条边， 逐加与边关联的结点（只要不构成回路即可） 直到所有结点被添加
B4= 5 5 4 6
7 7 4 7 3 2 1 2 反映图中任意两个顶点间 有多少长度为小于等于
4的通路
返回
返回
1)确定该有向图的邻接矩阵A（D） 2)D中v2到v4长度为1，2，3，4的通路分别 为 条． 3) v4到自身长度为1，2，3，4的回路分别 为 条 4)D中v3到v4长度小于或等于4的通路有 条， 5)D中v1到v4长度小于或等于4的通路有 条
返回
第十六章
树
一、 无向树 1）定义： 连通无回路（初级回路或简单回路）的无向图称为无向树，或简称树 常用T表示树，平凡图称为平凡树． 若无向图G至少有两个连通分支，则称G为森林． 在无向树中，悬挂顶点称为树叶，度数大于或等于2的顶点称为分支结点． 2）树的等价定义 设G＝<V，E>是n阶m条边的无向图， 则下面各命题是等价的： (1)G是连通无回路（树）． 可通过循环证明 (2) G中任意两个顶点之间存在惟一的路径． （连通则存在路径，若不唯一 （不同路径则构成回路） (3) G中无回路且 m = n - 1． 有长大于等于2的回路都与唯一路径矛盾 对结点进行归纳：n=1平凡图m= 0=n-1， 设n=k成立 n=k+1时 两个结点有唯一的路，去掉则为两个连通分支（各自满足假设） m=m1+m2+1=n1-1+n2-1+1=n1+n2-1=n-1 (4) G是连通的且 m = n - 1． 若不连通，对各个(s>=2)连通分支是树且有mi=ni-1 m=n-s s>=2 矛盾