第一讲算符及其本征值与本征函数
1）本征值与本征态
第四章：近似方法Schroedinger 方程ˆ,,i t H t tψψ∂=∂ 。
可以精确求解的物理问题太少，大部分实际问题由于ˆH的构造太复杂，不能严格求解，只能用近似方法。
不同的问题用不同的近似方法。
1．定态微扰论思想当ˆH不含时，应用分离变量法，定态,n i E t n t n e ψ−=，能量n E 与能量本征态n 满足定态Schroedinger 方程ˆnH n E n =。
令()()01ˆˆˆHH H =+， 要求：1）()0ˆH包含了ˆH 的主要部分，即()1ˆH 很小。
由于()0ˆH 与()1ˆH 均为算符，比较大小可从经典对应来理解。
严格来说，是比较这两个算符的矩阵元，见下面讨论。
2）要求()0ˆH的定态方程 ()()()()0000ˆn Hn E n= 可严格求解。
将n E 和n 展开：()()()012n n n n E E E E =+++ ，()()()012n nnn=+++代入待求的定态Schroedinger 方程()()()()()()()()()()()()()()()01201201012ˆˆn n n HH nnnE E E nnn++++=++++++ ，然后，逐级近似求解该方程。
零级近似：()()()()0000ˆn Hn E n= ()0n E →和()0n。
一级近似：()()()()()()()()10100101ˆˆn n Hn Hn E nE n+=+即()()()()()()()()100011ˆˆnnH E n H E n −=−− ()1n E →和()1n。
二级近似：()()()()()()()()()()21000112ˆˆnnn H E n H E n E n−=−−+()2n E →和()2n。
……一般情形，只求到第一个不为零的修正项。
微扰论的基础是()0H 的本征值()0n E 和本征态()0n 。
求高阶修正要考虑()0n E 是否有简并。
量子力学 第一节 力学量算符 教案
第一节力学量算符一. 算符算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。
用表示一算符。
二．力学量算符1.坐标的算符就是坐标本身：2.动量算符：, ,3.动能算符4.哈密顿算符：5.角动量算符：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将换成算符得出算符和它所表示的力学量的关系？第二节算符基本知识一线性算符满足运算规则的算符称为线性算符。
二单位算符保持波函数不改变的算符三 算符之和加法交换律加法结合律两个线性算符之和仍为线性算符。
四 算符之积定义: 算符 与 的积 为注意: 一般说算符之积不满足交换律，即： 这是与平常数运算规则不同之处。
五 逆算符设能唯一解出，则定义的逆算符为：注意: 不是所有的逆算符都有逆算符。
，六 算符的复共轭，转置，厄密共轭1． 两个任意波函数与的标积2． 复共轭算符算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量3．转置算符定义: 算符的转置算符满足：即：4．厄密共轭算符算符的厄密共轭算符定义为即算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符5.厄密算符厄密算符是满足下列关系的算符注意：两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符例：证明是厄密算符证：为厄密算符，为厄密算符第三节 力学量算符的本征值与本征函数一 厄密算符的本征值与与本征函数设体系处于 测量力学量O ，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为如为厄密算符，也是厄密算符存在这样一种状态，测量力学量 所得结果完全确定。
即. 这种状态称为力学量的本征态。
在这种状态下称为算符的一个本征值， 为相应的本征函数。
二 力学量算符的性质 1. 力学量算符是厄密算符量子力学的一个基本假定: 测量力学量 时，所有可能出现的值，都是力学量算符的本征值。
[理学]第三章量子力学中的力学量1
![[理学]第三章量子力学中的力学量1](https://img.taocdn.com/s3/m/d1f77453a417866fb94a8e05.png)
能量本征方程（定态薛定谔方程） 于这个本征值的本征函数。根据以上假定，当 粒子属于这个状态时，坐标确定，坐标值就是 本征值 r ' 。 角动量本征方程
ˆ r r ' 坐标本征方程，注意这里 r '是本征值，r ' 是属 r r' r' r'
ˆ LL ' L 'L '
注意：这些量的分量也可构成各自的本征方程。
ˆ x p
当粒子处在这个方程的解 描述的状态中 时，它的动量在x方向上的分量是确定的， 值就是所属的本征值
力学量的值肯定是实数。根据以上基本假定，这些力学量算符的 本征值是粒子力学量的某个值。因此力学量算符的本征值必须是 实数。下面我们将要介绍一种重要的算符——厄密算符
（7）复共轭算符 算符Û的复共轭算符 Û*就是把Û表达式中 的所有量换成复共轭.
ˆ O
设定义式中 则，
* ˆ ˆ )* d O d ( O
* * d ( ) d
* d * * d * * d
因为波函数 是平方可积的即
* d d A 2
ˆ T
2
2
2
前面我们已经通过能量本征值方程揭示了能量算符和能量之间 的密切关系。下面我们将这个结论推广到其他所有的物理量上：
量子力学基本假定
ˆ 表示，那么当微观粒子体系处于 F ˆ的 如果力学量 F 用算符 F ˆ 的本征函数 来描述。）时， 本征态 （即体系的状态用 F 力学量 F 具有确定值。这个值就是本征函数 所属的那个本 征值 。它们之间的关系用数学形式表达即： ˆ 本征方程 ˆ 算符 F F
量子力学第三章-1
二、力学量的平均值 三、例题
一、力学量的可能值
1、力学量算符本征函数组成完全系（完备系） (1) 函数的（完全性）完备性 有一组函数φn(x) (n=1,2,...),如果任意函数ψ(x)可以按这组函 数展开: ψ ( x) = c φ ( x)
n
n
即
c n = ∫ φ ( x )ψ ( x )dx
∗ n
证明：当 ψ (x)已归一时，cn 也是归一的。
证： 1 = ∫ ψ ( x)ψ ( x)dx = ∫ ∑ cnφn ∑ cmφm dx n m * = ∑ ∑ cn * cm ∫ φnφmdx = cn * cmδ nm
∑
n
n n
则称这组函数φn(x) 是完全（完备）的。 例如：动量本征函数组成完备系
r r r r Ψ ( r , t ) = ∫ c( p, t )ψ p ( r )d 3 p r r r r 或 ψ ( r ) = ∫ c( p )ψ p ( r )d 3 p
(2) 力学量算符的本征函数组成完备系 I、 数学中已经证明某些满足一定条件的厄密算符其本征函数组成 完备系（参看：梁昆淼，《数学物理方法》P324），即若： ˆ Fφ = λ φ
ˆ 2、角动量算符 Lz 本征函数
φm (ϕ ) =
1 imϕ e m=0, ± 1, ± 2... 2π
组成正交归一系
∫
π
2π
0
* φm (ϕ )φm′ (ϕ )dϕ = δ mm′
ˆ 3、角动量算符 L2 本征函数
Ylm (θ , ϕ ) = N lm Pl m (cos θ )eimϕ
量子力学中 算符及其本征函数
论文题目：ˆL算符及其本征函数量子力学中2（理工类）ˆL算符及其本征函数1量子力学中2摘要角动量算符是量子力学中一个很重要的力学量，本论文分别对2ˆL的定义、意义、性质以及作用做了阐述，给出了2ˆL算符在球坐标系中的表示式，并用经典坐标变换以及对易关系进行了推导，2ˆL是描述旋转运动及原子分子状态的一个重要的物理量，因此对2ˆL 的研究将有助于理解量子力学中的诸多问题。
本论文将采取理论分析，并结合数学推导的方法，在掌握大量材料的基础上，作出自己的见解，把理论模型建立在合理的体系上，立足实际情况对它们进行深入的分析和研究。
关键词角动量算符；空间转子；角量子数；自旋The 2ˆL in the Quantum Mechanics and Its EigenfunctionAbstractAngular momentum operator is a very important mechanics in quantum mechanics ,this paper definite the definition, significance, as well as the nature of the2ˆL operator , and gives the expression of 2ˆL operator in spherical coordinates .And according with classic and easy to transform the relationship between the derivation. The 2ˆL operator is a very important mechanics which describe rotary movement and the state of Atomic and Molecular, so it will help to understand lots of questions of quantum mechanics. This paper will take theoretical analysis, and mathematical derivation of the method, the availability of large on the basis of material to make their own opinion, the theoretical model based on a reasonable system, based on the actual situation on their conduct in-depth analysis and research.Keywordsangular momentum operator；Spatial rotor；Azimuthal quantum number；Spinning1作者简介：王慧1986年10月出生，女汉族河南兰考人，郑州大学物理工程学院凝聚态物理专业硕士研究生一年级，主要研究方向为陶瓷功能材料。
厄米算符的本征值与本征函数
即属于动量算符不同本征值的两个本征函数ψ pv′ 与ψ pv 相互正交。这是所有厄密算符的本征函数所共
有的。
2). 线性谐振子能量本征函数组成正交归一系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
线性谐振子的能量本征函数
−1α 2x2
ψ n = N ne 2 H n (αx)
∫ 组成正交归一系：
∞ψ
−∞
n*ψ
n′ dx
=
δ
nn′
3). 角动量本征函数组成正交归一系
综合上述讨论可得如下结论：既然厄米算符本征函数总可以取为正交归一化的，所以以后凡是
提到厄米算符的本征函数时，都是正交归一化的，即组成正交归一系。
6. 实例
1). 动量本征函数组成正交归一系
∫ψ *pv′ (rv)ψ pv (rv)drv = δ ( pv − pv ′)
当 pv ≠ pv ′ 时，
∫ψ *pv′ (rv)ψ pv (rv)drv = 0
1). 正交性的定义
∫ 如果两函数ψ1和ψ2满足关系式 ψ 1*ψ 2dτ = 0 ，则称ψ1和ψ2相互正交。
2). 定理 III：厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。（证明）
∫ ∫ ( Aˆψ m )*ψ ndτ = Am ψ m*ψ ndτ
∫ ∫ ∫ ( Aˆψ m )*ψ ndτ =
ψ
* m
2. 厄米算符的本征方程 1) . 涨落
涨落定义为 (ΔA)2 = ( Aˆ − A)2
证明: (ΔA)2 = ( Aˆ − A)2 ≥ 0
2) . 力学量的本征方程 若体系处于一种特殊状态，在此状态下测量 A 所得结果是唯一确定的，即：
(ΔA)2 = 0
则称这种状态为力学量 A 的本征态。
第一讲算符及其本征值与本征函数
若 Aˆ ，Bˆ 0， 则 Aˆ ，Bˆ 不对易。
补充说明
• 算符相加满足交换律、结合律：
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ, Aˆ Bˆ Cˆ Aˆ Bˆ Cˆ
• 算符相乘不满足交换律：Aˆ Bˆ BˆAˆ
• 算符相乘满足结合律： AˆBˆ Cˆ Aˆ BˆCˆ
dydz
*1 (i
) 2 dx
x
dydz(i
) *1 2
2
*1
x
dx
dydz 0 2 (i
)
x
*1
dx
dydz 2 (i
) x
*
*1
dx
dydz 2Pˆx * *1 dx (Pˆx1) * 2d
• 即： 1 *Pˆx 2d (Pˆx1)* 2d
• 所以，Pˆx 的确是厄米算符。式中利用了：
在量子力学中出现的力学量，都有 与该力学量运算效果上等效的算符。
因此通过对比，我们可以归纳出下 列的几个等效关系：
Eˆ i
t
Tˆ
Uˆ
2
2 2m
U
(r
)
Hˆ ,T
2
2,Uˆ (r ) 2m
U (r )
Pˆ i i ( i j k ), Pˆ 2 22 x y z
Pˆx i
• 当解 Aˆ 的本征方程时，可能得出 Aˆ 的某一本征
值对应的不止一个是一个本征函数，而是f个线性 无关的本征函数，则称该本征值有f度简并，并且 属于该本征值的本征函数也有f个。 • 这时，当粒子处于该f个态中的任何一个，力学量 的值都是一样的。即：
Aˆm Ami i 1, 2,......, f
积分，并利用本征函数的正交性，得：
m* d
量子力学——算符（精品pdf）
算符
目录
一、位置算符
1.1 厄米算符 1.2 （位置算符）本征值与本征函数
1.3 正则对易关系
二、动量算符
2.1 动量算符导引 2.2 （动量算符）本征值与本征函数
七、自旋算符
7.1 概论 7.2 发展史 7.3 自旋量子数
7.3.1 基本粒子的自旋 7.3.2 亚原子粒子的自旋 7.3.3 原子和分子的自旋
中心的角色。角动量，动量，与能量是物体运动的三个基
本特性
目录 3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系
3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.4 在经典力学里的对易关系 3.5 (角动量)本征值与本征函数
目录 1.1 厄米算符 1.2 本征值与本征函数 1.3 正则对易关系
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1.1厄米算符
由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量 O 的期望值是 实值的：
对于任意量子态 ，这关系都成立：
根据伴随算符的定义，假设 是 的伴随算符，则
因此，
这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符 ，都是厄米算符。
2.3 厄米算符 2.4 正则对易关系
7.3.4 自旋与统计
7.4 自旋的方向
三、角动量算符
3.1 简介 3.2 数学定义 3.3 角动量是厄米算符 3.4 对易关系
3.4.1 角动量算符算符与自己的对易关系 3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系 3.4.3 哈密顿算符与角动量算符之间的对易关系
经过一番繁杂的运算，终于得到想要的方程
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量子力学中的力学量 这一章主要介绍量子力学如何处理力学 量。主要特点是力学量与算符对应。它 涉及到量子力学特有的一整套处理力学 量的基本原理与数学方法。这一章构成 了量子力学基本理论框架的主要部分。
一、算符的引入
• 在量子力学中，当微观粒子处于某一状态时，它 的力学量（如坐标、动量、角动量、能量等）一 般不具有确定的数值，而是有一系列可能值，每 个可能值以一定的几率出现。 • 当粒子所处状态确定时，力学量具有某一可能值 的几率也就完全确定了。 • 例如氢原子中的电子处于某一束缚态时，它的坐 标和动量都没有确定值。但是这两个量具有某一 量的确定值的几率却是可以确定的。 • 对经典物理来说没有这些特点，所以，为了表述 这些特点，量子力学引入算符来表示力学量。
2 2 2 2 ˆ ˆ i ˆ U ˆ ˆ ,T E T U ( r ) H ,U (r ) U (r ) t 2m 2m ˆ i i ( i j k ), P ˆ 2 2 2 P xP ˆ i P x x x x x x ˆ xi ˆ yj ˆ zk ˆ xi yj zk r r
ˆ
ˆ
• A：泊松括号：
• •
ˆ, B ˆB ˆ ˆ] A ˆ B ˆA [A
ˆ, B ˆ 与B ˆ ] 0， 则 ˆ 对易， 若 [ A A B：
ˆ ，B ˆ ，B ˆ 0， 则 ˆ 不对易。 若A A
补充说明
• 算符相加满足交换律、结合律：
• • • •
ˆB ˆ, A ˆB ˆA ˆ B ˆ ˆB ˆA ˆ C ˆ C A
对于其它力学量的算符都可以由以 上算符导出
• 因为任何经典力学量总是r和p的函数。 • 当力学量A(r)只是r的函数，它的算符就是它本身， 即：
ˆ (r ) A(r ) A
• 当一个力学量A的经典表达式既是r的函数，又是 动量p的函数，则它的算符只需要把它的动量换成 动量算符即可。即：
ˆ (r , p ˆ (r , i ) ˆ) A A
简并度
• 不同的算符一般有不同的本征函数系和本征值谱， 因为算符不同，本征方程的数学形式不同，因而 方程解的函数形式不同。 ˆ 的某一本征 ˆ 的本征方程时，可能得出 A • 当解 A 值对应的不止一个是一个本征函数，而是f个线性 无关的本征函数，则称该本征值有f度简并，并且 属于该本征值的本征函数也有f个。 • 这时，当粒子处于该f个态中的任何一个，力学量 的值都是一样的。即：
py y 1 p y ( y) e 1/ 2 (2) i
pz z 1 p z ( z ) e 1/ 2 (2)
i
三、算符运算规则及线性厄米算符
一、算符相等：对任意函数Ψ，若 A B ˆB ˆ 则： A ˆ ˆ ˆ ˆ ( A B ) A B 二、算符和与差： ˆB ˆ (B ˆ A ˆ ) 三、算符乘： A 四、线性算符： ˆ (c c ) c A ˆ c A ˆ 成立，则 A ˆ 是线性算符。 若 A 1 2 1 2 • 五、泊松括号与算符对易： • • • • •
ˆx x
算符相乘不满足交换律： AB ˆ ˆ BA ˆˆ 算符相乘满足结合律： ˆˆ C ˆA ˆ BC ˆˆ AB x, p x 例：计算对易关系：
x x i i i i • 所以： x, p x i
二、本征函数与本征值
ˆ 作用于函数f(r)上，得出另一个函数。若算 • 算符 A 符作用于某些特殊的函数U(r)得到的结果等于某一 ˆ (r) AU (r) 常量乘以同一函数U(r)，即： AU ˆ 的本征值； U(r)称为属于这个 • 则常数A称为算符 A ˆ 的本征 本征值的本征函数。上式也被称为算符 A 方程。 • 在量子力学中，一个力学量所可能取的数值，就是 它的算符的全部本征值。本征函数所描写的状态就 是这个算符的本征态。在自己的本征态中，这个力 学量取确定值，即这个本征态所属的本征值。
ˆ A A mi m
i 1,2,......, f
补充：动量算符的本征函数
• 我们前面给出了动量算符的本征方程，那么它们 的本征函数是什么？ i p.r 其中C为归一化系数。 p (r ) Ce
由于本征值是连续分布的，本征函数模平方在整个空间 积分不能归一化为一，而只能归一化为 δ 函数。统一说 法，也说这C为归一化系数。 归一化系数C求法。 已归一化了的四个本征函数为： i i px x 1 p .r 1 p x ( x) e p ( r ) e 1/ 2 3/ 2 (2) (2)
d ˆx p i dx
d d d x px px x x x x ( x ) i i dx i dx i dx
E
• 也就是等式左边的符号作用于波函数的结果等效 于右边的能量作用于波函数的结果。 • 对于定态的薛定谔方程，当势能不显含时间t，可 以认为E=H=T+U，恰好是经典力学中的哈密顿量。
在量子力学中出现的力学量，都有 与该力学量运算效果上等效的算符。 因此通过对比，我们可以归纳出下 列的几个等效关系：
算符是对波函数进行某种数学运算的符号。
• 在推导薛定谔方程时，我们曾经得到过： i E t 2 • 以及定态薛定谔方程： 2 U (r ) E 2m • 从这两个等式我们可以发现一种等效关系：
i E t 2 2 2m U ( r )