2018_2019学年高中数学第一章坐标系四柱坐标系与球坐标系简介课件新人教A版选修4_4
解析：如图所示， x2＋y2 5 tan φ＝ ＝ ， z 3 y tan θ＝x＝2. 5 答案： 3 2
类型 1 柱坐标、球坐标的确定(自主研析) [典例 1] 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，
如右图所示， 建立空间直角坐标系 Axyz， 以 Ax 为极轴． 求 点 C1 的直角坐标、柱坐标以及球坐标．
π π B4，3，4 的直角坐标为(
6， 6，2)．
归纳升华 1．(1)直角坐标化为球坐标的公式为： r＝ x2＋y2＋z2， z cos φ＝r（0≤φ≤π）， tan θ＝y（x≠0，0≤θ<2π）， x
(2)直角坐标(x，y，z)化为球坐标的步骤为：先求 OP ＝r＝ x2＋y2＋z2，再求 φ，最后求 θ，将球坐标表示为 (r，φ，θ)．
π ＝2， 3 π ＝2 3， 3
类型 3 球坐标与直角坐标互化(互动探究) [典例 3] 标； (2)将点 B
π π 的球坐标4， 3，4 化为直角坐标．
(1)将点 A 的直角坐标(1，1， 2)化为球坐
解：(1)设点 A 的球坐标为(γ，φ，θ)． 由(x，y，z)＝(1，1， 2)，
第一讲
坐标系
四、 柱坐标系与球坐标系 简介
[学习目标] (重点)． 式(重点)．
1.了解刻画空间中点的柱坐标和球坐标
2.了解柱坐标及球坐标与直角坐标间的变换公 3.通过介绍柱坐标系与球坐标系，对坐标系
有一个完整的认识，能更好地体会和理解坐标思想 ( 难 点)．
1．柱坐标系 (1)定义：一般地，如图建立空间 直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任意一点， 它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π) 表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点 P 的位置可用 有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．
ρ＝ x2＋y2， r＝ x2＋y2＋z2， 得 及 y z tan θ＝ （x≠0） cos φ＝ . x r r＝ 3， ρ＝ 2， 所以 及 3 tan θ ＝ 1 cos φ＝ . 3 π 3 结合图得 θ＝ ，由 cos φ＝ 得 tan φ＝ 2. 4 3
归纳升华 (1)直角坐标化为柱坐标时，利用公式 ρ＝ x2＋y2， 求解，即直角坐标为(x，y，z)的点的 y tan θ＝ （x≠0） x 柱坐标为(ρ，θ，z)＝( x2＋y2，θ，z)，其中角 θ 由 tan θ y ＝x及 θ 角终边经过的点(x，y，0)确定．
x＝ρcos θ， (2)柱坐标化为直角坐标时，利用公式 求 y＝ρsin θ 解，即柱坐标为(ρ，θ，z)的点的直角坐标为(ρcos θ，ρsin θ，z)．
解：点 C1 的直角坐标为(1，1，1)，设点 C1 的柱坐标 为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，其中 ρ≥0，r≥0，0 ≤φ≤π，0≤θ<2π， x＝ρcos θ， x＝rsin φcos θ， 由公式y＝ρsin θ， 及y＝rsin φsin θ， z＝ z z＝rcos φ
所 以 点 C1 的 直 角 坐 标 为 (1 ， 1 ， 1) ， 柱 坐 标 为
π π ，球坐标为 3，φ， ，其中 tan φ＝ 2，0 2， ，1 4 4
≤ φ≤π .
归纳升华 将点 M 的直角坐标(x，y，z)化为柱坐标(ρ，θ，z)或球 x＝ρcos θ， 坐标(r，φ，θ)，需要对公式y＝ρsin θ， 及 z＝ z
B．(0，3，0) D．(3，3，0)
π π 解析：因为 x＝3×sin ×cos ＝0， 2 2 π π y＝3×sin ×sin ＝3， 2 2
π z＝3×cos ＝0， 2 所以直角坐标为(0，3，0)． 答案：B
5．已知点 M 的直角坐标为(1，2，3)，球坐标为(r， φ，θ)，则 tan φ＝________，tan θ＝________．
(2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)
x＝rsin φcos θ， y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ 之间的变换公式为_________________ ．
温馨提示
在测量实践中， 球坐标中的角 θ 称为被测
点 P(r，φ，θ)的方位角，90°－φ 为高低角．
π 2， ，0.( 4
)
(4)点 t － 2)．(
3π 5π 的球坐标2， 4 ， 4 化为直角坐标为(－1， 1，
) (2)√ (3)× (4)×
答案：(1)√
2．在球坐标系中，方程 r＝2 表示空间的( A．球 C．圆 B．球面 D．直线
)
解析：设方程 r＝2 的解在空间对应点 P 的球坐标为 P(2，φ，θ)，直角坐标为 P(x，y，z)．
温馨提示
柱坐标系又称半极坐标系， 它由平面极坐
标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的．
2．球坐标系
(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ，设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，
Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最小正角 为 θ，这样点 P 的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示， 这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对 应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫作球坐标系 (或 空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)，叫作点 P 的球坐标， 记作 P(r，φ，θ)，其中 r≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π．
根据下列点的球坐标，分别求其直角坐
7π ； ， 4 5π . ， 3
5π (2)3， 6
得 r＝ x2＋y2＋z2＝ 4＝2.
由 z＝rcos φ(0≤φ≤π)， z 2 π 得 cos φ＝r＝ 得 φ＝ ； 2 4 又 tan θ＝1，且 θ(0≤θ<2π)角的终边过点(1，1)，得 π θ＝ . 4
所 以 点 A 的 直 角 坐标 (1 ， 1 ， 2 ) 化 为 球 坐 标 为
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)点 M 的直角坐标为(1，－ 3，4)，则点 M 的柱坐
5π 标为2， 3 ，4.(
) N 的直角坐
(2)点 N
7π 的柱坐标为2， 6 ，－1，则点
标为(－ 3，－1，－1)．(
)
(3) 点 S 的 直 角 坐 标 (1 ， 0 ， － 1) 化 为 球 坐 标 为
π 标为12，6，12，点 C1 的球坐标为12
π π 2， ， . 4 6
类型 2 直角坐标与柱坐标的互化(互动探究) [典例 2] (1)已知点 M 的知点 N 坐标．
的柱坐标为 3π 2， ， 2 ， 求点 N 的直角 4
x＝rsin φcos θ， y＝rsin φsin θ， 2． 球坐标化为直角坐标的公式为： z＝rcos φ. 球坐标(r， φ， θ)的直角坐标为(x， y， z)＝(rsin φcos θ， rsin φsin θ，rcos φ)．
[迁移探究] 标．
π (1)2， 4
x＝ρcos θ， x＝ 2cos 由公式y＝ρsin θ， 得y＝ 2sin z＝z z＝2，
所以点
3π ， x＝－1， 4 3π 即 ， y＝1， 4 z＝2.
3π 2， ，2的直角坐标为(－1，1，2)． 4
y tan θ＝x＝ 3，又 x＞0，y＞0.
π π 所以 θ＝ ，所以点 A 的柱坐标为2， ，5 . 3 3
x＝4cos x＝ρcos θ， (2)由变换公式y＝ρsin θ， 得 y＝4sin z＝ z， z＝8. 所以点 P 的直角坐标为(2，2 3，8).
π π 2， ， . 4 4
π π (2)因为(r，φ，θ)＝4，3，4 ，
x＝rsin φcos θ＝4sin πcos π＝ 6， 3 4 π π 所以y＝rsin φsin θ＝4sin 3sin 4＝ 6， π z＝rcos φ＝4cos ＝2. 3 所以点
[变式训练]如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB＝6 3， AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点，以射线 AB、AD、AA1 分别 为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直 角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱坐标、 球坐标．
解：如题图所示，点 C1 的(x，y，z)分别对应着 CD、 BC、CC1，点 C1 的(ρ，θ，z)分别对应着 CA、∠BAC、 CC1， 点 C1 的(r， φ， θ)分别对应着 AC1、 ∠A1AC1、 ∠BAC. 所以点 C1 的空间直角坐标为(6 3，6，12)，点 C1 的柱坐
y 解：(1)由公式 ρ ＝1＋1＝2，ρ＝ 2，tan θ＝x＝1，
2
π 且角 θ 的终边经过点(1，1，0)，所以 θ＝ ， 4 所以点 M
的柱坐标为 π 2， ，1. 4
(2)设点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ， z) ，
因为(ρ，θ，z)＝ 3π 2， ，2， 4
[迁移探究] 它的柱坐标； (2)已知点 P 标．
(1)设点 A 的直角坐标为(1， 3，5)，求
π 的柱坐标为4， 3
，8，求它的直角坐
x＝ρcos θ， 解：(1)由变换公式y＝ρsin θ， 得 ρ2＝x2＋y2， z＝z， 即 ρ2＝12＋( 3)2＝4，所以 ρ＝2.
A．(2，1，0) C．(0，1，1)
解析： 因为 x＝ρcos θ＝2cos θ＝2， y＝ρsin θ＝2sin
2019_2020学年高中数学第1章坐标系1.5柱坐标系和球坐标系课件新人教B版选修4_4
[答案] B
3．设点 M 的直角坐标为(－1，－ 3，3)，则它的柱坐标是( )
A．(2，π3，3)
B．(2，23π，3)
C．(2，43π，3)
D．(2，53π，3)
3．设点 M 的直角 [解析] ∵ρ＝ －12＋－ 32＝2，
坐标为(－1，－ 则它的柱坐标是(
3，3)， )
tan
θ＝－－13＝
(2)由 r＝ x2＋y2＋z2＝ 12＋12＋0＝ 2. ∴cos φ＝rz＝0，∴φ＝π2. 故点 C 的球坐标为( 2，π2，π4)．
(教材 P21 练习 T2) 设点 M 的柱坐标为(2，6π，7)，求它的直角坐标．
在柱坐标系中，点 M 的柱坐标为(2，23π， 5)，则|OM| ＝________.
第一章 坐标系
1.5 柱坐标系和球坐标系 1.5.1 柱坐标系 1.5.2 球坐标系
学习目标：1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、 球坐标系刻画简单问题中的点的位置．(重点)2.知道柱坐标、球坐标 与空间直角坐标的互化关系与公式．(难点)
自主预习 探新知
1．柱坐标系
(1)柱坐标 设空间中一点 M 的直角坐标为(x，y，z)，M 点在 xOy 坐标面上 的投影点为 M0，M0 点在 xOy 平面上的极坐标为(ρ，θ)，如图 1-5-1
1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要 明确点的球坐标(r，θ，φ)中角 φ，θ 的边与数轴 Oz，Ox 的关系，注 意各自的限定范围，即 0≤θ<2π，0≤φ≤π.
2．化点的球坐标(r，θ，φ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式
x＝rsin φcos θ，
y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ.
高中数学人教新课标A版选修4-4第一章坐标系1.1.6柱坐标系与球坐标系课件2
3.坐标系是联系数与形的桥梁，利用坐标系可以实现几何
问题与代数问题的相互转化.但不同的坐标系有不同的特点，
在实际应用时，要根据问题的特点选择适当的坐标系，使
研究过程方便、简捷.
提高训练
设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R，45°，
70°)，点B的坐标为(R，45°，160°)，求A，B两点间的球
故点 M 的柱坐标为
π
1, ,5
2
2
.
[A
基础达标]
5π
4， ，3
1．点 P 的柱坐标是
4
，则其直角坐标为(
)
A ． 2 2，2 2，3
B ． －2 2，2 2，3
C ． －2 2，－2 2，3
D ． 2 2，－2 2，3
5π
5π
解析：选 C．x＝ρcos θ＝4cos
＝－2 2，y＝ρsin θ＝4sin
π
6
.故点 M 的球坐标为 2 2, ,
6
7π
4
.
B基础训练达标
4．已知点
则|P1P2|＝(
π 5π
π
P1 的球坐标为4， 2， 3 ，P2 的柱坐标为2， 6，1，
)
A． 21
B． 29
C． 30
D．4 2
解析：选 A．设点 P1 的直角坐标为(x1，y1，z1)，
数学选修4-4：坐标系与参数方程
第一章 坐标系
1.1.6 柱坐标系与球坐标系
学习目标
思维脉络
1.了解在柱坐标系、
球坐标系中刻画空间 柱坐标系与球坐标系
高中数学 第1讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介课件 a选修44a高二选修44数学课件
O，以O为原点，射线OA为x轴正方向，过O
且与OA垂直的直线为y轴，建立球坐标系．
在球坐标系中，可求得A
3，π2，0
，
B
3，π2，23π，C
3，π2，43π，D(
6，0,0)．
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第二十七页，共四十一页。
[名 师 点 拨] 建立柱坐标系或球坐标系与建立空间直角坐标系的方法相 同，建系后要有利于求出有关点的坐标，同一种坐标系，选取 原点的位置不同，其各点的坐标也不同.
解剖难点 探究(tànjiū)提高
第九页，共四十一页。
从柱坐标和球坐标的定义可知，这两种坐标都是用来表示空 间任意一点的位置，都是在空间直角坐标系的基础上进行定义 的，它们和空间直角坐标系有着不可分割的联系．在实际应用中 经常对点的坐标进行相互之间的转化，以便满足不同条件的要 求．
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2
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第十四页，共四十一页。
[名 师 点 拨]
由直角坐标求柱坐标，可以先设出点 M 的柱坐标为(ρ，θ，
z)，代入变换公式yx＝＝ρρscions
θ， θ，
z＝z
求 ρ；也可以利用 ρ2＝x2＋y2 求
ρ，利用 tan θ＝yx求 θ，在求 θ 时，要特别注意角 θ 所在的象限， 从而确定 θ 的取值.
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(2)空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， 换公式为____z_＝__z_____.
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第六页，共四十一页。
2．球坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点， 连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴正向所夹的角为 φ.设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ 时所转过的最 小正角 θ.这样点 P 的位置就可以用有序数组__r，__φ_，__θ__表示．这 样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把 建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有 序数组(r，φ，θ)叫做点 P 的球坐标，记作_P__r_，__φ_，__θ___，其中 __r≥__0_,_0_≤__φ_≤__π_，__0_≤__θ_＜__2_π_____.
高中数学第一讲坐标系1.4柱坐标系与球坐标系简介课件新人教A版选修4_
(2)空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为 ������ = ������sin������cos������, ������ = ������sin������sin������, . ������ = ������cos������
名师点拨1.球坐标的排列顺序:①r(点P到原点的距离);②φ(OP与 z轴正方向所夹的角);③θ(OP在平面Oxy内的射影与x轴正方向所成 的角). 2.求空间一点P的球坐标,先求|OP|=r,再求OP与Oz轴正方向所夹 的角φ,设OP在平面Oxy上的射影为OQ,则Ox轴按逆时针方向旋转 到OQ时所转过的最小正角为θ,则点P的球坐标确定为(r,φ,θ). 3.空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系的联系与区别:柱坐标 系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景,柱坐标系中的一点在 平面xOy内的坐标是极坐标,竖坐标和空间直角坐标系中的竖坐标 相同;在球坐标系中,则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极 角)刻画点的位置.空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空 间坐标系,空间点的坐标都是三个数值组成的有序数组.
π 故点 M 的柱坐标为 1, ,5 . 2 π 答案：(1)(1,1,1) (2) 1, ,5 2 2
4
4
2.球坐标系 (1)定义:如图,建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点,连 接OP,记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射 影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样 点P的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.这样,空间的点与有序数 组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系 叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标, 记作P(r,φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.
《1.4柱坐标系与球坐标系简介》课件2-优质公开课-人教A版选修4-4精品
二、直角坐标与球坐标互化 活动与探究 2
设点 M 的直角坐标为(1,1, 2),求它的球坐标. ������ = ������sin������cos������, 思路分析:利用变换公式 ������ = ������sin������sin������, 求解,其中 ������ = ������cos������ r= ������ 2 + ������ 2 + ������ 2 ,cos
四
柱坐标系与球坐标系简介
课前预习导学
目标导航
学习目标 1.了解刻画空间中点的柱坐标和球坐标. 2.了解柱坐标及球坐标与直角坐标间的变换 公式. 3.通过介绍柱坐标系与球坐标系,对坐标系有 一个完整的认识,能更好地体会和理解坐标思 想. 重点难点 1.柱坐标系和球坐标 系的建立 2.柱坐标及球坐标与 直角坐标间的变换公 式
12 + 12 + ( 2)2 =2.
∴ 点 M 的球坐标为 2, ,
.
迁移与应用 2 已知点 M 的球坐标为 2,
3π 3π , 4 4
,求它的直角坐标.
解:设点 M 的直角坐标为(x,y,z),则有
3π 3π 2 2 ������ = 2sin cos =2× × = -1, 4 4 2 2 3π 3π 2 2 ������ = 2sin sin =2× × = 1, 4 4 2 2 3π 2 ������ = 2cos =2× = - 2. 4 2
预习导引
1.柱坐标系 (1)定义:建立空间直角坐标系 Oxyz,设 P 是空间任意一点,它在 Oxy 平面上的射影为 Q,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标.这时点 P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R)表示.这样, 我们建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系,把建 立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ,z)叫做点 P 的 柱坐标,记作 P(ρ,θ,z),其中 ρ≥0,0≤θ<2π,-∞<z<+∞. (2)空间点 P 的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式 ������ = ������cos������, 为 ������ = ������sin������, ������ = ������.
2018-2019学年高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介讲义含解析新人教A版选修
四 柱坐标系与球坐标系简介1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R.(2)空间任意一点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.[例1] (1)设点A 的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标．(2)已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，8，求它的直角坐标．[思路点拨] 直接利用变换公式求解．[解] (1)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＝x 2＋y 2，z ＝z ，即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2. tan θ＝yx＝3，又x ＞0，y ＞0. ∴θ＝π3，∴点A 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，5. (2)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z求ρ，也可利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.1．已知点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标． 解：ρ＝ x 2＋y 2＝ 02＋12＝1. ∵x ＝0，y ＞0，∴θ＝π2，∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，2.2．将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π3，－2；(3)()1，π，0.解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )．(1)∵(ρ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，z ＝1，∴(3，1,1)为所求．(2)∵(ρ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π3，－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝6cos5π3＝3，y ＝ρsin θ＝6sin 5π3＝－33，z ＝－2，∴(3，－33，－2)为所求．(3)∵(ρ，θ，z )＝(1，π，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝cos π＝－1，y ＝ρsin θ＝sin π＝0，z ＝0，∴(－1,0,0)为所求.[例2] (1)已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4， π4，求它的直角坐标； (2)已知点M 的直角坐标为(－2，－2，－22)，求它的球坐标． [思路点拨] 直接套用坐标变换公式求解． [解] (1)由坐标变换公式得，x ＝r sin φcos θ＝4sin 3π4cos π4＝2， y ＝r sin φsin θ＝4sin 3π4sin π4＝2， z ＝r cos φ＝4cos3π4＝－22， 故其直角坐标为(2,2，－22)． (2)由坐标变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－2)2＋(－2)2＋(－22)2＝4.由r cos φ＝z ＝－22，得cos φ＝－22r ＝－22，φ＝3π4.又tan θ＝y x ＝1，则θ＝5π4(M 在第三象限)，从而知M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4，5π4.由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x，cos φ＝z r来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置．3．将下列各点的球坐标分别化为直角坐标．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，π3；(2)⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，2π3.解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )．(1)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，π3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝2sin π6cos π3＝12，y ＝r sin φsin θ＝2sin π6sin π3＝32，z ＝r cos φ＝2cos π6＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，3为所求． (2)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，2π3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos2π3＝－332，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin 2π3＝92，z ＝r cos φ＝6cos π3＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－332，92，3为所求． 4．求下列各点的球坐标．(1)M (1，3，2)；(2)N (－1,1，－2)． 解：(1)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋(3)2＋22＝2 2.由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝222＝22，∴φ＝π4，又tan θ＝yx ＝31＝3，x ＞0，y ＞0，∴θ＝π3， ∴它的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π3.(2)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－1)2＋12＋(－2)2＝2.由z ＝r cos φ，得cos φ＝zr ＝－22，∴φ＝3π4. 又tan θ＝y x ＝1－1＝－1，x ＜0，y ＞0，∴θ＝3π4， ∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，3π4.一、选择题1．在球坐标系中，方程r ＝2表示空间的( ) A ．球 B ．球面 C ．圆D ．直线解析：选B r ＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面． 2．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3，3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3，3解析：选C ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2，∵tan θ＝y x ＝3，x <0，y <0，∴θ＝4π3，又z ＝3，∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3，3.3．若点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8，π3，5π6，则它的直角坐标为( )A ．(－6,23，4)B ．(6,23，4)C ．(－6，－23，4)D ．(－6,23，－4)解析：选A 由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3＝4，得点M 的直角坐标为(－6,23，4)．4．若点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，π6C.⎝⎛⎭⎪⎫22，π4，π3 D.⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4，π3解析：选A 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，则r ＝(3)2＋12＋(－2)2＝22， 由22cos φ＝－2得φ＝3π4，又tan θ＝13＝33，x >0，y ＞0，得θ＝π6， ∴点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，π6.故选A.二、填空题5．点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，3，则点P 到原点的距离为________． 解析：x ＝ρcos θ＝4cos π6＝23，y ＝ρsin θ＝4sin π6＝2.即点P 的直角坐标为(23，2,3)，其到原点的距离为(23－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝25＝5.答案：56．点M (－3，－3,3)的柱坐标为________． 解析：ρ＝x 2＋y 2＝(－3)2＋(－3)2＝32，∵tan θ＝－3－3＝1，x <0，y <0，∴θ＝5π4，∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，5π4，3. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，5π4，37．已知点M 的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r ，φ，θ)，则tan φ＝________，tan θ＝________.解析：如图所示，tan φ＝x 2＋y 2z ＝53，tan θ＝yx＝2.答案：532 三、解答题8．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求点M 的柱坐标与球坐标． 解：由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2，∵tan θ＝y x ＝1，x >0，y >0，∴θ＝π4.r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2.由r cos φ＝z ＝2(0≤φ≤π)，得cos φ＝2r＝22，φ＝π4. 所以点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，2，球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.9．已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，3，点N 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π2，求线段MN 的长度． 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，由变换公式得，x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1，z ＝3，∴点M 的直角坐标为(1,1,3)，设点N 的直角坐标为(a ，b ，c )， 则a ＝ρsin φ·c os θ＝2×22×0＝0，b ＝ρsin φ·sin θ＝2×22×1＝2，c ＝ρcos φ＝2×22＝2， ∴点N 的直角坐标为(0，2，2)．∴|MN |＝12＋(1－2)2＋(3－2)2＝15－8 2.10.已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系A xyz ，以Ax 为极轴．求点C 1的直角坐标，柱坐标以及球坐标．解：点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由坐标变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎨⎧ρ＝2，tan θ＝1，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33.结合图形，得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2.所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，φ，π4，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.。
2018版高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介课件新人教A版选修4_420180503121
跟踪演练1 根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：
5π (1)2， 6 ，3；(2) π 2， 4 ，5.
解
设点的直角坐标为(x，y，z).
5π x＝ρcos θ ＝2cos 6 ＝－ 3， 5π (1) y＝ρsin θ ＝2sin 6 ＝1， z＝3， 因此所求点的直角坐标为(－ 3，1，3).
x＝ρcos θ ＝cos π ＝－1， (2)∵(ρ，θ ，z)＝(1，π ，0)，∴y＝ρsin θ ＝sin π ＝0， z＝0， ∴(－1，0，0)为所求.
规律方法 1.由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先 x＝ρcos θ， 设出点 M 的柱坐标为(ρ， θ， z) ， 代入变换公式y＝ρsin θ， z＝z， y 求 ρ；也可以利用 ρ ＝x ＋y ，求 ρ.利用 tan θ＝x，求 θ， 在求 θ 的时候特别注意角 θ 所在的象限， 从而确定 θ 的取值. 2.点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同.
跟踪演练2 根据下列点的球坐标，分别求其直角坐标：
π (1)2， 4 7π 5π 5π ， 4 ；(2)3， 6 ， 3 .
解
设点的直角坐标为(x，y，z)， π 7π (1)∵(r，φ，θ )＝2， ， ， 4 4 π 7π x＝rsin φcos θ ＝2sin cos ＝1， 4 4 π 7π ∴y＝rsin φsin θ ＝2sin sin ＝－1， 4 4 π z＝rcos φ＝2cos 4 ＝ 2， ∴(1，－1， 2)为所求.
要点一 将点的柱坐标化为直角坐标 例1 将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标：
5π (1)6， 3 ，－2；(2)(1，π
2019-2020人教A版高中数学选修4-4课件1.4柱坐标系与球坐标系优质课件
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阅读课本P16---17 了解柱坐标系的定义, 以及如何用 柱坐标系描述空间中的点.
设P是空间任意一点， 在oxy平面的射影为Q，
z P(ρ,θ,Z)
用(ρ ,θ )(ρ ≥0,
0≤θ ＜2π )表示点Q o
在平面oxy上的极坐标， θ
y
点P的位置可用有 序数组(ρ ,θ ,z)表示. x
z
P(r,φ,θ)
z r cos
oφ r θ
y
x
Q
设点的球坐标为(2，3 ，3 )，求
它的直角坐标.
44
x
2sin
3
4
cos
3
4
2
2 （－
2
2）－1
2
y
2sin
3
4
sin
3
4
2
2 2
2 1 2
z
2cos
把建立上述对应关系的坐标系叫做柱
坐标系. 有序数组(ρ ,θ ,Z)叫点P的柱
坐标，记作(ρ ,θ ,Z). 其中
ρ ≥0, 0≤θ ＜ 2π , -∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的.
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐
标 (ρ ,θ ,Z) 之间的变换公式为
3
4
2(－
2）－
2
2
点在直角坐标系中的坐标为
（ －1 ，1 ，－ 2 ）.
小结 数轴
平面直角坐标系
坐标系
平面极坐标系 空间直角坐标系 柱坐标系
高中数学 柱坐标系与球坐标系课件 新人教A选修4
z
P(r,φ,θ)
z r cos
oφ r θ
y
x
Q
1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022 7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/162022/1/16January 16, 2022 8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/162022/1/162022/1/162022/1/16
球坐标系
坐标系是联系形与数的桥梁，利用 坐标系可以实现几何问题与代数问题 的相互转化，从而产生了坐标法.
坐标系. 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱
坐标，记作(ρ,θ,Z). 其中
ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的 一部分建立起来的.
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐
标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为
x cos
z
注：坐标与点的位置有关 o
x
y
练习：
1、设M点 的直角坐 (1标 , 3是 ,3),则它的柱 坐标是？
(2, 4 ,3)
3
2、设M点 的柱坐(2标 ,,7为 ),求它的直角坐
高中数学第一讲坐标系1.4柱坐标系与球坐标系简介课件新人教A版选修4_4
随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
【变式训练 2】 若点 M 的直角坐标为(-1,-1, 2), 则它的球坐
标为( )
A. 2, π , π B. 2, π , 5π
44
44
C.
2,
5π 4
,
π 4
D.
2,
3π 4
,
π 4
解析:由题意知 x=-1,y=-1,z= 2.
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
直角坐标与球坐标的互化
【例 2】 已知点 M 的球坐标为 2, 3π , 3π , 求它的直角坐标.
44
������ = ������sin������cos������,
分析:利用变换公式 ������ = ������sin������sin������, 求解. ������ = ������cos������
44
答案:B
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知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
求空间一点的坐标
【例3】 一个圆形体育馆,自正东方向起,按逆时针方向等分为十
1.空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别 剖析它们都是三维的坐标系,球坐标系与柱坐标系都是在空间直 角坐标系的基础上建立的. 在空间直角坐标中,我们需要三个长度x,y,z,而在柱坐标与球坐标 中,我们不仅需要长度,还需要角度.它们是从长度、方向来描述一 个点的位置,需要ρ,θ,z或者r,φ,θ. 在空间直角坐标系中,设点M为空间中的一个已知点.我们过点M 作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴,它们与x轴、y轴、z轴的交 点依次为P,Q,R,这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x,y,z.于是空 间的一点M就唯一地确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做 点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标(如 图所示).