十三县(市)2016届高三下学期期中联考数学试题及答案(文)

江西省赣州市十三县（市）2016届高三下学期期中联考（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}11A x x =-≤≤，{}220B x x x =-≤，则AB = （ ）A.{}12x x -≤≤B.{}10x x -≤≤ C.{}12x x ≤≤ D.{}01x x ≤≤ 2．复数2i1i-= （ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i +3．已知向量b a m b m a//),2,(),,1(若==, 则实数m 等于 （ ）A ． BC ．D ．04.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若271260a a a ++=，则13S 的值是 （ ） A ．130 B ．260 C ．20 D ．1505．装里装有3个红球和1个白球，这些球除了颜色不同外，形状、大小完全相同。

从中任意取出2个球，则取出的2个球恰好是1个红球、1个白球的概率等于 （ ） A ．12 B ．23 C ．34 D ．456.如图，是一个几何体的三视图，其中主视图、左视图是直角边长 为2的等腰直角三角形，俯视图为边长为2的正方形，则此几何体的 表面积为 （ ）A.8+B. 8+C. 6+D. 8+主视图左视图俯视图7．已知变量,x y 满足约束条件21110x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩,则目标函数2z x y =-的最大值为 ( )A ．3-B ．0C ．1D ．38. 已知函数)0(cos 3sin )(>-=x x x x f ωω的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于π2，若将函数()y f x =的图象向左平移π6个单位得到函数()y g x =的图象，则()y g x =是减函数的区间为 （ ）A.(–π3，0) B.(–π4，π4) C.(0，π3) D.(π4，π3)9.执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为 （ ）A.6B.8C.10D.1210.函数(e e )sin x x y x -=-的图象（部分）大致是 （ ）A B C D11.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP =3FQ ，则|QF |= （ ） A ．83 B.52C.3D.2 12.设 ()ln f x x =，若函数 ()()g x f x ax =-在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是 （ ） A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ln 2,e 2⎛⎫⎪⎝⎭ C. ln 20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D . ln 21,2e ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知双曲线2222x y a b-=1（)0,0>>b a 的离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程为 .14.已知函数22log (1)1,1(),1x x f x x x --+<⎧=⎨≥⎩，若()3f a =，则________.a=15．若数列}{n a 满足21=a 且1122--+=+n n n n a a ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，则)2(log 20162+S ＝ .16.已知ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为S ，且()222Sa b c =+-，则tan C = .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和3139S = （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若函数)0,0)(2sin()(πϕϕ<<>+=A x A x f 在π6x =处取得最大值4a ，求函数()f x 在区间ππ[,]122-上的值域.18. （本小题满分12分）某高校在2015年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下图所示.（1）请先求出频率分布表中的a、b，再完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受考官A进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率？19.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AA AC ==，1BC =，E ，F 分别是11AC ，BC 的中点. （1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -的体积.20．（本小题满分12分）如图，已知圆E ：22(3)16x y ++=，点，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（1）求动点Q 的轨迹的方程；（2）已知,,A B C 是轨迹的三个动点，点A 在一象限，B 与A 关于原点对称，且，问△ABC 的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数()ln ,()e xf x xg x ==. （1）求函数()y f x x =-的单调区间；（2）若不等式()g x<在()0,+∞有解，求实数m 的取值菹围； （3）证明：函数()y f x =和()y g x =在公共定义域内，2)()(>-x f x g .请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，△ABC 内接于⊙O ，直线AD 与⊙O 相切于点A ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DECA 交BA 的延长线于点E ．（Ⅰ）求证：2DE AE BE =；（Ⅱ）若直线EF 与⊙O 相切于点F ，且4EF =，2EA =， 求线段AC 的长．23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，[)0,2θ∈π. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）在曲线C 上求一点D ，使它到直线l ：32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离最短，并求出点D 的直角坐标.24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()|||3|,f x x a x a R =--+∈． (1)当1a =-时，解不等式()1f x ≤；(2)若对于[0,3]x ∈时，()4f x ≤恒成立，求a 的取值范围．参考答案一、选择题：DBCB AACD CCAD二、填空题：13. x y 3±= 14. -3 15. 2017 16. 43- 三、解答题：17.解：（1）由91,91331)31(913,31313==--==a a S q 解得得………………2分 31113391---=⨯==n n n n q a a 所以 ……………………6分 （2）33)(,314==A x f a ，于是最大值为所以函数），由（πππ()sin(2)1,0π,666f x x φφφ=⨯+=<<=又因函在取得最大值，所以为数则 π()3sin(2)6f x x =+ ………………………9分π7π1π20,,sin(2)16626x x ⎡⎤+∈-≤+≤⎢⎥⎣⎦ππ3()-,31222f x ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦在，上的值域为 …………………………12分18. 解：（1）由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人, 第3组的频率为300.300100= …2分 频率分布直方图如右图: ………………………4分（2）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样 在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:306360⨯=人, 第4组:206260⨯=人,第5组:106160⨯=人,所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人…… 8分（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ,第4组的2位同学为12,B B ,第5组的1位同学为1C ,从六位同学中抽两位同学有15种可能如下: 12(,)A A ，13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，11(,)A C ，23(,),A A 21(,),A B 22(,),A B 21(,),A C 31(,),A B 32(,),A B 31(,),A C 12(,),B B 11(,),B C 21(,),B C … 10分其中第4组的2位同学为12,B B 至少有一位同学入选的有: 11(,),A B 12(,),A B 21(,),A B 22(,),A B 31(,),A B 12(,),B B 32(,),A B 11(,),B C 21(,),B C 9中可能,所以其中第4组的2位同学为12,B B 至少有一位同学入选的概率为93155=. ……… 12分19.解：（1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ，所以1BB AB ⊥.又因为AB BC ⊥，1BB BC B =，所以AB ⊥平面11B BCC ， …………………………………4分 又AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面11B BCC .………………………………5分 （2）证明：取AB 的中点G ，连接EG ，FG .因为E ，F ，G 分别是11AC ，BC ，AB 的中点， 所以//FG AC ，且12FG AC =，11112EC AC =. 因为11//AC AC ，且11AC AC =，所以1//GF EC ，且1GF EC =，所以四边形1FGEC 为平行四边形，所以1//C F EG . ………………………9分 又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ，所以1//C F 平面ABE . …………10分（3）因为12AA AC ==，1BC =，AB BC ⊥，所以AB =所以三棱锥E ABC -的体积111112332ABC V S AA ∆=⋅=⨯⨯=. ……………12分20．解：（1）Q 在线段PF 的垂直平分线上，所以QP QF =； 得4QE QF QE QP PE +=+==，又4EF =<，得Q 的轨迹是以,E F 为焦点，长轴长为4的椭圆.22:14x y τ+=. ……………………………………4分（2）由点A 在一象限，B 与A 关于原点对称，设:(0)AB y kx k =>CA CB =，C ∴在AB 的垂直平分线上，1:CD y x k∴=-.2222(14)414y kx k x x y =⎧⎪⇒+=⎨+=⎪⎩，2AB OA ===，同理可得OC =，……………6分142ABCSAB CO === ……………………8分2224145(1)22k k k ++++≤=，当且仅当1k =时取等号，所以85S ≥， …………………………………11分当直线时为x y AB =，min 85S =. ………………………………12分21.解：（1）)0(111)(''),,0()(>-=-=+∞x xx f y x f 的定义域为…………1分由,1,0)('==x x f 得单调递增，时，则当)(,0)(')1,0(x f x f x >∈ 单调递减，时，则当)(,0)('),1(x f x f x <+∞∈ (3)分 综上所述，.11,0)(）单调递减，（）上单调递增，在区间在区间（∞+x f ……4分 （2）由题意：e e xx m <-有解， e (0,)m x x <-∈+∞因此，只需有解…………5分设()eh x x -=()1e1e x x h x '=-=-………………6分1≥=>，且(0,)x∈+∞时，1xe>，所以1e0x-<，即()0h x'<，故()h x在区间[0,)+∞上单调递减，所以()(0)0h x h<=，因此0m<﹒……………………8分（3）方法一：()f x与()g x的公共定义域为(0,)+∞，()()e ln e(ln)x xg x f x x x x x-=-=---，…………………………9分设()xm x e x=-，(0,)x∈+∞，因为()e10xm x'=->，()m x在区间(0,)+∞上单调递增，()(0)1m x m>=，………………………11分又设()l nn x x x=-，(0,)x∈+∞，由（Ⅰ）知1x=是()n x的极大值点，即()(1)1n x n<=-，所以()()m()()1(1)2g x f x x n x-=->--=，在函数()y f x=和()y g x=公共定义域内，()()2g x f x->﹒…………………12分方法二：()f x与()g x的公共定义域为(0,)+∞，令()()()e lnxG x g x f x x=-=-，则1()e xG xx'=-……………………9分设1()e0xG xx'=-=的解为00(0)x x>，则当(0,)x x∈时，()0G x'<，()G x单调递减，当(,)x x∈+∞时，()0G x'>，()G x单调递增；所以()G x在x处取得最小值0001()e lnxG x x xx=-=+，………………11分显然x>且1x≠，所以12xx+>，所以()()2G x G x≥>，故在函数()y f x=和()y g x=公共定义域内，()()2g x f x->﹒…………………12分22.解：（1）证明：因为AD是⊙O的切线，所以DAC B∠=∠（弦切角定理）．………………1分因为DE CA，所以DAC EDA∠=∠．……………………2分所以EDA B∠=∠．因为AED DEB∠=∠（公共角），所以△AED∽△DEB．……………………3分所以DEAEBE DE =．即2DE AE BE =． ……………………4分（2）解：因为EF 是⊙O 的切线，EAB 是⊙O 的割线，所以2EF EA EB = （切割线定理）． ……………………5分因为4EF =，2EA =，所以8EB =，6AB EB EA =-=．…………………7分由（Ⅰ）知2DE AE BE =，所以4DE =． ……………………8分因为DE CA ，所以△BAC ∽△BED ． ……………………9分 所以BA AC BE ED =．所以6438BA EDAC BE ⋅⨯===． ……………………10分23.（1）解：由θρsin 2=，[)0,2θ∈π， 可得22sin ρρθ=． ……………………1分 因为222x y ρ=+，sin y ρθ=， ……………………2分 所以曲线C 的普通方程为2220x y y +-=（或()2211x y +-=）． …………4分 （2）解法一：因为直线的参数方程为32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ）， 消去t 得直线l的普通方程为5y =+． ……………………5分 因为曲线C ：()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆， 设点()00,D x y ，且点D 到直线l：5y =+的距离最短，所以曲线C 在点D 处的切线与直线l：5y =+平行．即直线GD 与l 的斜率的乘积等于1-，即(0011y x -⨯=-．………………7分 因为()220011x y +-=，解得0x =或0x = 所以点D 的坐标为12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，或32⎫⎪⎪⎝⎭，． ……………………9分 由于点D到直线5y =+的距离最短，所以点D 的坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，． ……………………10分解法二：因为直线l 的参数方程为32x y t ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数，t ∈R ），消去t 得直线l 50y +-=．……………………………………5分 因为曲线C ()2211x y +-=是以G ()1,0为圆心，1为半径的圆， 因为点D 在曲线C 上，所以可设点D ()cos ,1sin ϕϕ+[)()0,2ϕ∈π．……………7分所以点D 到直线l 的距离为d =2sin 3ϕπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．…………8分 因为[)0,2ϕ∈π，所以当6ϕπ=时，min 1d =．………………………………………9分此时D 322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，所以点D 的坐标为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，．…………………………………10分 24、解：（1）当1a =-时，不等式为131≤+-+x x当3-<x 时 12≤ ∅∈x ；当13-≤≤-x 时 142≤--x 25-≥x 125-≤≤-∴x ； 当1->x 时 41≤ R x ∈； ∴不等式的解集为x {{⎭⎬⎫-≥25x x }……………………5分 （2）当[0,3]x ∈时，()4f x ≤即x x x a +=++≤-734即 x x a x +≤-≤+-7)7(对于[0,3]x ∈恒成立即 x a 277+≤≤-对于[0,3]x ∈恒成立77≤≤-∴a ……………………10分。