抛物线与平行四边形
抛物线中平行四边形存在性问题的求解策略
4
9
（3）∵ PQ 的 长 为 0<PQ≤ 的 整
4
数，
∴PQ=1 或 PQ=2.
①如图 2，当 PQ=1 时，分别过点
D、Q、P 作 PQ、DP、DQ 的平行线，平
行线两两相交于点 R1、R2、R3，∵PQ⊥
图2
x 轴，∴R1R2 ⊥x 轴，根据平行四边形
的性质，得 D R1=D R2=1，∵D（-2，-3），∴点 R（-2，
OC=4，OA=2，OB=3，点 P 是 CD 上一点，求 2PA+PB 的最
小值，画出示意图并写出求解过程 .
图6
解析：如图 6，在 AB 上截取 BF=1，连接 PF，PC，∵AB
PB 1 BF
=9，PB=3，BF=1，∴
= =
，且 ∠ABP= ∠ABP，∴
AB
3 BP
FP BP 1
1
1
△ ABP∽ △ PBF，∴
=
= ，∴ PF= AP，∴ AP +
AP AB 3
3
3
1
PC=PF+PC，∴当点 F，P，C 三点共线时， AP+PC 的值
3
1
最小，∴CF= BF 2 + BC 2 = 1 + 49 = 5 2 ，∴ AP+PC
3
的最小值为 5 2 .
评注：本题中系数不为 1 的线段中的系数 k 决定了
1
构造相似三角形的相似比 . 若系数 k 是 ，就构造一个相
（1）求直线 AD 及抛物线的解析式；
（2）过点 P 的直线垂直于 x 轴，交抛物线于点 Q，求
线段 PQ 的长度 l 与 m 的关系式，m 为何
难点攻关 抛物线与平行四边形【含答案】
难点攻关 抛物线与平行四边形
近年中考试题中常常出现抛物线与平行四边形组合的压轴题，
1. 在平面直角坐标系xoy 中，点C ，B 的坐标分别为(-4,0)，(0,2)．四边形ABCO 是平行四边形，抛物线过A ，B ，C 三点，与x 轴交于另一点D ．一动点P 以每秒1个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q
从点D 出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC 向点C 运动，与点P 同
时停止．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴与AB 交于点E ，与x 轴交于点F ，当点P 运动时间t
为何值时，四边形POQE 是等腰梯形？
(3)当t 为何值时，以P ，B ，O 为顶点的三角形与以点Q ，B ，O 为顶点的三角形相似？ 解：(1)∵四边形ABCO 是平行四边形，∴OC=AB=4．
∴A(4,2)，B(0,2)，C(-4,0)．
∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点B(0,2)，∴c=2．
由题意，有⎩⎨⎧16a−4b+2＝0
16a+4b+2＝2 解得: ⎪⎨⎪⎧a=－1
16
b=14
∴⎩⎪⎨⎪⎧a−b+c ＝025a+5b+c ＝0c ＝−52 解得 : ⎩⎨⎧a=12b=－2c=－52。
抛物线中平行四边形问题精选课件
类型二 两定两动
例2. 如图，平面直角坐标系中，y=-0.25x2+x与x轴相交于点B(4,0)，点 Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，且以点O,B,Q,P为顶点的四边 形为平行四边形，写出相应的点P 的坐标
已知B(4,0), O(0,0)
设Q(2,a), P(m,-0.25m2+m)
①点B与点O相对
动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P,Q,B,O为顶点的四
边形为平行四边形，写出相应的Q的坐标
已知B(0,-4), O(0,0)
设Q(a,-a), P(m,0.5m2+m-4)
①点B与点O相对
00ma 400.5m2m4a
a1 a
2
4 0
舍
②点B与点P相对
0m0a 40.5m2m40a
分两种情况讨论（1）AB为平行四边形的边，将AB上下左右平移，确定P，Q的位置 （2）若AB为平行四边形的对角线，取AB中点，旋转经过中点的直线确定P,Q的位置
A B
A B
二、集思广益 探究发现
• 1、线段的中点公式
平面直标 角面 中 坐， Ax1,y1,Bx2,y2,则线A段 B的中P点 的
坐标P为 x1x2 y1y2 ,
402m
m
00a0.25m2
m
a
2 1
②点B与点Q相对 420m
m 6
0a00.25m2 m a 3
③点B与点P相对
4m02 00.25m2 m0a
m
a
2 3
∴P1(2,1), P2(6,-3), P3(-2,-3)
变式训练2
如图，平面直角坐标系中，y=0.5x2+x-4与y轴相交于点B(0,-4),点P是抛物线上的
1.抛物线与平行四边形
抛物线与平行四边形问题1.中点坐标公式如左图，在平面直角坐标系xOy 中，11(,)A x y ，22(,)B x y ，点M 为线段AB 的中点，则1212(,)22x x y y M ++.水平线段=左右x x -竖直线段=下上y y - 2.对角线互相平分的四边形是平行四边形.如右图，在平面直角坐标系xOy 中，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点M ，则M 的坐标可以表示为(,)22A C A C x x y y M ++，也可以表示为(,)22B D B D x x y y M ++.若四边形ABCD 为平行四边形，则AC BD x x x x +=+且A C B D y y y y +=+；重点：若A C B D x x x x +=+且A C B D y y y y +=+，则四边形ABCD 为平行四边形.1.如图，直线y=-3x+3与x 轴、y 轴分别交于点A，B.抛物线y=a(x-2)²+k 经过A,B，并与x 轴交于另一点C，求点Q 坐标，使得以A,B,C,Q 为顶点的四边形是平行四边形．变式1：如图，直线y=-3x+3与x 轴、y 轴分别交于点A，B.抛物线y=a(x-2)²+k 经过A,B，并与x 轴交于另一点C，M，N 分别是抛物线及其对称轴上的点，求点M 坐标，使得以A,C,M,N 为顶点的四边形是平行四边形．2.抛物线c bx x ++=221y 经过点A（-4,0），点B 在y 轴上，且OA=OB，直线AB 与抛物线交于点C，且点C 的横坐标为2，求点N 坐标，使得以A,O,C,N 为顶点的四边形是平行四边形.变式2：抛物线c bx x ++=221y 经过点A（-4,0），点B 在y 轴上，且OA=OB，直线AB 与抛物线交于点C，且点C 的横坐标为2，M，N 分别是抛物线及其对称轴上的点，求点M 坐标，使得以A,0,M,N 为顶点的四边形是平行四边形．3.如图，抛物线c bx ax ++=2y 与直线623y +-=x 交于B,C 两点，抛物线的对称轴为直线x=1，点D 是抛物线上一点，且点D 横坐标为3，若M 是x 轴上一动点，N 是抛物线上一动点，求点M 坐标，使得以B,D,M,N 为顶点的四边形是平行四边形？4.如图，抛物线32y 2--=x x 与x 轴相交于A,B 两点，与y 轴相交于点C ，若点D 是抛物线对称轴上一动点，点G 为抛物线上的一点，求点G 坐标,使得以B,C,D,G 为顶点的四边形是平行四边形？5.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.。
九年级数学抛物线中平行四边形存在性问题习题
抛物线中平行四边形存在性问题习题1.如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x 2+2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在这条抛物线上，点P 在y 轴上，如果以点P 、M 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．2.（2019·内蒙古中考真题）已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．3.（2019·广西中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标.4.（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y ＝x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；5.（2019·四川中考真题）如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+． ①求抛物线的解析式．于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线③过点A作AM BCAM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．。
两定两动畅游在抛物线上的平行四边形课件
数学建模中两定两动平行四边形的应用有助于解决实际问题。
详细描述
在数学建模中，两定两动平行四边形可以用于解决一些实际问题，如建筑设计、机械运动等。通过设定两个定点 和两个动点，可以构建出满足特定条件的平行四边形，进一步建立数学模型，为解决实际问题提供理论支持。
总结与展望
本章总结
01
02
介绍了抛物线的基本概 念和平行四边形的性质。
平行四边形的相对边平行于抛 物线的对称轴，且相对顶点沿 抛物线轨迹运动。
随着相对顶点的移动，平行四 边形的大小和形状会发生变化， 但仍然保持平行四边形的特性。
两定两动平行四边形在抛物线上的运动轨迹
固定在抛物线对称轴上的两个顶 点，其运动轨迹是垂直于对称轴
的两条直线。
另外两个顶点沿抛物线轨迹运动， 其运动轨迹是抛物线的一部分。
两定两动平行四边形在抛 物线上的应用
两定两动平行四边形在几何作图中的应用
总结词
几何作图中的两定两动平行四边形是解决复杂几何问题的重 要工具。
详细描述
在几何作图中，两定两动平行四边形可以用于解决一些复杂 的几何问题，如作图、证明等。通过合理设定两个定点和两 个动点，可以构造出满足特定条件的平行四边形，进而解决 一系列的几何问题。
两定两动平行四边形的性质
01
02
03
性质1
两定两动平行四边形具有 平行四边形的所有性质， 如对边相等、对角相等、 对角线互相平分等。
性质2
由于其中一个顶点是动点， 因此两定两动平行四边形 具有一个顶点在抛物线上 的性质。
性质3
两定两动平行四边形的面 积等于两个定点之间的距 离乘以顶点到定点的距离。
通过两定两动的设定， 详细阐述了如何在抛物 线上构造平行四边形。
抛物线与平行四边形存在性问题解题策略
抛物线与平行四边形存在性问题解题策略1．（2015•德州）已知抛物线y=﹣mx2+4x+2m与x轴交于点A（α，0），B（β，0），且=﹣2，（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l，与y 轴的交点为C，顶点为D，点C 关于l 的对称点为E，是否存在x 轴上的点M，y 轴上的点N，使四边形DNME 的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标．2．（2015•重庆B）如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.点D 和点 C 关于抛物线的对称轴对称，直线 AD 与y 轴相交于点 E.（1）求直线 AD 的解析式；（2）如图 1，直线 AD 上方的抛物线上有一点 F，过点 F 作F G⊥A D于点 G，作 FH 平行于 x 轴交直线 AD 于点 H，求△FGH的周长的最大值；（3）点 M 是抛物线的顶点，点 P 是 y 轴上一点，点 Q 是坐标平面内一点，以 A，M，P，Q 为顶点的四边形是 AM 为边的矩形，若点 T 和点Q 关于AM 所在直线对称，求点 T 的坐标.3.（2014连云港））已知二次函数y=x2+bx+c，其图像抛物线交x轴的于点A（1，0）、B（3，0），交y轴于点C.直线l 过点 C，且交抛物线于另一点 E（点E 不与点 A、B 重合）.(1)求此二次函数关系式；(2)若直线l1 经过抛物线顶点 D，交x 轴于点 F，且l1 ∥ l ，则以点 C、D、E、F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点 E 的坐标；若不能，请说明理由.(3)若过点 A 作AG⊥x 轴，交直线l 于点 G，连 OG、BE，试证明OG∥BE.4.（2016 常州武进）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝kx－7 与y 轴交于点C，与x 轴交于点B．抛物线y ＝a x2 ＋bx＋14a 经过B、C 两点，与x 轴的正半轴交于另一点A，且OA：OC＝2∶7．⑴ 求抛物线的解析式；⑵ 点 D 在线段BC 上，点P 在对称轴右侧的抛物线上，PD＝PB．当tan∠PDB＝2 时，求点P 的坐标；⑶ 在⑵的条件下，点Q（7，n）在第四象限内，点R 在对称轴右侧的抛物线上，若以点P、D、Q、R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q、R 的坐标．5．（2016东营）在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；（2）点M 时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M 在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M 的坐标；（3）若P 为抛物线上一动点，N 为x 轴上的一动点，点Q 坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N 的坐标．6．（2016龙岩）已知抛物线y=﹣+bx+c与y轴交于点C，与x轴的两个交点分别为A（﹣4，0），B（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P 在抛物线上，连接PC，PB，若△PBC 是以BC 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标；（4）已知点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，是否存在以A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2016贵州安顺）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC 的值最小，求点P 的坐标；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2016茂名）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE 交x 轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C 三点的抛物线的函数表达式；（2）点P 是线段BD 上一点，当PE=PC 时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P 作PF⊥x 轴于点F，G 为抛物线上一动点，M为x 轴上一动点，N为直线PF 上一动点，当以F、M、N、G 为顶点的四边形是正方形时，请求出点M 的坐标．9、（2014 潍坊）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠O）与y 轴交于点C(O，4)，与x 轴交于点A 和点B，其中点A 的坐标为（－2,0），抛物线的对称轴x=1 与抛物线交于点D，与直线BC 交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)若点F 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F 使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE 的一条动直线Z 与直线BC 相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标。
难点攻关 抛物线与平行四边形
难点攻关 抛物线与平行四边形
近年中考试题中常常出现抛物线与平行四边形组合的压轴题，
1. 在平面直角坐标系xoy 中，点C ，B 的坐标分别为(-4,0)，(0,2)．四边形ABCO 是平行四边形，抛物线过A ，B ，C 三点，与x 轴交于另一点D ．一动点P 以每秒1个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q 从点D 出发，以每秒3个单位长
度的速度沿DC 向点C 运动，与点P 同时停止．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴与AB 交于点E ，与x 轴交于点F ，当点P 运动时间t
为何值时，四边形POQE 是等腰梯形？
(3)当t 为何值时，以P ，B ，O 为顶点的三角形与以点Q ，B ，O 为顶点的三角形相似？
解：(1)∵四边形ABCO 是平行四边形，∴OC=AB=4．
∴A(4,2)，B(0,2)，C(-4,0)．
∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点B(0,2)，∴c=2．
由题意，有⎩⎨⎧16a−4b+2＝016a+4b+2＝2 解得: ⎩⎪⎨⎪⎧a=－116b=14
∴⎩⎪⎨⎪⎧a−b+c ＝025a+5b+c ＝0c ＝−52
解得 :
⎨⎧a=12b=－2c=－52。
抛物线中平行四边形问题品质课件PPT
402m
m
00a0.25m2
m
a
2 1
②点B与点Q相对 420m
m 6
0a00.25m2 m a 3
③点B与点P相对
4m02 00.25m2 m0a
m
a
2 3
∴P1(2,1), P2(6,-3), P3(-2,-3)
变式训练2
如图，平面直角坐标系中，y=0.5x2+x-4与y轴相交于点B(0,-4),点P是抛物线上的
• 例1 如图，平面直角坐标系中，已知点A(-1,0),B(1,-2),C(3,1),点D
是平面内一动点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边
形，则点D的坐标是__(-_3_,-_3)_,(_1_,3_),_(5,-1)
设点D（x,y)
①点A与点B相对 11 3 x 02 1 y
②点A与点C相对13 1 x 01 2 y
抛物线中 平行四边形存在性问题
一、画图引领 温故知新
• 1、已知平面上不共线三点A、B、C，求一 点D，使得A、B、C、D四个点组成平行四
边形
连接AB,AC,BC，分别过点A,B,C作对边的平行线，三条平行线的交点即为所有点D
D1
A
D2
B
C
D3
• 2、已知平面上两个点A,B，求两点P,Q，使 得A,B,P,Q四个点组成平行四边形（题目中 P，Q的位置有具体的限制）
x 3
y
3
D2 C
A
x 1
y
3
D1
B
D3
说明：若题中四边形ABCD是平行四边形，
则点D的坐标只有一个结果__(1,3)
③点A与点D相对 1 x 13 x 5
2020年中考数学压轴题专题之抛物线上的特殊平行四边形问题探究
抛物线上的特殊平行四边形问题探究专题导入导图：给出两点确定平行四边形关系如下图：导例如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．图1 图2思路点拨1．求抛物线的解析式，设交点式比较简便．2．把△MAB分割为共底MD的两个三角形，高的和为定值O A．3．当PQ与OB平行且相等时，以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q 的上下位置关系，分两种情况列方程．答案：(1) 因为抛物线与x轴交于A(－4,0)、C(2,0)两点，设y＝a(x＋4)(x－2)．代入点B(0,－4)，求得12a =．所以抛物线的解析式为211(4)(2)422y x x x x =+-=+-． (2)如图2，直线AB 的解析式为y ＝－x －4．过点M 作x 轴的垂线交AB 于D ，那么2211(4)(4)222MD m m m m m =---+-=--．所以2142MDA MDB S S S MD OA m m ∆∆=+=⋅=--2(2)4m =-++．因此当2m =-时，S 取得最大值，最大值为4．(3) 如果以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ //OB ，PQ ＝OB ＝4． 设点Q 的坐标为(,)x x -，点P 的坐标为21(,4)2x x x +-． ①当点P 在点Q 上方时，21(4)()42x x x +---=．解得225x =-±．此时点Q 的坐标为(225,225)-+-（如图3），或(225,225)--+（如图4）． ②当点Q 在点P 上方时，21()(4)42x x x --+-=．解得4x =-或0x =（与点O 重合，舍去）．此时点Q 的坐标为(－4,4) （如图5）．图3 图4 图5典例类型一：已知“两点”判断平行四边形存在性问题例1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2+mx +n 经过点A （3，0）、B （0，﹣3），点P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点P 的横坐标为t ． （1）分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式．（2）若点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积．（3）是否存在这样的点P ，使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM 的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=32时，PM最长为=94，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．类型二：菱形的存在性问题例2 如图2所示，直线y＝x＋c与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c 经过点A，C.(1)求抛物线的解析式；(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE＋OE的最小值；(3)如图2所示，点M是线段OA上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N.若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．注：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）【分析】（1）把已知点坐标代入解析式；（2）取点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′，由两点之间线段最短，最小值可得；（3）①由已知，注意相似三角形的分类讨论．②设出M坐标，求点P坐标．注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的．本题即为研究△CPN为等腰三角形的情况．类型三：正方形的存在性问题例3如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），①如图2，若点P 在直线AB 上方，连接OP 交AB 于点D ，求的最大值；②如图3，若点P 在x 轴的上方，连接PC ，以PC 为边作正方形CPEF ，随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E 或F 恰好落在y 轴上，直接写出对应的点P 的坐标．【分析】（1）利用直线解析式求出点A 、B 的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2）作PF ∥BO 交AB 于点F ，证△PFD ∽△OBD ，得比例线段，则PF 取最大值时，求得的最大值；（3）（i ）点F 在y 轴上时，P 在第一象限或第二象限，如图2，3，过点P 作PH ⊥x 轴于H ，根据正方形的性质可证明△CPH ≌△FCO ，根据全等三角形对应边相等可得PH ＝CO ＝2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii ）点E 在y 轴上时，过点PK ⊥x 轴于K ，作PS ⊥y 轴于S ，同理可证得△EPS ≌△CPK ，可得PS ＝PK ，则P 点的横纵坐标互为相反数，可求出P 点坐标；点E 在y 轴上时，过点PM ⊥x 轴于M ，作PN ⊥y 轴于N ，同理可证得△PEN ≌△PCM ，可得PN ＝PM ，则P 点的横纵坐标相等，可求出P 点坐标．由此即可解决问题． 专题突破1、如图，抛物线2y x bx c =-++与直线122y x =+交于,C D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为7(3,)2。
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1、（2011陕西）如图，二次函数x x y 3
1
322-=
的图象经过△AOB 的三个顶点，其中A （-1，m ），B （n ，n ）。
（1）求点A 、B 的坐标；
（2）在坐标平面上找点C ，使以A 、O 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形。
①这样的点C 有几个？
②能否将抛物线x x y 3
1
322-=平移后经过A 、C 两点？若能，
求出平移后经过A 、C 两点的一条抛物线的解析式，若不能，
说明理由。
2．（2011广东）如图，抛物线14
17
452++-
=x y 与y 物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (3，（1）求直线AB 的函数关系式；
（2）动点P 在线段OC 点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N . 为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？
问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 由.
3．（2011兰州）如图所示，在平面直角坐标系X0Y 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点A 、C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线2
y ax bx c =++经过点A 、B 和D （4，23
-
）. （1）求抛物线的表达式.
（2）如果点
P 由点A 出发沿AB 边以2cm/s 的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，
另一点也随之停止运动，设S=2PQ (2
cm ).
①试求出S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围； ②当S 取
5
4
时，在抛物线上是否存在点R ，使得以点P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由.
（3）在抛物线的对称轴上求点M ，使得M 到D 、A 的距离之差最大，求出点M 的坐标. 4.（2011南宁）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2
＋mx ＋n 经过点A (3，0)、B (0，
－3)，点P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点P 的横坐标为t ．
(1)分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式．
(2)若点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积．
(3)是否存在这样的点P ，使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2009江西）如图，抛物线2
23y x x =-++与x 轴相交于A 、在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D .
（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？
②设BCF △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式.
6.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（-4，0），B（0，-4），C （2，0）三点
（1）求抛物线的解析式
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值
（3）若点P时抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标。