高考数学压轴专题(易错题)备战高考《集合与常用逻辑用语》分类汇编含答案解析

《集合与常用逻辑用语》考试知识点

一、选择题

1．“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

试题分析：由x ＜﹣1，知x 2﹣1＞0，由x 2﹣1＞0知x ＜﹣1或x ＞1．由此知“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的充分而不必要条件．

解：∵“x ＜﹣1”?“x 2﹣1＞0”，

“x 2﹣1＞0”?“x ＜﹣1或x ＞1”．

∴“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的充分而不必要条件．

故选A ．

点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用，解题时要注意基本不等式的合理运用．

2．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ）

A ．充要条件

B ．充分不必要条件

C ．必要不充分条件

D ．既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】

【分析】

根据直线平行的等价条件，求出m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【详解】

当m=1时，两直线方程分别为直线l 1：x+y ﹣1=0，l 2：x+y ﹣2=0满足l 1∥l 2，即充分性成立，

当m=0时，两直线方程分别为y ﹣1=0，和﹣2x ﹣2=0，不满足条件．

当m≠0时，则l 1∥l 2?

32211m m m --=≠-， 由

321m m m -=得m 2﹣3m+2=0得m=1或m=2， 由211

m -≠-得m≠2，则m=1， 即“m=1”是“l 1∥l 2”的充要条件，

故答案为：A

【点睛】

（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.

3．记全集{1,2,3,4,5,6,7,8},U =集合{1,2,3,5},{2,4,6},A=B =则图中阴影部分所表示的集合是( )

A ．{4,6,7,8}

B ．{2}

C ．{7,8}

D ．{1,2,3,4,5,6}

【答案】C

【解析】

【分析】

根据图像可知，阴影部分表示的是()U C A B ?,由此求得正确结论.

【详解】

根据图像可知，阴影部分表示的是()U C A B ?,{}1,2,3,4,5,6A B =U ,故(){}7,8U C A B ?=，故选C.

【点睛】

本小题主要考查集合的并集和补集的概念即运算，考查图像所表示集合的识别，属于基础题.

4．已知命题:,sin cos 10p x R x x ?∈++…

；命题:q 直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是5m =-；则下列命题中是真命题的是（ ）

A ．p

B ．()p q ∨?

C ．()p q ?∧

D ．p q ∧

【答案】C

【解析】

【分析】

由辅助角公式化简命题p ，利用特殊值判断命题p 为假命题；根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式，可求得m 的值，判断出命题q 为真命题.即可由复合命题真假判断选项.

【详解】

命题:,sin cos 10p x R x x ?∈++≥ 由辅助角化简可得sin cos 1214x x x π??++=++ ??

?，

可知当34x π=-104x π??++< ??

?，故p 为假； 命题:q 直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是

5m =-

若直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切，则

d == 即|1|4d m =+=，解得3m =或5m =-，故q 为真，

故()p q ?∧为真，

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角函数式的化简，根据直线与圆位置关系求参数的值，充分必要条件的判定，复合命题真假的判断，综合性强，属于中档题.

5．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ）

A ．充要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分不必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断.

【详解】

22x y +≥Q 且224x y +≤ ，

422x y ∴≤≤?+≤ ，

等号成立的条件是x y =，

又x y +≥Q ，0,0x y >>

21xy ∴≤?≤ ，

等号成立的条件是x y =,

2241x y xy ∴+≤?≤， 反过来，当12,3

x y ==

时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.

故选:C

【点睛】

本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.

6．集合{}|12A x x =-<，1393x B x

??=<

B ．()1,2-

C ．()1,3

D ．()1,3-

【答案】B

【解析】

【分析】 计算得到{}13A x x =-<<，{}

12B x x =-<<，再计算A B I 得到答案.

【详解】 18{}13x x =-<<，{}139123x B x x x ??=<<=-<

， 故()1,2A B =-I .

故选：B .

【点睛】

本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.

7．“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的（ ）

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 【答案】B

【解析】

【分析】

根据直线与圆相切，求得1c =或3c =，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.

【详解】

由题意，圆()()22212x y -++=的圆心坐标为(2,1)-，

当直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=相切，可得d r =，

即d ==12c +=，解得1c =或3c =，

所以“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的充分不必要条件.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

8．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q x

x ??=>??-??，则P Q I 为( ) A ．()0,2

B ．()1,9

C ．()1,4

D ．()1,2 【答案】D

【解析】

【分析】

集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分.

【详解】

解：{}19P x x =<<，{}

02Q x x =<<； ()1,2P Q ∴?=.

故选：D.

【点睛】

本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.

简单对数不等式问题的求解策略：

(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．

(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．

分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.

9．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，

内单调递增，:5q m ≥-，则p 是q 的（ ）

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】

试题分析：2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在内单调递增，则

，即在(0)+∞，

上恒成立，令

,由于，则， ，则，则，设的最大值为N ，则必有，则的取值范围是，所以p 是q 的必要不充分条件． 考点：1．导数与函数的单调性；2．均值不等式；3．估算法；4．充要条件与集合的包含

关系；

10．下面说法正确的是（ ）

A ．命题“若0α=，则cos 1α=”的逆否命题为真命题

B ．实数x y >是22x y >成立的充要条件

C ．设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ?∧?”也为假命题

D ．命题“0x R ?∈，使得20010x x ++≥”的否定是“x R ?∈，使得210x x ++≥”

【答案】A

【解析】

【分析】

对每一个选项逐一分析判断得解.

【详解】

A. 命题“若0α=，则cos 1α=”是真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以该选项正确；

B. 由22x y >得x y >或x y <-，所以实数x y >是22x y >成立的充分不必要条件，所以该选项错误；

C. 设p ，q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则,p q 都是假命题，则“p q ?∧?”为真命题，所以该选项错误；

D. 命题“0x R ?∈，使得20010x x ++≥”的否定是“x R ?∈，使得210x x ++<”，所以该

选项错误.

故选：A

【点睛】

本题主要考查四种命题及其关系，考查充要条件的判断，考查复合命题的真假的判断，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

11．“a ＜0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的( )

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

当0a <时，方程210ax +=，即21x a

=-，故此一元二次方程有一个正根和一个负根，

符合题意；当方程210ax +=至少有一个负数根时，a 不可以为0，从而21x a =-，所以0a <，由上述推理可知，“0a <”是方程“210ax +=至少有一个负数根”的充要条件，故选

C.

12．已知命题2000:,10p x R x x ?∈-+≥；命题:q 若a b <，则11a b

>，则下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧

B ．p q ∧?

C ．p q ?∧

D ．p q ?∧? 【答案】B

【解析】 因为22

2131331()44244

x x x x x -+=-++=-+≥，所以命题p 为真；1122,22--∴Q 命题q 为假，所以p q ∧?为真，选B.

13．已知a ，b 为实数，则01b a <<<，是log log a b b a >的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】

【分析】

通过正向与反向推导来验证充分与必要条件是否成立即可

【详解】

若01b a <<<，则lg lg b a <，lg lg 1,1lg lg b a a b >> ，lg lg log log lg lg a b b a b a a b >?>， 显然o 0l g lo 1g a b b a b a <><

但log log a b b a >时，比如说2,3a b ==时，却推不出01b a <<<，必要条件不成立 所以01b a <<<是log log a b b a >的充分不必要条件

【点睛】

本题考查充分与必要条件的判断，推理能力与计算能力，由于参数的不确定性，故需要对参数进行讨论

14．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ? q ”为真，则p 是q 的充分条件．

15．下列四个命题中真命题的个数是

①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则； ②命题“,cos 1?x R x ?∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ?∈>

③命题“(,0)x ?∈-∞，23x x <”是假命题.

④命题[):1,,lg 0"p x x ?∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ?∈++<，则p q ∨为真命题 A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 【答案】D

【解析】

【分析】

根据四种命题的关系进行判断．

【详解】

①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则，正确；

②命题“,cos 1?x R x ?∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ?∈>，正确；

③命题“(),0x ?∈-∞，23x x <”是假命题，正确.

④命题[):1,,lg 0"p x x ?∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ?∈++<，p 是真命题， 则p q ∨为真命题，正确．

因此4个命题均正确．

故选D ．

【点睛】

本题考查四种命题及其关系，解题时可根据四种命题的关系进行判断①②，同指数函数的性质判断③，由或命题的真值表判断④，是解此类题的一般方法，本题属于基础题．

16．已知曲线C 的方程为22121x y m m

+=-，现给出下列两个命题：p ：102m <<是曲线C 为双曲线的充要条件，q ：12

m > 是曲线C 为椭圆的充要条件，则下列命题中真命题的是（ ）

A ．()()p q ?∧?

B ．()p q ?∧

C ．()p q ∧?

D ．p q ∧

【答案】C

【解析】

【分析】

根据充分必要条件及双曲线和椭圆定义，分别判定命题p 与命题q 的真假，进而判断出复合命题的真假．

【详解】

若曲线C 为双曲线，则()210m m -< ，可解得102m <<

若102

m <<，则()210m m -<，所以命题p 为真命题 若曲线C 为椭圆，则12

m >

且m≠1，所以命题q 为假命题 因而()p q ∧?为真命题

所以选C

【点睛】 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程，充分必要条件的判定，属于基础题．

17．已知圆222:(1)(0)C x y r r +-=>，设:0p r <

直线30x y ++=p 是q 的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 【答案】C

【解析】

【分析】

由圆C 的圆心为(0,1)，得到其到直线30x y ++=的距离为“,r d ”法，分析当

0r <<，r =r <<，r =r >时，圆C 上的点到直线30x y ++=

的个数，再根据逻辑条件的定义求解.

【详解】

圆C 的圆心为(0,1)，其到直线30x y ++=的距离为．

当0r <<；

当r =；

r <时，圆上有2；

当r =3；

当r >，圆上有4．

若圆C 上至多有2个点到直线30x y ++=的距离为2，则0r <<

所以p 是q 的充要条件．

故选：C ．

【点睛】

本题主要考查逻辑条件以及直线与圆的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.

18．在ABC ?中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】 由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.

【详解】

Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，

由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >.

因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】

本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.

19．定义在R 上的函数()y f x =满足()555,0222f x f x x f x ??????+=--> ? '? ??????

?，任意的12x x <都有()()12f x f x >是125x x +<的 （ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】 因为()5,02x f x '>>； ()5,02x f x '<<，且()f x 关于52

x =对称，所以12x x <时， ()()12f x f x > ()212212125555,555222

f x x x x x x x x <>=-??-<∴<-?+< 反之也成立： 12x x <时，

()()()1212121225555,,55222

x x x x x x f x f x f x +-<-=<>，所以选C. 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．

20．已知命题:p 函数()20.5log 2y x x a =++的定义域为R ，命题:q 函数()52x y a =--是减函数.若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，p ?为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．1a ≤

B ．12a <<

C ．2a <

D ．1a ≤或2a ≥

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意知p 为假命题，q 为真命题.

由p 为假命题，即：220x x a ++>不恒成立，故4401a a ?=-≥?≤ . q 为真命题，即： 5212a a ->?<.由此便可得出答案.

【详解】

由p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，p ?为真命题，得p 为假命题，q 为真命题. 由p ：函数()

20.5log 2y x x a =++为假命题得，220x x a ++>在R 上不恒成立.即4401a a ?=-≥?≤.

由:q 函数()52x y a =--是减函数，即：()52x

y a =-是增函数，即5212a a ->?<. 两者取交集得：1a ≤.

故选：A

【点睛】

本题主要考查逻辑联结词“或”、“且”、“非”，属于中档题目.