第1讲极限与连续(2014考研)
考研数学极限与连续的知识点
考研数学极限与连续的知识点在考研数学中，极限与连续是非常重要的基础知识点，理解和掌握好这部分内容对于后续的学习和解题至关重要。
接下来，咱们就来详细聊聊这部分的知识。
一、极限的概念极限是描述函数在某个过程中变化趋势的数学概念。
简单来说，就是当自变量无限接近某个值时，函数值无限接近的那个数。
比如，当 x 趋近于 1 时，函数 f(x) ＝ x ＋ 1 的极限就是 2。
极限有多种类型，比如数列的极限和函数的极限。
数列的极限就是当项数 n 无限增大时，数列的通项无限接近某个值。
对于函数的极限，又分为左极限和右极限。
左极限是指自变量从左边无限趋近于某个值时函数的极限，右极限则是从右边趋近时的极限。
函数在某点的极限存在，当且仅当左极限和右极限都存在且相等。
二、极限的计算方法1、代入法如果函数在某点连续，那么直接将该点的数值代入函数，就可以得到极限值。
2、化简法通过对函数进行化简，比如约分、有理化等，把复杂的函数形式变得简单，从而求出极限。
3、等价无穷小替换当自变量趋近于0 时，一些函数可以用与其等价的无穷小量来替换，从而简化计算。
4、洛必达法则当遇到分子分母都趋近于 0 或者无穷大的情况，可以使用洛必达法则，对分子分母分别求导，再求极限。
5、夹逼准则如果存在两个函数，在某个点附近，一个函数始终大于目标函数，另一个始终小于目标函数，并且这两个函数在该点的极限相同，那么目标函数在该点的极限就等于这个相同的值。
三、连续的概念连续是指函数在某个区间内没有断点，也就是说，函数在该区间内任意一点的极限值都等于该点的函数值。
直观地说，如果我们能一笔不间断地画出函数的图像，那么这个函数在相应区间就是连续的。
四、连续的条件1、函数在某点有定义。
2、函数在该点的极限存在。
3、极限值等于函数在该点的函数值。
只有同时满足这三个条件，函数在该点才是连续的。
五、间断点的类型1、可去间断点函数在该点的极限存在，但不等于该点的函数值。
2、跳跃间断点函数在该点的左极限和右极限都存在，但不相等。
高等数学_第一讲__极限与连续
如果 x 只能取正值（或取负值）趋于无穷，则有下 面的定义： 定义 2 如果当 x >0 且无限增大时，函数 f ( x) 无
限接近于一个确定的常数 A ， 则称常数 A 为函数 f ( x) 当
x 趋向于正无穷（记为 x ）时的极限，记为
lim f ( x) A （或当 x 时， f ( x) A ）.
x x0
x x0
x x0
lim f ( x) A .
x 1, x 0 2 例 1 试求函数 f ( x) x , 0 x 1 在 x 0和 1, x 1
x 1处的极限.
解析： 因为 lim f ( x) lim ( x 1) 1，而
; ( 2 ) lim
3n 2 2n 1
2
; ( 3 ) lim
2n 1
2
;
【解析】 （ 1 ） lim
2
( 1) n n
n
0;
（2） lim
3n 2n 1 n 1
2
n
lim
3
2 n
1 n2
1 n2
n
1
3;
（ 3 ） lim
n
2
2n 1 n 1
注意：上面的极限中省略了自变量的变化趋势，下同.
推论 1 常数可以提到极限号前，即
lim Cf ( x) C lim f ( x) CA .
推论 2 若 m 为正整数，则lim[ f ( x)]m =[lim f ( x)]m = Am .
结论： 一般地， 多项式函数在 x0 处的极限等于该函数在 x0 处 的函数值，即 lim(an x n an1 x n1
第一讲 极限与连续
第一讲 极限与连续§1.考试内容 1.数列极限 (1)定义lim n n a a →∞=：0ε∀>,0N ∃>,当n N >时，有n a a ε−<。
(2)性质 ① 唯一性收敛数列极限必唯一。
② 有界性收敛数列必有界。
③ 保不等式性设lim n n a a →∞=，lim n n b b →∞=，a b <，则存在一个0N >，当n N >时，n n a b <。
几个推论：(a) 设lim ()n n a a b b →∞=<>，则存在一个0N >，当n N >时，n a b <(b >)。
特别关注0b =的情形，即保号性：(b) 设lim 0(0)n n a a →∞=<>，则存在一个0N >，当n N >时，0n a <(0>)。
逆命题：(c) 设lim n n a a →∞=，lim n n b b →∞=，且存在一个0N >，当n N >时，n n a b ≤，则a b ≤。
(d) 设lim n n a a →∞=,且存在一个0N >，当n N >时，n a b ≤(b ≥),则a b ≤(b ≥)。
(e) 设lim n n a a →∞=,且存在一个0N >，当n N >时，0n a ≤(0≥),则0a ≤(0≥)。
④ 子列性设lim n n a a →∞=，{}k n a 为{}n a 的一个子列，则lim k n k a a →∞=。
(3) 数列极限的四则运算规则设lim n n a →∞，lim n n b →∞都存在，则lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞±=±，lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞=，lim lim lim nn n n n nn a a b b →∞→∞→∞=(lim 0n n b →∞≠)(4) 数列极限存在性定理 ① 夹逼准则设lim lim n n n n a c A →∞→∞==，存在0N >，当n N >时，n n n a b c ≤≤，则lim n n b A →∞=。
考研数学一(函数、极限与连续)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学一（函数、极限与连续）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2003年)设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且则必有( )A．an＜bn对任意n成立B．bn＜cn对任意n成立C．极限不存在D．极限不存在正确答案：D解析：由于则由极限的保号性可知，存在N＞0，使得当n＞N时，an＜bn，但不是对任意的n都成立。
例如bn=1，n=1，2时不满足an＜bn，所以选项A错误。
类似地，选项B也是错误的。
例如bn=1，n=1，2时不满足bn＜cn。
由于因此是0·∞型的未定式，有可能收敛也有可能发散，所以选项C是错误的。
例如极限证明发散，可采用反证法。
假设是收敛的，由于可知也是收敛的，与已知条件矛盾，假设不成立，也即是发散的。
由此唯一正确的选项是D。
知识模块：函数、极限与连续2．(2007年)设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f”(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)，则下列结论正确的是( )A．若u1＞u2，则(un}必收敛B．若u1＞u2，则{un}必发散C．若u1＜u2，则{un}必收敛D．若u1＜u2，则{un}必发散正确答案：D解析：方法一：设f(x)=x2，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f”(x)＞0，u1＜u2，但{un}={n2}发散，排除C；设则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f”(x)＞0，u1＞u2，但收敛．排除B；设f(x)=一lnx，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f”(x)＞0，u1＞u2，但{un}={一lnn}发散，排除A。
故应选D。
方法二：由拉格朗日中值定理，有un+1一un=f(n+1)一f(n)=f′(ξn)(n+1—n)=f′(ξn)，其中n＜ξn＜n+1(n=1，2，…)。
由f”(x)＞0知，f′(x)单调增加，故f′(ξ1)＜f′(ξ2)＜…＜f′(ξn)＜…，所以于是当u2一u1＞0时，有故选D。
高等数学(函数极限连续1)-精选文档-文档资料
函数、极限与连续1
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一、 集合及其运算（自己复习）
二、实数的完备性和确界存在定理 （去掉，可以不看）
实数集 R 和实数轴上的所有点一一对应
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三、 映射和函数
1、定义4.设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应, 则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
则
y f [ g ( x )] , x D
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 R( g ) D( f ) 不可少. 例如, 函数链 : y arcsin u , u cos x , 可定义复合函数
y arcsin cos x, x R 约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.
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4. 反函数 若函数 f : D f ( D), D, f ( D) R 为单射, 则存在一新映射
f 1 : f ( D) D, 使 y f ( D) , f 1 ( y ) x , 其中 f ( x) y,
1 f 称此映射 为 f 的反函数 .
x f ( n ) , n N . n
数列的极限
(1)n1 } 的变化趋势。 观察数列 {1 n
数列的极限
(1)n1 } 的变化趋势。 观察数列 {1 n
数列的极限
(1)n1 } 的变化趋势。 观察数列 {1 n
数列的极限
(1)n1 } 的变化趋势。 观察数列 {1 n
(完整版)极限与连续
第二章 极限与连续本章教学内容本章介绍了数列极限与函数极限的概念、基本知识和基本理论以及函数连续性的基本知识．微积分是一门以变量（函数等）作为研究对象、以极限方法作为基本研究手段的数学学科，无论是微分学、积分学、还是无穷级数问题都需以极限为工具进行研究，整个微积分学就是建立在极限论的基础之上的．连续性是函数的一个重要的分析性质，本章运用极限引入函数连续性的概念．在微积分学中讨论的函数，主要是连续型的函数，它有许多良好的性质，它是本课程的主要研究对象．教学思路1． 学习微积分的一个直接的重要的目的是掌握研究函数的微观性态和宏观性态的方法．这一点无论对学术研究能力的培养还是对研究生入学应试，都是非常重要的．当然，学习微积分的目的还有其更重要的另外一面，那就是培养和训练思维与思考问题的模式，掌握学习未知世界的方法与技巧，不管你将来是否从事数学及其相关学科，如能达到上述境界，则必会长期受益．2．极限的思想、概念与方法是分析数学问题的基本工具和语言．数列极限和函数极限都是高等数学重要的基础，但相对而言，前者是训练和培养极限思维模式的基础．对数列极限的有关概念和方法，站到较高台阶上去思考，将有助于全部微积分内容的学习．因此，极限的基本概念要讲透，使学生能接受并理解其深刻的内涵．要使学生会熟练地求极限．可让学生适当地多做一些练习题．3．用“N -ε”、“δε-”语言定义极限不能省略，不要求学生会做有关的习题，但要领会，以便理解有关的定理的证明．4．函数的连续性作为承上（极限理论与方法）启下（微分、积分概念）的重要环节，它是用极限等工具研究函数局部性质与整体性质的开始．函数在一点处连续的概念描述了函数的局部性质，而在一个区间上的连续性则描述了一个函数的整体性质．也可以说前者涉及的是函数微观性态，而后者则是刻画函数的宏观性态，并且，二者互相渗透，相辅相成．闭区间上连续函数的性质只作介绍，其证明略去．5．本章重点是极限定义与其等价性描述，极限的性质及运算，以及若干重要结论构成的知识层次．学好本章内容，对掌握微积分全部内容与技巧有着重要的影响作用．6．本章新概念多、难点多，又处于学生从初等数学跃上高等数学台阶的转型时期，很不习惯．因此，本章内容讲授完成后可安排一次习题课．教学安排本章教学时数为14学时，课时分配如下：§2.1数列的极限2学时§2.2 函数的极限 2学时§2.3变量的极限，§2.4无穷大量与无穷小量 2学时§2.5极限的运算法则 2学时§2.6两个重要的极限 2学时§2.7函数的连续性 2学时习题课 2学时教学目标理解数列的极限、函数的极限及函数的左、右极限的概念．了解有界变量的概念，了解变量有极限与有界的关系．了解无穷大量、无穷小量的概念及二者之间的关系．了解极限存在的两个准则．熟练掌握极限的运算法则、无穷小量的性质、两个重要极限以及利用函数的连续性求函数极限的方法．理解函数连续的概念，会判断函数在某点的连续性．掌握讨论简单分段函数连续性的方法．理解初等函数在其定义域内都是连续的结论．理解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值与最小值定理、介值定理及其零值性推论）及其简单应用．§2.1 数列的极限教学内容：数列的极限，包括数列极限的概念，数列极限的N -ε定义，数列极限的几何意义等．教学重点：数列极限的概念及数列极限的证明．教学难点：利用“N -ε”定义证明极限．教法建议：1．建立极限概念时，可先从一些简单直观、容易接受的实例（如“一尺之棰，日取其半”、“刘徽割圆”等）出发，建立数学模型，引入并形成极限概念．2．在此基础上，分三步引入极限定义：第一步，先讲描述性定义；第二步，用距离、绝对值为工具，对描述性定义中的话逐一地抽象，用数学语言（四个不等式）来表示，提炼出数列极限的N -ε定义；第三步，对数列极限的N -ε定义给出几何解释，辅之以草图，对ε、N 等作补充说明，加深印象．3．引入定义以后，可用简单的例子介绍用N -ε定义证明数列极限的论证方法，其关键是“由0>∀ε去找)(εN ”，并总结出使用N -ε方法的四个步骤：1o 0>∀ε，令ε<-||A y n ；2o 据ε<-||A y n ，分析并推出)(εϕ>n （含ε的式子）；3o 取)]([εϕ=N （整数部分）；4o 用N -ε定义叙述并下结论．应给学生指出：前三步是分析找N ；第四个步骤综合才是正式的证明．这种分析加综合的叙述方式的优点是思路清晰，N 不是一眼就能看出来的，所以要先分析找N ，不要把它与综合的证明混淆起来了．4．对于N -ε论证法，不要要求过高，这里只是让学生见识一下就可以了，随着后续内容的学习和多次运用N -ε论证法证题，使学生逐步加深体会、理解并接受．§2.2 函数的极限教学内容：函数的极限，包括当∞→x 时函数)(x f 的极限，当0x x →时函数)(x f 的极限，左极限与右极限，函数极限的性质等．教学重点：当0x x →时函数)(x f 的极限．教学难点：函数极限的δε-定义．教法建议：1．讲授“当∞→x 时函数)(x f 的极限”时，可以从数列极限的N -ε定义出发，结合几何图形，引出当∞→x 时函数)(x f 的极限的M -ε定义．2．通过两个实例引出当0x x →时函数)(x f 的极限的δε-定义，注意讲清在这个过程中变量x 的变化过程以及相应的函数)(x f 的变化过程．3．从0x x →的不同方式引出左极限、右极限的定义．4．教材中关于函数极限的三个定理：定理2.1（当0x x →时函数)(x f 的极限存在的充分必要条件）；定理2.2（局部保号性定理）；定理2.3（局部保不等式性定理）的内容要求学生能熟记，证明只要能接受即可．定理2.1在证明极限不存在时更为方便．注意定理2.2，定理2.3的条件与结论中关于等号的讨论．§2.3 变量的极限，§2.4 无穷大量与无穷小量教学内容：变量的极限，无穷大量，无穷小量，无穷大量与无穷小量的关系，无穷小量的阶等．教学重点：无穷小量的概念及其运算性质．教学难点：无穷小量概念的理解．教法建议：1．在复习∞→n 时数列的极限，∞→x 时函数的极限，0x x →时函数的极限的基础上概括出一般变量极限的定义．讲解过程中要特别注意对“总有那么一个时刻”的概括．这一定义只有对两种变量、三种过程都适用的情况下才能使用．2．对“变量在某一时刻后有界不一定有极限”除课本上的例子外，还可补充以下两例：（1）x x f 1sin )(=在0=x 附近有界，但xx 1sin lim 0→不存在； （2）x x f sin )(=在),(∞+-∞内有界，但x x sin lim ∞→不存在． 3．讲授无穷大量与无穷小量的概念时要注意：无穷大量和无穷小量是相对某一极限过程而言，离开极限过程，不能直接称某一变量为无穷大量或无穷小量；无穷大量和无穷小量都是一个变量，不能认为是一个非常大或非常小的数．4．无穷小量的运算性质：定理2.5, 定理2.6及其推论今后经常用到，要求学生能熟练掌握．5．无穷小量阶的比较，本次课只要学生能接受基本概念，以后再逐步熟悉，并能用于求极限即可．§2.5极限的运算法则教学内容：极限的运算法则，包括极限的加、减、乘、除四则运算法则及其推论，利用变量极限的运算法则求一些变量的极限等．教学重点：利用变量极限的四则运算法则求一些变量的极限．教学难点：极限的加、减运算法则（定理2.8）的证明,求未定式极限的技巧.教法建议：1．极限的四则运算法则及其推论的证明不要求学生掌握，关键是通过本节的例题要求学生能熟练正确地利用变量极限的四则运算法则求一些变量的极限．2．例1，例2是直接利用法则求多项式函数的极限．3．例3利用了无穷小量与无穷大量的关系求分式的极限．4．例4、例5、例6总结出求有理函数极限的规律．5．例7、例8开始接触利用初等变形求未定式极限，这里只要让学生认识∞∞,00两种未定式极限即可，初等变形的各种方法可通过作业、习题课再去逐步学习、掌握．6．例9是分段函数．分段函数在分段点处的极限，要分别计算左、右极限，看它们是否相等．§2.6 两个重要的极限教学内容：极限存在的两边夹准则、单调有界准则，1sin lim 0=→xx x ，e n n n =+∞→)11(lim 或e xx x =+∞→)11(lim ，利用两个重要极限求极限等． 教学重点：两个重要极限及利用两个重要极限求极限．教学难点：两个重要极限的证明及其应用．教法建议：1．本节课中两个准则是为证明两个重要极限服务的．在证明两个重要极限时要向学生讲清楚用准则证明极限的步骤与方法，以便今后能正确运用准则证明极限．2．利用两个重要极限，可以求许多00型三角函数式的极限与∞1型幂指函数式的极限，这两个公式在下一章中建立导数公式等方面也有重要的作用．3．公式 1sin lim 0=→xx x 可推广成 1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ，其中)(x ϕ的单位是弧度，分子、分母中的)(x ϕ必须完全相同，当0x x →时，必须0)(→x ϕ（即为00型未定式）． 4．公式e x x x =+∞→)11(lim 可推广成 e x x x =+→)(10)()](1[lim ϕϕϕ，要注意：括号内的式子必须分离出含1的项，剩下的项)(x ϕ必须与指数部分互为倒数，当0x x →时，必须0)(→x ϕ（即为∞1型幂指未定式）．§2.7 函数的连续性教学内容：函数改变量，函数)(x f y =在点0x 处连续，函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，函数的间断点，连续函数的运算法则，闭区间上连续函数的性质，利用函数连续性求函数的极限．教学重点：函数连续性的概念，利用函数连续性求函数的极限．教学难点：函数的间断点，闭区间上连续函数的性质．教法建议：1．本次课的教学内容中知识点较多，对以后微积分课程内容的学习影响也较大，但大部分知识点仅作课堂讲解，只要求学生了解，而不要求学生会证明，因此，教师在课堂教学中安排要紧凑、重点应突出．2．为了加深对函数连续性概念的理解，可以简要地列出函数在一点处连续的几种等价的定义．（1）用增量定义：0lim 0=∆→∆y x ； （2）用极限定义：)()(lim 00x f x f x x =→； （3）用δε-定义：0>∀ε，0>∃δ，当δ<-||0x x 时，总有ε<-|)()(|0x f x f ； （4）用左、右极限推出：)()(lim )(lim )()(0000x f x f x f x C x f x x x x ==⇔∈-+→→．3．注意区分函数极限与连续性的δε-定义中，不等式δ<-<||0a x 与δ<-||a x 的不同点，前者不管)(x f 在a x =处有无定义，均可研究其极限；而后者连续性要求)(x f 在点a x =处必须有定义．4．分段函数的间断点只可能在分段点处．可增加函数间断点分类的内容．5．初等函数的的连续性、闭区间上连续函数的连续性不要求学生知道证明，但要求学生能熟悉它们的内容，并能运用这些性质证明一些简单的命题．习 题 课教学内容：本章知识系统复习．教学重点：函数极限与连续的概念，求极限的方法．教学难点：求未定式极限的方法．教法建议：1．本次课不仅是对第二章极限与连续内容的系统复习，还应在复习的基础上使学生加深对本章基本概念的理解、能系统清晰地掌握本章有关知识与方法．2．本章所学极限过程有：∞→n ，∞→x ，+∞→x ，-∞→x ，0x x →，0x x +→，0x x -→共七种；各种极限结果有：A （有限数）含0（无穷小），∞（无穷大），∞+与∞-共五种，将它们搭配有35种极限形式．课堂上可适当选择一些用N -ε，δε-定义表示，其余的可留给学生课后去练习，以加深对极限概念的理解．3．求（证）极限的方法很多，第四章还要讲用洛必达法则去求（证）极限．本章概括为用初等方法去求（证）极限，可归为以下几种方法：（1）利用极限的定义和性质求（证）极限；（2）利用两个重要极限求极限；（3）利用两个重要准则求（证）极限；（4）用极限的运算法则和初等变形法求未定式极限；（5）进行无穷小量的比较，用等价无穷小代换或无穷小性质求极限；（6）用函数的连续性求（证）极限．4．两个重要极限以及利用两个重要极限求极限是学习的重点之一，为加深学生对它们的理解，并会熟练运用它们求极限，可补充以下例题随堂练习：0sin lim =∞→x x x ； 1sin sin lim 1=→x x x ； 0sin lim =∞→n n n ； nm nx mx x =→sin sin lim 0； 11sin lim =∞→n n n ； 0sin lim =∞→n x n ； ⎪⎩⎪⎨⎧=∞≠=→.0,,0,sin sin lim 0000x x x n x n x xe =+→ααα10)1(lim ； ab c bx x e x a =++∞→)1(lim ；ab c be a =++→ααα)1(lim 0． 5．未定式极限，有00、∞∞、∞⋅0、∞-∞、∞1、00和0∞等类型，这里00和∞∞是最基本的两种，其它的可经过适当的变换化为这两种未定式极限．本章主要要求学生能熟练掌握用分解因式、乘以共轭因式法求前两种未定式极限．6．一般常用的等价无穷小有：当0→x 时，1~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~-+x e x x x x x x ，2~cos 12x x -， x x αα~1)1(-+， )1,0(ln ~1≠>-a a a x a x ．第 二 章 测 评 题一 选择题1．数列n nn x n cos +=的极限是（ ）．A ．0 B. 1 C. -1 D. 不存在2. 设⎩⎨⎧>+≤-=1,31,)(x x x x x f ,⎩⎨⎧>-≤=1,121,)(3x x x x x g ,则)]([lim 1x g f x →( )． A ．等于1- B. 等于1 C. 等于4 D. 不存在 3. =-+++∞→)2122321(lim 222n n n n n （ ）．A. 0B. ∞C. 21D. 14．设121)(11++=-x x e e x f ，则)(lim 0x f x →（ ）．A ．是∞ B. 不存在 C. 是0 D. 是215．已知0>a ，=--+-+→22lim a x ax a x a x （ ）．A. 1B. 0C.a 21 D. a 21 6. =+--→23)1sin(lim 21x x x x ( )． A. 0 B. ∞ C. 1 D. -17．当0→x 时，αx 与23sin x 为等价无穷小量的充分条件是=α（ ）．A. 2B. 3C. 5D. 68．下列结果错误的是（ ）．A ．e x x x =++∞→2)11(lim B. e xx x =-∞→)11(lim C. e x x x x =+-→22120)1(lim D. e x x x =--→120)1(lim9. 函数⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0,20,2sin )(x x x x x x f 在分段点0=x 处（ ）．A ．函数有定义且极限存在 B. 函数无定义极限亦不存在C. 极限存在且且连续D. 极限存在但不连续10. 函数nn x x x f 211lim )(++=∞→,讨论)(x f 的间断点, 其结论为( )． A. 不存在间断点 B. 存在间断点1-=xC. 存在间断点0=xD. 存在间断点1=x二 填空题11．已知当∞→x 时，b ax x x x f --++=11)(2为无穷小量，则=a ，=b ．12．=-+→xx x x 20tan 3sin )121(lim ． 13. 已知21)1(lim =-∞→x x x a ,则=a ． 14. =-→x x x 111lim ．15．函数65||ln )(2-+=x x x x f 的全部间断点共有 个,它们是 ．16．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<+≤+=x xb x x x a x x f 1,10,10,)(2 在定义区间内连续，则=a ，=b ．三 计算题17．设141151312-+++=n x n ，求n n x ∞→lim ． 18．求)]11()311)(211[(lim 222n n ---∞→ ．19．求)(lim x x x x x --+∞→．20．求xx x x x 530sin 2)cos 1(sin lim+-→．21．求⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim ． 22．求xx x e x 20)(lim +→．23．设tt t x x f 21lim )(⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→，求)2(ln f ． 24．求xx x sin 30)21(lim +→．25．判断函数111)(--=x x ex f 的间断点，并说明间断点的类型．26．求⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=-0,0,00,sin )(12x e x x x x xx f x 的连续区间．四 证明题27．利用夹逼准则证明112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n ． 28．设函数)(x f ，)(x g 在],[b a 上连续，且)()(a g a f >，)()(b g b f <．证明：在),(b a 内至少存在一点ξ，使得)()(ξξg f =成立． 29．证明方程0cos sin =-x x x 在)23,(ππ内至少有一实根． 30．证明方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +．第二章测评题参考答案一 选择题1. B2. D3. C4. B5. C6. D7. D8. B9. D 10. D二 填空题11．1=a ，1-=b 12. 3 13. 2ln =a 14. 1-e 15. 共有3个，它们是6-=x ，0=x ，1=x 16. 1=a ，2=b三 计算题 17．解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121121513131121n n x n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=121121n ， 21lim =∞→n n x ． 18．解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-22211311211n⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n 1111311311211211 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n 11311211 •⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 11311211 ⎝⎛=23•34•45•…•1-n n •⎪⎭⎫+n n 1• ⎝⎛21•32•43•…•12--n n •⎪⎭⎫-n n 121+=n •nn n 211+= ． 所以 2121lim )]11()311)(211[(lim 222=+=---∞→∞→n n nn n ．19．解 )(lim x x x x x --+∞→xx x x x x -++=+∞→2lim111112lim=-++=+∞→xx x ．20．解 因0→x 时，x x ~sin ，33~sin x x ，2~cos 12x x -故 xx x x x 530sin 2)cos 1(sin lim+-→52322limx x x x x ⋅+⋅=→221221lim 0=+=→x x ． 21．解 利用夹逼准则有∑∑∑===++≤++≤++ni ni ni n n ii n n in n n i 1212121即 )1(2)1()2(21212+++≤++≤++∑=n n n n i n n i n n ni而 21)2(21lim=++∞→n n n ， 21)1(2)1(lim 2=+++∞→n n n n n所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n 22212111lim 21=． 22．解 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+→→→x x x xx x x xx x e x e ex e e x 22020201lim 1lim )(lim22021lim e e x e x x e xe x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+=→•412e e =．23．解 x xx tt t t e x t t x x f 22211lim )1(lim )(=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∞→∞→4)2(ln 2ln 2==e f ． 24．解 xx x x xx x x sin 312210sin 30)21(lim )21(lim ⋅⋅→→+=+6616sin 210])21[(lim e e x xx x x ==+=⨯⋅→．25．解 )(x f 在1=x 及0=x 处无定义，是函数的间断点． 因 111lim 11=--→-x x x e，011lim 11=--→+x x x e，所以1=x 处是)(x f 的跳跃间断点．∞=--→111limx x x e， 所以0=x 处是)(x f 的无穷间断点．26．解 0<x 时，)1(sin )(+=x x xx f ，1-≠x ．0=x 时，111sin lim sin lim )(lim 020=+⋅=+=---→→→x x x xx x x f x ox x ， 0lim )(lim 1==-→→++xx x ex f)(lim 0x f x →不存在，所以)(x f 在0=x 处不连续．0>x 时，)(x f 连续． 综上所述，)(x f 在1-=x 及0=x 点不连续．因此，)(x f 的连续区间为),0()0,1()1,(∞+--∞- ．四 证明题27．证 利用夹逼准则有11211122222+<++++++<+n n nn n n nn n而 1lim2=+∞→nn n n ， 11lim2=+∞→n nn所以 112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n ． 28．证 令)()()(x g x f x F -=，则)(x F 在闭区间],[b a 上连续，且0)()()(>-=a g a f a F ，0)()()(<-=b g b f b F ．由介值定理可知，在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(=ξF ，即0)()(=-ξξg f ，于是有)()(ξξg f =．29．证 令x x x x f cos sin )(-=，则)(x f 在闭区间]23,[ππ上连续，且0cos sin )(>=-=πππππf ，0123cos 2323sin )23(<-=-=ππππf ． 由介值定理，至少存在一点)23,(ππξ∈，使0)(=ξf ，即方程0cos sin =-x x x 在)23,(ππ内至少有一个实根．30．证 令x b x a x f -+=sin )(，则)(x f 在),(∞+-∞上连续，且0)0(>=b f ，0]1)[sin()()sin()(≤-+=+-++=+b a a b a b b a a b a f ．当01)sin(=-+b a 时，b a +就是方程的一个正根．当01)sin(<-+b a 时，0)(<+b a f ，由介值定理，至少存在一点),0(b a +∈ξ，使0)(=ξf ．综上所述，方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个不超过b a +的正根．。
高等数学各章节知识点框架
第⼀一讲极限与连续分为如下部分：1.定义2.性质3.⽆无穷⼩小4.⽆无穷⼤大5.函数极限的计算6.数列列极限的计算7.应⽤用!定义（极限定义——四句句话）⼀一.⼀一共有25种定义（6x4+1）6:x的六种趋向⽅方式，分为局部性质与渐进性质（注意对于x不不等于x0）4:f的四种趋向⽅方式，有三种是⽆无穷的情况（注意：任取M，与⽆无界定义相区别）（宇哥基础笔记）1:数列列定义（注意n为⾃自然数，只有渐进性质）函数极限定义注意两点：1.x趋向于x0，x不不等于x02.若f在x0的去⼼心邻域⽆无定义，则极限不不存在，反之，极限存在，则推在x0的去⼼心邻域处处有定义数列列极限的定义也注意两点：1.xn的极限与其前有限项⽆无关（类似于⽆无穷级数的收敛性与前n项⽆无关）2.xn的极限为a互推xn的任意的⼦子列列的极限也为a，特别的，xn的极限为a互推xn的奇数项与偶数项的极限均为a（注意：要涵盖xn的所有项）⼆二.有关定义的考法（17宇哥强化笔记）1.定X，N以及那个什什么（打不不出来）（主要是利利⽤用极限语⾔言来证明极限）⽅方法是：从有关f的不不等式推导出有关x的不不等式，从⽽而来定，若f的式⼦子复杂，可通过适当的放缩。
2.定e（原谅我不不能打出来）来讨论f（x）的范围Note1.注意例例题中有个结论 f极限为a可以推出f的绝对值极限为a的绝对值（利利⽤用极限的定义与中学知识来证，同理理数列列极限也是）2.e要取正整数，不不能取变量量。
3.由极限来推出的f的范围，只是陈述事实，⽽而不不是取值范围。
4.即使给我整个世界，我也只在你的身边"性质及其考法三⼤大性质——唯⼀一性，局部有界性，局部保号性1.唯⼀一性——极限存在必唯⼀一，所以极限存在可以推左极限等于右极限Note：⼀一般分左右极限的情况1.分段点 2.e的∞ 3.arctan∞2.局部有界性（注意局部包括局部性质与渐进性质）定义（会证会⽤用）（利利⽤用了了中学知识，绝对值的不不等式）Note：该定义只是有界的充分⾮非必要条件，即函数有界不不⼀一定极限存在，如sinx关于函数f（x）的有界性的判定⽅方法：1.理理论法（中学知识）：连续初等函数在闭区间内必有界2.计算法（⼤大学知识）：函数在开区间内连续，再加上端点的极限存在，则可以推出该函数在区间内有界3.四则运算：当极限不不存在时，拆！（⚠）（有限个）有界+有界=有界（有限个）有界x有界=有界Note：初等函数在闭定义区间内连续有界（初等函数在定义区间内连续，在闭定义区间内连续，必有界）3.局部保号性（此处的局部也是包括局部和渐进性质）定义（会证会⽤用）拓拓展：脱帽法（没有=号）带帽法（有等号，尤其极限A必须有等号，如x分之1在x趋于∞）Note：1.极限的运算法则：能不不能拆，拆了了再说。
《连续与极限》课件
极限的单调有界定理
单调有界定理是极限运算中的另一个重要定理，它指出如果一个数列是 单调递增（或递减）且有上界（或下界），那么这个数列必定收敛。
单调有界定理的应用也需要证明数列的单调性和有界性，并证明其收敛 性。在应用单调有界定理时，需要注意数列的单调性和有界性的判断。
单调有界定理在研究函数的极限和连续性等方面也有着重要的应用，可 以用来求解一些较为复杂的极限问题。
总结词
收敛数列的性质。
详细描述
数列的极限定义基于一个实数$lim_{n to infty} a_n = L$ ，表示当$n$趋向无穷大时，数列$a_n$趋向于一个常数 $L$。
详细描述
收敛数列具有唯一性、有界性和稳定性等性质，这些性质 在解决实际问题中具有重要应用。
函数的极限
总结词
函数的极限描述了函数在某一点或无穷远点的变化趋势。
泛函分析
泛函分析是数学分析的延伸和发展，涉及到函数空间、算子、泛函等概念。在泛函分析中，连续与极限 的概念被用于研究函数空间的结构、算子的性质以及解决一些与函数空间相关的数学问题。
在实际生活中的应用
金融
在金融领域中，连续与极限的概念被用于描述金融数据的波动和变化，以及预测 金融市场的走势和风险。例如，在期权定价、风险评估和投资组合优化等方面， 连续与极限的概念有着广泛的应用。
03
极限的运算
极限的四则运算
极限的四则运算法则是极限运算的基础，包括加法、减法、乘法和除法等运算。
在进行极限的四则运算时，需要注意运算的优先级和运算顺序，同时要确保各项的 极限都存在。
极限的四则运算法则可以用来求解一些简单的极限问题，也可以为后续的夹逼定理 和单调有界定理等提供基础。
极限的夹逼定理
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第一讲极限与连续
一．内容提要
1．函数
（1）定义；（2）性质（有界性，单调性，奇偶性，周期性）；（3）复合函数；（4）反函数；（5）隐函数；（6）初等函数等。
注意函数（分段函数）的复合运算、反函数的计算、函数符号的计算。
2．极限（怎么求极限，见后面归纳的常用方法）
（1）数列极限的定义；
（2）函数极限的定义；左、右极限；
；
；
（3）极限的性质（注意极限的保号性，数列与子列的收敛情况）；
（4）无穷小量与无穷大量：定义；关系；无穷小量比较；
定义：设与为在同一变化过程中的两个无穷小量，
（I）若，就说是比高阶的无穷小量，记为；
（II），，就说是比低阶的无穷小量；
（III）若，，就说是比同阶的无穷小量；
（IV）若，就说与是等价无穷小量，记为。
注意两个无穷小量的阶的比较是通过计算极限来进行的。
无穷小量与极限存在的关系；
（5）两个极限存在准则与两个重要极限；
（6）极限的四则运算与复合运算（注意有理分式在自变量趋于无穷大时的极限）；
（7）洛必达法则在极限运算中的应用；（各种未定式是怎么用的）
3．连续与间断
（1）连续的定义：设在的某邻域内有定义，若，就称函数
在点处连续。
在点连续在点既左连续，又右连续。
（2）开（闭）区间上连续；
（3）连续函数的运算、初等函数的连续性；
（4）闭区间上连续函数的性质；（应用零点定理来找方程的根）
（5）函数的间断点及分类：，为无穷间断点；振荡不存在，为
振荡间断点；，为可去间断点；，
但两者存在，为跳跃间断点。
(应该从左、右极限存在否，相等否去判别间断点类型) 二．常考的知识点及题型
常考的知识点：函数及其表示方法；极限、左极限与右极限；连续、左连
续与右连续的概念与性质；函数间断点类型的判断；求极限的方法；运用闭区间上连续函数的性质证明命题（如证明方程根的存在性）等。
题型：函数记号的运算；分段函数的运算；简单反函数的定义域及表示；考查函数在一点处连续或极限存在的充要条件；判别函数的间断点及类型；无穷小量的比较；判断函数的性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；利用闭区间上连续函数的性质证明命题，主要是方程根的存在性；求极限（利用定义、等价无穷小、极限的运算法则、极限存在准则、两个重要极限、函数连续性、罗比达法则、导数定义、定积分定义等）。
三．求极限的方法总结
1．约公因子法（约去趋于0或的公因子）
例1．。
（约去趋于0的公因子）
解
例2．。
（约去趋于无穷大的公因子）
解原式=
2．分子、分母有理化
例3．。
解：原式=
例4．。
解：原式=
3．等价无穷小量替换（注意：要等价的无穷小量；一般替换的是因子项）
；等。
例5．。
解：
=
例6．。
（注意写法）
解：原式=
4．利用（注意，只要在取极限过程中）
例7．。
解：原式=
5．利用（幂指函数的未定式，注意变形，如，只要在取极限过程中；，只要在取极限过程中。
）例8．。
例9．。
解：原式=
原式=
例10[08数三]：例11[12数三]：= 解原式=
=
原式=
例12[10数三]：
解原式=
其中
原式=
例13[12数三]：计算
解：原式=
6．利用两边夹法则
例14．设常数，，求。
解原式=
所以
7．利用单调有界有极限
例15．设满足，证明（1）存在，并求极限；
（2）计算。
解：（1）
从而
即：单调下降，而且有界，从而存在
设对两边求极限
（2）
8．利用洛必达法则（注意有失效情况，注意结合等价无穷小量简化求导数）例16．。
例17．。
解原式=
原式=
例18．。
解原式=
=
9．利用左、右极限
例19．。
解：
原式极限不存在
10．利用定积分的定义（在定积分一章复习）
11．利用函数极限求数列极限（函数极限的性质4）
例20．。
解原式=
=
12．利用有界量乘无穷小量为无穷小量
例21．。
解原式=
四、其它极限相关知识的考查
例22．时，与为等价无穷小量，求。
解
所以
例23：若求。
例24：，则
解由得到
例25．。
解原式=
=
例：若则
解
例26：充分大时，的大小关系为
例27：设，则
（A）若发散，则发散（B）若无界，则有界
（C）若有界，则必为无穷小（D）若无穷大，则为无穷小
例：对任意总有，且，则不一定存在
五．连续与间断
1．函数的连续性
例28．在处连续，求。
解：在处连续的充分必要条件
即：。
2．间断点及分类
例29．的可去间断点个数。
解
所以是可去间断点
所以是可去间断点
所以是可去间断点
所以是无穷间断点
的可去间断点个数有3个
例30：的可去间断点个数
解
所以是无穷间断点
所以是可去间断点
所以是可去间断点
的可去间断点个数有2个。
例31．，求的间断点并说明类型。
解：
所以是跳跃间断点
例32．设，求的间断点。
解：
是无穷间断点
3．闭区间上连续函数的性质
主要是零点定理（介值定理）
例33．设在[0，1]上连续，，证明存在，使得。
证明在[0，1]上连续
且
由零点定理知，至少存在一存在，使得。
例34．设在上连续，，证明在内至少存在一点，使得
常数。
证明：因在上连续，从而在上连续，即在上存在最大值M和最小值m
有介值定理知，在内至少存在一点，使得
即在内至少存在一点，使得常数。
六、渐近线（三类）
例35：曲线的渐近线条数为 2
解：是一条水平渐近线
是一条铅直渐近线
例36：曲线的渐近线条数为 3
解：是一条水平渐近线
是一条铅直渐近线
是一条斜渐近线
例37：求曲线的渐近线
解：是一条铅直渐近线
七、函数性质
例38：函数在下列哪个区间内有界.
（A）（B）（C）（D）
解：
选（A)
例39：设在内有定义，且，则（A）必是的第一类间断点（B）必是的第二类间断点
（C）必是的连续点（D）在点处的连续性与的值有关练习：
1．，则 1
2．则=
解
3. （）。
A. 2
B. 0
C.
D.不存在，不为
解
4.在（0，2）内的间断点及类型。
解：
所以是第二类间断点
所以是第可去间断点
所以是第二类间断点
所以是第可去间断点5．求。
解：
6．
解：
=
7．，要使在处连续，（）。
A．0 B． C． 1 D．
解：
8．。
解：
=
9．当时，与为等价无穷小，求。
解：因
所以。