高三下学期数学期初模拟考试试卷
2022-2023学年辽宁省大连市高三(下)第一次模拟数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年辽宁省大连市高三（下）第一次模拟数学试卷1. 已知，i 为虚数单位，若为实数，则( )A.B. C. 3 D.2. 如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，若，，则( )A.B.C.D.3. 已知随机变量，且，则( )A.B.C.D.4. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角为( )A.B.C.D.5. 6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲得到4本的概率是( )A.B.C.D.6. 牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法.对于非线性可导函数在附近一点的函数值可用代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解.利用这个方法，解方程，选取初始值，在下面四个选项中最佳近似解为( )A. B. C.D.7. 已知对于每一对正实数x ，y ，函数满足：，若，则满足的n 的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 已知点P为平面直角坐标系xOy内的圆上的动点，点，现将坐标平面沿y轴折成的二面角，则A，P两点间距离的取值范围是( )A. B. C. D.9. 在中，若，则下列结论正确的是( )A. B.C. D.10. 阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为…，其中…，k，为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面.”解答问题：已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，则下列说法正确的是( )A. 四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等B. 若，则四棱柱在顶点A处的离散曲率为C.若四面体在点处的离散曲率为，则平面D. 若四棱柱在顶点A处的离散曲率为，则与平面的夹角为11. 定义在R上函数，则( )A. 存在唯一实数a，使函数图像关于直线对称B. 存在实数a，使函数为单调函数C. 任意实数a，函数都存在最小值D. 任意实数a，函数都存两条过原点的切线12. 已知直线l：与椭圆交于A，B两点，点F为椭圆C的下焦点，则下列结论正确的是( )A. 当时，，使得B. 当时，，C. 当时，，使得D. 当时，，13. 若，则______ .14. 已知单位向量，的夹角为，若，则记作已知向量，，则______ .15. 早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，根据图上尺寸，溢流孔ABC 所在抛物线的方程为______ ，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为______ .16. 甲、乙、丙三人每次从写有整数m，n，的三张卡片中各摸出一张，并按卡片上的数字取出相同数目的石子，放回卡片算做完一次游戏，然后再继续进行，当他们做了次游戏后，甲有22粒石子，乙有9粒石子，丙有9粒石子，并且知道最后一次丙摸的是k，那么做游戏次数是______ .17. 从①②③中选择一个条件补充到题目中：①，②，③，解决下面的问题.在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，且_____.求角A；若D为边AB的中点，，求的最大值.18. 如图，平面五边形ABCDE中，是边长为2的等边三角形，，，，将沿AD翻折，使点E翻折到点证明：；若，求二面角的大小，以及直线PB与平面PCD所成角的正弦值.19. 在正项数列中，，求；证明：20. 国学小组有编号为1，2，3，…，n的n位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为，第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮比赛，先答第一题；②若第…，号同学未答对第一题，则第i轮比赛失败，由第号同学继续比赛；③若第…，号同学答对第一题，再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第i轮结束；若该生未答对第二题，则第i轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第n轮，则不管第n号同学答题情况，比赛结束.令随机变量表示n名同学在第X轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列；若把比赛规则③改为：若第…，号同学未答对第二题，则第i轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答.令随机变量表示n名同学在第Y轮比赛结束.求随机变量的分布列；证明：随n增大而增大，且小于21. 已知双曲线和集合，直角坐标平面内任意点，直线l：称为点N关于双曲线C的“相关直线”.若，判断直线l与双曲线C的位置关系，并说明理由；若直线l与双曲线C的一支有2个交点，求证：；若点，点M在直线l上，直线MN交双曲线C于A，B，求证：22. 已知函数，是的导函数，且求a的值，并证明函数在处取得极值；证明：在区间有唯一零点.答案和解析1.【答案】A【解析】解：，由于为实数，则，所以，故选：求出，再由为实数，能求出本题考查实数值的求法，考查复数的运算法则、实数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由Venn图可知，，因为，，则，，因此，故选：分析可知，求出集合A、、，即可得集合本题考查集合的应用，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由，知，故故选：根据正态分布的定义，先求出，再结合即可得到答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：如图，连接，BD，由正方体的结构特征可知，，异面直线直线与所成的角为，为等边三角形，故选：由，得异面直线与所成的角为，由为等边三角形，即可求出异面直线与所成的角．本题考查两异面直线所成角的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，是基础题．5.【答案】A【解析】解：分三种情况讨论：①三人每人2本，有种不同的分法，②三人中一人1本，一人2本，一人3本，有种不同的分法，③三人中一人4本，其余2人各1本，有种不同的分法，则有种不同的分法，其中甲分得4本，其余2人各1本，有种不同的分法，则甲得到4本的概率是故选：分三种情况讨论即可：①三人每人2本，②三人中一人1本，一人2本，一人3本，③三人中一人4本，其余2人各1本．本题考查排练组合，考查古典概型，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：设，则，，，，则，令，解得，，，则，令，解得，故选：根据牛顿迭代法的运算法则，由求出再求出，结合选项得到最佳近似解．本题考查导数运算、考查数学运算能力，正确理解题意是关键，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：函数满足：，令得，，即，令得，，，，，，……，累加得，……，……，即当时，，令得，，解得或1，又，，即满足的n的个数是1个．故选：令得，，所以，先令求出的值，再利用累加法可求出的解析式，从而求出满足的n的个数．本题主要考查了抽象函数的应用，考查了累加法求和，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：记坐标系二，三象限所在半平面为半平面，①当P在y轴左侧时，为平面解析几何问题②当P在y轴上及右侧时，如图建系，则，设，，，其中，，则，，，综上所述：A，P两点间距离的取值范围是故选：分当P在y轴左侧时与P在y轴上及右侧，分别进行计算可求A，P两点间距离的取值范围．本题考查圆的几何性质，考查翻折问题，属中档题．9.【答案】BD【解析】解：，，，，，，且，，A不一定等于B，错误，A错误；，且，，即，B正确；，且不一定等于，错误，C错误；，D正确．故选：根据及二倍角的正弦公式、切化弦公式、三角函数的诱导公式即可得出，从而得出，然后可判断A错误；根据即可判断B的正误；根据可判断C错误；根据可判断D的正误．本题考查了二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式，，考查了计算能力，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：对于A，当直四棱柱的底面不为正方形时，其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故A错误；对于B，若，则菱形ABCD为正方形，平面ABCD，AB，平面ABCD，，，直四棱柱在顶点处的离散曲率为，故B正确；对于C，在四面体中，，，，四面体在点上的离散曲率为，解得，由题意知，，，直四棱柱为正方体，平面，平面，，，，平面，平面，，同理，，，，平面，平面，故C正确；对于D，直四棱柱在顶点A处的离散曲率为，则，是等边三角形，设，则是与平面的所成角，，故D错误．故选：根据题意求出线线夹角，再代入离散曲率公式，对四个选项逐一分析判断，结合线面垂直的判定定理和性质能求出结果．本题考查直四棱柱、四面体的结构特征、离散曲率、立体几何等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】ACD【解析】解：对于A，若函数图象关于直线对称，则恒成立，所以且，所以，解得，且当时，，则，所以存在唯一实数a，使函数图象关于直线对称，故A正确；对于B，，，则，所以函数不是单调函数，故B不正确；对于C，由于，又令，则恒成立，所以在上单调递增，且，；，，故存在唯一的零点，使得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故对任意实数a，函数都存在最小值，故C正确；对于D，由于，设曲线上的切点坐标为，则，所以切线方程为，当切线过原点时，有，整理得，方程在实数范围内有两个根，故D正确．故选：根据对称性先用特殊值求得a的值，即可判断A；根据导函数的性质即可判断B，C；根据导数的几何意义求解切线方程，代入原点判断方程的实根个数即可判断本题考查导数的综合应用，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：，又，，故A错误；设AB的中点，，，，，两式相减得，又，，，，又，得到点M的轨迹方程为：，，故B正确；联立直线与椭圆方程可得，，解得，，，故C 正确；由点差法可得点M的轨迹方程为：，，故D正确．故选：利用抛物线性质，结合每个选项计算可判断其正确性．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．13.【答案】【解析】解：若，所以，两边同时平方得，则故答案为：由已知结合和差距公式，二倍角公式及同角平方关系可求．本题主要考查了和差距公式，二倍角公式及同角平方关系的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：因为，所以，，故答案为：由数量积公式计算，再由模长公式计算本题考查了平面向量数量积和模长公式，属于中档题．15.【答案】，【解析】解：根据题意，设桥拱所在抛物线的方程为，，溢流孔ABC所在方程为，由它们均过，代入可得，，解可得：，，可得桥拱所在抛物线的方程为，溢流孔ABC所在方程为，则右边第二个溢流孔所在方程为，则有，解可得：或即溢流孔与桥拱交点A的横坐标为，故答案为：，根据题意，设桥拱所在抛物线的方程为，，溢流孔ABC所在方程为，运用待定系数法，求得p，，可得右边第二个溢流孔所在方程，联立抛物线方程，可得所求．本题考查抛物线标准方程的综合应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】略17.【答案】解：选①，由余弦定理得：，又，所以，得，因为，所以；选②，因为，由正弦定理得：，整理得：，由余弦定理得：，因为，所以；选③，因为，由正弦定理得：，即，又因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，即；在中，设，由正弦定理得，所以，，其中，当时取等号，所以的最大值是【解析】选①，利用余弦定理可得，再结合面积公式，可得，进而求解；选②，由结合正弦定理可得，再结合余弦定理可得，进而求解；选③，由结合正弦定理可得，进而得到，进而求解；在中，设，由正弦定理可得，进而得到，进而求解．本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．18.【答案】证明：取AD的中点O，连接OC、OE，是边长为2的等边三角形，，，翻折后有，，，，，，OP，平面POC，平面POC，，，平面POC，又平面POC，，解：由得，，二面角的平面角为，在中，，，由余弦定理得，，二面角的大小是，在平面POC内作，交PC于M，平面POC，以O为坐标原点，OA，OC，OM为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，由得，四边形OABC为矩形，又，，则，，，，，，，，设平面PCD的一个法向量为，则，令，则，，平面PCD的一个法向量为，设直线PB与平面PCD所成角为，则，直线PB与平面PCD所成角的正弦值为【解析】取AD的中点O，连接OC、OE，可得，进而可得，可证平面POC，可证结论；可求二面角的大小是，以O为坐标原点，OA，OC，OM为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面PCD的一个法向量与直线PB的一个方向向量，可求直线PB与平面PCD 所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，属中档题．19.【答案】解：依题意，当时，由，可得，即，，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，，，，，证明：由题意及，可得，故不等式对任意恒成立．【解析】由题意当时，由，可得，进一步推导即可发现数列是以1为首项，1为公差的等差数列，通过计算数列的通项公式即可计算出数列的通项公式；先将第题数列的通项公式代入题干表达式，再运用裂项相消法进行运算，最后根据不等式的性质即可证明不等式成立．本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了整体思想，分类讨论思想，转化与化归思想，裂项相消法，不等式的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．20.【答案】解：由题设，可取值为1，2，3，，因此的分布列为：1 2 3P可取值为1，2，…，n，每位同学两题都答对的概率为，则答题失败的概率均为：，所以时，；当时，故的分布列为：1 2 3…nP…证明：由知：，，故单调递增；由上得，故，，故【解析】由题设有，可取值为1，2，3，应用独立事件乘法公式、互斥事件概率求法求各值对应的概率，即可得分布列；应用二项分布概率公式求取值1，2，⋯，n对应概率，即可得分布列；由分布列得，定义法判断单调性，累加法、等比数列前n项和公式求通项公式，即可证结论．本题考查了独立事件乘法公式、互斥事件、二项分布和离散型随机变量的分布列，属于中档题．21.【答案】解：直线l与双曲线C相切，理由如下：联立方程组，①，，，即，代入①得，，，直线l与双曲线C相切；证明：由知，直线l与双曲线的一支有2个交点，则：，，，，，；证明：设，，设，，，则，代入双曲线C：，利用M在l上，即，整理得，，同理得关于的方程，即、是的两根，，，【解析】直线l与双曲线C相切，理由：联立直线方程和曲线C的方程消去y可得出①，然后根据得出，然后代入①，得出方程①有二重根即可；由知，然后根据直线l与曲线C的一支有2个交点可得出，然后根据可得出，而根据可得出，最后即可得出；可设，，根据题意设，根据，，得出，从而得出，然后代入双曲线方程，并根据M在l上可得出关于的方程，同理可得出关于的方程，这样即可得出、是的两根，从而得出，然后即可得出结论．本题考查了直线和双曲线相切时，联立直线方程和双曲线方程消去y，得到关于x的一元二次方程，该方程有二重根，共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，点在直线或曲线上时，点的坐标满足直线或曲线的方法，考查了计算和推理能力，属于难题．22.【答案】解：，则，令，得，，，当时，，，故在单调递增；当时，令，则，在区间上，，故是上的减函数，，即在区间上，，是上的减函数，综上所述，在处取得极大值；证明：由知，，，，在区间至少有一个零点，以下讨论函数在区间上函数值的变化情况：由，令，则，令，上，解得，，①当时，在区间上，，递减，；在区间上，，递增，，故存在唯一实数，使得，即，故在上，，递减，，在上，，递增，而，故在上，，当且仅当时，，故在上有唯一零点；②对任意正整数k，在区间上，，递减，，在区间上，，递增，，故存在唯一实数，使得，即，在上，，，递减，在上，，，递增，，，，可得在上有唯一零点，即在上有唯一零点，综上，在区间有唯一零点．【解析】求出原函数的导函数，由可求得a，再由导数可得原函数的单调性，即可证明在处取得极值；由零点存在性定理可知在区间至少有一个零点，再分及k 为正整数讨论即可得证．本题考查导数运算、利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查分类讨论思想，考查运算求解能力及逻辑推理能力，属于较难题目．。
山西省晋城市第一中学2024届高三下学期网上模拟考试数学试题
山西省晋城市第一中学2024届高三下学期网上模拟考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知21,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，则21log 3f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A ．2 B ．23 C ．23- D ．32．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83π33B ．4π1633C ．33π3D ．43π333．设m ∈R ，命题“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是( )A ．任意0m >，使方程20x x m +-=无实根B ．任意0m ≤，使方程20x x m +-=有实根C ．存在0m >，使方程20x x m +-=无实根D ．存在0m ≤，使方程20x x m +-=有实根4．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ） 附：若()2~,X Nμσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=，()220.9544P X μσμσ-<+=. A ．0.6826 B ．0.8413C ．0.8185D ．0.9544 5．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C ．102D ．12 6．已知集合{}2lgsin 9A x y x x ==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．2,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 7．己知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点,M N 分别在抛物线C 上，且30MF NF +=，直线MN交l 于点P ，NN l '⊥，垂足为N '，若MN P '∆的面积为243，则F 到l 的距离为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．68．如图，已知三棱锥D ABC -中，平面DAB ⊥平面ABC ，记二面角D AC B --的平面角为α，直线DA 与平面ABC 所成角为β，直线AB 与平面ADC 所成角为γ，则（ ）A ．αβγ≥≥B ．βαγ≥≥C ．αγβ≥≥D ．γαβ≥≥9．下列结论中正确的个数是（ ）①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 通项公式为()n a f n =，则该数列是等差数列；②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则//l α；③在ABC ∆中，“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件；④若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2.A ．1B ．2C ．3D ．010．设()11i a bi +=+，其中a ，b 是实数，则2a bi +=（ ）A ．1B ．2C 3D 511．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ）A ．2430x y --=B ．2430x y +-=C ．4230x y +-=D ．2430x y -+= 12．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay +=的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,+∞B ．()3,+∞C ．(),3-∞-D ．(),3-∞-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案
天水市一中级—第二学期第一次模拟考试数学试卷（理科）第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知(－1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其中i 是虚数单位，是z 的共轭复数)，则z 的虚部为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i2．如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 21(x －1)＞0}，B ＝{x |x 2x －3＜0}，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(0,1]3．已知命题p ：∃x ∈(－∞，0)，2x ＜3x；命题q ：∀x ∈2π，tan x ＞sin x ，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∨(q )C ．(p )∧qD ．p ∧(q )4．有4位同学参加某智力竞赛，竞赛规定：每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答，且甲类题目答对得3分，答错扣3分，乙类题目答对得1分，答错扣1分．若每位同学答对与答错相互独立，且概率均为21，那么这4位同学得分之和为0的概率为 ( )A.6411B.43C.83D.1611 5．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则→OA ＋→OB ＋→OC ＋→OD等于 ( )A.→OM B ．2→OM C ．3→OM D ．4→OM 6.设 a ＞b ＞1，，给出下列三个结论：① ＞ ；② ＜ ； ③，其中所有的正确结论的序号是.A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则过点P (n ，a n )和Q (n ＋2，a n ＋2)(n ∈N *)的直线的斜率是( )A ．4B ．3C ．2D ．19．某程序框图如图所示，若输出的k 的值为3，则输入的x 的取值范围为( )A ．[15,60)B ．(15,60]C ．[12,48)D ．(12,48]10．已知P (x ，y )为平面区域a ≤x ≤a ＋1y2－x2≤0(a ＞0)内的任意一点，当该区域的面积为3时，z ＝2x －y 的最大值是( )A ．1B ．3C ．2D ．611．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－25，则数列an 1的前n 项和T n ＝( )A ．－2n ＋1n B.2n ＋1n C ．－2n ＋12n D.2n ＋12n12．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线经过点(0,2)，M 为抛物线上的一个动点，则M 到直线l 1：5x －4y ＋4＝0和l 2：x＝－52的距离之和的最小值为( )A.4141B.3131C.4141D.3131第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．双曲线Γ：a2y2－b2x2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．14．已知(1－2x )5(1＋ax )4的展开式中x ． 15.已知，则不等式的解集为16．在棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC 1，A 1B 1的中点，点P 在其表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于________． 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cos C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．18．(本小题满分12分)某调查机构从某县农村淘宝服务网点中随机抽取20个网点作为样本进行元旦期间网购金额(单位：万元)的调查，获得的所有样本数据按照区间[0,5]，(5,10]，(10,15]，(15,20]，(20,25]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据样本数据，试估计样本中网购金额的平均值；(注：设样本数据第i组的频率为p i，第i组区间的中点值为x i(i＝1,2,3,4,5)，则样本数据的平均值为＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋x4p4＋x5p5)(2)若网购金额在(15,25]的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点．从这20个服务网点中任选2个，记ξ表示选到优秀服务网点的个数，求ξ的分布列及数学期望．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，SA＝1，AB＝2，SB＝，平面SAB⊥底面ABCD，直线SC与底面ABCD所成的角为30°.(1)证明：平面SAD⊥平面SAC；、(2)求二面角BSCD的余弦值．20.(本小题满分12分)已知椭圆C ：a2x2＋b2y2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2(2,0)，点P 315在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，使得|F 1M |＝|F 1N |(F 1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(x ＋a )ln x ，g (x )＝ex x2，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y －3＝0平行．(1)求证：方程f (x )＝g (x )在(1,2)内存在唯一的实根；(2)设函数m (x )＝min{f (x )，g (x )}(min{p ，q }表示p ，q 中的较小者)，求m (x )的最大值．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线Γ. (1)写出Γ的参数方程；(2)设直线l ：3x ＋2y －6＝0与Γ的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －a |.(1)若f (x )＜b 的解集为{x |－1＜x ＜2}，求实数a 、b 的值；(2)若a ＝2时，不等式f (x )＋m ≥f (x ＋2)对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围．数学(理科)答案1．解析：选A.因为＝2－i 4＋3i ＋1－3i ＝2＋i 2＋i＋1－3i ＝1＋2i ＋1－3i ＝2－i ，所以z ＝2＋i ，z 的虚部为1，故选A.2．解析：选D.由题可知A ＝{x |1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜23}，且图中阴影部分表示的是B ∩(∁R A )＝{x |0＜x ≤1}，故选D.3．解析：选C.根据指数函数的图象与性质知命题p 是假命题，则綈p 是真命题；根据单位圆中的三角函数线知命题q 是真命题，故选C.4..解析：选A.每人的得分情况均有4种可能，因而总的情况有44＝256种，若他们得分之和为0，则分四类：4人全选乙类且两对两错，有C 42种可能；4人中1人选甲类对或错，另3人选乙类全错或全对，有2C 41种可能；4人中2人选甲类一对一错，另2人选乙类一对一错，有C 42×2×2种可能；4人全选甲类且两对两错，有C 42种可能．共有C 42＋2C 41＋C 42×2×2＋C 42＝44种情况，因而所求概率为P ＝25644＝6411，故选A.5．解析：选D.因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 的交点，所以→OA ＋→OC ＝2→OM ，→OB＋→OD ＝2→OM ，所以→OA ＋→OB ＋→OC ＋→OD ＝4→OM，故选D. 6.【答案】D【解析】由不等式及a ＞b ＞1知，又，所以＞，①正确;由指数函数的图像与性质知②正确；由a ＞b ＞1，知，由对数函数的图像与性质知③正确.7案： B 提示：四棱锥的底面垂直与水平面。
浙江省宁波市镇海中学2023届高三第二学期模拟考试数学含答案
2023年高三数学模拟卷（一）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|20A x x =+>，{}|4B x x =>R ð，则A B =I （）A ．{2x x <-或}4x >B ．{}24x x -<≤C ．{}4x x >D ．{}24x x -<<2．已知x R ∈，则“0x >”是“23x x <”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要3．二项式210(1)(1)x x x ++-展开式中5x 的系数为（）A ．120B ．135C ．-140D ．-1624．数列{}n a 满足131,31n na a a +==-，则2023a =（）A ．12-B ．23C ．52D ．35.赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.已知小正方形的面积为1，直角三角形中较小的锐角为θ，且1tan 23θ=，则大正方形的面积为（）A ．4B ．5C ．16D ．256.已知2a =r ，1b =r ，2a b -=r r ，则向量a r 在向量b r方向上的投影向量为（）A ．bB ．b- C D ．7．设1cos 0.1,10sin 0.110tan 0.1a b c ===，，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<8.表面积为4π的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为（）A.4π B.8π C.12π D.16π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某地区高三男生的身高X 服从正态分布()()2170,0N σσ>，则（）A ．()1700.5P X >=B ．若σ越大，则()165175P X <<越大C ．()()180160P X P X >=<D ．()()160165165170P X P X <<=<<10．随机变量ξ的分布列如右表：其中0xy ≠，下列说法正确的是（）A ．1x y +=B ．5(3)y E ξ=C ．()D ξ有最大值D ．()D ξ随y 的增大而减小11．在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：(1)过点0000(,,)P x y z ，且以(,,)(0)u a b c abc =≠为方向向量的空间直线l 的方程为000x x y y z z a b c---==.(2)过点()000,,P x y z ，且()0)=(,,v m n mnt t ≠为法向量的平面α的方程为()()()0000m x x n y y t z z -+-+-=.现已知平面236x y z α++=：，1l ：21321x y y z -=⎧⎨-=⎩，2l ：2x y z ==-，3l ：1541x y z-==-则下列说法正确的是（）A.1//l αB.2//l αC.3//l αD.1l α⊥12.定义：若数列{}n a 满足，存在实数M ，对任意n *∈N ，都有n a M ≤，则称M 是数列{}n a 的一个上界.现已知{}n a 为正项递增数列，()12n n n ab n a -=≥，下列说法正确的是（）A.若{}n a 有上界，则{}n a 一定存在最小的上界.B.若{}n a 有上界,则{}n a 可能不存在最小的上界.C.若{}n a 无上界,则对于任意的n N *∈，均存在k N *∈，使得12023n n k a a +<D.若{}n a 无上界，则存在k *∈Ν，当n k >时，恒有232023n b b b n ++<- .第II 卷（非选择题）三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13．复数2(1i)z =-，则||z =___________．14.已知,a b 为两个正实数，且41a b +=+的最大值为___________.ξ012Px3y 23y四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设函数1()sin()cos ,3(0,),().22f x x x f ππαα=+-∈=(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)已知凸四边形ABCD 中，()241AB AC AD f BAD ∠====，，，求凸四边形ABCD 面积的最大值.19．在直角梯形ABCD 中，CD AD ⊥，22AB BC CD ===，AD =现将D AC ∆沿着对角线AC 折起，使点D 到达点P 位置，此时二面角P AC D --为3π（1）求异面直线PA ，BC 所成角的余弦值；（2）求点A 到平面PBC 的距离.21.已知椭圆22143x y +=，F 为其右焦点，(0,)M t ，(0,)N t -为椭圆外两点，直线MF 交椭圆于AB 两点.(1)若MA AF λ= ，MB uBF =，求u λ+的值；(2)若三角形NAB 面积为S ，求S 的取值范围.22．已知()sin ,[0,]f x x x π=∈，（1）求()f x 在x π=处的切线方程；（2）求证：对于12,[0,]x x π∀∈和12,0λλ∀>，且121λλ+=，都有()11221122sin sin sin x x x x λλλλ+≥+；（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．高三数学第1页共8页2023.5高三数学模拟考一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678BCDADBDB二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9101112ACABCCDACD三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13．215.[1,1)e -16.316四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.【解析】（1）由题意知1sin()cos332ππα+-=，得sin()13πα+=因为0,2πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,336ππαπ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以32ππα+=，所以6πα=()sin cos sin 66f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫∴=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所()f x 的单调递增区间为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）由()1fBAD ∠=，得23BAD π∠=所以四边形ABCD的面积BAC DAC S S S ∆∆=+设BAC α∠=，则()22sin 4sin 3S παααϕ⎛⎫=+-=+≤⎪⎝⎭当21sin cos 7αϕ==时，取到最大值高三数学第2页共8页18.【解析】（1）当1n =时，215160a a ++=，26425a ∴=-，当2n ≥时，由10516n n a S +++=①，得10516n n a S -+=+②，①-②得154n na a +=126440,0,255n n n a a a a +=-≠∴≠∴=，又214,{}5n a a a =∴是首项为165-，公比为45的等比数列，11644()4()555n n n a -∴=-⋅=-⋅；（2）由4(5)0n n b n a +-=，得54(5)()45n n n n b a n -=-=-，所以234444432(1)(5)5554455nn T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯-⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，2413444444432(6)(555)5555nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，两式相减得234114444444(5)5555555nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111612516(45)5554145n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-1115(5)161644455555n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以145()5n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1445()(5)()55n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(5)40n n λ-+≥恒成立，5n =时不等式恒成立；高三数学第3页共8页5n <时，420455n n n λ≤-=----，得1λ≤；5n >时，412455n n n λ≥-=----，得4λ≥-；所以41λ-≤≤.19.过点D 做DO AC ⊥交AC 于O 连接OP以O 点为原点，以OA 为x 轴，在平面ABCD 内，过点O 垂直于AC 的线为y 轴，过点O 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.(1)因为DO AC ⊥，所以PO AC ⊥，所以DOP ∠为二面角P AC D --的平面角.所以3DOP π∠=，又因为3||||2OD OP ==，所以点330,,44P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭又因为1,0,02C ⎛⎫-⎪⎝⎭，3,0,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12B ⎛⎫⎪⎝⎭所以33,,244AP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()1,BC =-所以333324cos ,8||||AP BCAP BC AP BC +⋅<>===所以AP 与BC 夹角的余弦值为338.高三数学第4页共8页(2)13,,244PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,()1,BC =-设(),,n x y z = 为平面PBC 的一个法向量，则00n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即13302440x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪-=⎩令x =1,n =-所以点A 到平面PBC的距离为||2217||AP n d n ⋅===.20.【解析】（1）记“所选取的2名学生选考物理､化学､生物科目数量相等”为事件A ，则两人选考物理､化学､生物科目数量（以下用科目数或选考科目数指代）为1的情况数为220C ，数目为2的为240C ，数目为3的有240C ，则()2222040402100C C C 35C 99P A ++==.；（2）由题意可知X 的可能取值分别为0,1,2.为0时对应概率为（1）中所求概率：()2222040402100C C C 0C 5939P X ++===；为1时，1人选考科目数为1，另一人为2或1人为2，1人为3：()1111204040402100C C C C 161C 33P X +===；为2时，1人为1，1人为3：()1120402100C C 162C 99P X ===.则分布列如图所示：X012P359916331699故X 的期望为()3516168001299339999E X =⨯+⨯+⨯=；（3）高三数学第5页共8页性别纯理科生非纯理科生总计男性305585女性10515总计4060100零假设为0H ：同时选考物理、化学、生物三科与学生性别相互独立，即同时选考物理、化学、生物与学生性别无关.()()()()()()2221003051055 5.229 3.84140608515n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯所以依据小概率值0.05α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为同时选考物理、化学、生物三科与学生性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.21.(1)设()()1122,,,A x y B x y 因为,M N 在椭圆外，所以23t >.由题意知，AB 的方程为11x y t =-+，联立椭圆方程，得221134120x y t x y ⎧=-+⎪⎨⎪+-=⎩化简，得2236(4)90y y t t+--=（*）由MA AF λ=，得()11y t y λ-=-由MB uBF =，得()22y t u y -=-所以121212112y y t tu t y y y y λ⎛⎫++=-+-+=-+ ⎪⎝⎭由（*）式可得，12126293y y t y y t+==--所以1212823y y u t y y λ⎛⎫++=-+=- ⎪⎝⎭.高三数学第6页共8页(2)1222122||||33244NAB OABS S OF y y t t∆∆==⋅⋅-=++令m =，所以21231NABm S m ∆=+因为23t >，所以m ⎛= ⎝，所以2121283,313153NAB m S m m m ∆⎛⎫==∈ ⎪ ⎪+⎝⎭+.所以S 的取值范围是83,35⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.22.【解析】（1）因为()cos f x x '=,所以cos |1x k x π===-，又()0f π=所以求()f x 在x π=处的切线方程为y x π=-+.(2)不妨设12x x ≤令122122()sin()sin sin g x x x x x λλλλ=+--，2[0,]x x ∈则11221()cos()cos g x x x x λλλλ'=+-因为122120x x x x x πλλλλ≥+>+=≥所以122cos()cos x x x λλ+≤所以()0g x '≤在2[0,]x x ∈上恒成立.所以2()()0g x g x ≥=即122122sin()sin sin x x x x λλλλ+≥+.(3)对于任意的[0,]i x π∈，任意的0(1,2,,)i i n λ>= ，11nii λ==∑都有11sin sin n ni i i ii i x x λλ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑高三数学第7页共8页证明：①当2n =时，由（2）知，命题显然成立.②假设当n k =时命题成立.即对任意的123,,,[0,]k x x x x π∈ 及0,1,2,3,,,i i k μ>= 11k i i μ==∑.都有11sin sin k ki i i i i i x x μμ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑.现设1231,,,,[0,]k k x x x x x π+∈ 及0,1,2,3,,,1i i k k λ>=+ ，111k i i λ+==∑.令1,1,2,3,,,1i i k i k λμλ+==- 则11k i i μ==∑.由归纳假设可知()()11221122111111sin sin 11k k k k k k k k k k x x x x x x x x λλλλλλλλλλ++++++⎡⎤+++++++=-+⎢⎥-⎣⎦()()11122111sin sin k k k k k x x x x λμμμλ+++≥-++++ ()[]11122111sin sin sin sin k k k k k x x x x λμμμλ+++≥-++++ ()12112111111sin sin sin sin 111k k k k k k k k x x x x λλλλλλλλ++++++⎡⎤=-++++⎢⎥---⎣⎦()12112111111sin sin sin sin 111k k k k k k k k x x x x λλλλλλλλ++++++⎡⎤=-++++⎢⎥---⎣⎦11sin k i i i x λ+==∑所以当1n k =+时命题也成立.综上对于任意的[0,]i x π∈，任意的0(1,2,,)i i n λ>= ，且11n i i λ==∑都有11sin sin n ni i i i i i x x λλ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑。
2024年东北三省三校高三下学期第一次联合模拟考数学试题及答案
哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2024年高三第一次联合模拟考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，定在．本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2M =，(){}2log 212x N x −≤=∈R ，则M N = （ ） A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．∅2．已知复数z 的共轭复数是z ，若i 1i z ⋅=−，则z =（ ） A ．1i −+B ．1i −−C ．1i −D ．1i +3．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2af x x x=+，若()38f =−，则a =（ ） A ．3−B ．3C ．13D ．13−4．已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点和上顶点分别为A ，B ，过左焦点F 且平行于直线AB 的直线交y 轴于点D ，若2OD DB =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B C ．13D ．235．()521x x y y −−的展开式中32x y 的系数为（ ） A ．55B ．70−C ．30D ．25−6．已知正四棱锥P ABCD −各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为643，则该球表面积为（ ） A ．9πB ．36πC ．4πD ．4π37．已知函数()22e e xx f x ax −=−−，若0x ≥时，恒有()0f x ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2−∞B ．(],4−∞C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞8．设1033e a =，11ln 10b =，ln 2.210c =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（ ） A ．若374a a +=，则918S =B ．若150S >，160S <，则2289a a > C ．若211a a +=，349a a +=，则7825a a += D ．若810a S =，则90S >，100S <10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，点Q 在抛物线C 的准线上，则以下命题正确的是（ ） A ．PQ PF +的最小值是2 B ．PQ PF ≥C ．当点P 的纵坐标为4时，存在点Q ，使得3QF FP =D ．若PQF △是等边三角形，则点P 的橫坐标是311．在一个只有一条环形道路的小镇上，有2家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示．小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间．某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路。
广西2024届高三下学期4月模拟考试数学试卷(解析版)
广西2024届高三下学期4月模拟考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知椭圆的长轴长等于焦距的4倍，则该椭圆的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据离心率定义与基本量关系求解即可.【详解】设椭圆长轴长，焦距，则，即.故选：C2. 的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】利用复数的乘法化简复数，再利用共轭复数的定义可得出结果.【详解】因为，故复数的共轭复数为.故选：B.3. 把函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ）12142a 2c 242a c =⨯14c a =()i 67i -76i +76i -67i +67i--()i 67i -()2i 67i 6i 7i 76i -=-=+()i 67i -76i -()cos5f x x =15A. B. C D. 【答案】A 【解析】【分析】由图象平移变换写出解析式后判断.【详解】由题意新函数解析式为.故选：A ．4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，下列命题为真命题的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B 【解析】【分析】考查线与面，面与面之间位置关系，关键是掌握线面、面面等的位置关系及其性质，再结合图形分析.【详解】如图，当时，与可相交也可平行， 故A 错；当时，由平行性质可知，必有，故B 对；如图，当时，或，故C 错；当时，可相交、平行，故D 错.故选：B..()cos 51y x =+1cos 55y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()cos 51y x =-1cos 55y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭1cos5(cos(51)5y x x =+=+,l m ,αβ;l m αβ⊂⊂l m αβα βl βl m ⊥l β⊥αβ⊥l m//l m αβ//αβ//l βl m ⊥//l βl ⊆βαβ⊥,l m5. 下列函数中，在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案.【详解】对于A ，，其定义域为，不符合题意；对于B ，，在上为减函数，不符合题意；对于C ，，在上单调递减，不符合题意；对于D ，，在上单调递增，符合题意；故选：D .6. 已知轴截面为正方形的圆柱的体积与球的体积之比为，则圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）A. 1 B.C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】根据已知，结合圆柱和球的体积公式，可得圆柱底面圆半径和球的半径相等，再利用圆柱和球的表面积公式可解.【详解】设圆柱底面圆半径为，球的半径为，则圆柱的高为，由，可得，所以圆柱的表面积与球的表面积之比为.故选：B7. 已知是函数的极小值点，则的取值范围为（）A. B. C. D. ()0,2()f x =()22f x x x=-()1f x x=()14f x x=()f x =[1,)+∞()22f x x x =-(01),()1f x x=()0,2()14f x x ==()0,2MM 'O 32MM 'O 3252MM 'r O R MM 'r O R MM '2r 2333π2334π223r r r R R ⋅==1r R=MM 'O 222222π4π334π22r r r R R +==0x =()()2f x x x a =-a (),0∞-3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()0,∞+3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据极小值的定义，在的左侧函数递减，右侧函数递增可得.【详解】由已知，，令得或，由题意是极小值点，则，若，则时，，单调递减，时，，单调递增，则是函数的极小值点，若，则时，，单调递减，时，，单调递增，则是函数的极大值点，不合题意，综上，，即.故选：A .8. 在研究变量与之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据，，利用此样本数据求得的经验回归方程为，现发现数据和误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为，且则（ ）A. 8 B. 12C. 16D. 20【答案】C 【解析】【分析】由回归方程的性质求出即可.【详解】设未剔除这两对数据前的的平均数分别为，剔除这两对数据前的的平均数分别为，因为所以，则，0x =32()f x x ax =-2()32f x x ax '=-23()3a x x =-()0f x '=0x =23a x =0x =203a≠203a<203a x <<()0f x '<()f x 0x >()0f x '>()f x 0x =203a >203a x <<()0f x '<()f x 0x <()0f x '>()f x 0x =203a<a<0x y ()()1122,,,,x y x y ()()()55,,6,28,0,28x y 7ˆ101667yx =+()6,28()0,28ˆ4yx m =+51140i i y ==∑m =,x y ,x y ,x y ,x y ''51140ii y==∑140285y ¢==2844y m mx '--'==又这两对数据为，所以，所以，所以故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键在于找到剔除前后的平均数.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若集合和关系的Venn 图如图所示，则可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】【分析】根据Venn 图可知 ，依次判定选项即可.【详解】根据Venn 图可知 ，对于A ，显然 ，故A 正确；对于B ，，则，故B 错误；对于C ，，则 ，故C 正确；对于D ，，或，则 ，故D 正确.()()6,28,0,28()114056287y =⨯+=()17166310x y =⨯-=760281654x mx m ---'==⇒=M N ,M N {}{}0,2,4,6,4M N =={}21,{1}M xx N x x =<=>-∣∣{}{}lg ,e 5xM xy x N y y ====+∣∣(){}(){}22,,,M x y x y N x y y x ====∣∣N M N M N M {}11,{1}M xx N x x =-<<=>-∣∣M N ⊆{}{}0,5M xx N y y =>=>∣∣N M (){,M x y y x ==∣}y x =-(){},,N x y y x ==∣N M故选：ACD10. 已知内角的对边分别为为的重心，，则（ ）A. B. C. 的面积的最大值为 D. 的最小值为【答案】BC 【解析】【分析】利用重心性质及向量线性运算得，即可判断A ，此式平方后结合基本不等式，向量的数量积的定义可求得，的最大值，直接判断B ，再结合三角形面积公式、余弦定理判断CD ．【详解】是的重心，延长交于点，则是中点，，A 错；由得，所以，又，即所以，所以，当且仅当时等号成立，B 正确；，当且仅当时等号成立，，C 正确；由得，所以，，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D 错．故选：BC ．ABC ,,A B C ,,,a b c O ABC 1cos ,25A AO ==1144AO AB AC=+ 3AB AC ⋅≤ABC a 1133AO AB AC =+AB AC ⋅u u u r u u u rAB AC O ABC AO BC D D BC 22111()33233AO AD AB AC AB AC ==⨯+=+1133AO AB AC =+ 3AB AC AO +=22229()222AO AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC =+=++⋅≥+⋅1cos 5AB AC AB AC A AB AC ⋅==5AB AC AB AC=⋅ 225292AB AC AB AC ⨯⋅+⋅≤⨯ 3AB AC ⋅≤ AB AC = 15cos AB AC AB AC A ⋅⋅=≤ AB AC = sin A ==11sin 1522ABC S AB AC A =≤⨯= 22229()2AO AB AC AB AC AB AC =+=++⋅ 222362365AB AC AB AC AB AC +=-⋅=-22222442cos 2cos 3636152455a b c bc A AB AC AB AC A AB AC =+-=+-⋅==-≥-⨯= a ≥AB AC =a11. 已知定义在上的函数满足.若的图象关于点对称，且，则（ ）A. 的图象关于点对称B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的周期为2D. 【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，根据函数图象的变换性质判断即可；对B ，由题意计算即可判断；对C ，由A 可得，由B 可得，进而可判断C ；对D ，由结合与的对称性可得，进而，结合C 中的周期为4求得，进而可得.【详解】对A ，因为的图象关于点对称，则的图象关于点对称，故的图象关于点对称，故A 正确；对B ，，，又，故.即，故图象关于直线对称，故B 正确；对C ，由A ，，且，的R ()f x ()()224f x f x x +--=()23f x -()2,1()00f =()f x ()1,1()()2g x f x x =-2x =()()2g x f x x =-()()()12502499f f f +++= ()()220g x g x +--=()()g x g x =-()()4g x g x -=+()()224f x f x x +--=()00f =()f x ()()()()0,1,2,3f f f f ()()()()0,1,2,3g g g g ()g x ()()()1250g g g +++ ()()()1250f f f +++L ()23f x -()2,1()3f x -()4,1()f x ()1,1()()()()2222224g x f x x f x x -=---=-+-()()()()2222242g x f x x f x x +=+-+=+--()()224f x f x x +--=()()()()222240g x g x f x f x x +--=+---=()()22g x g x +=-()()2g x f x x =-2x =()()22f x f x +=--()()22f x f x -=-又因为，故，即，故，即.由B ，，故，故的周期为4，故C 错误；对D ，由，的图象关于点对称，且定义域为R ，则，，又，代入可得，则，又，故，，，，又的周期为4，.则.即，则，故D 正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：判断D 选项的关键是得出，结合周期性以及的定义即可顺利得解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 智慧农机是指配备先进的信息技术，传感器､自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有__________种不同的选择方案.【答案】200【解析】【分析】利用乘法原理，结合组合知识求解．【详解】第一步从6台不同的自动育秧机选2台，第二步从5台不同的自动插秧机选3台，由乘法原理可得选择方案数为，故答案为：200.()()224f x f x x +--=()()224f x f x x ----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()4fx f x x --=()()()22f x x f x x -=---()()g x g x =-()()4g x g x -=+()()()4g x g x g x =-=+()()2g x f x x =-()00f =()f x ()1,1()11f =()22f =()()224f x f x x +--=1x =()()134-=f f ()35f =()()2g x f x x =-()()000g f ==()()1112g f ==--()()2224g f ==--()()3361g f =-=-()g x ()()400g f ==()()()()()()()()()125012123412g g g g g g g g g ⎡⎤+++=⨯+++++⎣⎦ ()1241251=⨯---=-()()()12245010051f f f -+-++-=- ()()()()502100125024..100515124992f f f ⨯++++=+++-=-= ()()()()1,2,3,4g g g g ()g x 2356C C 200=13. 已知，则__________.【答案】1或-3【解析】【分析】由已知可得或，从而可求出的值.【详解】由 可得，所以 或，即 或，当时，当 时，，故答案为：1或-3.14. 已知分别是双曲线的左､右焦点，是的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则______.【答案】2【解析】【分析】根据双曲线的定义求解．【详解】双曲线的实半轴长为，延长交直线于点，由题意有，，又是中点，所以，故答案为：2.2sin sin2αα=πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 0α=sin 2cos αα=πtan 4α⎛⎫+⎪⎝⎭2sin sin2αα=2sin 2sin cos ααα=sin 0α=sin 2cos αα=tan 0α=tan 2α=tan 0α=πtan 1tan 141tan ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭tan 2α=πtan 1tan 341tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭12,F F 22:1412x y E -=M E 2F 12F MF ∠,N O ON =221412x y -=2a =2F N 1MF H 2MH MF =2NH NF =O 12F F 1121111()()2222ON F H MH MF MF MF a ==-=-==四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在等差数列中，，且等差数列的公差为4.（1）求；（2）若，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）； （2）证明见解析．【解析】【分析】（1）利用等差数列的求出公差，再求得首项后可得通项公式；（2）由裂项相消法及等差数列的前项和公式求得和后可证结论．【小问1详解】设的公差为，则，，又，所以，所以，．小问2详解】由（1）得，所以．16. 为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组：.整理得到如下频率分布直方图.【{}n a 26a ={}1n n a a ++10a 2111n n n n b a a a -+=+{}n b n n S 21228n S n n <++1022a =d 1a n n S {}n a d 1212()()24n n n n n n a a a a a a d +++++-+=-==2d =26a =1624a =-=42(1)22n a n n =+-=+1022a =11114(44(1)(2)412n b n n n n n n =+=-+++++2212111(1)111()42222422284(2)8n n n n S b b b n n n n n n +=+++=-+⨯=++-<++++ [30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]（1）求的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在内的村民人数为，求的分布列与期望.【答案】（1）； （2）分布列见详解；【解析】【分析】（1）由频率和为1，可求的值，再由平均数计算公式求解；（2）根据分层抽样可确定的取值，再分别求出概率，最后利用期望公式求解.【小问1详解】由图可知，，解得，该村村民成绩的平均数约为；【小问2详解】从成绩在内的村民中用分层抽样的方法选取6人，其中成绩在的村民有人，成绩在的村民有4人，从中任选3人，的取值可能为1,2,3，，，，则的分布列为123故17. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为菱形，，是的中点.a [)[)30,40,80,90[)80,90X X 0.00564.5()2E X =a X 10(30.010.0150.032)1a +⨯++=0.005a =(354595)0.05(5565)0.3750.15850.164.5⨯+++++=⨯⨯⨯+[)[)30,40,80,90[)30,400.05620.050.1⨯=+[)80,90X ()212436C C 11C 5P X ===()122436C C 32C 5P X ===()632436C C 13C 5P X ===X XP 153515()131123 2.555E X =⨯+⨯+⨯=P ABCD -PAB ⊥ABCD ABCD 60ABC ∠= 2,AB E ===CD（1）证明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析． （2【解析】【分析】（1）取中点，连接，证明平面，分别以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法证明面面垂直；（2）用空间向量法求二面角．【小问1详解】取中点，连接，如图，因为四边形是菱形且，所以和都是正三角形，又是中点，所以，，从而有，又，所以是矩形．又，所以，所以，即是等腰直角三角形，所以，，又因平面平面，平面平面，平面，所以平面，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，设平面的一个法向量是，则为PBC ⊥PAE D AP E --AB O ,OP OC PO ⊥ABCD ,,OA OC OP ,,x y z AB O ,OP OC ABCD 60ABC ∠=︒ABC ADC △E CD ,OC AB AE CD ⊥⊥OC AB ==//OC AE //CE AOAOCE AB ==222PA PB AB+=PA PB ⊥PAB112PO AB ==PO AB ⊥PAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =PO ⊂PAB PO ⊥ABCD ,,OA OC OP ,,x y z (1,0,0)B (0,0,1)P C (1,0,0)A -(E -(D -(1,0,1),1),(1,0,1),(1),(1)PB PC PA PE PD =-=-=--=--=--PBC (,,)m x y z =，取得，设平面的一个法向量是，则，取得，，所以，所以平面平面；【小问2详解】设平面的一个法向量是，则，取得，设二面角的大小为，由图知为锐角，所以18. 设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为6.（1）求抛物线的方程.（2）设是坐标原点，点是抛物线上异于点的两点，直线与轴分别相交于两点（异于点），且是线段的中点，试判断直线是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.【答案】（1） （2）过定点，定点坐标为【解析】PB m x z PC m z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩1y =m = PAE 000(,,)n x y z =r0000000PA n x z PE n x z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ 0=x n = 3030m n ⋅=+-= m n ⊥ PBC⊥PAE PAD (,,c)t a b =200PD t a c PA t a c ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ 1b =t = D AP E --θθcos cos t θ= 2:2(0)C y px p =>F F 22:(3)1E x y ++=C O ()2,4,,P A B C P ,PA PB y ,M N O O MN AB 28y x =(0,2)-【分析】（1）点到圆上点的最大距离为，即,计算即可；（2）由已知设，求得则，方程，联立与抛物线的方程求得点坐标，同理可得点坐标，进而求得直线的方程得出结果.【小问1详解】点到圆上点的最大距离为，即，得,故抛物线的方程为.【小问2详解】设，则方程为，方程为,联立与抛物线的方程可得，即,因此点纵坐标为，代入抛物线方程可得点横坐标为，则点坐标为,同理可得点坐标为,因此直线的斜率为,代入点坐标可以得到方程为,整理可以得到,因此经过定点.19. 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点满足曲线在和处的切线重合，则称为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”.F E 1EF +3162p ⎛⎫++=⎪⎝⎭(0,),(0,)M m N m -PA PB PA C A B AB F E 1EF +3162p ⎛⎫++= ⎪⎝⎭4p =C 28y x =(0,),(0,)M m N m -PA 42m y x m -=+PB 42my x m +=-PA C 21616044m y y m m -+=--()4404m y y m ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭A 44A m y m =-A ()222284A A y m x m ==-A ()2224,44m m m m ⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭B ()2224,44m m m m ⎛⎫⎪- ⎪++⎝⎭AB 2216A B A B y y m k x x m --==-B AB ()2222416244m m m y x m m m ⎛⎫- ⎪+=- ⎪++⎝⎭22162m y x m-=-AB (0,2)-()f x ,P Q ()y f x =P Q ,P Q ()y f x =PQ ()y f x =（1）直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；（2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程；（3）已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.【答案】（1）不是，理由见解析； （2）； （3）证明见解析．【解析】【分析】（1）求出导数为1的切点坐标，写出过两切点的切线方程，比较可得；（2）求出导数，利用其单调性可设切点为，且，写出两切线方程后由斜率相等，纵截距相等联立，求得切点坐标后可得切线方程；（3）设对应切点为，，对应的切点为，，由导数几何意义得，，由周期性，只需研究的情形，由余弦函数的性质，只需考虑，情形，在此条件下求得，满足，即，构造函数（），则，由导数确定单调性，从而得出缩小的范围，所以，证明则，再由不等式的性质可证结论．【小问1详解】不是，理由如下：的52y x =-()2122ln 2f x x x x =-+()1e ,0,46,0,x x g x x x +⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()y g x =()cos h x x =PQ ()y h x =PQ 12,,,n k k k ()123,4,5,,i k k k i n >>= 12158k k <2y x =+()g x '1122(,),(,)P x y Q x y 120x x ≤<1k 1111(,cos ),(,cos )x x x x ''11x x '<2k 2222(,cos ),(.cos )x x x x ''22x x '<111sin sin k x x '=-=-22sin sin k x x '=-=-21ππ2x x -<<<-11πx x '+=223πx x '+=2112213πcos 2πcos 2x k x k x x-=⋅-1x 11112cos sin π2x k x x -==--111πcos ()sin 2x x x =-cos π()sin 2x F x x x =+-ππ2x -<<-1()0F x =1x 15ππ6x -<<-215ππ6x x -<<<-12cos 01cos x x <<由已知，由解得，，又，，不妨设切点为，，在点处的切线的方程为，即，在点的切线方程为，即与直线不重合，所以直线不是曲线的“双重切线”．【小问2详解】由题意，函数和都是单调函数，则可设切点为，且，所以在点处的切线的方程为，在点的切线方程为，所以，消去得，设（），则，所以是减函数，又，所以在时只有一解，所以方程的解是，从而，在点处切线方程为，即，在点处的切线方程为，即，所以“双重切线”方程为；【小问3详解】证明：设对应的切点为，，对应的切点为，2()2f x x x '=-+2()21f x x x'=-+=11x =22x =3(1)2f =-(2)2ln 22f =-3(1,2P -(2,2ln 22)Q -P 312y x +=-52y x =-Q 2ln 222y x -+=-42ln 2y x =-+52y x =-52y x =-()2122ln 2f x x x x =-+12e ,0()4,0x x g x x x+⎧≤>'⎪=⎨⎪⎩1e (0)x y x +=≤24(0)y x x =>1122(,),(,)P x y Q x y 120x x ≤<P 11111e e ()x x y x x ++-=-Q 222244(6)()y x x x x --=-1112211224e 44e (1)6x x x x x x ++⎧=⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩2x 111(1)121e (1)4e 60x x x ++--+=1(1)12()e(1)4e6x x t x x ++=--+0x ≤111(1(1)1)1222()e 2e e [e 2]0x x x x t x x x ++++'=-=-<）()t x (1)0t -=()0t x =0x ≤=1x -111(1)121e(1)4e60x x x ++--+=11x =-22x =(1,1)P -11y x -=+2y x =+(2,4)Q 42y x -=-2y x =+2y x =+1k 1111(,cos ),(,cos )x x x x ''11x x '<2k 2222(,cos ),(.cos )x x x x ''，由于，所以，，由余弦函数的周期性，只要考虑的情形，又由余弦函数的图象，只需考虑，情形，则，，其中，所以，又，，即，，时，，，令（），则，，在上单调递减，又，所以，所以，此时，则，所以．【点睛】方法点睛：本题考查新定义，考查导数的几何意义．解题关键是正确理解新定义，并利用新定义进行问题的转化，转化为求函数图象的导数．新定义实际上函数图象在两个不同点处的切线重合，这种问题常常设出切点为，由导数几何意义，应用求出切点坐标或者分别写出过两点的切线方程，由斜率相等和纵截距相等求切点坐标．从而合问题获得解决．22x x '<(cos )sin x x '=-111sin sin k x x '=-=-22sin sin k x x '=-=-21ππ2x x -<<<-11πx x '+=223πx x '+=11111111111cos cos cos(π)cos 2cos (π)π2x x x x x k x x x x x '----===---'-22222222222cos cos cos(3π)cos 2cos (3π)3π2x x x x x k x x x x x '----===---'-21ππ2x x -<<<-2112213πcos 2πcos 2x k x k x x-=⋅-11112cos sin π2x k x x -==--22222cos sin 3π2x k x x -==--111πcos ()sin 2x x x =-2223πcos ()sin 2x x x =-ππ2x -<<-sin 0x <cos 0x <cos π()sin 2x F x x x =+-ππ2x -<<-1()0F x =222222sin cos 1cos ()110sin sin sin x x xF x x x x--'=+=-+=-<()F x π(π,)2--5π5ππ(0662F -=--<15ππ6x -<<-215ππ6x x -<<<-211cos cos 0x x -<<<12cos 01cos x x <<221122113π3π3π(π)cos 15222πππ5πcos 8()2226x x k x k x x x ----=⋅<<=----1122(,),(,)x y x y 121212()()y y f x f x x x -''==-。
_数学丨江苏省扬州市2022-2023学年高三下学期摸底考试数学试卷及答案
2022－2023学年度第二学期期初考试高三数学2023.02(全卷满分150分，考试时间120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足i(z＋i)＝2＋i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内所对应的点在() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知a，b∈R，则“a＜b”是“a＜b－1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知数列{a n}满足2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2)，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝100，则其前9项和等于()A．150B．180C．300D．3604．平面向量→a，→b满足→a＋→b＝(3，－2)，→a－→b＝(1，x)，且→a·→b＝0，则x的值为()A．32B．23C．±23D．±225．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其形状可视为一个正四棱锥，已知该金字塔的塔高与底面边长的比满足黄金比例，即比值约为5－12，则它的侧棱与底面所成角的正切直约为()A．10－22B．5－12C．5＋12D．10＋226．已知α，β∈(0，π2)，2tanα＝sin2βsinβ＋sin2β，则tan(2α＋β＋π3)＝()A．－3B．－33C．33D．37．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是3，则对于以下数据：2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，2x4＋1，2x5＋1，1，2，3，4，5下列选项正确的是()A．平均数是3，方差是7B．平均数是4，方差是7C．平均数是3，方差是8D．平均数是4，方差是88．在平面直角坐标系xOy中，x轴正半轴上从左至右四点A、B、C、D横坐标依次为a－c、a、a＋c、2a，y轴上点M、N纵坐标分别为m、－2m(m＞0)，设满足PA＋PC＝2a的动点P 的轨迹为曲线E，满足QN＝2QM的动点Q的轨迹为曲线F，当动点Q在y轴正半轴上时，DQ交曲线E于点P0(异于D)，且OP0与BQ交点恰好在曲线F上，则a：c＝()A．2B．3C．2D．3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法中正确的有()A．C29＝C79B．C24＋C34＝C35C．C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n＝2n D．(1＋x)4展开式中二项式系数最大的项为第三项10．已知实数a，b＞0，2a＋b＝4，则下列说法中正确的有()A．1a＋1b有最小值32B．a2＋b2有最小值165C．4a＋2b有最小值8D．ln a＋ln b有最小值ln211．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如[－3.5]＝－4，[3.5]＝3．已知函数f(x)＝cos x＋|cos x|，函数g(x)＝[f(x)]，则下列说法中正确的有()A．函数f(x)在区间(0，π)上单调递增B．函数f(x)图象关于直线x＝kπ(k∈Z)对称C．函数g(x)的值域是{0，1，2}D．方程g(x)＝x只有一个实数根12．在四面体ABCD的四个面中，有公共棱AC的两个面全等，AD＝1，CD＝2，∠CDA＝90°，二面角B－AC－D大小为θ，下列说法中正确的有()A．四面体ABCD外接球的表面积为3πB．四面体ABCD体积的最大值为36C．若AD＝AB，AD⊥AB，则θ＝120°D．若AD＝BC，θ＝120°，则BD＝213三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．记S n为等比数列{a n}的前n项和．若S3＝4，S6＝12，则S9＝▲．14．双曲线x24－y22＝1的左、右焦点分别为F1，F2，且右支上有一点P(p，1)，则cos∠F1PF2＝▲．15．某个随机数选择器每次从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中等可能地选择一个数字，用该随机数选择器连续进行三次选择，选出的数字依次是a，b，c，则概率P(a ＜b＜c)＝▲．16．已知函数f(x)＝ax2＋x，若当x∈[0，1]时，|f(x＋1)|≤a＋1恒成立，则实数a的取值范围是▲．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S n＝a n＋1－2．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝log2a n．①c n＝b n a n；②c n＝14b n2－1；③c n＝(－1)n(b n)2．从上面三个条件中任选一个，求数列{c n}的前n项和T n．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．A ＝2π3，b ＝10，c ＝6，△ABC 的内切圆I 的面积为S ．(1)求S 的值；(2)若点D 在AC 上，且B ，I ，D 三点共线，求→BD ·→BC 的值．19．(本小题满分12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1是菱形，∠A 1AC ＝60°，AA 1＝2，AC ⊥A 1B ．(1)求证：BA ＝BC ；(2)已知AB ＝2，A 1B ＝2，求直线A 1B 与平面A 1B 1C 所成角的正弦值．20．(本小题满分12分)云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．从中国信息通信研究院发布的《云计算白皮书(2022年)》可知，我国2017年至2021年云计算市场规模数据统计表如下：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代码x 12345云计算市场规模y /亿元692962133420913229经计算得：∑=51ln i iy ＝36.33，∑=51)ln (i iiy x ＝112.85．(1)根据以上数据，建立y 关于x 的回归方程ŷ＝e a x bˆˆ+(e 为自然对数的底数)．(2)云计算为企业降低生产成本、提升产品质量提供了强大助推力．某企业未引入云计算前，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差ε~N (0，4m )，其中m 为单件产品的成本(单位：元)，且P (－1＜ε＜1)＝0.6827；引入云计算后，单件产品尺寸与标准品尺寸的误差ε~N (0，1m )．若保持单件产品的成本不变，则P (－1＜ε＜1)将会变成多少?若保持产品质量不变(即误差的概率分布不变)，则单件产品的成本将会下降多少?附：对于一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归直线ŷ＝βˆx ＋αˆ的斜率和截距的最小二乘估计分别为βˆ＝∑∑==--ni ini iix n xy x n yx 1221，αˆ＝―y －βˆ―x ．若X ~N (μ，σ2)，则P (|X －μ|＜σ)＝0.6827，P (X －μ|＜2σ)＝0.9545，P (|X －μ|＜3σ)＝0.9973．21．(本小题满分12分)已知AB为抛物线G：y2＝2px(p＞0)的弦，点C在抛物线的准线l上．当AB过抛物线焦点F且长度为8时，AB中点M到y轴的距离为3．(1)求抛物线G的方程；(2)若∠ACB为直角，求证：直线AB过定点．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x＋2，x∈R；g(x)＝cos x，x∈(－π2，π2)．(e为自然对数的底数，e≈2.718)．(1)若函数h(x)＝af(x)－g(x)在区间(－π2，π2)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)是否存在直线l同时与y＝f(x)、y＝g(x)的图象相切?如果存在，判断l的条数，并证明你的结论；如果不存在，说明理由．2022-2023学年第二学期期初考试高三数学参考答案 2023.21．D2．B 3．B 4．C 5．A 6．B 7．D 8．A9．ABD 10．BC11．BCD 12．ACD13．2814．1515．32516．31[,]52--17．解：（1）12n n S a +=- ∴12n n S a -=-（2n ≥），两式相减得12n n a a +=（2n ≥） ·············································································· 2分 122,4a a == 212a a ∴= ··················································································· 3分 ()12n n a a n N *+∴=∈120a =≠()12n na n N a *+∴=∈ ∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列∴2n n a =； ······································································································ 5分说明：结果2n n a =对，但漏掉212a a =的扣1分 （2）由（1）可知22log log 2n n n b a n === 若选①：2n n n n c b a n =⋅=⋅， ∴1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅()23121222122n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅ ························································ 7分两式相减得：23122222n n n T n +-=++++-⋅=1122212n n n ++--⋅-， 所以()1122n n T n +=-⋅+． ··················································································· 10分 若选②：()()221111112121221214141n n c n n n n b n ⎛⎫====- ⎪-+-+--⎝⎭····························· 7分1111111111112323525722121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=21n n + ·········· 10分 若选③： ()()()2211n nn n c b n =-⋅=-⋅当n 为偶数时，()()()22222212341n T n n ⎡⎤=-++-+++--+⎣⎦=12n +++()12n n +=···· 7分当n 为奇数时，11n n n T T c ++=-2(1)(2)(1)2n n n ++=-+()12n n +=- . ······························· 10分综上得：()()112nn n n T +=-. ··················································································· 10分说明：没有“综上得”不扣分18．解：（1）在ABD △中，由余弦定理得:22222cos3a b c bc π=+- 21003660196a ∴=++=，即14a = ······································································· 3分 设内切圆I 的半径为r ，则()112sin 223ABC S a b c r bc ∆π=⋅++⋅=r ∴= 23S r ∴=π=π······················································································ 6分 （2）法1：在ABC △中，由（1）结合余弦定理得11cos 14ABC ∠=，BD 平分ABC ∠，∴点D 到,AB BC 的距离相等，故ABD CBD S ABS BC∆∆=， 而ABD CBD S AD S CD ∆∆=,37AB AD BC CD ∴== 731010BD BA BC ∴=+ ················································ 9分 22737113614141051010101410BD BC BA BC BC ∴⋅=⋅+=⨯⨯⨯+⨯= ····································· 12分 法2：在ABC △中，由（1）结合余弦定理得11cos 14ABC ∠=， 依题意可知I 为内心，故BD 平分ABC ∠，设ABD CBD ∠=∠=θ则211cos 2cos 114ABC ∠=θ-=，cos 14∴θ=，sin 14∴θ=······································ 8分 思路1：在ABD △中，3ADB π∠=-θ,由正弦定理得()2sin sin 33BDAB=**ππ⎛⎫-θ ⎪⎝⎭1sin sin 32π⎛⎫-θ=θ-θ=⎪⎝⎭()∴**得2sin 32sin 3AB BD π===π⎛⎫-θ ⎪⎝⎭ ····················································· 10分 cos 105BD BC BD BC ∴⋅=⋅θ= ············································································ 12分思路2：ABC ABD CBD S S S ∆∆∆=+ 111sin 2sin sin222ac c BD a BD ∴θ=⋅⋅θ+⋅⋅θ26142cos 14614ac BD a c⨯⨯θ∴===++ ································································· 10分 cos 105BD BC BD BC ∴⋅=⋅θ= ············································································ 12分思路3：BD 平分ABC ∠，∴点D 到,AB BC 的距离相等，故ABD CBD S ABS BC∆∆= 而ABD CBD S AD S CD ∆∆=,614AB AD BC CD ∴== 10BD =,3AD ∴=在ABD △中，由余弦定理得22222cos3BD AD AB AD AB π=+-⋅⋅=·························· 10分 cos 105BD BC BD BC ∴⋅=⋅θ= ············································································· 12分19．解：（1）连接1A O ，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 是菱形，160A AC ∠=， 则1AA C ∆为正三角形，取AC 中点为O ，则1AC A O ⊥， 又1AC A B ⊥，111A BA O A =，11,AB A O ⊂平面1A BO ，所以AC ⊥平面1A BO ， ························································································ 3分 因为BO ⊂平面1A BO ，所以AC BO ⊥，因为O 是AC 中点，所以AB BC =． (5)分 （2）在边长为2的正1AA C ∆中，1A O =，在ABC ∆中，AB BC =2AC =，则1BO =，又12A B =，所以22211A O BO A B +=，所以1A O BO ⊥， ······························································· 7分 所以1,,OA OB OC 两两垂直.以O 为原点，1,,OB OC OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -． 则1(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0),A B C A -，1(1,0,3)A B =-，111(0,1,3),(1,1,0)A C A B AB =-==，设平面11A B C 的法向量为(,,)n x y z =，则11030A B n x y A C n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1z =，则(3,3,1)n =- ····················································· 10分 设直线1A B 与平面11A B C 所成角为θ， 则11121sin |cos ,|||7||||A B n A B n A B n ⋅θ=<>==，所以，直线1A B 与平面11A B C ． ··············································· 12分 20．解：（1）因为ˆˆˆe bx ay +=，所以ˆˆˆln y bx a =+， ························································ 1分 所以551152221(ln ln 112.85336.33 3.86ˆ0.3861014916255)3iiii i ii x y x ybxnx ===--⨯====++++-⨯-∑∑∑， ······················· 4分 所以5111ˆˆln 36.330.3863 6.10855ii a y bx ==-=⨯-⨯=∑，所以ˆˆ0.386 6.108ˆe e bx a x y ++==. ················································································ 6分（2）未引入云算力辅助前，4~(0,)N m ε，所以0,μ=σ=又(11)0.6827(||)P P εεμσ-<<-==-<1=，所以4m =． ··························· 8分 引入云算力辅助后，1~(0,)N m ε，所以0,μ=σ 若保持产品成本不变，则4m =，1~(0,)4N ε，12σ==， 所以(11)(||2)0.9545P P εεμσ-<<-=-<= ····························································· 10分1=，所以1m =， 所以单件产品成本可以下降413-=元.····································································· 12分 21．解：（1）设(,)A A A x y ，(,)B B B x y ，则由题意得832A B A BAB x x p x x =++=⎧⎪+⎨=⎪⎩，故2p =， 所以抛物线的方程为24y x =. ················································································· 4分 （2）直线AB 过定点(1,0)，证明如下：设(1,)C c -，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，直线AB 的方程：+(0)x ty n n =>，将+(0)x ty n n =>代入24y x =得2440y ty n --=，则0∆>，所以121244y y t y y n +==-，， ·································································· 6分 所以211(1,)4y CA y c =+-，222(1,)4y CB y c =+-，因为90ACB ∠=，所以0CA CB =，即2222212121212+1+(+)+0164y y y y y y c y y c ++-=，即222421440n t n n tc c +++--+=， ······································································ 8分 即22(1)+(2)=0n t c --，所以=1n ，所以直线AB 过定点(1,0)．···················································································· 12分 22．解：（1）2()()()e cos x h x af x g x a x +=-=-，2'()e sin x h x a x +=+． 因为()()()h x af x g x =-在ππ(,)22-上单调减，所以ππ(,)22x ∀∈-，2()e sin 0x h x a x +'=+≤恒成立，所以ππ(,)22x ∀∈-，2sin ex xa +≤-恒成立． ··································································· 2分 设2sin ()e x x M x +=-，ππ(,)22x ∈-，则22π)cos sin 4()e ex x x x x M x ++--'=-=，当ππ(,)24x ∈-时，()0M x '<，当ππ(,)42x ∈时，()0M x '>，所以()M x 在ππ(,)24-上单调递减，在ππ(,)42上单调递增， ············································ 4分所以π24minπ24π2()()4e M x M --+==-=，所以π24a --≤. ····························································································· 5分 （2）存在且仅有一条直线同时与()y f x =、()y g x =的图象相切． ······························· 6分 设直线与()y f x =，()y g x =的图象分别相切于点11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 其中1x ∈R ，2ππ(,)22x ∈-，且12x x ≠，()2()e ,sin x f x g x x +=-'='，则在P 处的切线方程为：11221()x x y e e x x ++-=-，即11221(1)x x y e x x e ++=+-；在Q 处的切线方程为：222cos sin ()y x x x x -=--，即2222sin cos sin y x x x x x =-++． 所以122e sin x x +=-，…①121222(1)cos sin x x e x x x +-=+，…②因为2(1,s n )i 1x ∈--，所以1201x e +<<，则2π(,0)2x ∈-．可得12)2ln(sin x x =-+-，于是有22222[3ln(sin )](sin )cos sin x x x x x ---=+，整理得22222(3)sin cos sin ln(sin )0x x x x x ++--=． ····················································· 8分法1：两边同除以2sin x 得2222cos (3)ln(sin )0sin x x x x ++--=, 要证有且仅有一条直线同时与()y f x =、()y g x =的图象都相切， 只需证函数cos ()3ln(sin )sin x M x x x x =++--，在π(,0)2x ∈-上有且仅有一个零点． ()22222πsin()sin cos cos cos (sin cos )4'1sin sin sin sin x x x x x x x x M x x x x x+----+=+-==- 当ππ(,)24x ∈--时，'()0M x >，当π(,0)4x ∈-时，'()0M x <，所以()M x 在ππ(,)24--上单调递增，在π(,0)4-上单调递减，······································· 10分 ()()04π322M M ππ->=+-->，所以()M x 在ππ(,)24--上无零点.取30sin x e -=-，0π(,0)4x ∈-，则0cos x =，300000cos ()3ln(sin )3ln 660sin x M x x x e x -=++--<=--， 所以函数()M x 在π()4,0-上有且仅有一个零点，综上，函数()M x 在π()2,0-上有且仅有一个零点，所以有且仅有一条直线同时与()f x ，()g x 的图象都相切． ·········································· 12分 法2：要证有且仅有一条直线同时与()y f x =、()y g x =的图象都相切，只需证函数()(3)sin cos sin ln(sin )G x x x x x x =++--在π(,0)2x ∈-上有且仅有一个零点．()cos 'sin (3)cos sin cos ln(sin )sin cos [2ln(sin )]sin xG x x x x x x x x x x x x-=++----⋅=+---， 设()π2ln(sin ),(,0)2N x x x x =+--∈-，则()cos cos '11sin sin x x N x x x -=-=--， 因为π(,0)2x ∈-，所以cos 0,sin 0x x ><，所以'()0N x >，所以()N x 在π(,0)2-上单调递增，所以()ππ()2022N x N >-=-+>，又cos 0x >，所以'()0G x >，所以()G x 在π(,0)2-上单调递增， ···································· 10分 所以πππππππ()(3)sin()cos()sin()ln[sin()]302222222G -=-+-+-----=-<，取30sin x e -=-，0π(,0)4x ∈-，则0cos x =，30000000000cos ()(3)sin cos sin ln(sin )3ln(sin )sin x G x x x x x x x x x e -⎡⎤=++--=++--⎢⎣-⎥⎦其中30000cos 3ln(sin )3ln 660sin x x x e x e-++--<--=<<， 所以0()0G x >，所以函数()G x 在π()2,0-上有且仅有一个零点，所以有且仅有一条直线同时与()f x ，()g x 的图象都相切． ·········································· 12分。
高三试卷数学-广东省惠州市2023届高三下学期第一次模拟考试数学试卷及参考答案
惠州市2023届高三第一次模拟考试试题数学全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上．2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效．3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效．一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1.已知复数z 满足()1243z i i+=-(其中i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（）A.2- B.2i- C.1D.i2.设集合{}Z10021000xM x =∈<<∣，则M 的元素个数为（）A.3B.4C.9D.无穷多个3.数据68,70,80,88,89,90,96,98的第15百分位数为（）A.69B.70C.75D.964.如图1，在高为h 的直三棱柱容器111ABC A B C -中，2,AB AC AB AC ==^．现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB 于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为11A B C （如图2），则容器的高h 为（）A. B.3 C.4 D.65.若cos tan 3sin ααα=-，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.23B.13C.89D.796.“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园．．．．．．”首婉转动听的《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（）A.y =B.y =C.y =D.y =7.已知二项式()*2N nx n⎛∈ ⎝的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（）A.27B.37 C.14D.388.若函数()f x 的定义域为D ，如果对D 中的任意一个x ，都有()0,f x x D >-∈，且()()1f x f x -=，则称函数()f x 为“类奇函数”．若某函数()g x 是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是（）A.若0在()g x 定义域中，则()01g =B.若()()max 44g x g ==，则()()min 144g x g =-=C.若()g x 在()0,∞+上单调递增，则()g x 在(),0∞-上单调递减D.若()g x 定义域为R ，且函数()h x 也是定义域为R 的“类奇函数”，则函数()()()G x g x h x =也是“类奇函数”二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.下列四个命题中为真命题的是（）A.若随机变量ξ服从二项分布14,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1E ξ=B.若随机变量X 服从正态分布()23,N σ，且()40.64P X ≤=，则()230.07P X ≤≤=C.已知一组数据12310,,,,x x x x 的方差是3，则123102,2,2,,2x x x x ++++ 的方差也是3D.对具有线性相关关系的变量,x y ，其线性回归方程为ˆ0.3yx m =-，若样本点的中心为(),2.8m ，则实数m 的值是410.若62,63a b ==，则（）A.1ba> B.14ab <C.2212+<a b D.15b a ->11.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为C 于A 、B 两点，其中A 在第一象限，若3AF =，则（）A.1p =B.32BF =C.以AF为直径的圆与y 轴相切D.3OA OB ⋅=-12.在如图所示的几何体中，底面ABCD 是边长为4的正方形，111,,,AA BG CC DD 均与底面ABCD 垂直，且1112AA CC DD BG ====，点,E F 分别为线段1,BC CC 的中点，则下列说法正确的是（）A.直线1A G 与AEF △所在平面相交B.三棱锥1C BCD -的外接球的表面积为80πC.直线1GC 与直线AE所成角的余弦值为35D.二面角1C AD C --中，N ∈平面1C AD ，M ∈平面,,BAD P Q 为棱AD 上不同两点，,MP AD NQ AD ⊥⊥，若2MP PQ ==，1NQ =，则MN =三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c ﹣a=___________．14.过点()1,1P 的弦AB 将圆224x y +=的圆周分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则AB =__________．15.函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的非负零点按照从小到大的顺序分别记为12,,x x ⋯，,n x ⋯．，若32π2x x -=，则n x 的值可以是__________．（写出符合条件的一个值即可）16.已知点D 在线段AB 上，CD 是ABC 的角平分线，E 为CD 上一点，且满足()0,6,14AD AC BE BA CA CB BA AD AC λλ⎛⎫ ⎪=++>-== ⎪⎝⎭，设,BA a = 则BE 在a 上的投影向量为__________．（结果用a表示）．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且225n n S a n =+-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()21log 2n n b a +=-，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．18.平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====（1）当BD cos A C -是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．（2）记ABD △与BCD △的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．19.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1111,2AA A B AB ===，160,ABC AA ∠=⊥ 平面ABCD ．（1）若点M 是AD 的中点，求证：1C M 平面11AA B B ；（2）棱BC 上是否存在一点E ，使得二面角1E AD D --的余弦值为1?3若存在，求线段CE 的长；若不存在，请说明理由．20.已知函数()2e xx ax af x ++=．（1）当2a =时，求()f x 在()()1,1f --处的切线方程；（2）当0x ≥时，不等式()2f x ≤恒成立，求a 的取值范围．21.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为C 右支上一动点()00,P x y 到两条渐近线12,l l 的距离之积为245b ．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设直线l 是曲线C 在点()00,P x y 处的切线，且l 分别交两条渐近线12,l l 于M N ､两点，O 为坐标原点，求MON △的面积．22.为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为23，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为14，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为12，如此往复．（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；（2）记该同学第n 天选择米饭套餐的概率为n P ．（i ）证明：25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（ii ）证明：当2n ≥时，512n P ≤．惠州市2023届高三第一次模拟考试试题数学全卷满分150分，时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上．2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效．3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效．一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1.已知复数z 满足()1243z i i+=-(其中i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（）A.2-B.2i- C.1D.i【答案】A 【解析】【分析】由题目条件可得()12435z i i +=-=，即512z i=+，然后利用复数的运算法则化简.【详解】因为435i -=，所以()12435z i i +=-=，则()()()5125510121212125i i z i i i i --====-++-故复数z 的虚部为2-.故选：A.【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单.2.设集合{}Z10021000xM x =∈<<∣，则M 的元素个数为（）A.3B.4C.9D.无穷多个【答案】A 【解析】【分析】根据函数2x y =在R 上单调递增，及67910264,2128,2512,21024====，即可得解.【详解】由函数2x y =在R 上单调递增，及67910264,2128,2512,21024====，可得{}7,8,9M =，则其元素个数为3，故选：A ．3.数据68,70,80,88,89,90,96,98的第15百分位数为（）A.69B.70C.75D.96【答案】B 【解析】【分析】根据百分位数的定义得到答案.【详解】因为815% 1.2⨯=，根据百分位数的定义可知，该数学成绩的15%分位数为第2个数据70.故选：B ．4.如图1，在高为h 的直三棱柱容器111ABC A B C -中，2,AB AC AB AC ==^．现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB 于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为11A B C （如图2），则容器的高h 为（）A.B.3C.4D.6【答案】B 【解析】【分析】根据同底等高的锥体与柱体体积之间的关系即可根据比例求解.【详解】由图2知:11111113C A B C A B C V S h -=,其中h 表示三棱柱的高，故111111111111111111233ABC A B C ABC A B C C A B C A B C A B C A B C V V V S h S h S h ---=-=-= ,因此可知无水部分体积与有水部分体积比为1:2，所以图1中高度比为1:2，得3h =．故选：B ．5.若cos tan 3sin ααα=-，则sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.23B.13C.89D.79【答案】D 【解析】【分析】切化弦，结合22sin cos 1αα+=得出1sin 3α=，然后根据诱导公式及二倍角公式求解.【详解】因为cos tan 3sin ααα=-，所以sin cos cos 3sin αααα=-，即223sin sin cos ααα-=，所以223sin sin cos 1ααα=+=，即1sin 3α=，所以27sin 2cos212sin 2π9ααα⎛⎫+==-= ⎪⎝⎭，故选：D ．6.“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园．．．．．．”首婉转动听的《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（）A.y =B.y =C.y =D.y =【答案】C 【解析】【分析】由图可知，“心形”关于y 轴对称，所以上部分的函数为偶函数，可排除B 、D ；再结合基本不等式和二次函数的性质求得A 、C 的函数最大值，看是否为1，进而判断.【详解】由图可知，“心形”关于y 轴对称，所以上部分的函数为偶函数，则函数y =和y =都不满足，故排除B 、D ；而y =()0,0，()2,0-，()2,0，且02x <<时，22422x x y +-=≤=，当且仅当x =时，等号成立，即函数y =的最大值为2，又“心形”函数的最大值为1，故排除A ；由y =()0,0，()2,0-，()2,0，且02x <<时，1y ===≤，当且仅当1x =时，等号成立，即函数y =1，满足题意，故C 满足.故选：C ．7.已知二项式()*2N nx n ⎛∈ ⎝的展开式中只有第4项的二项式系数最大，现从展开式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（）A.27B.37 C.14D.38【答案】A 【解析】【分析】根据题意得到展开式的总项数为7项，6n =，然后利用展开式的通项公式得到有理项项数，再利用古典概型的概率求解.【详解】解：因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以展开式的总项数为7项，故6n =，展开式的通项()36662166C 2C 2rr rrr r r T x x ---+==，当r 是偶数时该项为有理项，0,2,4,6r ∴=有4项，所以所有项中任取2项，都是有理项的概率为2427C 2C 7P ==．故选：A ．8.若函数()f x 的定义域为D ，如果对D 中的任意一个x ，都有()0,f x x D >-∈，且()()1f x f x -=，则称函数()f x 为“类奇函数”．若某函数()g x 是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是（）A.若0在()g x 定义域中，则()01g =B.若()()max 44g x g ==，则()()min 144g x g =-=C.若()g x 在()0,∞+上单调递增，则()g x 在(),0∞-上单调递减D.若()g x 定义域为R ，且函数()h x 也是定义域为R 的“类奇函数”，则函数()()()G x g x h x =也是“类奇函数”【答案】C 【解析】【分析】对A ，根据“类奇函数”的定义，代入0x =求解即可；对B ，根据题意可得()()1g x g x -=，再结合函数的单调性判断即可；对C ，根据()()1g x g x -=，结合正负分数的单调性判断即可；对D ，根据“类奇函数”的定义，推导()()1G x G x -=判断即可.【详解】对于A ，由函数()g x 是“类奇函数”，所以()()1g x g x -=，且()0g x >，所以当0x =时，()()100g g -=，即()01g =，故A 正确；对于B ，由()()1g x g x -=，即()()()1,g x g x g x -=-随()g x 的增大而减小，若()max ()44g x g ==，则()min 1()44g x g =-=成立，故B 正确；对于C ，由()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()()1g x g x -=，在()0,x ∈+∞上单调递减，设(),0t x =-∈-∞，()g t ∴在(),0t ∈-∞上单调递增，即()g x 在(),0x ∈-∞上单调递增，故C 错误；对于D ，由()()()()1,1g x g x h x h x -=-=，所以()()()()()()1G x G x g x g x h x h x -=--=，所以函数()()()G x g x h x =也是“类奇函数”，所以D 正确；故选：C二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9.下列四个命题中为真命题的是（）A.若随机变量ξ服从二项分布14,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1E ξ=B.若随机变量X 服从正态分布()23,N σ，且()40.64P X ≤=，则()230.07P X ≤≤=C.已知一组数据12310,,,,x x x x 的方差是3，则123102,2,2,,2x x x x ++++ 的方差也是3D.对具有线性相关关系的变量,x y ，其线性回归方程为ˆ0.3yx m =-，若样本点的中心为(),2.8m ，则实数m 的值是4【答案】AC 【解析】【分析】由二项分布的期望公式判断A ；由正态分布的性质判断B ；由方差的性质判断C ；由回归方程必过样本中心点求解可判断D .【详解】对于A ，由于14,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则()1414E ξ=⨯=，故A 正确；对于B ，()23,,(34)0.640.50.14X N P X σ~∴<≤=-= ，故()23(34)0.14P X P X ≤≤=<≤=，故B 错误；对于C ，12310,,,,x x x x ⋯ 的方差是3，则123102,2,2,,2x x x x +++⋯+的方差不变，故C 正确；对于D ， 回归方程必过样本中心点，则2.80.3m m =-，解得4m =-，故D 错误.故选：AC.10.若62,63a b ==，则（）A.1b a> B.14ab <C.2212+<a b D.15b a ->【答案】ABD 【解析】【分析】利用条件进行指对数转换，得到66log 3,log 2b a ==，从而有1a b +=，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】因为63,62b a ==，所以66log 3,log 2b a ==，则1a b +=，选项A ，6226log 3log 3log 21log 2b a ==>=，故A 正确；选项B ，因为666log 3log 2log 61a b +=+==，且0,0,a b a b >>≠，所以21()24a b ab +<=，故B 正确；选项C ，因为22211()2121242a b a b ab ab +=+-=->-⨯=，故C 错误；选项D ，因为()666324355log log log 61232b a -==>=，故D 正确，故选：ABD ．11.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过F且斜率为的直线交抛物线C 于A 、B 两点，其中A 在第一象限，若3AF =，则（）A.1p =B.32BF =C.以AF为直径的圆与y 轴相切D.3OA OB ⋅=-【答案】BCD 【解析】【分析】写出焦点F 的坐标，设出直线l 的方程，并与抛物线方程联立，根据点A 在第一象限即可求出点A ，B 的横坐标，进而可以求出p 的值，即可求出抛物线的方程，再对应各个选项逐个验证即可．【详解】设(2pF ，0)，则过F的直线斜率为)2p y x =-，代入抛物线方程消去y 可得：22450x px p -+=，解得124p x p x ==，，因为点A 在第一象限，所以A x p =，4B px =，则3||322A p pAF x =+==，所以2p =，A 错误，33||4242B p p p BF x ==+==，B 正确，由2p =可得抛物线的方程为：24y x =，且(2A，，1(,2B ，所以1(,1432OA OB ⋅=⋅=-=- ，D 正确，AF的中点横坐标为32，以AF 为直径的圆的半径为32，所以圆心到y 轴的距离等于半径，则以AF为直径的圆与y 轴相切，C 正确，故选：BCD ．12.在如图所示的几何体中，底面ABCD 是边长为4的正方形，111,,,AA BG CC DD 均与底面ABCD 垂直，且1112AA CC DD BG ====，点,E F 分别为线段1,BC CC 的中点，则下列说法正确的是（）A.直线1A G 与AEF △所在平面相交B.三棱锥1C BCD -的外接球的表面积为80πC.直线1GC 与直线AE 所成角的余弦值为23535D.二面角1C AD C --中，N ∈平面1C AD ，M ∈平面,,BAD P Q 为棱AD 上不同两点，,MP AD NQ AD ⊥⊥，若2MP PQ ==，1NQ =，则MN =【答案】BCD 【解析】【分析】根据条件可知该几何体为长方体截去一个角，对于A 项，可以证线面平行来否定；对于B 项，容易得到外接球直径进而求得外接球表面积；对于C 项，利用空间向量的数量积计算异面直线的夹角；对于D 项，先得出二面角1C AD C --，再利用空间向量计算模长即可.【详解】由已知可得该几何体为长方体截去一个角，对于A ，连接11,D F D A ，可证得11,,,,D A EF A E F D ∴∥四点共面，又可证得11∥AG D F ，所以1A G ∥平面AEF ，故A 错误；对于B ，三棱锥1C BCD -的外接球半径112R AC =⋅==三棱锥1C BCD -的外接球的表面积为24π80πR =，故B 正确；对于C 项，易证AB ⊥BF ，AB ⊥C 1F ，FC 1⊥BE ，则()()118AE GC AB BE GF FC ⋅=++=，111235cos ,35AE GC AE GC AE GC ⋅==⋅∣∣，故C 正确；对于D 项，设二面角1C AD B --的平面角为θ，则1C DC θ∠=，所以1tan C CCDθ==，于是60θ= ，MN MP PQ QN =++ ，且,,,120MP PQ PQ QN MP QN ⊥⊥=22222()27,MN MP PQ QN MP MP QN MP QN MN ∴=++=+++⋅=∴=，故D正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查立体几何综合，属于压轴题.关键在于利用空间向量解决异面直线的夹角，及线段长度问题.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c ﹣a=___________．【答案】【解析】【详解】由等差数列的性质可得2b=2+9，解得b=，又可得2a=2+b=2+=，解之可得a=，同理可得2c=9+=，解得c=，故c ﹣a=﹣==14.过点()1,1P 的弦AB 将圆224x y +=的圆周分成两段圆弧，要使这两段弧长之差最大，则AB =__________．【答案】【解析】【分析】因为弦AB 将圆分成两段弧长之差最大，此时AB 垂直OP ，由此求解即可.【详解】因为弦AB 将圆分成两段弧长之差最大，此时AB 垂直OP ，由圆的半径为2,OP =，由勾股定理得AB ==．故答案为：15.函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的非负零点按照从小到大的顺序分别记为12,,x x ⋯，,n x ⋯．，若32π2x x -=，则n x 的值可以是__________．（写出符合条件的一个值即可）【答案】π3（答案不唯一）【解析】【分析】先计算出最小正周期，从而求出2π2πω==，整体法求出零点，得到答案.【详解】由题意得32π22T x x =-=，πT ∴=，∵0ω>，∴2π2πω==，()πsin 23f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，令π2π,Z 3x k k +=∈，即ππ,Z 26k x k =-∈，()ππ1,2,3,26n n x n ∴=-=⋯，对n 取特殊值即可，取1n =，得1π3x =；取2n =，得2π5,6x =⋯⋯（答案不唯一）．故答案为：π316.已知点D 在线段AB 上，CD 是ABC 的角平分线，E 为CD 上一点，且满足()0,6,14AD AC BE BA CA CB BA AD AC λλ⎛⎫ ⎪=++>-== ⎪⎝⎭，设,BA a = 则BE 在a 上的投影向量为__________．（结果用a表示）．【答案】27a ##27a【解析】【分析】由14BA =可设()()7,07,0A B -､，结合双曲线的定义可得点C 的轨迹，再根据内心的向量性质可得E 为ABC 的内心，进而根据双曲线焦点三角形内心的性质求解即可.【详解】由14BA = ，可设()()7,07,0A B -､，由6CA CB -=，得点C 的轨迹是以A B ､为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（不含右顶点）.因为CD 是ABC 的角平分线，且(0),AD ACBE BA AE AD AC ⎛⎫⎪-==+> ⎪⎝⎭λλ故AE 也为ABC 的角平分线，E ∴为ABC的内心.如图，设()00,E x y ，,,EM AC EQ AB EN BC ⊥⊥⊥，则由双曲线与内切圆的性质可得，6AC BC AM BN AQ BQ -=-=-=，又14AQ BQ +=，所以，734BQ =-=，BE ∴在a上的投影长为4，则BE 在a上的投影向量为42147a a = ．故答案为：27a四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且225n n S a n =+-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()21log 2n n b a +=-，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】（1）122n n a -=+（2）1nn +【解析】【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出首项及122n n a a -=-，构造法求出通项公式；（2）求出()21log 2n n b a n +=-=，从而利用裂项相消法求和.【小问1详解】当1n =时，111225S a a ==+-，解得13a =，当2n ≥时，()112215n n S a n --=+--．可得()112252215n n n n S S a n a n --⎡⎤-=+--+--⎣⎦，整理得：122n n a a -=-，从而()()12222n n a a n --=-≥，又121a -=，所以数列{}2n a -是首项为1，公比为2的等比数列；所以()1112222n n n a a ---=-⋅=，所以122n n a -=+，经检验，13a =满足122n n a -=+，综上，数列{}n a 的通项公式为122n n a -=+；【小问2详解】由（1）得122n n a --=，所以122nn a +-=，所以()21log 2n n b a n +=-=，()1111111n n b b n n n n +∴==-⋅++，所以12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++ 11111111.1223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++18.平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====．（1）当BD cos A C -是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．（2）记ABD △与BCD △的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．【答案】（1cos A C -为定值，定值为1（2）14【解析】【分析】（1）法一：在ABD △2168BD A -=，在BCD △中由余弦定理得28cos 8BD C -=，两式相减可得答案；法二：在ABD △中由余弦定理得216BD A =-，在BCD △中由余弦定理得288cos =-BD C ，两式相减可得答案；（2）由面积公式可得2212S S +=224cos 12-++A A ，令()cos ,1,1A t t =∈-转化为二次函数配方求最值即可．【小问1详解】法一：在ABD △中，由余弦定理222cos 2+-=⋅AD AB BD A AD AB，得222cosA =2168BD A -=①，同理，在BCD △中，22222cos 222BD C +-=⨯⨯，即28cos 8BD C -=②，①-cos 1A C -=，所以当BD cos A C -为定值，定值为1；法二：在ABD △中，由余弦定理2222cos BD AD AB AD AB A=+-⋅得222222cos BD A =+-⨯⨯，即216BD A =-，同理，在BCD △中，2222cos 88cos BD CD CB CD CB C C =+-⋅=-，所以1688cos A C -=-，1cos A C -=cos 1A C -=，所以当BD cos A C -为定值，定值为1；【小问2详解】222222221211sin sin 44S S AB AD A BC CD C +=⋅⋅+⋅⋅222212sin 4sin 12sin 44cos A C A C=+=+-2212sin 41)A A =+--224cos 12A A =-++，令()cos ,1,1A t t =∈-，所以223241224146y t t ⎛=-++=--+ ⎝⎭，所以36t =，即cos 6A =时，2212S S +有最大值为14．19.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1111,2AAA B AB ===，160,ABC AA ∠=⊥ 平面ABCD ．（1）若点M 是AD 的中点，求证：1C M 平面11AA B B ；（2）棱BC 上是否存在一点E ，使得二面角1E AD D --的余弦值为13若存在，求线段CE 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在；12CE =-【解析】【分析】（1）连接1B A ，可得四边形11AB C M 是平行四边形，或11MC AB =，从而11C M B A ∥，可证得1C M 平面11AA B B ；（2）取BC 中点Q ，连接AQ ，分别以1,,AQ AD AA 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，假设点E 存在，设点E 的坐标为),0,11λλ-≤≤，可得平面1AD E 的一个法向量(,n λ=，平面1ADD 的一个法向量为)AQ =，由二面角1E AD D --的余弦值为13可得λ的值，可得CE 的长．【小问1详解】方法一：连接1B A ，由已知得，11B C BC AD ∥∥，且1112B C AM BC ==，所以四边形11AB C M 是平行四边形，即11C M B A ∥，又1C M ⊄平面111,AA B B B A ⊂平面11AA B B ，所以1C M 平面11AA B B ．方法二：连接11,B A MD ，由已知得11AA MD ∥，且11AA MD =，11111111MC MD D C AA A B AB =+=+=，即11C M B A ∥，又1C M ⊄平面111,AA B B B A ⊂平面11,AA B B 所以1C M 平面11.AA B B 【小问2详解】取BC 中点Q ，连接AQ ，由题易得ABC 是正三角形，所以AQ BC ⊥，即AQ AD ⊥，由于1AA ⊥平面ABCD ，分别以1,,AQ AD AA 为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，()()())110,0,0,0,0,1,0,1,1,A A D Q，假设点E 存在，设点E的坐标为),0,11λλ-≤≤，)()1,0,0,1,1AE AD λ==，设平面1AD E 的法向量(),,n x y z =r ，则100n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y y z λ+=+=⎪⎩，可取(,n λ= ，又平面1ADD 的法向量为)AQ =，所以1cos ,3AQ n AQ n AQ n===⋅，解得：32λ=±，由于二面角1E AD D --为锐角，则点E 在线段QC 上，所以32λ=，即312CE =-．故BC 上存在点E ，当312CE =-时，二面角1E AD D --的余弦值为13．20.已知函数()2exx ax af x ++=．（1）当2a =时，求()f x 在()()1,1f --处的切线方程；（2）当0x ≥时，不等式()2f x ≤恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）e 0x y +=（2）2a ≤【解析】【分析】（1）求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可求切线方程.（2）利用参变分离结合导数可求参数的取值范围，我们也可以利用分类讨论求出函数的最值，根据最值的性质讨论参数的取值范围.【小问1详解】当2a =时，()()2222,e exx x x x f x f x '++-=∴=．故切线的斜率()1e k f '=-=-，又()1e,f -=∴切点为()1,e -∴切线方程为()e e 1y x -=-+，化简得e 0x y +=．【小问2详解】法1：当0x ≥时，()2f x ≤恒成立，故22exx ax a++≤，也就是22e x x ax a ++≤，即()212e xa x x +≤-，由10x +>得22e 1x x a x -≤+，令()()22e 01x x h x x x -=≥+，则()()()()()2222e212e 2e2(1)(1)xx xx x x x x h x x x '-+----==++，令()2e 2xt x x =--，则()2e 1xt x =-'，可知()t x '在[)0,∞+单调递增，则()()01t x t '≥='，即()0t x '>在()0,∞+恒成立，．故()t x 在[)0,∞+单调递增，所以()()00t x t ≥=，故()0h x '≥在[)0,∞+恒成立．所以()h x 在[)0,∞+单调递增，而()02h =，所以()2h x ≥，故2a ≤．法2：因为当0x ≥时，()2f x ≤恒成立，故max ()2f x ≤，由()()()()2220e ex xx x a x a x f x x ⎡⎤-'---+-⎣⎦==≥，令()0f x '=，得0x =或2x a =-，①当20a -≤，即2a ≥时，()0f x '≤在[)0,x ∈+∞上恒成立，()f x \在[)0,∞+上单调递减，()max 0()02af x f a e∴===≥，∴2a >不合题意，2a =合题意．②当20a ->，即2a <时，当[)0,2x a ∈-时()0f x ¢>，当()2,x a ∈-+∞时()0f x '<，故()f x 在[)0,2a -上单调递增，在()2,a -+∞上单调递减，()max 24()2eaaf x f a --∴=-=，设220,e t t a t y +-=>=，则10etty --=<'恒成立，2e t t y +∴=在()0,∞+上单调递减，故2022e 1tt ++<=即max ()2f x <，合题意．综上，2a ≤．法3：因为当0x ≥时，()2f x ≤恒成立，也就是22e x x ax a ++≤，即22e 0x x ax a ---≥恒成立，令()[)22e ,0,xh x x ax a x ∞=---∈+，令()()()2e 2,2e 2xxS x h x x a S x -''==-=-，()0,e 1,0x x S x '≥∴≥∴≥ 恒成立，()h x '∴在[)0,∞+上单调递增．()min ()02h x h a '=='∴-．①当20a -≥，即2a ≤时，()()0,h x h x ≥'∴在[)0,∞+上单调递增，()min ()020h x h a ∴==-≥，合题意；②当20a -<，即2a >时，ln 02a>，因为()020h a '=-<，2ln 0ln22a a h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭'，存在()00,x ∈+∞，使得()00h x '=，即002e2x x a =+．()h x ∴在[)00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．()()()0222min 00000000()2e 220x h x h x x ax a x a x ax a x a x ∴==---=+---=-+-<，不合题意．综上，2a ≤．【点睛】思路点睛：含参数的函数不等式的恒成立问题，可以利用参变分离，利用导数求出新函数的最值，或者直接对含参数的函数就导数的符号分类讨论，从而可求函数的最值.21.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为，且双曲线C 右支上一动点()00,P x y 到两条渐近线12,l l 的距离之积为245b ．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）设直线l 是曲线C 在点()00,P x y 处的切线，且l 分别交两条渐近线12,l l 于M N ､两点，O 为坐标原点，求MON △的面积．【答案】（1）221;4x y -=（2）2【解析】【分析】（1）由点到直线的距离公式及双曲线定义计算即可；（2）分类讨论斜率的存在情况，联立直线与双曲线、渐近线方程结合韦达定理计算面积即可.【小问1详解】双曲线C 的渐近线方程为0bx ay +=和0bx ay -=，222222002222b x a y a b a b a b-==++，由题意可得2222245b a b a b =+，又2c =2225c a b =+=，解得2,1,a b ==则双曲线的方程为221;4x y -=【小问2详解】当直线斜率不存在时，易知此时()2,0P ，直线:2l x =，不妨设()()2,1,2,1M N -，得2MON S =△；当直线斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，与双曲线的方程2244x y -=联立，可得()222418440k x kmx m -+++=，由直线与双曲线的右支相切，可得()()222Δ(8)441440km k m =--+=，故2241k m =+设直线l 与x 轴交于D ，则,0m D k ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又双曲线的渐近线方程为12y x =±，联立12y x y kx m ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，可得2,1212m m M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，同理可得2,1212m m N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，1||||22MON MOD NOD M N M N m S S S OD y y k x x k-=+=-=⋅⋅-2222242||||221212214m m m m m m k k k k k k k m--=⋅⋅+=⋅⋅==+--综上，MON △面积为2．22.为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为23，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为14，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为12，如此往复．（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；（2）记该同学第n 天选择米饭套餐的概率为n P ．（i ）证明：25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（ii ）证明：当2n ≥时，512n P ≤．【答案】（1）13；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（1）设1A =“第1天选择米饭套餐”，2A =“第2天选择米饭套餐”，1A =“第1天不选择米饭套餐”．由全概率公式有()()()()()2121121P A P A P A A P A P A A =+，计算可得；（2）（i ）设n A =“第n 天选择米饭套餐”，则()n n P P A =，依照（1）可得1n P +与n P 的关系，然后根据等比数列定义证明；（ii ）求出通项公式n P ，然后分类讨论证明结论．【详解】解：（1）设1A =“第1天选择米饭套餐”，2A =“第2天选择米饭套餐”，则1A =“第1天不选择米饭套餐”．根据题意()123P A =，()113P A =，()2114P A A =，()2111122P A A =-=．由全概率公式，得()()()()()21211212111134323P A P A P A A P A P A A =+=⨯+⨯=．（2）（i ）设n A =“第n 天选择米饭套餐”，则()n n P P A =，()1n n P A P =-，根据题意()114n n P A A +=，()111122n n P A A +=-=．由全概率公式，得()()()()()()1111111114242n n n n n n n n n n n P P A P A P A A P A P A A P P P ++++==+=+-=-+．因此1212545n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．因为1240515P -=≠，所以25n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以415为首项，14-为公比的等比数列．（ii ）由（i ）可得12415154n n P -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．当 n 为大于1的奇数时，1224124155154515412n n P -⎛⎫⎛⎫=+≤+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．当 n 为正偶数时，1241255154512n n P -⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭．因此 2n ≥当时，512n P ≤．。
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高三下学期数学期初模拟考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共14题；共15分)
1. （1分）用符号“∈”或“∉”填空：
（1）若集合P由小于的实数构成，则2 ________P;
（2）若集合Q由可表示为n2+1（）的实数构成，则5________ Q.
2. （1分） (2017高二下·定州开学考) 复数 =________．（i是虚数单位）
3. （1分）从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生，星期日安排一名女生的概率是________．
4. （1分） (2017高一下·河北期末) 某工厂对一批产品进行了抽样检测．右图是根据抽样检测后的（产品净重，单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，下列命题中：①样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数是60；②样本的众数是101；③样本的中位数是；④样本的平均数是101.3．
正确命题的代号是________（写出所有正确命题的代号）．
5. （2分） (2016高二下·金堂开学考) 根据如图所示的算法语句，当输入的x为50时，输出的y的值为________．
6. （1分） (2017高二上·高邮期中) 已知p：0＜m＜1，q：椭圆 +y2=1的焦点在y轴上，则p是q的________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”填空）
7. （1分）给出下列说法：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线，都可以构成直角三角形；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是________(填序号)．
8. （1分）若f（x）= 是R上的单调减函数，则实数a的取值范围为________．
9. （1分） (2017高一下·盐城期末) 已知向量是与向量 =（﹣3，4）同向的单位向量，则向量的坐标是________．
10. （1分） (2018高一下·北京期中) 定义：称为n个正数p1 ， p2 ，…，pn的“均倒数”，若数列{an}的前n项的“均倒数”为，则数列{an}的通项公式为an=________.
11. （1分） (2017·芜湖模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（3a﹣c）cosB．D 为AC边的中点，且BD=1，则△ABD面积的最大值为________．
12. （1分） (2017高三上·泰州开学考) 已知函数f（x）= 若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a 的取值范围为________．
13. （1分） (2018高二下·上海月考) 设集合，其中是复数，若集合中任意两数之积及任意一个数的平方仍是中的元素，则集合 ________；
14. （1分） (2019高一下·吉林月考) 方程的实根个数为________个.
二、解答题 (共11题；共105分)
15. （10分）(2018·茂名模拟) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 .
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D ，且AD= ，若b= ，求△ABC的面积.
16. （10分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC= AA1 ， D是棱AA1的中点.
（1）证明：平面BDC1⊥平面BDC.
（2）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
17. （10分） (2016高二下·哈尔滨期中) 设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．
（1）
若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．
（2）
解不等式f（x）＞0；
（3）
若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．
18. （10分） (2016高一下·邯郸期中) 已知向量，，且，f（x）= • ﹣2λ| |（λ为常数），
求：
（1）• 及| |；
（2）若f（x）的最小值是，求实数λ的值．
19. （15分）已知函数f（x）=b•ax（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）试确定f（x）=b•ax的解析式（即求a，b的值）
（2）若对于任意的x∈（﹣∞，1]，（）x+（）x﹣m≥0恒成立，求m的取值范围；
（3）若g（x）=（c≠0，c为常数），试讨论g（x）在区间（﹣1，1）上的单调性．
20. （15分）若数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an+1．
（1）求a1 ， a2 ， a3；
（2）求{an}的通项公式．
21. （5分）(2013·福建理) 选修4﹣2：矩阵与变换
已知直线l：ax+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1
（1）求实数a，b的值
（2）若点P（x0，y0）在直线l上，且，求点P的坐标．
（3）若点P（x0，y0）在直线l上，且，求点P的坐标．
22. （5分）(2019高一下·大庆月考) 在中，角的对边分别是，
.
（1）求的值；
（2）求及的面积.
23. （5分）求证：
（1）a2+b2+c2≥ab+bc+ac
（2）（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）
24. （10分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别为线段DD1 ，BD的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC1D1；
（2）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为16π，求异面直线EF与BC所成的角的大小．
25. （10分）(2014·湖南理) 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望．
参考答案一、填空题 (共14题；共15分)
1-1、答案：略
1-2、答案：略
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、答案：略
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
二、解答题 (共11题；共105分)
15-1、
16-1、答案：略
16-2、答案：略
17-1、答案：略
17-2、答案：略
17-3、答案：略
18-1、答案：略
18-2、答案：略
19-1、
20-1、
21-1、答案：略21-2、答案：略21-3、答案：略
22-1、
22-2、
23-1、答案：略23-2、答案：略24-1、答案：略24-2、答案：略25-1、答案：略25-2、答案：略。