圆弧计算公式及运用
圆弧计算公式及运用
一. 教学内容：
弧长及扇形的面积
圆锥的侧面积
二. 教学要求
1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。
2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。
三. 重点及难点
重点：
1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。
2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。
难点：
1、弧长公式、扇形面积公式的推导。
2、圆锥的侧面积、全面积的计算。
［知识要点］
知识点1、弧长公式
因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是
，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，
例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。
（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。
知识点2、扇形的面积
如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角
为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。
又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。
知识点3、弓形的面积
（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。
（2）弓形的周长＝弦长＋弧长
（3）弓形的面积
如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。
当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，
当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，
当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，
例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是（）（结果用表示）
分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以
，
所以
注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。
圆周长弧长圆面积扇形面积
公
式
（2）扇形与弓形的联系与区别
图
示
面
积
知识点4、圆锥的侧面积
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全面积
说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。
（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。
知识点5、圆柱的侧面积
圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积，圆柱的全面积
知识小结：
名称圆锥圆柱
图形
图形的形成过程
由一个直角三角形旋转得到
的，如Rt△SOA绕直线SO
旋转一周。
由一个矩形旋转得到的，如矩形
ABCD绕直线AB旋转一周。
图形的组成一个底面和一个侧面两个底面和一个侧面
侧面展开图的特征扇形矩形
面积计算方法
【典型例题】
例1. （2003.辽宁）如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为2，1，∠AOB＝120°，则阴影部分的面积是（）
A. B. C. D.
分析：阴影部分所在的两个扇形的圆心角为，
所以
故答案为：B.
例2. （2004·陕西）如图所示，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC，BC，AB＝10厘米，tan∠BAC＝，求阴影部分的面积。
分析：本题考查的知识点有：（1）直径所对圆周角为90°，（2）解直角三角形的知识（3）组合图形面积的计算。
解：因为AB为直径，所以∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝10，tan∠BAC＝，而tan∠BAC＝
设BC＝3k，AC＝4k，（k不为0，且为正数）
由勾股定理得
所以BC＝6，AC＝8，，而
所以
例3. （2003.福州）如图所示，已知扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形AOB，点C，E，D分别在OA，OB及AB弧上，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F，垂足为F，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为（）
分析：连接OD，由正方形性质可知∠EOD＝∠DOC＝45°，在Rt△OED中，OD＝，
因为正方形的边长为1，所以OE＝DE＝1，所以，设两部分阴影的面积中的一部分为M，另一部分为N，则，阴影部分面积可求，但这种方法较麻烦，用割补法解此题较为简单，设一部分空白面积为P，因为∠BOD＝∠DOC，所以
所以M＝P，所以
答案：。
例4. 如图所示，直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AB＝2，BC＝7，AD＝3，以BC为轴把直角梯形ABCD旋转一周，求所得几何体的表面积。
分析：将直角梯形ABCD绕BC旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的，所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。
解：作DH⊥BC于H，所以DH＝AB＝2
CH＝BC－BH＝BC－AD＝7－3＝4
在△CDH中，
所以
例5. （2003.宁波）已知扇形的圆心角为120°，面积为300平方厘米
（1）求扇形的弧长。
（2）若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？
分析：（1）由扇形面积公式，可得扇形半径R，扇形的弧长可由弧长
公式求得。（2）由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥的轴截面为等腰三角形ABC，（1）问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为C＝2r，底面圆
半径r即CD的长可求，圆锥的高AD可在Rt△ADC中求得，所以可求。
解：（1）设扇形的半径为R，
由，得，解得R＝30.
所以扇形的弧长（厘米）。
（2）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝R＝30，BC＝2r，底面圆周长C＝2r，因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以
在Rt△ADC中，高AD＝
所以轴截面面积（平方厘米）。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）
一、选择题
1. 若一个扇形的圆心角是45°，面积为2л，则这个扇形的半径是（）
A. 4
B. 2
C. 47л
D. 2л
2. 扇形的圆心角是60°，则扇形的面积是所在图面积的（）
A. B. C. D.
3. 扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（）
A. 90°
B.
C.
D.180°
4. 两同心圆的圆心是O，大圆的半径是以OA，OB分别交小圆于点M，N．已知大圆半径是小圆半径的3倍，则扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的（）
A. 2倍
B. 3倍
C. 6倍
D. 9倍
5. 半圆O的直径为6cm，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积是（）
A. B.
C. D.
6 用一个半径长为6cm 的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（）
A. 2cm
B. 3cm
C. 4cm
D. 6cm
7. 圆锥的全面积和侧面积之比是3 ：2，这个圆锥的轴截面的顶角是（）
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
8. 已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1∶2，则它们的高之比为（）
A. 2：1
B. 3：2
C. 2：
D. 5：
9. 如图，在△ABC中，∠C ＝Rt∠，AC > BC，若以AC为底面圆半径，BC为高的圆锥的侧面积为S1，以BC为底面圆半径，AC为高的圆锥的侧面积为S2，则（）
A. S1＝S2
B. S1 > S2
C. S1 < S2
D. S1、S2的大小关系不确定
二、填空题
1. 扇形的弧长是12лcm，其圆心角是90°，则扇形的半径是cm ，扇形的面积是cm
2.
2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是.
3. 已知扇形面积是12cm2，半径为8cm，则扇形周长为.
4 在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝90°，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△ABC绕AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2，则S1：S2＝。
5. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm，要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有cm。
6. 如图，扇形AOB的圆心角为60°，半径为6cm，C，D分别是的三等分点，则阴影部分的面积是。
7. 如图正方形的边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2为半径画弧，则阴影部分面积为。
三、计算题
1. 如图，在Rt△ABC中，AC＝BC ，以A为圆心画弧，交AB于点D，交AC延长线于点F，交BC于点E，若图中两个阴影部分的面积相等，求AC与AF的长度之比（л取3）。
2. 一个等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的侧面积是S1，另一个圆锥的侧面积是S2，
如果圆锥和圆柱等底等高，求．
3. 圆锥的底面半径是R，母线长是3R，M是底面圆周上一点，从点M拉一根绳子绕圆锥一圈，再回到M点，求这根绳子的最短长度．
圆形弧形计算公式
在做工程造价时，有些时候工程量的计算是没必要计算的那么准确的，那么一小点工程量对总造价是没什么太大的影响的.比如楼主所说的弧形阳台的面积，主要是阳台弧形那部分的面积，其实楼主可以采用一个细线沿弧形阳台的外边线测量一下，然后根据图纸的比例和线的长度计算出实际的弧长，然后利用公式就可以求出弧形那部分的面积了F=1/2*[r*(L-C)+C*h] 其中L代表的是弧长，C代表的是弦长，h代表从圆弧部分到弦的最长垂直距离.在计算弧形梁时可以采用同样的办法计算出梁的实际长度，答案就出来了. 圆弧面积公式： 0.5*×弧长×半径 或 圆面积×圆心角÷360度 用扇形面积减三角形面积 扇形面积公式_s=1/2 L*r S-面积L-弧长r-圆的半径 关键就是圆弧所对圆的R要知道 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) r—扇形半径 a—圆心角度数 球的体积公式: V球=4/3 π r^3 球的面积公式: S球=4π r^2 ***************************************************************** 附:推导过程(可能会看不懂(涉及到了大学的微积分),就当学点知识吧,呵呵) 1．球的体积公式的推导 基本思想方法： 先用过球心的平面截球，球被截面分成大小相等的两个半球，截面⊙叫做所得半球的底面．
（l）第一步：分割． 用一组平行于底面的平面把半球切割成层． （2）第二步：求近似和． 每层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，我们用小圆柱形的体积近似代替“小圆片”的体积，它们的和就是半球体积的近似值． （3）第三步：由近似和转化为精确和． 当无限增大时，半球的近似体积就趋向于精确体积． 2．定理：半径是的球的体积公式为：． 3．体积公式的应用 求球的体积只需一个条件，那就是球的半径．两个球的半径比的立方等于这两个球的体积比． 球内切于正方体，球的直径等于正方体的棱长；正方体内接于球，球的半径等于正方体棱长的倍（即球体对角钱的一半）；棱长为的正四面体的内切球的半径为，外接球半径为． 也可以用微积分来求，不过不好写 ================================================================ ====== 球体面积公式: 可用球的体积公式+微积分推导 定积分的应用：旋转面的面积。好多课本上都有，推导方法借助于曲线的弧长。 让圆y＝√(R^2－x^2)绕x轴旋转，得到球体x^2+y^2+z^2≤R^2。求球的表面积。 以x为积分变量，积分限是[－R，R]。 在[－R，R]上任取一个子区间[x，x+△x]，这一段圆弧绕x轴得到的球上部分的面积近似为2π×y×ds，ds是弧长。 所以球的表面积S＝∫<－R，R>2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到S＝4πR^ 求各种图形的面积公式 圆πR^2 椭圆πab 长方形ab 圆内接四边形根号下（(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) ）
圆弧计算公式及运用
圆弧计算公式及运用 一. 教学容： 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点： 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点： 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 ［知识要点］ 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：， 说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。 （2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。 知识点3、弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 （3）弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示， 当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，
圆弧计算公式
一. 教学内容： 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点： 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点： 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 ［知识要点］ 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是 ，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”， 例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。 （2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角 为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。 知识点3、弓形的面积
（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 （3）弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示， 当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示， 例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是（）（结果用表示） 分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC ＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以 ， 所以 注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式 （2）扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积
弧长的公式、扇形面积公式
【本讲教育信息】 一. 教学内容： 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点： 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点： 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 ［知识要点］ 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是 ，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”， 例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。 （2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角 为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。 知识点3、弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长
（3）弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示， 当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示， 例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是（）（结果用表示） 分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以 ， 所以 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式 （2）扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积 知识点4、圆锥的侧面积
弧长计算公式及扇形面积计算公式
教学目标 知识与技能经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题 过程与方法经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力;了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力. 情感态度与价值观经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性;通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力. 重点经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形面积计算公式;会用公式解决问题. 难点探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题. 教学流程设计 活动流程图活动内容和目的 (一)复习、引出问题回顾旧知,提出相关新问题 (二)分析、探究、得出公式学生通过观察、探究得出弧长及扇形面积公式 (三)公式应用弧长及扇形面积公式的应用 (四)应用、练习利用公式解决数学问题 (五)小结归纳所学知识 (六)作业布置适当的作业,加深对知识的理解 教学过程设计 问题与情景师生行为设计意图 【活动一】复习,引出问题 1.半径为R的圆的周长是多少?圆周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧? 2.1°圆心角所对弧长是多少?2°呢?……n°呢? 老师提出问题,学生思考并回答回顾旧知识,提出新问题 【活动二】观察,得出弧长公式: 在半径为R的图中,n°的圆心角所对的弧长为: 并直接应用公式进行有关的练习让学生观察,师生共同推导出弧长公式,并能正确应用公式进行计算理解弧长与圆心角、半径之间的关系,探索弧长的计算公式,并运用公式进行计算 【活动三】提问:1、什么是扇形?2、半径为R的圆的面积是多少? 类比【活动一】【活动二】,由扇形面积与圆的面积的关系,得出扇形面积公式为:
弧长的计算公式(终审稿)
弧长的计算公式公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
1°的圆心角所对的弧长的n 倍，即 180 R n l π= ⑶引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算公式，弧长计算公式 180 R n l π= ，揭示了R n l ,,这3个量之间的一种相等关系。在R n l ,,这3个量中，如果知道其中的两个量，就可以由弧长计算公式，求出另一个量。 强调：公式中的n 不带单位，n 表示1°的圆心角所对的弧长的倍数 师 生 互 动 过 程 教学内容和学生活动 教师活动 三、例题讲解 例1 弯制铝合金框架时，先要按中心线计算框架的展直长度再下料，计算如图所示框架的展直长度（精确到1mm ） 四、练习 1、已知圆弧的半径为30cm ，它所对 ? 学生小组交流讨论，然后找一名学生到黑板上板演
的圆心角为70o，求这条圆弧的长度（精确到） 2、已知圆的半径为9cm，求20o的圆 心角所对的弧的长度（精确到） 3、已知一条弧的长度为πR／4，半径为R，求这条弧所对的圆心角的度数 4、如图,已知扇形的圆心角为150°,弧长为20πcm,求扇形的半径. 学生讨论，找学生到黑板板演 教学内容和学生活动教师活动
师生互动过程练习2:如图,圆心角为60°的扇形的 半径为10cm, 求这个扇形的周长. 补充： 如图，某传送带的一个转动 轮的半径为10cm. 1)转动轮转一周,传送带上的物品 A被传送多少厘米 2)转动轮转1°,传送带上的物品 A被传送多少厘米 3)转动轮转n°,传送带上的物品 A被传送多少厘米 五、小结 布置作业 ? 学生思考 板书设计
弧长计算公式及扇形面积
课题： 课型：新授课 教学目标： 1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力； 2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题，训练学生的数学应用能力； 3．使学生了解计算公式的同时，体验公式的变式，使学生在合作与竞争中形成良好的数学品质． 教学重点： 经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程；了解弧长及扇形的面积计算公式；会利用公式解决问题． 教学难点： 探索弧长及扇形的面积计算公式；用公式解决问题． 教学准备： 多媒体课件、几何画板软件． 教法学法： 多媒体教学、演示教学和自主探究法 教学过程： 一、创设情境，引入新课． 师：今天大家是怎么来上学的？ 生：自行车/电动车/步行/坐十路车． 师：看来咱们班多数同学一天的学习生活都是从车轮开始的． 生发出会心的笑声． 师：大家看这辆自行车，它的车轮的半径是30cm，车轮转动一周，车子将会前进多少？
生：60πcm ． 师：这实际上就是利用圆的周长公式计算的，那圆的面积公式是什么？圆的圆心角是多少度？ 生：若圆的半径是r ，则面积是2S r π=，圆的圆心角是360°． 师：看得出来同学们对一整个圆已经是相当的了解了，我们今天要来把圆剖析一下，来研究一下“弧长及扇形的面积”（板书课题）． 设计意图：激发学生的求知欲望，肯定学生的合理答案． 二、师生互动，探究新知 活动1 探索弧长公式 师：我们知道车轮转动一周是360°，那如果车轮转动180°，车子将会前进多少厘米？ 生：30πcm ．因为车轮转动180°，是转动了半圈，所以车子前进的距离是圆周长的一半． 师：那如果车轮转动了90°，车子将会前进多少厘米？ 生：15πcm ．因为车轮转动90°，是转动了四分之一圈，所以车子前进的距离是圆周长的一半． 师：那如果车轮转动1°呢？转动n °呢？ 小组研讨交流、计算． 师参与、辅助、组织学生阐述解决问题的方法． 生：因为圆的周长所对的圆心角是360°，所以车轮转动1°，车子将前进圆周长的 1 360 ；车轮转动n °，车子前进的距离是车轮转动1°时的n 倍，也就是圆周长的360n ．所以，当车轮转动1°时，车子前进 11 2306360180 r πππ?=?=cm; 当车轮转动n °时，车子前进2303601806 n n n r πππ?=?=cm. 师：同学们能不能通过以上探究总结一下在半径为R 的圆中，n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式是什么？ 学生思考． 生： 180 n l r π= ． 师：是的，这里同学们要特别注意，公式中的n 表示的是1°的圆心角的倍数，所以不写单位；如图所示?AB 的弧长记作： ?180 l n AB r π=．请同学们记住这个公式． 学生识记公式． 设计意图：关于弧长的计算，我从一个生活中的实际问题出发，设计了5个小问题，从具体到抽象，让小组的同学讨论分
圆弧计算公式及运用
圆弧计算公式及运用 一. 教学内容： 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点： 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点： 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 ［知识要点］ 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是 ，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”， 例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。 （2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角 为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。 知识点3、弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 （3）弓形的面积
如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示， 当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示， 例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是（）（结果用表示） 分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以 ， 所以 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式 （2）扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积 知识点4、圆锥的侧面积
弧长的计算公式
高庙王中学双案教学设计 学科数学年级九时间 11.27 总序 号 51 课题 弧长的计算公式 主备人甄守鲁 授课人甄守鲁 教学目标 和 学习目标1、经历探索弧长计算公式的过程，会推导弧长的计算公式 2、会运用弧长计算公式计算有关问题 教学重点 教学难点 目标2 师生互动过程 教学内容和学生活动教师活动一、创设情境引入新课 某圆拱桥的半径是30m，桥拱AB 所对的圆心 角∠AOB=90°，你会求桥拱AB的长度吗？（精确到 0.1m） 出示课本中小亮的做法，让学生判断正误 二、探索活动 1、探索弧长计算公式 ⑴1°的圆心角所对的弧长是多少？ 分析：1°的圆心角所对的弧长是圆周长的 360 1 ，即 180 360 2R Rπ π = ⑵n°的圆心角所对的弧长是多少？ 分析：n°的圆心角所对的弧长是1°的圆心 角所对的弧长的n倍，即 180 R n l π = ⑶引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算 公式，弧长计算公式 180 R n l π =，揭示了R n l, ,这3 个量之间的一种相等关系。在R n l, ,这3个量中， 如果知道其中的两个量，就可以由弧长计算公式， 求出另一个量。 出示问题，让学 生自主探索 强调：公式中的 n不带单位，n 表示1°的圆心 角所对的弧长的 倍数
师生互动过程 教学内容和学生活动教师活动三、例题讲解 例1 弯制铝合金框架时，先要按中心线计算框 架的展直长度再下料，计算如图所示框架的展直长 度（精确到1mm） 四、练习 1、已知圆弧的半径为30cm，它所对的圆心角 为70o，求这条圆弧的长度（精确到0.1cm） 2、已知圆的半径为9cm，求20o的圆心角所对 的弧的长度（精确到0.1cm） 3、已知一条弧的长度为πR／4，半径为R，求 这条弧所对的圆心角的度数 4、如图,已知扇形的圆心角为150°,弧长为20π cm,求扇形的半径. 学生小组交流讨 论，然后找一名 学生到黑板上板 演 学生讨论，找学 生到黑板板演
弧长 计算公式
弧长计算公式 弧长的定义 在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。有优弧劣弧之分。弧长的计算公式 弧长公式:n是圆心角度数，r是半径，a是圆心角弧度。 公式 l = n（圆心角）x π（圆周率）x r（半径）/180 在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πR÷180°。 例：半径为1cm，45°的圆心角所对的弧长为 l=nπR/180 =45×π×1/180 =45×3.14×1/180 约等于0.785(cm) 拓展 扇形面积公式：S（扇形面积）=n（圆心角度数）x π（圆周率）x r²【半径的平方（2次方）】/360 例子 如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径
为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。 补充公式 S扇=nπr*2/360 =πrnr/360 =2πrn/360×1/2r =πrn/180×1/2r 所以：S扇=rL/2 还可以是S扇=n/360πr² (n为圆心角的度数，L为该扇形对应的弧长。) 圆锥母线,弧长,面积计算公式 圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积 其中：圆锥体的侧面积=πRL 圆锥体的全面积=πRl+πR2 π为圆周率≈3.14 R为圆锥体底面圆的半径 L为圆锥的母线长我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线 （注意：不是圆锥的高）是展开扇形的边长 n圆锥圆心角=r/l*360 360r/l 弧长=圆周长
弧长公式、扇形面积公式及其应用(含经典习题)
弧长公式、扇形面积公式及其应用(含经典习题)
【本讲教育信息】 一. 教学内容： 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点： 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点： 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 ［知识要点］ 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C ＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的 弧长l的计算公式：，
说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧 长l时，不要错写成。 （2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1°的扇形 面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计 算公式是。 又因为扇形的弧长，扇形面积 ，所以又得到扇形面积的另一个计 算公式：。 知识点3、弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 （3）弓形的面积
知识点4、圆锥的侧面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全面积 说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。 （2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。 知识点5、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积，圆柱的全面积
(完整版)初三数学圆弧扇形公式最详细
初三数学圆及圆弧、扇形等知识点公式最详细圆 1、（要求深刻理解、熟练运用）
1．不在一直线上的三个点确定一个圆. 2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形. 三 公式： 1.有关的计算： （1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L=180R n π；（3）圆的面积S=πR 2. （4）扇形面积S 扇形 =LR 21 360R n 2=π； （5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图） 2.圆柱与圆锥的侧面展开图： （1）圆柱的侧面积：S 圆柱侧 =2πrh ； (r:底面半径；h:圆柱高) （2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 21 =πrR. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径） 四 常识： 1． 圆是轴对称和中心对称图形. 2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数. 3． 三角形的外心 ? 两边中垂线的交点 ? 三角形的外接圆的圆心； 三角形的内心 ? 两内角平分线的交点 ? 三角形的内切圆的圆心. 4． 直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径） 直线与圆相交 ? d ＜r ； 直线与圆相切 ? d=r ； 直线与圆相离 ? d ＞r.
5．圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且R≥r）两圆外离? d＞R+r；两圆外切? d=R+r；两圆相交? R-r＜d＜R+r； 两圆内切? d=R-r；两圆内含? d＜R-r. 6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.
圆弧计算公式及运用
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圆弧计算公式及运用 一. 教学内容： 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点： 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点： 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 ［知识要点］ 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所 对的弧长是，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l 的计算公式：， 说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不 要错写成。 （2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于 圆面积，所以圆心角为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。
知识点3、弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 （3）弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示， 当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示， 例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是（）（结果用表示） 分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以 ， 所以 圆周长弧长圆面积扇形面积 公 式
弧长计算公式
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弧长计算公式 在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。有优弧劣弧之分。 弧长公式:n是圆心角度数，r是半径，a是圆心角弧度。 公式 l = n（圆心角）x π（圆周率）x r（半径）/180 在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πR÷180°。 例：半径为1cm，45°的圆心角所对的弧长为 l=nπR/180 =45×π×1/180 =45××1/180 约等于(cm) 拓展 扇形面积公式：S（扇形面积）=n（圆心角度数）x π（圆周率）x r²【半径的平方（2次方）】/360
如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。 补充公式 S扇=nπr*2/360 =πrnr/360 =2πrn/360×1/2r =πrn/180×1/2r 所以：S扇=rL/2 还可以是S扇=n/360πr² (n为圆心角的度数，L为该扇形对应的弧长。) 圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积 其中：圆锥体的侧面积=πRL 圆锥体的全面积=πRl+πR2 π为圆周率≈ R为圆锥体底面圆的半径 L为圆锥的母线长我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线 （注意：不是圆锥的高）是展开扇形的边长 n圆锥圆心角=r/l*360 360r/l
弧长计算公式
在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。有优弧劣弧之分。 弧长公式:n是圆心角度数，r是半径，a是圆心角弧度。 公式 l = n（圆心角）x π（圆周率）x r（半径）/180 在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πR，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πR÷180°。 例：半径为1cm，45°的圆心角所对的弧长为 l=nπR/180 =45×π×1/180 =45××1/180 约等于(cm) 拓展 扇形面积公式：S（扇形面积）=n（圆心角度数）x π（圆周率）x r²【半径的平方（2次方）】/360 如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。 补充公式
S扇=nπr*2/360 =πrnr/360 =2πrn/360×1/2r =πrn/180×1/2r 所以：S扇=rL/2 还可以是S扇=n/360πr² (n为圆心角的度数，L为该扇形对应的弧长。) 圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积 其中：圆锥体的侧面积=πRL 圆锥体的全面积=πRl+πR2 π为圆周率≈ R为圆锥体底面圆的半径 L为圆锥的母线长我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意 一点的线段叫作圆锥的母线 （注意：不是圆锥的高）是展开扇形的边长 n圆锥圆心角=r/l*360 360r/l 弧长=圆周长 侧面展开图的圆心角求法：n=360r/R=πRr或2πr=nπr/180 n=360r/R 。如果题目中有切线，经常用的辅助线是链接圆心和切点的半径，得到直角，再用相关知识解题。
初三数学圆弧扇形公式最详细
初三数学 圆及圆弧、扇形等知识点公式最详细 圆 1、（要求深刻理解、熟练运用） 1.垂径定理及推论: 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理， 即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”. 几何表达式举例： ∵ CD 过圆心 ∵CD ⊥AB 3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中） “等角对等弦”； “等弦对等角”； “等角对等弧”； “等弧对等角”； “等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”； “等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”. 几何表达式举例： (1) ∵∠AOB=∠COD ∴ AB = CD (2) ∵ AB = CD ∴∠AOB=∠COD （3）…………… 4．圆周角定理及推论: （1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半； （2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) （3）“等弧对等角”“等角对等弧”； （4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图) （5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图) （1） （2）（3） （4） 几何表达式举例： （1） ∵∠ACB=21 ∠AOB ∴ …………… （2） ∵ AB 是直径 ∴ ∠ACB=90° （3） ∵ ∠ACB=90° ∴ AB 是直径 （4） ∵ CD=AD=BD ∴ ΔABC 是Rt Δ 5．圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外 角都等于它的内对角. 几何表达式举例： ∵ ABCD 是圆内接四边形 ∴ ∠CDE =∠ABC ∠C+∠A =180° 6．切线的判定与性质定理: 如图：有三个元素，“知二可推一”； 需记忆其中四个定理. （1）经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线； （2）圆的切线垂直于经过切点的半径； 几何表达式举例： （1） ∵OC 是半径 ∵OC ⊥AB ∴AB 是切线 （2） ∵OC 是半径 ∵AB 是切线 ∴OC ⊥AB A B C D E O 平分优弧过圆心 垂直于弦 平分弦 平分劣弧 ∴ AC BC AD BD ==AE=BE A B C D E F O A B C O A B C D E A B C O A B C D A B C O 是半径垂直是切线
扇形弧长和面积公式
扇形的弧长公式和面积公式教案 价值观经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性;通教学目标知识与技能经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题过程与方法经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力;了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数学运用能力. 情感态度与过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力. 重点经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形面积计算公式;会用公式 解决问题. 难点探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题. 教学流程设计 活动流程图活动内容和目的 (一)复习、引出问题回顾旧知,提出相关新问题 (二)分析、探究、得出公式学生通过观察、探究得出弧长及扇形面积公式 (三)公式应用弧长及扇形面积公式的应用 (四)应用、练习利用公式解决数学问题 (五)小结归纳所学知识 (六)作业布置适当的作业,加深对知识的理解 教学过程设计 问题与情景师生行为设计意图 【活动一】复习,引出问题 1.半径为R的圆的周长是多少?圆周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧? 2.1°圆心角所对弧长是多少?2°呢?……n°呢? 老师提出问题,学生思考并回答回顾旧知识, 提出新问题 【活动二】观察,得出弧长公式: 在半径为R的图中,n°的圆心角所对的弧长为: 并直接应用公式进行有关的练习让学生观察,师生共同推导出弧长公式,并能正确应用公式进行计算理解弧长与圆心角、半径之间的关系,探索弧长的计算公式,并运用公式进行计算【活动三】提问:1、什么是扇形?2、半径为R的圆的面积是多少? 类比【活动一】【活动二】,由扇形面积与圆的面积的关系,得出扇形面积公式为: 比较: 与 得到扇形面积 另一个公式为: 让学生观察,师生共同推导出扇形面积公式,并能正确应用理解扇形面积与圆心角、半径之间的关系,探索扇形的面积公式,并运用公式进行计算 【活动四】应用、练习 例1、如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm,其中水面高0.3cm,求截面上 有水部分的面积。(精确到0.01cm)。 例2、如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D两两不相交,且半径都是2cm,求图中阴影部分的面积。老师展示例题,学生阅读并寻找解题方法使学生能够运用所学的知识解决数学问题 【活动五】探究与拓展 探究2、如图,A是半径为1的圆O外一点,且OA=2,AB是⊙O的切线,BC//OA,连结AC,
圆弧滑动计算方法
承载能力极限状态 1）根据JTJ250-98《港口工程地基规范》的5.3.2规定，土坡和地基的稳定性验算，其危险滑弧应满足以下承载能力极限状态设计表达式： /Sd Rk R M M γ≤ 式中：Sd M 、Rk M ——分别为作用于危险滑弧面上滑动力矩的设计值和抗滑力矩的标准值； R γ为抗力分项系数。 2）采用简单条分法验算边坡和地基稳定，其抗滑力矩标准值和滑动力矩设计值按下式计算： ()cos tan ()sin Rk ki i ki i ki i ki Sd s ki i ki i M R C L q b W M R q b W α?γα??=+ +?? ??=+?? ∑∑∑ 式中：R ——滑弧半径（m ）； s γ——综合分项系数，取1.0； ki W ——永久作用为第i 土条的重力标准值（KN/m ），取均值，零压线以 下用浮重度计算； ki q ——第i 土条顶面作用的可变作用的标准值（kPa ）； i b ——第 i 土条宽度（m ）； i α——第i 土条滑弧中点切线与水平线的夹角（°）； ki ?、ki C ——分别为第i 土条滑动面上的内摩擦角（°）和粘聚力（kPa ） 标准值，取均值； i L ——第 i 土条对应弧长（m ）。 3）地基稳定性计算步骤 （1） 确定可能的滑弧圆心范围。通过边坡的中点作垂直线和法线，以坡面中点为圆心，分别以1/4坡长和5/4坡长为半径画同心圆，最危险滑弧圆心即在该4条线所包含的范围内。
（2） 作滑动滑弧。选定某些滑动圆心，作圆与软弱层相切，则与防波堤及土层相交的圆弧即为滑弧。 （3） 进行条分。对滑弧内的土层等进行条分，选择土条的宽度，并且对土条进行编号。 （4） 计算各个土条的自重力。利用公式ki i i i W h b γ=计算各个土条的自重力。 （5） 计算滑弧中点切线与水平线的夹角。作滑弧的中点切线，读出它与水平线之间的夹角，注意滑弧滑动的方向，确定夹角的正负。 （6） 确定土条内滑弧的内摩擦角与粘聚力。对于不同的土层，内摩擦角与粘聚力取均值。 （7） 计算危险弧面上的滑动力矩与抗滑力矩。利用公式计算抗滑力 矩 和 滑 动 力 矩。 抗滑力矩为 ( )c o R k k i i k i i k i i k i M R C L q b W α???= ++ ?? ∑ ∑；而滑动力矩为()sin Sd s ki i ki i M R q b W γα??=+??∑。 确定是否满足要求。利用承载能力极限状态设计表达式/Sd Rk R M M γ≤判断是否满足稳定性的要求。
弓形(弧形)面积全能公式计算表
弓形(弧形)面积全能公式计算表 弓形(弧形)面积计算全能公式表 静闲翡翠林于2014年6月27日创建2014年11月16日完善弧(弓)形面积==面积--扇形中的三角形面积 弦心距==2√[半径2--(弦长÷2)2] 弦心距==半径--矢高 扇形中的三角形面积==2√[半径2--(弦长÷2)2]×半径÷2 扇形面积==半径2×3.14÷360×弧对应圆心角 周长==半径×2×3.14==直径×3.14
弧与周长的%==弧÷周长×100 弧对应圆心角==(弧÷周长×100)×360÷100 弧对应圆心角==弧÷周长×360 矢高==半径--弦心距 说明：2√[……]：表示括号内的计算结果必须开二次方； 弧两端点对应圆心的三角形就是扇形中的三角形(等腰)； 弦中点到圆心的距离，简称“弦心距”，也可叫“中位线”； 弧中点到弦中点的距离，简称“矢高”； 弧长、弦长、半径、矢高、中心角等可全部或部分从电子图中获取；以上计算公式可利用电子表格创建一个非常方便的功能计算表如下弓形(弧形)面积全能公式计算表部位名称
弧长 矢高弦长 弦心距 半径周长 弧/ 周% 中心角 弧面积
1 2 3 4 5 6 7 8 9计算式：2=5--4 6=5×2×3.14 7=1÷6×100 8=7×360÷100 8=1÷6×360 4=5--√[52--(3÷2)2] 9=5×5×3.14
÷360×8--3×(5--2)÷2 2居室台顶3.591 0.340 3.508 4.360 4.700 29.516 12.166 43.799 0.791 2居厅台顶 4.266 0.476 4.121 4.224 4.700 29.516 14.453 52.031 1.321