初中数学 巧解影子问题评论及创新解法
巧解影子问题
类型一：由灯求影
例1、如图：路灯P距离地面8米， P
身高1.6米的小丽从距离路灯的底部
（点0）20米的A处,沿AO所在的直线 C D
行走14米到达B时，人影长度怎样改变？
改变了多少? O B N A M 类型二：由影求灯
例2、如图：花丛中有一路灯杆PO,
灯光下，小丽在B点处的影长 P
BN＝3米，沿OB方向行走到达A点，
BA＝5米，这时小丽的影长AM＝5米， C D
如果小丽的身高为1.7米，求路灯杆
PO的高度。 O B N A M 类型二：双灯双影问题
例3、如图：小丽晚上在路灯下散步，已知小丽的身高AB＝h,灯柱的高OP＝OPˊ＝L,两灯柱之间的距离OOˊ＝m ，
（1）、若小丽距灯柱OP的水平 P Pˊ距离OA＝a,求她影子AC的长。
（2）若小丽在两路灯之间行走， B
则她前后的影子的长度之和（DA＋AC）
是否为定值？请说明理由。
O D A C Oˊ练习：.1.数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米
的竹竿的影长为0.8米.同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不
全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，
落在地面上的影长为2.4米，则树高为米.
4.影子投影在多面上
例4.兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（）
A．11.5 B．11.75米 C 11.8米D．12.25米
类型一：由灯求影
如图：路灯P距离地面8米， P
身高1.6米的小丽从距离路灯的底部
（点0）20米的A处,沿AO所在的直线 C D
行走14米到达B时，人影长度怎样改变？
改变了多少? O B N A M 传统解法（略解）：依题意得：CB//OP, ∴△BCN∽△OPN, ∴CB:OP＝NB:NO, ∴1.6:8＝NB:（NB＋6）, 解之得NB＝1.5米，同理可得1.6：8＝AM:（AM＋20）, 解之得AM＝5米，∴影长变短了5－1.5＝3.5（米）、
评：这种解法只用了相似三角形最基本的性质，得用两次三角形相似，略显麻烦。
创新解法（略解）：设直线CD交PO于E，则 P
易得矩形OBCE和矩形ABCD， PE、PO成了△PCD
和△PNM的对应高，利用相似三角形对应高的比 E C D
等于相似比得CD:NM＝PE:PO,
则14:NM＝（8－1.6）:8 O B N A M ∴NM＝17.5米， NM－AB＝17.5－14＝3.5米，则影子变短了3.5米.
评：创新解法用的是相似三角形对应高的比等于相似比，只用了一次三角形相似显得很方便。
类型二：由影求灯
如图：花丛中有一路灯杆PO,
灯光下，小丽在B点处的影长 P
BN＝3米，沿OB方向行走到达A点，
BA＝5米，这时小丽的影长AM＝5米， C D
如果小丽的身高为1.7米，求路灯杆
PO的高度。 O B N A M 传统解法（略解）：依题意得：CB//OP, ∴△BCN∽△OPN, ∴CB:OP＝BN:ON ①, 同理，得DA:PO＝AM:OM ②, 显然CB＝DA, 由①、②得BN:ON＝AM:OM, 设OB＝x米，则有3：（3＋x）＝5:（10＋x）, 解之得x＝7.5米，代入①式，得PO＝5.95米评：这种解法仍然只用了相似三角形最基本的性质，又得用两次三角形相似，还要以中间比为桥梁，有些让人眼花缭乱。
创新解法（略解）：同例1做法一样，设直线CD交PO于E，则易得矩形OBCE和矩形ABCD，PE、PO成了△PCD和△PNM的对应高，利用相似 P
三角形对应高的比等于相似比得CD:NM＝PE:PO,
∴5:（5＋5－3）＝（PO－1.7）:PO E C D
∴PO＝5.95米
评：这种创新解法不但只用了一次相似O B N A M
三角形对应高的比等于相似比，而且非常简便快捷，既节约时间，有提高了准确率。
类型二：双灯双影问题
如图：小丽晚上在路灯下散步，已知小丽的身高AB＝h,灯柱的高OP＝OPˊ
＝L,两灯柱之间的距离OOˊ＝m ，
（1）、若小丽距灯柱OP的水平 P Pˊ
距离OA＝a,求她影子AC的长。
（2）若小丽在两路灯之间行走， B
则她前后的影子的长度之和（DA＋AC）
是否为定值？请说明理由。
O D A C Oˊ传统解法（略解）：
（1）、依题意得：AB//OP, ∴△ABC∽△OPC, ∴ AC:OC＝AB:OP,
∵OP＝L, AB＝h, OA＝a, ∴AC:（a＋AC）＝h:L 解之得AC＝ah /L （2）、∵AB//OP, ∴△ABC∽△OPC, ∴AB:OP ＝AC:OC＝h:L, ∴AC:（OC－AC）＝h:（L－h）, 即 AC:OA＝h:（L－h）, ∴AC＝h/（L－h）·OA
同理可得DA＝h/（L－h）·OˊA ∴DA＋AC＝h/（L－h）·（OA＋OˊA）＝hm/（L－m）是
定值。
评：这种做法还是只用了相似三角形最基本的性质，做第（1）问尚可，做第（2）问
又得用两次三角形相似，显得很笨拙，若将题目中的两问合并形成一个题目，则更加捉襟见
肘，但用创新做法就简单多了。如：
如图：小丽晚上在路灯下散步 , P E Pˊ
已知小丽的身高AB＝h,灯柱的高OP＝OPˊ
＝L,两灯柱之间的距离OOˊ＝m，当
她在两路灯之间行走，则她前后的 B
影子的长度之和（DA＋AC）是否为定值？
请说明理由。O D A C Oˊ创新解法（略解）：连结P Pˊ,设AB的延长线交P Pˊ于E,易得矩形O OˊPˊP,则
AB、BE成了△BCD和△BP Pˊ的对应高，由△BCD∽△BP Pˊ, ∴CD: P Pˊ＝AB:BE,
∴CD:m＝h:（L－h）,则CD＝hm/（L－m）即DA＋AC＝hm/（L－m）是定值。
评：创新解法还是只用了一次相似三角形对应高的比等于相似比，但这种做法显得多
么飘逸灵活，一举解决问题，而不用分别拖泥带水地求出DA和AC，简直是一种享受。
由此可见，创新其实也只是换个角度思考问题，也就是一种求异思维，它必
须要有过硬的基础知识和基本技能，因此，只有造就了学生过硬的基础知识和基
本技能，才能培养出学生的多角度审视能力；同时也告诉我们，在教学中应该始
终以新课程标准为纲，捕捉住课本中的每个包括很细微的知识点，才能为培养学
生的创新能力打好基础。