DQ高中数学选修4-4知识点总结加练习题
高中数学选修4-4知识点归纳
- 1 -高中数学选修4-4知识点总结一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：① 理解坐标系的作用.② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、知识归纳总结：1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
【精编】高中数学选修4-4知识点清单
高中数学选修44坐标系与参数方程知识点总结第一讲一平面直角坐标系1．平面直角坐标系(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．(2)平面直角坐标系：①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y 轴统称为坐标轴；④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：2.设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二极坐标系(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．(3)图示2．极坐标(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)．(1)极坐标化直角坐标＝ρcosθ，＝ρsinθＷ.(2)直角坐标化极坐标2＝x2＋y2，θ＝yx（x≠0）.三简单曲线的极坐标方程1．曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表：圆心位置极坐标方程图形圆心在极点(0，0)ρ＝r (0≤θ<2π)圆心在点(r ，0)ρ＝2r cos_θ(－π2≤θ<π2)圆心在点(r ，π2)ρ＝2r sin_θ(0≤θ<π)圆心在点(r ，π)ρ＝－2r cos_θ(π2≤θ<3π2)圆心在点(r ，3π2)ρ＝－2r sin_θ(－π<θ≤0)(2)一般情形：设圆心C (ρ0，θ0)，半径为r ，M (ρ，θ)为圆上任意一点，则|CM |＝r ，∠COM ＝|θ－θ0|，根据余弦定理可得圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0即)cos(2002022θθρρρρ--+=r 3．直线的极坐标方程00△OPM 中利用正弦定理可得直线l 的极坐标方程为ρsin(α－θ)＝ρ0sin(α－θ0)．四柱坐标系与球坐标系简介（了解）1．柱坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组（ρ，θ，z ）(z ∈R )表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z ∈R ．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )x ＝ρcos θy ＝ρsin θz ＝z．2．球坐标系(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ，这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示，这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)，叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π．(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间x ＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θz ＝r cos φ．第二讲：一曲线的参数方程1．参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：＝f （t ）＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y ＝f （t ）＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O 的参数其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2＝1，则其参数方程为φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝12．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M ＝x 0＋t cos α＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数)．。
选修4-4知识点及题型总结
选修4—4知识点及题型总结一、知识点1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
5．极坐标与直角坐标的互化：6。
圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =； 在极坐标系中，以 )2,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =；7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos .8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。
高中数学选修4-4(人教A版)第二讲参数方程2.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学选修4-4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程一、知识清单参数方程二、知识讲解1.参数方程曲线的参数方程定义设平面上取定了一个直角坐标系，把坐标系，表示为第三个变量的函数如果对于的每一个值（），式所确定的点都是在一条曲线上；而这条曲线上的任一点，都可由的某个值通过式得到，则称式为该曲线的参数方程，其中变量称为参数．直线的参数方程直线的参数方程的一般形式是．圆的参数方程若圆心在点，半径为，则圆的参数方程为 ． 圆锥曲线的参数方程若椭圆的中心不在原点，而在点，相应的椭圆的参数方程为．抛物线的参数方程抛物线的参数方程为．双曲线的参数方程双曲线的参数方程为．摆线的参数方程一圆沿一直线作无滑动滚动式，圆周上的一定点的轨迹称为摆线．设半径为的圆在轴上滚动，开始时定点在原点处．取圆滚动时转过的角度（以弧度为单位）为参数．当圆滚过角时，圆心为，圆与轴的切点为，．所摆线的参数方程为．xOy x y t {a ≤t ≤b ．(2−3)x =f (t )y =g (t )t a ≤t ≤b (2−3)M (x ,y )M (x ,y )t (2−3)(2−3)t {t ∈R x =+lt x 0y =+mty 0(,)M 0x 0y 0R {0≤θ≤2πx =+R cos θx 0y =+R sin θy 0(,)M 0x 0y 0{0≤t ≤2πx =+a cos t x 0y =+b sin ty 0{x =2p t 2y =2pt{x =a sec θy =b tan θM a x M O t t B x A ∠ABM =t {x =a (t −sin t )y =a (1−cos t )下列方程中可以看成参数方程的是（ ）A． B． C．x −y −t =0+−2ax −9=0x 2y 2{=x 2t 2y =2t −1。
高中数学选修4—4知识点总结知识分享.docx
坐标系与参数方程知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 P(x,y) 是平面直角坐标系中的任意一点x gx(0), 在变换:gy(的作用y0)下 , 点 P(x,y)对应到点 P ( x , y ) ,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示, 在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点 O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向 ), 这样就建立了一个极坐标系 .注: 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景 ; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系, 而极坐标系则不可. 但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2) 极坐标设 M是平面内一点 , 极点O与点 M的距离 |OM|叫做点 M的极径 , 记为; 以极轴Ox为始边, 射线OM为终边的角xOM 叫做点M的极角,记为. 有序数对(, ) 叫做点M的极坐标, 记作M (,) .一般地 , 不作特殊说明时, 我们认为0,可取任意实数.特别地 , 当点M在极点时 , 它的极坐标为(0,)(∈ R).和直角坐标不同, 平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02, 那么除极点外, 平面内的点可用唯一的极坐标( ,) 表示;同时 , 极坐标(, ) 表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景 : 把直角坐标系的原点作为极点 ,x 轴的正半轴作为极轴 , 并在两种坐标系中取相同的长度单位 , 如图所示 :(2)互化公式 : 设M是坐标平面内任意一点 , 它的直角坐标是(x, y) , 极坐标是( , ) (0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点 M直角坐标( x, y)极坐标(, )x cos2x2y2互化公式y(x 0) y sin tanx在一般情况下 , 由tan确定角时 , 可根据点M所在的象限最小正角 .4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点, 半径r (0 2 )为 r 的圆圆心为 (r ,0) ,半径2r cos ()为 r 的圆22圆心为 (r , ) ,半22r sin(0)径为 r 的圆(1)过极点 , 倾斜角为(R)或(R)的直线(2)( 0)和 ( 0)过点 (a,0) , 与极轴cosa()垂直的直线22过 点 (a, ) , 与 极2sina(0 )轴平行的直线注 : 由 于 平 面 上 点 的 极 坐 标 的 表 示 形 式 不 唯 一 , 即( , ),( ,2 ),( , ),( , ), 都表示同一点的坐标 , 这与点的直角坐标的唯一性明显不同 . 所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式 , 只要求至少有一个能满足极 坐 标 方 程 即 可 . 例 如 对 于 极 坐 标 方 程, 点 M (, ) 可 以 表 示 为544( , 2 )或 (, 2 )或 (-,,) 的极坐标满足方 ) 等多种形式 , 其中 , 只有 (4 44 44 444程.二、参数方程1. 参数方程的概念一般地 , 在平面直角坐标系中 , 如果曲线上任意一点的坐标x, y 都是某个变数 t 的函数x f (t )M ( x, y) 都在这条曲线上 ,y① , 并且对于 t 的每一个允许值 , 由方程组①所确定的点g(t )那么方程①就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数 , 简称参数 , 相对于参数方程而言 , 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2. 参数方程和普通方程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式 , 一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程 .(2) 如果知道变数 x, y 中的一个与参数 t 的关系 , 例如 x f (t ) , 把它代入普通方程 , 求出另一个变数与参数的关系y g(t) , 那么x f (t ) y就是曲线的参数方程 , 在参数方程与g(t )普通方程的互化中 , 必须使 x, y 的取值范围保持一致 .注： 普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
高中数学选修4-4知识点归纳
…高中数学选修4-4知识点总结一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：① 理解坐标系的作用.② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.~② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、知识归纳总结： 1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。
3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。
有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。
极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。
如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。
数学选修4-4复习题二
数学选修4-4复习题二数学选修4-4复习题二主要涵盖了不等式、极坐标与参数方程、复数等知识点。
以下是一些典型的复习题，帮助同学们巩固和检验学习效果。
一、不等式1. 解不等式：\( |x-3| < 2 \)，并写出解集。
2. 已知 \( a > 0 \)，求证：\( \sqrt{a+1} < a+2 \)。
3. 利用基本不等式证明：对于任意正数 \( x \) 和 \( y \)，有\( x^2 + y^2 \geq 2xy \)。
二、极坐标与参数方程1. 将直角坐标系中的点 \( P(2, 3) \) 转换为极坐标形式。
2. 已知点 \( M \) 的极坐标为 \( (3, \frac{\pi}{3}) \)，求点\( M \) 在直角坐标系中的坐标。
3. 已知参数方程 \( \begin{cases} x = 1 + t \cos \alpha \\ y = t \sin \alpha \end{cases} \)，其中 \( \alpha \) 为常数，求曲线 \( C \) 的普通方程。
三、复数1. 计算复数 \( z_1 = 2 - i \) 和 \( z_2 = 1 + 3i \) 的和与积。
2. 已知 \( z = \frac{1}{2 + i} \)，求 \( z \) 的共轭复数。
3. 利用复数的代数形式证明 \( |z| = 1 \) 时，\( z \) 在复平面上对应的点位于单位圆上。
四、综合题1. 已知不等式 \( x^2 - 4x + 4 \leq 0 \)，求其解集，并将其转换为极坐标形式。
2. 利用复数的性质，证明 \( (1 + i)^{10} = 2i \)。
3. 已知 \( z = 2 - i \)，求 \( z \) 的模长和辐角。
结束语通过以上题目的练习，同学们可以检验自己在数学选修4-4中对不等式、极坐标与参数方程、复数等知识点的掌握程度。
数学选修4-4知识点总结
数学选修4-4知识点总结
数学选修4-4主要包括以下几个知识点的学习：
1. 三角函数：学习正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的性质与图像特征。
包括解三角函数的基本方程和性质，以及应用三角函数求解实际问题。
2. 平面向量：研究平面内的向量及其运算。
了解向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和几何意义等内容。
学习解向量的相等、共线、垂直关系，以及应用向量求解实际问题。
3. 解析几何：通过几何方式的代数表示，研究几何问题。
包括直线和圆的方程、直线和圆的性质、两直线的位置关系、两圆的位置关系等内容。
学习应用解析几何解决实际问题。
4. 圆锥曲线：学习圆锥曲线的定义、方程及性质。
包括椭圆、双曲线和抛物线的特点、标准方程及图形性质。
学习应用圆锥曲线解决实际问题。
5. 数学归纳法：学习数学归纳法的基本原理、基本步骤及应用。
了解数学归纳法的证明思路和技巧，并能应用数学归纳法解题。
6. 数列与数学归纳法：学习数列的定义、分类及性质。
了解常用数列的生成规律和求和公式，学习应用数学归纳法解决数列相关问题。
7. 统计与概率：学习统计与概率的相关概念和方法。
包括随机
事件、样本空间、概率等基本概念，以及频率概率和古典概率的计算方法。
学习应用统计与概率解决实际问题。
以上是数学选修4-4的主要知识点总结，通过学习这些知识，可以对三角函数、平面向量、解析几何、圆锥曲线、数学归纳法、数列与数学归纳法、统计与概率等内容有一定的了解和掌握，并能应用于实际问题的解决。
(完整)高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型,推荐文档
选做题部分极坐标系与参数方程一、极坐标系1. 极坐标系与点的极坐标(1) 极坐标系：如图4 —4—1所示，在平面内取一个』点0,叫做极点，自极点0引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.(2) 极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段0M的长度p和从Ox到0M的角度9来刻画，这两个数组成的有序数对M的极坐标.其中p称为点M的极径，9称为点M的极角.2.极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x，y)极坐标(p, 9互化公式题型一极坐标与直角坐标的互化1、已知点P的极坐标为(..2,—)，则点P的直角坐标为 ()4A. (1, 1)B. (1, -1 )C. (-1，1)D. (-1，-1 )2、设点P的直角坐标为(3,3)，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(0 2 )，则点P的极坐标为( )A. (3.2, —) B . ( 3 2, —) C . (3, — ) D . ( 3, — )4 4 4 43•若曲线的极坐标方程为p= 2sin 0+ 4cos 9,以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为___________ .4.在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( )A.p= cos 0B.p= sin 9 C . p cos 0= 1 D . p sin 0= 15. __________________________________________ 曲线C的直角坐标方程为x2+ y2—2x = 0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_________________________________________ .n6.在极坐标系中，求圆p= 2cos 9与直线9= 4(p>0)所表示的图形的交点的极坐标.题型二极坐标方程的应用由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.1. 在极坐标系中，已知圆C经过点PC 2,专)，圆心为直线P sin B—n J与极轴的交点，求圆C的直角坐标方程.n2. 圆的极坐标方程为p= 4cos B，圆心为C，点P的极坐标为4，-3，则|CP| = _________ .n3. 在极坐标系中，已知直线I的极坐标方程为p sin 0 +石=1,圆C的圆心的极坐标n是C1，4，圆的半径为1.(i)则圆C的极坐标方程是 __________ ;(ii)直线I被圆C所截得的弦长等于 _____________n4. 在极坐标系中，已知圆C:p= 4cos 0被直线I : p sin 0—"6 = a截得的弦长为2念，则实数a的值是__________ .、参数方程1.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式•一般地，可以通过消去参数而 从参数方程得到普通方程.⑵如果知道变数x , y 中的一个与参数t 的关系，例如x = f(t),把它代入普通方程，求x = f t ,出另一个变数与参数的关系 y = g(t)，那么，就是曲线的参数方程.y = g t2.题型一参数方程与普通方程的互化【例1】把下列参数方程化为普通方程:,1x = 1 + ,⑵y = 5 +题型二直线与圆的参数方程的应用x = 1 + t ,x = 2cos 0+ 2,1、已知直线I 的参数方程为(参数t € R),圆C 的参数方程为(参y = 4— 2ty = 2sin 0数0€ [0,2 n ])求直线I 被圆C 所截得的弦长.卜1+导2、曲线C 的极坐标方程为：p =acos 0( a > 0),直线I 的参数方程为：i _If(1)求曲线C 与直线I 的普通方程；(2)若直线I 与曲线C 相切，求a 值.x = 3+ cos 0, ⑴ y = 2-sin 03、在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为「些曲"，(a为参数)，以原点OI y=sinCT为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为P sin (日+号)二吋(I)求曲线C的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(□)设P为曲线C上的动点，求点P到C2上点的距离最小值.综合应用1、曲线2 5t 1 2t（t 为参数）与坐标轴的交点是（2 1 1 1 5A (0,—)、(一,0)B (0, —)、(一,0)C (0, 4)、(8,0)D (0, —)、(8,0)5 2 5 2 9/ 2 si n 23、参数万程（为参数）化为普通方程为y sin 2A . y x 2 B.y x 2C. y x 2(2 x 3)D. y x 2(0 y 1)3.判断下列结论的正误.（2）若点P 的直角坐标为（1， 3），则点P 的一个极坐标是（2,—石）（（3）在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的 （ ）（1）平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是 一对应关系（4.参数方1t （t为参数）表示的曲线是（A.一条直5•与参数方程为B.两条直线C. 一条射线（t为参数）等价的普通方程为（D •两条射线A. x22y_4B . x22y1(0 x 1)4C. x21(0 2) D . x22y1(0 x 1,0 y 2)4x15.参数方程y tan为参数所表示的曲线是cotA.直线B.两条射线C .线段 D.圆16.下列参数方程t是参数）与普通方程 2y x表示同一曲线的方程是:x tA. rB.y t x si n21 ysintC.1 cos2t x1 cos2ty tant8、已知曲线C 的极坐标方程是2cos 2sin 0，以极点为平面直角坐标系的原8. 在极坐标系有点 M(3, 3)，若规定极径 V 0,极角 [0,2]，则M 的极坐标为 ________ ;若规定极径 V 0,极角 (-,)，贝U M 的极坐标为 __________________ . _________39. ORF 2的一个顶点在极点 0,其它两个顶点分别为R 5,— , P 2 4 —，则 ORP 24 12的面积为 ______________ 。
2014-2015学年高二数学选修4-4 极坐标与参数方程知识点及高考真题训练(含答案)
极坐标与参数方程考试大纲要求：1．理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；3．能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义；4．了解参数方程，了解参数的意义，能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程；重点、难点：1．理解参数方程的概念，了解常用参数方程中参数的意义，掌握参数方程与普通方程的互化。
2．理解极坐标的概念，掌握极坐标与直角坐标的互化；直线和圆的极坐标方程。
【知识要点梳理】:知识点一：极坐标1．极坐标系：平面内的一条规定有单位长度的射线Ox ，O 为极点，Ox 为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。
2．极坐标系内一点P 的极坐标：平面上一点P 到极点O 的距离OP 称为极径ρ，OP 与Ox 轴的夹角θ称为极角，有序实数对),(θρP 就叫做点P 的极坐标。
（1）一般情况下，不特别加以说明时ρ表示非负数； （2）当0=ρ时表示极点；（3）当0<ρ时，点),(θρP 的位置这样确定：作射线OP ，使θ=∠xOP ，在OP 的反向延长线上取一点P '，使得ρ='P O ，点P '即为所求的点。
（4）点),(θρP 与点))(2,(Z k k ∈+θπρ所表示的是同一个点，即角θ与θπ+k 2的终边是相同的。
综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，即),(θρ，)2,(θπρ+k , ))12(,(θπρ++-k 均表示同一个点.3．极坐标与直角坐标的互化：当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与x 轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点P 的极坐标),(θρ和直角坐标),(y x有如下关系：直角坐标化极坐标：θρθρsin ,cos ==y x ；极坐标化直角坐标：)0(tan ,222≠=+=x xyy x θρ. 此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.4. 直线的极坐标方程：（1）过极点倾斜角为α的直线：)(R ∈=ραθ或写成αθ=及παθ+= （2）过),(ααA 垂直于极轴的直线：αθρcos cos a =5. 圆的极坐标方程：（1）以极点O 为圆心，)0(>a a 为半径的圆：a =ρ.（2）若)0,0(O ，)0)(0,2(>a a A ，以OA 为直径的圆：θρcos 2a =知识点二：参数方程：1．概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数： ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x ，并且对于t 的每一个允许值，方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系y x ,间的关系的变数t 叫做参变数（简称参数）.相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程0),(=y x F ，叫做曲线的普通方程。
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4-4坐标系与参数方程复习
1． 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)
x x
y y λλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩ 的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.直角坐标与极坐标互化
设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,
)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
3.圆的参数方程：圆心为(,)a b ，半径为r 的圆的普通方程()
()x a y b r -+-=，它的参数
方程为： 4．椭圆的参数方程：椭圆的标准方程为22221(0),x y a b a b
+=>>其参数方程为： 5．双曲线的参数方程22221(0,0),x y a b a b
-=>>其参数方程为： 6．抛物线的参数方程：抛物线22(0)y px p =>的参数方程为：
7．直线的参数方程：经过点000(,)M x y ，倾斜角为()2π
αα≠的直线l 的普通方程是
00tan (),y y x x α-=-而过000(,)M x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为：
一、选择题
1．若直线的参数方程为12()23x t t y t
=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ） A ．23 B ．23- C ．32
D ．32-
2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ
=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）
A
．1(,2
B ．31(,)42- C
． D
．(1 3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤
4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）
A ．201y y +==2x 或
B ．1x =
C ．201y +==2x 或x
D ．1y =
5．点M
的直角坐标是(1-，则点M
的极坐标为（ ） A ．(2,)3π B ．(2,)3π- C ．2(2,)3
π D ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 3
．直线112()x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点， 则AB 的中点坐标为（ ）A ．(3,3)- B
．( C
．3)- D
．(3,
4
．圆5cos ρθθ=-的圆心坐标是（ ）
A ．4(5,)3
π-- B ．(5,)3π- C ．(5,)3π D ．5(5,)3π- 5
．与参数方程为)x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数等价的普通方程为（ ） A ．214y +=2
x B ．21(01)4y x +=≤≤2x C ．21(02)4y y +=≤≤2x D ．2
1(01,02)4y x y +=≤≤≤≤2x 6．直线2()1x t t y t
=-+⎧⎨=-⎩为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）
A
．1404
C
．
7．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2
4()4x t t y t ⎧=⎨
=⎩为参数上， 则PF 等于（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
8．在极坐标系中与圆4sin ρ
θ=相切的一条直线的方程为（ ） A ．cos 2ρθ
= B ．sin 2ρθ= C ．4sin()3πρθ=+ D ．4sin()3πρθ=- 二、填空题
1．直线34()45x t t y t
=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。
2．已知直线113:()24x t l t y t =+⎧
⎨
=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ， 则AB =_______________。
3．直线122()112
x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。
4．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。
5．点P(x,y)是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为___________。
6．曲线的极坐标方程为1
tan cos ρ
θθ=⋅，则曲线的直角坐标方程________________。
7
．直线2()3x t y ⎧=--⎪⎨=⎪⎩为参数上与点(2,3)A -
_______。
8．极坐标方程分别为cos ρ
θ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为_____________。
三、解答题 1．已知点(,)P x y 是圆222x
y y +=上的动点，（1）求2x y +的取值范围； （2）若0x y a +
+≥恒成立，求实数a 的取值范围。
2
．求直线11:()5x t
l t y =+⎧⎪
⎨=-+⎪⎩为参数
和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与
(1,5)Q -的距离。
3．在椭圆2211612
x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值。
4．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
πα=，（1）写出直线l 的参数方程。
（2）设l 与圆422=+y x
相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。
（2013年全国新课标1高考23）
已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧ x =4+5cost y =5+5sint
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ。
（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）
(2012·高考辽宁卷)
在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.
(Ⅰ)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(Ⅱ)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．。