空心变压器电路的分析
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空心变压器电路分析.
§3 空心变压器电路分析
返回
原边(初级)等效电路：
设：Z11 R1 jL1 Z22 R2 jL2 ZL R22 jX22 XM M
网孔方程： Z11I1 jXM I2 US
I1 jM I2
•
•
US j L1
j L2 ZL
R1
R2
jXM I1 Z22I2 0
即反得映：阻I2抗
•
•
u1
u2
u2 n u1
i2 1 i1 n
i1 1: n i2
•
u1
u2
•
u2 n u1
i2 1 i1 n
7
说明
i1 n :1 i2
•
•
u1
u2
u1 n i1 1
u2
i2 n
i1 N1 : N2 i2
•
u1
u2
•
u1 N1
u2
N2
i1 N2 i2 N1
伏安关系式的几条规律：
• 电压方程的比值取决于匝数比，匝数与电压成正比； • 电压方程的符号取决于同名端，同名端电压极性相同； • 电流方程的比值取决于匝数比，匝数与电流成反比； • 电流方程的符号取决于同名端，同名端流入为负。
j2 1 A
•
j4 j2
•
B
- j4 j2
Z11 j4
US
I1
Z1 f
原边等效电路
Z1 f
X
2 M
Z22
4 4 1
ZAB 4 j4
3
例2
查等效电路
图示电路中, L1=10mH, L2= 4mH, M=6mH, =1000rad/s, 则 ZMN =___C___。
返回
原边(初级)等效电路：
设：Z11 R1 jL1 Z22 R2 jL2 ZL R22 jX22 XM M
网孔方程： Z11I1 jXM I2 US
I1 jM I2
•
•
US j L1
j L2 ZL
R1
R2
jXM I1 Z22I2 0
即反得映：阻I2抗
•
•
u1
u2
u2 n u1
i2 1 i1 n
i1 1: n i2
•
u1
u2
•
u2 n u1
i2 1 i1 n
7
说明
i1 n :1 i2
•
•
u1
u2
u1 n i1 1
u2
i2 n
i1 N1 : N2 i2
•
u1
u2
•
u1 N1
u2
N2
i1 N2 i2 N1
伏安关系式的几条规律：
• 电压方程的比值取决于匝数比，匝数与电压成正比； • 电压方程的符号取决于同名端，同名端电压极性相同； • 电流方程的比值取决于匝数比，匝数与电流成反比； • 电流方程的符号取决于同名端，同名端流入为负。
j2 1 A
•
j4 j2
•
B
- j4 j2
Z11 j4
US
I1
Z1 f
原边等效电路
Z1 f
X
2 M
Z22
4 4 1
ZAB 4 j4
3
例2
查等效电路
图示电路中, L1=10mH, L2= 4mH, M=6mH, =1000rad/s, 则 ZMN =___C___。
电路分析08-2空心变压器
R22 jX 22
X
2 M
R22
R222
X
2 22
j
X
2 M
X
22
R222
X
2 22
R1 f jX1 f
Z1f：二次侧对一次侧的反映阻抗。 R1f：反映电阻。恒为正 , 表示二次回路吸收的功率
是靠一次回路供给的。
X电1f抗：的反性映质电相抗反。。负号反映了引入电抗与二次回路
当线圈的耦合为零，或者二次开路时，反映阻抗 消失
jL2
X
2 M
Z11
U OC
I2
ZL
二次回路反映阻抗
二次侧等效电路
4
电 路 例 8-8
分析
查等效电路
求图示电路的输入阻抗 ZAB 。
j2 1 A
•
j4 j2
•
B
- j4 j2
Z11 j4
U S
I1
Z1 f
一次侧等效电路
Z1 f
X
2 M
Z22
4 4 1
ZAB 4 j4
5
电 路 例 题(自测题8-7)
3
电 路 二次侧等效电路
分析
返回
二次侧等效电路：
I1 j M I2
设：Z11 R1 jL1
•
•
Z22 R2 jL2 ZL R22 jX22 XM M 应用戴维南定理：
U S
j L1
R1
j L2 ZL
R2
U OC
j M I1
jXM
U S
R1 jL1
jXM Z11
U S
Z0
Z0
R2
电路 分析
8.3
空心变压器
空心变压器电路的分析
图13－11
例13-7 电路如图(a)所示。已知 uS (t ) 10 2 cos103 t V 。 试求电流i1(t),i2(t)和负载可获得的最大功率。
图13－18
解：将耦合电感 b、d两点相连，用去耦等效电路代替耦合 电感，得到图(b)相量模型。
等效电路中三个电感的阻抗为：
Z a j ( L1 M ) ( j4 j1) j3 Z b jM j1 Z c j ( L2 M ) ( j2 j1) j1
图13－16
解：画出相量模型，如图(b)所示。求出反映阻抗
Z ref
2M 2
Z 22
22 (1 j1) 2 j2
求出输入阻抗
Zi Z11 Z ref (1 j3 1 j1) (2 j2)
求出初级电流
U 10 0 S I1 A 2.5 2 45 A Zi 2 j2
(13 25)
图13－17(b)
得到图示戴维宁等效电路。根据最大功率传输
定理，当负载ZL与Zo共轭匹配，即 Z ＝ Z o L 可获得最大功率为 Pmax
2 U oc 4 Ro
*
例13-6 求图13-16电路中1.6负载电阻经调整获得的最大功 率。
图13－16
解：将1.6电阻断开，求含源单口网络的戴维宁等效电路。 求出开路电压
i1 (t ) 2 2 cos(103 t 53.1 )A i2 (t ) 2 2 cos(103 t 3.69 )A
为求负载可获得的最大功率，断开负载ZL=(0.6-j2)
求得
U oc j1 j10(2 j4) US V (2 j1)V 526.6 V 2 j4 20
空心变压器
Z eq U OC
2 I2 ZL
其中 Y11US 是在副边开路下的原边电流
Z eq
=
(ωM )2 Z11
+
R2
+
jωL2
2′
大小与同名端位置无关（电源置零条件下）
若要求负载获最大功率，应使 ZL = Zeq
3) 副边受控源等效电路：当先求出原电路的 I1 后，可得副边的互感电压。
1
⎧(ωM )2
二、反映阻抗
⎪⎪ ⎨ ⎪
Z 22 (ωM
)2
⎪⎩ Z11
= =
(ωM )2 副边回路的总阻抗
(ωM )2 原边回路的总阻抗
= =
Z2 f Z1 f
副边反映到原边的阻抗 原边反映到副边的阻抗
1）从物理意义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生感应电流，
反过来这个电流又影响原边电流电压。
2）反映阻抗说明了磁耦合对原副边的影响。其性质与原有阻抗相反，说明感应电流产生的
解：1）谐振是第一条件，应先使n2的
Zin = n22 (− j5) = − j20Ω
即发生并联谐振，∴ 4Ω
2） n1 原边可等效为
当 n12 × 4 = 100Ω 时，
n1的 Rin 会获最大功率，∴ n1 = 5 ，
Pm
=
42 4 ×100
=
1W 25
副边反映到原边的阻抗副边回路的总阻抗原边反映到副边的阻抗原边回路的总阻抗1从物理意义讲虽然原副边没有电的联系但由于互感作用使闭合的副边产生感应电流反过来这个电流又影响原边电流电压
§10－3 空心变压器
变压器：具有无电气连接的二回路耦合电路
⎧原边（初级）加电源 ⎨⎩副边（次级）接负载
空心变压器去耦等效电路
空心变压器去耦等效电路空心变压器去耦等效电路，听起来是不是有点复杂呢？别着急，咱们慢慢来，像喝茶一样细细品味。
想象一下，变压器就像一位魔术师，能把电流从一个地方搬到另一个地方，而且还可以变换电压，简直是电力界的超人。
不过，空心变压器就像是那种不带任何装饰的魔术师，外表简单，但内心却藏着不少秘密。
这空心变压器去耦等效电路，嘿，听起来就是个高大上的名词，其实就是为了让电流在两个不同的电路之间流动时，不互相干扰。
想想看，像两位在舞池中跳舞的小伙伴，如果他们各自的舞步不受对方影响，那岂不是能跳得更好？这去耦的作用，就是为了让电流能在“舞池”里自由自在，不被外界的干扰所打扰。
你瞧，电路中如果有干扰，那就像在大喧嚣的市场中，你想听到朋友的声音却听不清，烦得很。
这个去耦的设计，能让电流各自有各自的节奏，简直就是电路界的“清道夫”。
咱们把复杂的东西简单化，就像用一根绳子把两条鱼绑在一起，鱼能游得更远。
得提一下空心变压器的工作原理。
它没有铁心，像个空心的球，电流在里面来回穿梭。
这就好比你在一个大房间里打乒乓球，没墙壁反弹，球来球去，速度飞快。
而在去耦电路里，这种“空心”的状态就让电流更加灵活，不容易被其他电路的信号影响，像是在无阻碍的空间里自由飞翔。
去耦电路的实现嘛，得用一些电容和电感这些小玩意儿。
想象一下，电容就像个水库，能储存电流，电感就像个弹簧，能储存能量。
二者相互配合，形成了一个稳固的体系。
电流流过时，水库蓄水，弹簧收缩，整个过程就像一场优雅的芭蕾舞，流畅自然。
结果就是，电流在这舞台上大展身手，丝毫不受外界影响。
要是没有去耦电路，电流就会像个调皮的孩子，乱跑乱闹。
比如，一个信号要发送到另一端，却被旁边的信号给搞得七上八下，最后弄得一团糟。
这就好比你在聚会上想和朋友聊天，却总被其他人的喧闹声打断，真是心烦意乱。
所以，空心变压器去耦电路就像是一剂良药，能有效减轻这种“噪音”。
它把信号的“干扰”压到最低，让每一个信号都能独立发展，像是一个个小明星，各自闪耀光芒。
6空心变压器汇总
＋ －
* L1
M
*2 L
Z C
R
uS(t)
I
+
*
M jL1 jL2
*
ZL
U S
–
1/jC
（2）作去耦等效电路 R M jL1 jL2
100
j(L-20)
I
+
*
*
ZL
＋
j100
0
U S
–
1000 －
j20
－j20
1/jC
100 j(L-20) ＋ 10000 －
M L2 1 L1 L1 n
1 i1 ( t ) i2 ( t ) n
1 i1 ( t ) i2 ( t ) n
若i1、i2一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：
（3）变阻抗关系
I1
+
n:1
* *
I2
+
+
I1
Z
U1
–
U2
–
U1
–
n2Z
U n U U 2 2 1 2 2 n ( )n Z I 1 1 / nI 2 I2
Pmax 102 (4 10) 2.5W
解2
应用副边等效电路
U oc
(M ) 2 400 Zl 40 Z11 10
U OC U j 20 10 jM S j 20V Z11 10
(M ) 2 40 Z11
+
–
R2
当
Z l R2 40
40V
i (0 ) i (0 ) 40 1 1A 10 // 10 15 2
5.3空心变压器
I2
Z2
XM Z 11
2
解法二：副边等效电路法
jX M jM j 314 0.465 j146
1
U jX
M
Z11 R1 jL1 20 j1130
U
1
Z 22
Z 22 42.08 j18.84 46.124.1 Z
1
X M 6
R1 R1 '
22
PR2 I 1 R 1 ' 2 . 5 2 12.5W
2 2
PR2 I R 2
2 2
I2
PR2 R2
12 . 5 1 . 2 A 9
练
j1
j1 Zi
( M 2 ) Z 33
( M 1 ) Z 22
2
习
j2
Z 22 U
Z 11 Z 22 Z
Z 11
U
1 2
( M ) Z 22
5.3 空心变压器
二、空心变压器的电压电流方程
M
1
+ -
L1
L2
2
Z 11 I 1 Z M I 2 U 1
RL
U1
I1
1'
I2
2'
R1
R2
XL
Z M I 1 Z 22 I 2 0
j2
试计算图示电路的入端阻抗Z i
j3
j4
解：
Z2'
2 j1 j4
2
Z i2 j3 Z 2 ' j3 j j2
空心变压器
原边等 效电路
副边戴维宁 等效电路
副边受控源 等效电路
1)原边等效电路：只需把副边的阻抗折算到原边即反映阻抗 Z2 f
2)副边戴维宁等效电路：
U OC = Y11Z MU S 方向与同名端位置有关
Z eq U OC
2 I2 ZL
其中 Y11US 是在副边开路下的原边电流
Z eq
=
(ωM )2 Z11
§10－3 空心变压器
变压器：具有无电气连接的二回路耦合电路
⎧原边（初级）加电源 ⎨⎩副边（次级）接负载
，原边的电能是利用磁
耦合传递到副边的。
一、空心变压器（无铁心，线性， k < 1 ）的原副边去耦等效电路
设 Z11 = R1 + jωL1 原边线圈阻抗
Z22 = R2 + jωL2 + ZL 副边回路阻抗
+
R2
+
jωL2
2′
大小与同名端位置无关（电源置零条件下）
若要求负载获最大功率，应使 ZL = Zeq
3) 副边受控源等效电路：当先求出原电路的 I1 后，可得副边的互感电压。
1
⎧(ωM )2
二、反映阻抗
⎪⎪ ⎨ ⎪
Z 22 (ωM
)2
⎪⎩ Z11
= =
(ωM )2 副边回路的总阻抗
(ωM )2 原边回路的总阻抗
而 n1 副边等效为 R2 = 4Ω
2） n1 原边可等效为
当 n12 × 4 = 100Ω 时，
n1的 Rin 会00
=
1W 25
∵ 理想变压器为无源、无耗，∴ Rin 的功率即为 R2 的功率。
收音机上的负载—喇叭的匹配问题和此题类似。
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必作习题：第551~552页 习题十三：13 – 11 、 13 – 13 201032年– 1春4 节摄于成都人民公园
(Rj1MjI1L1)(IR1 2jjMLI22
U1 ZL)
I2
0
(13 18) (13 19)
求得
I2
R2
jMI1 jL2 ZL
jMI1
Z 22
(13 20)
Zi
U1 I1
R1
jL1
2M 2
Z 22
Z11 Zref
(13 21)
图13－15(a)
图13－15(b)
式中Z11= R1+jL1是初级回路阻抗，Zref是次级回路在
求出次级电流
I2
jMI1
Z 22
j2 2.5 2 45 2 j2
A
2.5A
最后得到：
i1(t) 5cos(10t 45 )A
i2 (t) 2.5 2 cos10tA
1.6负载电阻吸收的平均功率为
P
RL
I
2 2
1.6 2.52 W
10W
二、端接电源的空心变压器
现在讨论除负载以外含源单口网络的戴维宁等效电路。 该单口网络的相量模型如图13-17（a）所示。
初级回路的反映阻抗
Z ref
2M 2 R2 jL2 ZL
2M 2
Z 22
(13 22)
若负载开路，Z22, Zref=0，则Zi=Z11=R1+jL1，不
受次级回路的影响；
I1
U1 Zi
Z11
U1
2M 2
Z 22
(13 23)
再用式(13－20)即可求得次级电流 I2
I2
R2
jMI1 jL2 ZL
Zi
2
j3
j1(1 j1) 0.4 0.6
(3
j4)
I1
U S Zi
100 3 j4
A
2 53.1 A
I2
j1 j1 1
j1
I1
236.9 A
i1(t) 2 2 cos(103t 53.1 )A i2 (t) 2 2 cos(103t 3.69 )A
为求负载可获得的最大功率，断开负载ZL=(0.6-j2)
图13－17
U oc
jMI1
jMU S R1 jL1
(13 24)
Zo
R2
jL2
2M 2 R1 jL1
Ro
jX o
(13 25)
图13－17(b)
得到图示戴维宁等效电路。根据最大功率传输
定理，当负载ZL与Zo共轭匹配，即
*
Z L＝Z o
可获得最大功率为
Pmax
U
2 oc
4Ro
例13-6 求图13-16电路中1.6负载电阻经调整获得的最大功 率。
jMI1
Z 22
(13 20)
若改变图13－15(a)电路中同名端位置，则式(13－18)、
(13－19)和(13－20)中M 前的符号要改变。但不会影响输
入阻抗、反映阻抗和等效电路。
Zi
U1 I1
R1
jL1
2M
Z 22
2
Z11 Zref
(13 21)
例13－5 电路如图13-16(a)所示。已知 uS (t) 10 2 cos10t V 试求：(l) i1(t),i2(t)；
§13－4 空心变压器电路的分析
不含铁心(或磁芯)的耦合线圈称为空心变压器，它在 电子与通信工程和测量仪器中得到广泛应用。空心变压器 的电路模型如图所示，R1和R2表示初级和次级线圈的电阻。
图13－14
一、端接负载的空心变压器
空心变压器次级接负载的相量模型如图所示。
图13－15(a)
该电路的网孔方程为：
图13－18
解：将耦合电感 b、d两点相连，用去耦等效电路代替耦合 电感，得到图(b)相量模型。
等效电路中三个电感的阻抗为：
Za j(L1 M ) ( j4 j1) j3 Zb jM j1 Zc j(L2 M ) ( j2 j1) j1
图13－18
用阻抗串并联和分流公式求得：
图13－16
解：将1.6电阻断开，求含源单口网络的戴维宁等效电路。 求出开路电压
U oc
jMU S R1 jL1
j2 10 1 j3
V 6.32518.44
V
用与输入阻抗相类似的公式计算输出阻抗
Zo
R2
jL2
2M 2 R1 jL1
(0.4 j2 4 ) (0.8 j0.8) 1 j3
求得
U oc
2
j1 j4
U
S
j10(2 20
j4) V
(2
j1)V
526.6 V
j1(2 j3)
Zo 0.4 j1
2 j4
(0.5 j1.8) 根据最功率传输定理，当负载为ZL
*
Zo
(0.5
j时1.8)
可获得最大功率
Pmax
U
2 oc
4Ro
5 W 2.5W 4 0.5
(2) 1.6负载电阻吸收的功率。
图13－16
解：画出相量模型，如图(b)所示。求出反映阻抗
Z ref
2M 2
Z 22
22 (1 j1) 2 j2
求出输入阻抗
Zi Z11 Zref (1 j3 1 j1) (2 j2)
求出初级电流
I1
U S Zi
100
2 j2
A
2.5
2 45 A
*
当 ZL＝Z o (0.8 j0.8) 时获得最大功率
Pmax
U
2 oc
4Ro
(6.325) 2 4 0.8
W 12.5W
三、用去耦等效电路简化电路分析
含耦合电感的电路，若能将耦合电感用去耦等效电路 代替，可避免使用耦合电感的VCR方程，常可简化电路分 析。现举例说明
图13－11
例13-7 电路如图(a)所示。已知 uS(t) 10 2 cos103t V 。 试求电流i1(t),i2(t)和负载可获得的最大功率。