共边三角形
第九讲 三共定理之共边定理
第九讲三共定理之共边定理第九讲三共定理之共边定理共边定理是三共定理中的一个重要定理，它与三角形的边长和内角之间的关系密切相关。
在本文档中，我们将详细介绍共边定理的定义、性质和应用。
1. 定义共边定理是指在一个三角形中，两边的和大于第三边，两边的差小于第三边。
也就是说，对于三角形ABC，有以下条件成立：- AB + BC > AC- AB - BC < AC2. 性质共边定理具有以下主要性质：- 共边定理可以用于判断三角形是否存在。
如果三边的和大于任意一边，且任意两边的差小于第三边，则该三角形存在；否则，该三角形不存在。
- 共边定理可以用于判断是否可以构成锐角三角形、钝角三角形或直角三角形。
如果三边的和平方小于等于两边的平方和，则构成锐角三角形；如果三边的和平方大于两边的平方和，则构成钝角三角形；如果三边的和平方等于两边的平方和，则构成直角三角形。
- 共边定理可以用于计算三角形的边长。
已知两边和夹角的情况下，可以通过共边定理计算第三边的长度。
3. 应用共边定理在实际问题中具有广泛应用，主要包括以下方面：- 地理测量学：共边定理可以用于测量不便直接测量的距离，例如测量两座山峰之间的距离。
- 建筑设计：共边定理可以用于设计和检测各种角度的房屋、桥梁和其他结构的稳定性。
- 金融领域：共边定理可以用于计算投资回报率和风险与收益的平衡。
在实际应用中，我们需要充分理解共边定理的定义和性质，并善于运用它来解决实际问题。
以上就是第九讲三共定理之共边定理的内容。
通过学习共边定理，我们可以更好地理解三角形的边长和内角之间的关系，以及如何应用共边定理解决实际问题。
深入掌握共边定理对我们的学习和工作都具有重要意义。
第23讲 五大模型——共边模型、鸟头模型
【例2】 (★★★) 如图，由面积分别为2、3、5、7的四个三角形拼成一个大 三角形，已知： S△ADE 2, S△AEC 5, S△BDF 7, S△BCF 3, 那么三角形BEF的面积为___________。
【例3】 （★★★★） 如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且 △OAB 、△ABC 、 △ BCD、 △CDE、 △DEF 的面积都等于1，则 △DCF的面积等于 。
【例4】 (★★★★) 等腰 △ABC中，AB=AC=12cm，BD、DE、EF、FG把它的面积5等分， 求AF、FD、DC、AG、GE、EB的长。
【例5】（★★★） 已知四边形ABCD、BEFG、CHIJ为正方形，正方形ABCD边长为10， 正方形BEFG边长为6，求阴影部分的面积。
【例6】(★★★★) E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行， 若 AD=5， BC=7，AE=5 ， EB=3。求阴影部分的面积。
大海点睛 一、本讲重点知识回顾
等积变形 边比＝面积比 共角模型(鸟头模型)
如图, S△ABC : S△ADE ( AB AC ) : ( AD AE )
大海点睛 二、本讲经典例题
例2，例3，例5，例7，例8
第２３讲 五大模型——共边模型、鸟头模型
大海传功
等积变形 1. 两个三角形，如果底边相等，高也相等，那么它们的
面积相等。 拓展：夹在一组平行线间的同底三角形面积相等。 2. 两个三角形，如果底相等，一个的高是另一个的n倍， 那么它的面积也是另一个的n倍； 两个三角形，如果高相等，一个的底是另一个的n倍， 那么它的面积也是另一个的n倍。
共角模型(鸟头模型) 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
共边三角形的一个性质及其应用
共边三角形的一个性质及其应用作者：尹承利来源：《中学数学杂志(初中版)》2017年第06期两个共边三角形具有下列性质：性质若△ABC与△ABD有一条公共边AB，且直线CD与直线AB相交于M，则S△ABCS△ABD=CMDM.图1证明如图1，分别过C、D作AB的垂线CP、DQ，P，Q为垂足，则Rt△CPM∽Rt△DQM，所以CPDQ=CMDM，所以S△ABCS△ABQ=12CP·AB12DQ·AB=CMDM.类似地，可证明该性质其它三种情形（图2—4）：图2图3图4该性质看似平凡，实则大有用处.利用它可以解决大量的几何题，甚至可以使一些难度较大的问题获得简捷的解法.1证明比例式例1如图5，已知BD=CE，求证：ABAC=EFDF.证明连接BE，AF，由于BD=CE，故由性质有ABAC=ABBD·CEAC=S△ABFS△BDF=S△BEFS△ABE=S△BEFS△BDF=EFDF.图5图62证明等积式例2如图6，设AD为△ABC的中线，引任一直线CF交AD于E，交AB于F.证明：AE·FB=2AF·ED.证明连接BE，因D为BC的中点，故S△BEC=2S△DEC.由性质有：AEED=S△AECS△DEC=2S△AECS△BEC=2AFFB.所以AE·FB=2AF·ED.3证线段相等例3如图7，PA、PB是圆的两条切线，在线段PB上取一点D，延长PA至C使AC=BD，连接CD交AB与E，求证：CE=DE.证明连接BC、PE.依题意有PA=PB，AC=BD，故由性质有：DECE=S△BDES△BCE=S△BDES△PBE·S△PBES△BCE=BDPB·PAAC=1，所以CE=DE.img src="/qkimages/zxsx/zxsx201706/zxsx20170613-2-l.jpg" alt="" />例4设△ABC的三边BC、CA、AB上各有一点D、E、F，且使AFBF·BDCD·CEAE=1，求证：AD、BE、CF相交于一点.证明如图8，可先找出AD、BE的交点O，再证明CO与AB的交点F′与F重合.设AD与BE相交于O，连接CO交AB于F′，则由性质有：AF′BF′·BDCD·CEAE=S△COAS△COB·S△AOBS△AOC·S△BOCS△BOA=1，结合条件等式有AF′BF′=AFBF.所以AF′+BF′BF′=AF+BFBF，即ABBF′=ABBF，所以BF′=BF，F′与F重合.从而AD、BE与CF相交于一点.作者简介尹承利（1963—），男，山东泰安人，中学高级教师，市教学能手，区政府记功，区教学优秀教师、骨干教师.数学奥林匹克优秀辅导员.多次获省、市优秀论文一等奖.发表论文1000余篇，主编或参编著作20余部.曾获"希望杯"全国数学邀请赛命题一等奖.。
共边三角形的面积定理及其应用
作者： 陆小平;张林兴
出版物刊名： 苏州教育学院学报
页码： 27-28页
主题词： 面积定理;三角形;初中几何;平面几何;梅涅劳斯定理;两个三角;中学数学;初中数学;
公共边;几何习题
摘要： 在平面几何的图形中,我们把有一条公共边的两个三角形称为共边三角形,共边三角形的问题是常见的,由于共边三角形的面积与边之间有一些特殊的关系,本文试提出一个有关共边三角形的面积定理,运用该定理,可以处理许多初中几何问题和解决数学竞赛中有关平几的试题.定理（共边三角形的面积定理）:若ΔABC与ΔABD有公共的边AB,CD与AB（或它们的延长线）相交于P,则(SΔABC)/(SΔABD)=（CD）/（DP）证明:ΔABC与ΔABD共边AB,共有四种不同情况,如图所示,但证法相同.。
复习课《共角共边型相似三角形的探究与应用》
_________3_.
3、如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上， 弦CD⊥AB于点E，OE：EA=1：2，PA=6， ∠POC=∠PCE． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求⊙O的半径； （3）求sin∠PCA的值．
c a
D
b
A
b
C
交换例2中的条件和结论得：
变式1：如图，已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C
所对的边分别为a、b、c，若 a2 b2 b c
试着猜想∠A和∠B有什么样的数量关系？并说 明理由。
变式2：已知△ABC中， AB=AC,∠A=36°
求证：BC 5 1
A
AC 2
D
B
C
练一练：
又∵AD=x, AP=y, AC= 2 3
B
∴ y C12
P
x
例2：如图，已知在△ABC中，∠A=2∠B， 若∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c
求证： a2 b2 b c
思路引导：要证 a2 b2 b c
变为证 ，a2 b2 bc b(b c)
此时就转化为证明 以a、b和a、 (b+c)为夹边的共角共边型三角形 相似的问题。延长BA至D使得 AD=AC=b,连结CD 证△DAC∽△DCB B
共角共边型相似三角形的应用
A
D
平移DE
E
B
C
A
D
B
C
引例 (陕西)如图，在△ABC 中，D 是 AB 边上一点，连结 CD,要使△ADC 与 △ABC 相似，应添加的条件是________．
特征: （1）具有公共角∠A； （2）具有公共边AC； （3）有两边共线AD和AB
第27讲、燕尾模型
第27讲、燕尾模型知识剖析共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则S PM PABS QM QAB∆=∆特殊情况：当PQ∥AB时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB1、如图，计算各个格点多边形的面积．2、如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？例1：如图，AD=6,CD=14,三角形ABE的面积是24，求三角形BEC的面积。
练习1：已知三角形ABC中，三角形ABF的面积是60，三角形AFC的面积是20，三角形BFC的面积是56，求三角形BDF和三角形CDF的面积。
例题2：如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．练习2：（1）如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .（2）如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =O F EDCBAO F EDCBAGF EDCBA例题3：如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．练习3：（1）如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求四边形DCEF 的面积.（2）如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBAFED CBA例题4：如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．练习4：（1）在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？（2）在ABC ∆中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？FE DCB AABCDE OA B CDE O课后练习：1、如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .2、两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？3、如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?O F EDCBAABCDE F4、三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？5、如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?x y y x ABCD E FGE D CBA。
五大模型——共边模型、鸟头模型
戈瑞教育
共角模型(鸟头模型) 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
A
D
A
E
D
E
D
AD
E
E
B 如图,
CB
CB
CB
S△ABC : S△ADE ( AB AC ) : ( AD AE )
A
C
【例1】(★★) 如图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积为4.6平方厘米， BE=EF=FD，求三角形ABF、CDF、ABD、ACD的面积。
【例4】 (★★★★) 等腰 △ABC中，AB=AC=12cm，BD、DE、EF、FG把它的面积5等分， 求AF、FD、DC、AG、GE、EB的长。
【例5】（★★★） 已知四边形ABCD、BEFG、CHIJ为正方形，正方形ABCD边长为10， 正方形BEFG边长为6，求阴影部分的面积。
【例6】(★★★★) E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼此平行， 若 AD=5， BC=7，AE=5 ， EB=3。求阴影部分的面积。
2
【例7】 (★★★) 已知 △DEF的面积为7 平方厘米，BE=CE,AD=2BD,CF=3AF,求△ABC 的面积。
【例8】(★★★★) 如图，在 △ABC中，延长AB至D，使BD=AB，延长BC至E，使 CE 1 BC , 2 F是AC的中点，若 △ABC的面积是2，则 △DEF的面积是多少？
大海点睛
一、本讲重点知识回顾 等积变形 边比＝面积比 共角模型(鸟头模型)
大海点睛 二、本讲经典例题
例2，例3，例5，例7，例8
如图, S△ABC : S△ADE ( AB AC ) : ( AD AE ) 3
燕尾模型
共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。
共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则SPM PABSQM QAB∆=∆特殊情况：当PQ∥AB时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB 知识框架【例 1】 如图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【例 2】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA例题精讲【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.EFB A【例 3】 如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBAABC DEF FEDCBA【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？OE DCBA【例 4】 如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于 ．XQPABC XQPAB C4411XQPCBA【巩固】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？773【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC 的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积 ．ABCDE F【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？M N【例 5】 如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE DCB A【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？ABCDE O【例 6】 如图，三角形BAC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD:DC=1:2，AD 与BE 交于点F ，则四边形DEFC 的面积等于 。
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共边三角形
共边三角形：如果两个三角形有一条公共边，称为共边三角形对，简称共边三角形。
特点：共边三角形是在两个三角形中，并且有一条公共边，故这个公共边可作为“桥梁”使用。
常见类型：①基本类型（如图，AB是和△ADB的公共边）②特殊类型（△ACP和△ABC有公共边和公共角，称为共边共角三角形；△ACD和△DBC共边直
角三角形）
共边定理（适用所有三角形）：若直线AB和直线CD相交于点M,求证：S△ABC:S△DAB=CM：DM
应用：例1：如图，在△ABC内任取一点G，连接AG、BG、CG,分别交BC、CA、AB于点D、E、F.求GD:AD+GE:BE+GF:CF的值。
(GD:AD+GE:BE+GF:CF=S△GBC:S△ABC+S△GAC:S△ABC+S△GAB:S△ABC =1)
例2：证明梅尼劳斯定理：如图，一直线交△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F.求证：(BD:DC)·(CE:EA)·(AF:FB)=1
S△BDF:S△CDF=BD:CD; S△ADF:S△BDF=AF:FB;又△ADF、△CDF是共边三角形，
故S△CDF：S△ADF=CE:EA，即证
共边共角的相似三角形的应用
例题：
在△ABC中，角A=90，AC=根号2倍AD,BE=EA=2AD.求证：角DCE=角B。