电磁场第11章
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第11章 变化的磁场和变化的电场
v
B
A
FK
据电动势定义： B EK dl
∴ 动生电动势
i EK dl(vB)源自dl应用i
(v
B)
dl
a
b vBdl
vBl
B
a l dlv
b
磁场中的运动导线成为电源，非静电力是洛伦兹力
讨论
d
(v
B) dl
dl
(1) 注意矢量之间的关系
v
B
0
i 0
v
B
O
i
(v B) dl
A
R
O vBdl
B v
O dl l A
R
R
O (R l)Bdl
方向
R2B R2 B BR 2 0
2
2
A O
例 在匀强磁场 B 中，长 R 的铜棒绕其一端 O 在垂直于 B 的
平面内转动，角速度为
求 棒上的电动势
解 方法三(法拉第电磁感应定律):
在 dt 时间 dΦ B dS
第11章 变化的磁场和变化的电场
M.法拉第(1791~1869)伟大的物理学家、化学家、19世纪最伟大的 实验大师。右图为法拉第用过的螺绕环
本章内容
11. 1 电磁感应 dΦ
dt
11. 2 感应电动势 11. 3 自感和互感 简介 11. 4 磁场能量 简介 11. 5 麦克斯韦电磁场理论 简介
求 线框中的感应电动势。
入手：从所求问题入手！
解
dΦ
dt
dΦ B dS I
通过导体线框的每个位置的 B 不同，
l
v a
取面积元 dS 如图：
b
Φ B dS Bcos dS
第11章 麦克斯韦方程组
1 2 we = ε0E 2
电磁场的总能量密度为： 电磁场的总能量密度为：
B2 wm = 20
2
1 B 2 2 w = we + wm = ε0E + = ε0E 2 20
B = E/ c
c= 1
ε00
2、电磁波的能流密度 S 、 电磁波的能流密度： 电磁波的能流密度： 单位时间通过垂直于传播 方向、单位截面的电磁波的能量。 方向、单位截面的电磁波的能量。 为垂直于传播方向的一个面元， 设dA 为垂直于传播方向的一个面元，在dt 时 间内通过此面元的能量，应是底面积为dA，厚度为 间内通过此面元的能量，应是底面积为 ， cdt 的柱形体积内的能量： 的柱形体积内的能量：
dE Jd = ε0 dt
dΦe E dS Id = ε0 = ε0 ∫ S t dt
2、变化的磁场产生感生电场 、
B ∫L Ei dr = ∫S t dS
将静电场和稳恒磁场的方程进行补充和推广， 将静电场和稳恒磁场的方程进行补充和推广，导 出了电磁场所满足的基本方程——麦克斯韦方程组， 麦克斯韦方程组， 出了电磁场所满足的基本方程 麦克斯韦方程组 建立了电磁场理论，并预言了电磁波的存在。 建立了电磁场理论，并预言了电磁波的存在。
S=
1
0
E× B
所以坡印亭矢量 S 指向 电容器内部。 电容器内部。
由全电流定律： 由全电流定律：
d ∫LB dr = 0 (Ic +ε0 dt ∫SE dS)
得电容器外缘处的磁感应强度为： 得电容器外缘处的磁感应强度为：
dE B 2πR = 0ε0 (πR ) dt
2
B=
S=
0ε0R dE
2
=
§11-4 磁场的能量 磁场能量密度
Wm = ∫V dWm = ∫V wmdV体
第11章 电磁感应与电磁场 §11.4 磁场的能量 磁场能量密度 章 电磁感应与电磁场
2
例： 计算半径为 R、 、 长为 l、通有电流 I 、 、 磁导率为 µ 的均匀载 流圆柱导体内磁场能 量。 解：由介质中安培环 路定理确定导体内的 磁感应强度 B ， 导体内沿磁力线作半 径为 r 的环路， 的环路，
第11章 电磁感应与电磁场 §11.4 磁场的能量 磁场能量密度 章 电磁感应与电磁场
时间内， 在 dt 时间内，电流 i 克服线圈中自感 电动势作的元功为： 电动势作的元功为：
dA = − iε i dt
某一时刻自感Biblioteka 动势为： 某一时刻自感电动势为： di ε i = −L dt 则
0→I
线圈中电流从 0 变化到 I 过程中电流 作的总功为： 作的总功为：
第11章 电磁感应与电磁场 §11.4 磁场的能量 磁场能量密度 章 电磁感应与电磁场
di = Lidi dA = iL dt dt
dA = Lidi
A= ∫
I 0
1 2 dA = ∫ Lidi = LI 2
1 2 A = LI 2
电流作功使线圈能量改变，作功等于末态 电流作功使线圈能量改变， 线圈能量减去初态线圈的能量。 线圈能量减去初态线圈的能量。
ε
K
第11章 电磁感应与电磁场 §11.4 磁场的能量 磁场能量密度 章 电磁感应与电磁场
这是由于线圈中的磁场能量释放给 灯泡。当电键 K 打开时，电路中电流迅 灯泡。 打开时， 速减小，在线圈中产生自感电动势， 速减小，在线圈中产生自感电动势，这 个自感电动势比电源电动势要大， 个自感电动势比电源电动势要大，所以 灯泡比原来还亮一些，最后灯泡熄灭。 灯泡比原来还亮一些，最后灯泡熄灭。 线圈中的能量， 线圈中的能量， 是由于线圈在通电过 L 程中， 程中，电流克服自感 电动势作功， 电动势作功，使线圈 ε K 具有能量。 具有能量。 稳恒电流的功为： 稳恒电流的功为： A = IUt
第11章 电磁感应与电磁场 §11.4 磁场的能量 磁场能量密度 章 电磁感应与电磁场
2
例： 计算半径为 R、 、 长为 l、通有电流 I 、 、 磁导率为 µ 的均匀载 流圆柱导体内磁场能 量。 解：由介质中安培环 路定理确定导体内的 磁感应强度 B ， 导体内沿磁力线作半 径为 r 的环路， 的环路，
第11章 电磁感应与电磁场 §11.4 磁场的能量 磁场能量密度 章 电磁感应与电磁场
时间内， 在 dt 时间内，电流 i 克服线圈中自感 电动势作的元功为： 电动势作的元功为：
dA = − iε i dt
某一时刻自感Biblioteka 动势为： 某一时刻自感电动势为： di ε i = −L dt 则
0→I
线圈中电流从 0 变化到 I 过程中电流 作的总功为： 作的总功为：
第11章 电磁感应与电磁场 §11.4 磁场的能量 磁场能量密度 章 电磁感应与电磁场
di = Lidi dA = iL dt dt
dA = Lidi
A= ∫
I 0
1 2 dA = ∫ Lidi = LI 2
1 2 A = LI 2
电流作功使线圈能量改变，作功等于末态 电流作功使线圈能量改变， 线圈能量减去初态线圈的能量。 线圈能量减去初态线圈的能量。
ε
K
第11章 电磁感应与电磁场 §11.4 磁场的能量 磁场能量密度 章 电磁感应与电磁场
这是由于线圈中的磁场能量释放给 灯泡。当电键 K 打开时，电路中电流迅 灯泡。 打开时， 速减小，在线圈中产生自感电动势， 速减小，在线圈中产生自感电动势，这 个自感电动势比电源电动势要大， 个自感电动势比电源电动势要大，所以 灯泡比原来还亮一些，最后灯泡熄灭。 灯泡比原来还亮一些，最后灯泡熄灭。 线圈中的能量， 线圈中的能量， 是由于线圈在通电过 L 程中， 程中，电流克服自感 电动势作功， 电动势作功，使线圈 ε K 具有能量。 具有能量。 稳恒电流的功为： 稳恒电流的功为： A = IUt
大学物理学-位移电流与麦克斯韦方程组
大学物理学
dE
πr 2
dt
H
r
dE
0
2
dt
B 0 H
章目录
1
dE
0 0
r
2
dt
节目录
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大学物理学
章目录
节目录
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11.2 位移电流与麦克斯韦方程组
1975年夏，美国加利福尼亚大学和休斯顿大学的一个联合科研小组声称发现了
磁单极的痕迹。
1982年2月14日下午1时53分， Cabrera（卡勃莱拉）他的仪器测到磁通量突然
增高。经过反复研究，卡勃莱拉认为这是磁单极进入铌线圈引起的变化。
ර ⋅ dԦ ＝ න Ԧ0 ⋅ dԦ + න
I传 0
⋅ dԦ
ර ⋅ dԦ ＝ න
位移电流（变化的电场）和传导电流一样，可在其周围空间激发起涡旋磁场，
这一点已在实验中得到了证实。
变化的电场激发涡旋磁场
D
t
D
t
H
右手螺旋法则
大学物理学
变化的磁场激发涡旋电场
ර ⋅ dറ = −
d
电和磁不对称
d m
E
的环流有
，没有磁流
dt
d D
B的环流有
I，但没有
dt
ර ⋅ dറ = 0
没有磁荷，所以没有磁流；
可以存在变化的电场？？
2、位移电流与全电流
L
S1
S2
1）位移电流：
dE
πr 2
dt
H
r
dE
0
2
dt
B 0 H
章目录
1
dE
0 0
r
2
dt
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大学物理学
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11.2 位移电流与麦克斯韦方程组
1975年夏，美国加利福尼亚大学和休斯顿大学的一个联合科研小组声称发现了
磁单极的痕迹。
1982年2月14日下午1时53分， Cabrera（卡勃莱拉）他的仪器测到磁通量突然
增高。经过反复研究，卡勃莱拉认为这是磁单极进入铌线圈引起的变化。
ර ⋅ dԦ ＝ න Ԧ0 ⋅ dԦ + න
I传 0
⋅ dԦ
ර ⋅ dԦ ＝ න
位移电流（变化的电场）和传导电流一样，可在其周围空间激发起涡旋磁场，
这一点已在实验中得到了证实。
变化的电场激发涡旋磁场
D
t
D
t
H
右手螺旋法则
大学物理学
变化的磁场激发涡旋电场
ර ⋅ dറ = −
d
电和磁不对称
d m
E
的环流有
，没有磁流
dt
d D
B的环流有
I，但没有
dt
ර ⋅ dറ = 0
没有磁荷，所以没有磁流；
可以存在变化的电场？？
2、位移电流与全电流
L
S1
S2
1）位移电流：
大学物理第11章静磁学
o I o I o I Bo 4r 4r 4R
方向：垂直纸面向里。
a
I b I f
e
o
d r
c
电荷的电量为q,电荷做匀速圆周运动，形成电流。
如果电荷圆周运动的角速度为ω，求电流。
I q /T
T
2
q s
I q 2
I
例题2.5 一均匀带电圆盘(R，)以的角速度 转动，求盘心处B的大小及圆盘的磁矩。
对环电流进行积分：
I
L N β P x R
dx
BP dBP
0
R 2 nIdx
2 2 3 2
0 nI BP 2
2
1
2 (R x )
sin d
x Rctg
取β为参量，有：
2
dx R csc d
R x R csc
2 2 2 2
磁力线定义 为了形象地描绘磁场在空间的分布 , 按下述规定在 磁场中画出的一系列假想的曲线—磁力线： (1)曲线上每一点的切线方向表示该点磁场的方向; (2) 通过垂直于磁场方向单位面积上的磁感应线条 数等于该点磁感应强度的大小。 B B B ds
dm B ds
dm —通过ds的磁感应线条数
I
L N β1 P
β2
R
0 nI BP (cos 2 cos 1 ) 2
讨论:(1)如果直螺线管为无限长（L>>R），轴线上磁场
1 , 2 0
B 0 nI
§11.3 磁场中的高斯定理
磁感应线（磁力线） 磁通量 磁场中的高斯定理
11-3洛伦兹力
11－6,7 带电粒子在电磁场中的运动 －
十一章 真空中的恒定磁场
二、带电粒子在均匀磁场中的运动 1 . v0 ⊥ B 粒子：电量q,质量m, 粒子：电量 ,质量 ,速度 v0
v02 qv0B = m R
mv0 R= qB
2π R 2π m T= = v0 qB
11－6,7 带电粒子在电磁场中的运动 － 2.
11－6,7 带电粒子在电磁场中的运动 －
十一章 真空中的恒定磁场
§8－6 带电粒子在静电场中的运动
力矩) 一、带电粒子在匀强场中受力(力矩 带电粒子在匀强场中受力 力矩
+q
F = F+ + F− = qE − qE = 0
M = qEr0 sinθ = pE sinθ
r0
θ
稳定平衡
F+
E
F−
M =0
F = qE e Fm = qv × B
z
2. 磁场力（洛仑兹力） 磁场力（洛仑兹力） 特征
Fm
o x
q+ θ
B
y
v
始终与电荷的运动方向垂直， 1) 始终与电荷的运动方向垂直，只改变电荷运动方向 2) 洛伦兹力永远不会对运动电荷作功。 洛伦兹力永远不会对运动电荷作功。 • 运动电荷在电场和磁 F = qE + qv× B 场中受的力
作业
书 11-17 11-20
（同轴电缆） 同轴电缆）
下次课内容
§11-8、9、10 、 、 磁场对载流导线的作用 第十二章 磁介质
11-23 11-26
当太阳黑子活动引起空间磁 场的变化， 场的变化，使粒子在两极处的磁 力线引导下， 力线引导下，在两极附近进入大 气层，能引起美妙的北极光。 气层，能引起美妙的北极光。
11.交变电磁场
1 2
LI 2
1 2
n2V
B
n
2
B2
2
V
2.磁场能量密度
wm
Wm V
1 2
B2
§11-5 磁场的能量
四.对比分析
§11-5 磁场的能量
三.定量分析
aK b
1.线圈储存磁能 =电源克服感应电动势所做的功
Wm idq iidt
L di idt I Lidi 1 LI 2
dt
0
2
§11-5 磁场的能量
对长直螺线管 L n2V B nI
Wm
G
2.成因分析
麦克斯韦假设： 变化的磁场在其周围空间
+B +
变小
++
+ +
+ +
+ +
+E感+
++
会激发一种涡旋状的电场， + + + + + + +
称为感生电场 E感 。
Ene E感
+++++++ +++++++ 感生电场力提供非静电力
§11-3 感生电动势
3.感生电动势表达式
i L Ene dl L E感 dl
E E
x y
Ex
Ey
Bz
Ez Ez By
Bx Bx
答案第十一章电磁感应和麦克斯韦电磁理论
班级学号 第十一次 电磁感应和麦克斯韦电磁理论 姓名基本内容和主要公式1．法拉第电磁感应定律和楞次定律 法拉第电磁感应定律：d dtεΦ=-， d d N dtdtφεψ=-=-（多匝线圈）楞次定律：感应电流的效果总是反抗引起感应电流的原因。
（楞次定律是能量守恒定律在电磁感应现象中的具体表现）2．动生电动势和感生电动势（1）动生电动势：导体在磁场中作切割磁力线运动所产生的感应电动势称 为动生电动势产生动生电动势的非静电力是洛伦兹力Dv B dl ε+-=⨯⋅⎰ （）（一段导体运动）、 D dl ε=⨯⋅⎰（v B ） （整个回路运动） （2）感生电动势：由变化磁场所产生的感应电动势称为感生电动势 产生感生电动势的非静电力是有旋电场W EWWL SSd dBE dl B dS dS dt dttεΦ∂=⋅=-=-⋅=-⋅∂⎰⎰⎰⎰⎰（式中S 是以L 为边界的任意曲面）3．电场由两部分构成一部分是电荷产生的有源场0E ： 00E dl ⋅=⎰另一部分是变化磁场所激励的有旋场W E ： W L S BE dl dS t ∂⋅=-⋅∂⎰⎰⎰0W E E E =+ 、 L S B E dl dS t ∂⋅=-⋅∂⎰⎰⎰ 、 BE t ∂∇⨯=-∂4．自感现象和互感现象（1）自感现象：由回路中电流变化而在回路自身所产生的电磁感应现象叫做自感现象；所产生的电动势叫做自感电动势L I Φ= 、 L dI Ldtε=- 式中L 叫做自感系数（2）互感现象：由一回路中电流变化而在另一回路中产生的电磁感应现象 叫做互感现象；所产生的电动势叫做互感电动势 12121M I Φ=、21212M I Φ=、M dI M dtε=-、1221M M M ==式中M 叫做互感系数 5．磁场能量磁场能量密度： 12m w B H =⋅ ， 一般情况下可写为 21122m B w BH μ== 磁场能量： 12m m VVW w dV B H dV ==⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰、 212m W L I = 6．位移电流和麦克斯韦方程组（1）位移电流密度：D Dj t∂=∂其实质是变化的电场（2）位移电流： DD D SSSd Dd I j dS dS D dS t dtdtΦ∂=⋅=⋅=⋅=∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰、 0D j j t ∂=+∂称为全电流密度；00SD j dS t∂+⋅=∂⎰⎰（） 此式表明全电流在任何情况下都是连续的（3）麦克斯韦方程组： 0SVD dS dV ρ⋅=⎰⎰⎰⎰⎰、 L S BE dl dS t ∂⋅=-⋅∂⎰⎰⎰0r B H μμ= 、0r D E εε=0SB dS ⋅=⎰⎰ 、 0LS DH dl j dS t∂⋅=+⋅∂⎰⎰⎰（）、 0D ρ∇⋅= 、 B E t ∂∇⨯=-∂ 、 0B ∇⋅= 、0DH j t∂∇⨯=+∂、 0j E σ=练习题一、选择题1. 如图13-1，长为l 的直导线ab 在均匀磁场中以速度v垂直于导线运动。
大学物理第二部分电磁场与电磁学之第11章 电磁感应
vB
v
11-2 动生电动势和感生电动势
方法二 作辅助线，形成闭合回路CDEF
m B dS
S
ab
a
i
0 Ix a b ln 2 a d m
dt
0 I xdr 2r
I
方向
DC
v
X
C
D
0 I a b dx ( ln ) 2 a dt 0 Iv a b ln 2 a
11-2 动生电动势和感生电动势
动生电动势的公式 非静电力 Fm e( v B ) Fm vB 定义 E k 为非静电场强 E k e 由电动势定义 i Ek dl
运动导线ab产生的动生电动势为
i
a Ek dl ( v B ) dl
L
11-2 动生电动势和感生电动势
平动
计 算 动 生 电 动 势 分 类 均匀磁场 转动 非均匀磁场
方 法
i
i
b
d m dt
a
(v B) dl
11-2 动生电动势和感生电动势
均匀磁场
例 已知: v , B , , L 求: 解： d ( v B ) dl
a
f
感应电流
产生
阻碍
导线运动
v
感应电流
b
产生 阻碍
磁通量变化
11-1 电磁感应的基本定律
判断感应电流的方向：
1、判明穿过闭合回路内原磁场 的方向； 2、根据原磁通量的变化 , 按照楞次定律的要求确定感 应电流的磁场的方向； 3、按右手法则由感应电流磁场的 方向来确定感应电流的方向。
十一章课件
1 π , 2 0
B 0 nI
π 1 , 2 0 B 1 0 nI 2 2
B O
0 nI
1 0 nI 2
x
三 运动电荷的磁场
0 Idl r 毕—萨定律 dB 4π r 3 dQ qvdN qdN I dt dl v dl 0 qdNv r qdNv dB Idl 4π r3
j
S
v
dl
单个运动电荷产生的磁场 实用条件
q
+
r
v c v
+B
d B 0 qv r B d N 4π r 3
q
r
v
B
例题b 半径 为 R 的带电薄圆盘的电荷面密 度为 , 并以角速度 绕通过盘心垂直于盘面的轴 转动 ，求圆盘中心的磁感强度.
（ 2 x R ）2
I
o
R
x
*
B
B
0 IR
2
2 2 3
x
B
（ 2 x R ）2
N 0 IR
2 2
2 3
讨 论
1）
I 和B 成右螺旋关系
（ 2 x R ）2
2）若线圈有 N 匝 3）x
0
B
B
0 I
2R
2x
3
4）x R
0 IR 2
几种特殊点的磁感强度
（ 1）
2
1
sin d
1
2 x2 x1 o p ++ + + + + + + + + + + + + +
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只要求出了待求区域V内的格林函数，即可用上式求出区域 V内的电位分布
某区域的格林函数的求解本身就是一个求解边值问题的过程， 但通常其边界条件相对待解边值问题的边界条件简单
某区域的格林函数只与区域形状有关，与待解边值问题的边 界条件无关
给定区域的格林函数可以用多种方法求解，如镜像法、分离 变量法等
只有当待求区域的边界为几种特殊形状时，才能得到其格林 函数
程的第一类边值问题。利用①式，并考虑上半空间第一类格林
函数在导体平面上为零，得上半空间的电位为
r
Ñ S
r
G
r ,
n
r
dS
将上半空间的格林函数代入，再利用题目给定的边界条件， 可以通过积分求出上半空间的电位分布。（略）
z
a
11.3 有限差分法
电子科技大学
当边界为任意形状时，分离变量法和镜像法等解析法都无法 使用，通常使用数值法求解。
类或第二类边值问题的格林函数，也可以简称为第一类格林函
数或第二类格林函数。
同理可得区域V内的第三类格林函数。
格林函数满足对称性，即互易性。
Gr,r Gr,r
电子科技大学
11.1.2 用格林函数表示边值问题的解
设区域V内的电荷分布为(r)，则电位分布(r)满足泊松方程
2 r 1 r
利用格林函数所满足的泊松方程、格林函数的对称性和函数的
问题：相邻4个点的电位也是未知。怎么办？
求解差分方程组
电子科技大学
采用迭代法求解。基本思想是逐次逼近。步骤为：
（1）给所有的ij赋初值；
（2）利用差分方程求新的ij，顺序为从左至右，从下至上；
（3）以得到的新的ij为基础，再利用差分方程求更新的ij；
（4）比较前后两次得出的ij ，如果相差小，停止计算，否
1
4
r
1 r
r
1 r
其中，r和r′分别为原电荷和像电荷的位置矢量。
球内、球外空间的格林函数
电子科技大学
球内和球外空间的格林函数可以用接地导体球外或球内放置 点电荷时，用镜像法求解电位分布的方法求得，即
G
r,r
1
4
1 R1
a rR2
其中，a为球形区域的半径，R1和R2分别为原电荷和像电荷到场 点的距离。
11.1.1 格林函数
静电场中的格林函数G(r, r′)为位于r′处的单位正点电荷在一 定边界条件下，在空间r处所产生的电位，它满足泊松方程：
电子科技大学
2G r, r 1 r r
设包含点r′的某空间区域V的边界S上满足边界条件
G r, r 0 或 G r, r 0
S
n
S
则分别称此边值问题的解G(r, r′)为泊松方程在区域V内的第一
电子科技大学
第11章 静态场边值问题（二）
11.1 格林函数法求解静电场
格林函数法是求解线性电磁场问题的一种重要方法。 格林函数法的意义在于，当点源的解已知时，任意分布源 的解即可以得到。 格林函数法可以用于求解静态场问题的拉普拉斯方程和泊 松方程，也可以用于求解时变场的波动方程。 本节以静电场的边值问题为例，说明格林函数法的应用。
无界空间的格林函数
电子科技大学Βιβλιοθήκη 在无界空间中，以无穷远点为参考点时，位于r′处的单位正 点电荷在r处所产生的电位，即为无界空间的格林函数，有
Gr,r 1 1
4 R 4 r r
半空间的格林函数
考虑到无限大接地理想导体平板上方有一个点电荷时的电位 分布情况，可用镜像法求出上半空间的格林函数，有
G r, r
则继续前3步。
写成数学式，有 n1 ; 1 (n) (n) (n) (n)
ij
4
i1, j
i , j1
i , j1
i1, j
当
n1 (n)
ij
ij
或
n1 (n)
ij
ij
(n)
时，停止。
ij
电子科技大学
或者写成 n1 ; 1 (n＋1) (n＋1) (n) (n)
有限差分法即为最简单的一种数值法。
基本原理
以离散点上的电位值替代连续分布的电 位函数，或者说，把求解连续电位分布的 问题化成求解离散点电位值的问题。
求解方法
将连续区域分割成分离点
原则上可以任意划分，但为方便，采用 有规律的网格划分。
用差商代替电位的偏导数
电子科技大学
选节点0，1，2，3，4，各点电位分别为0，1，2，3， 4，等步长划分。
电子科技大学
化拉普拉斯方程为差分方程
在O点利用以差商表示的偏导数，可将拉方程表示成差分方程
这是一个 代数方程
2
2 2
x2
0
y2
0
;
1 2 3 4 40
h2
0
0 ;
1 4
1 2 3 4
ij ;
1 4
i1, j
i , j1
i, j1
i 1, j
这是在任意点上电位的表达式，它由相邻4个点的电位决定。 即如果知道了这4个点的电位，这个点的电位也就知道了。
将1和3在O点展开成泰勒级数，有
2h
1
;
0
h
x
0
1 2
h2
2
x 2
0
1
3
01 y
3
;
0
h
x
0
1 2
h2
2
x 2
0
2
4 x
1
2
x
0
;
1 3
2h
一阶中心差商
1
2
2
x2
0
;
1 20 3
h2
二阶中心差商
同理：
2
y2
0
;
2 20 4
h2
至此，已用差商代替了偏导数。
挑选性，可以得到
r V rG r, r dV
Ñ S
G
r
,
r
r
n
r
G
r ,
n
r
dS
①
此式即为用格林函数表示的有限区域内任意点的电位表达式。
如果知道了区域V中的电荷分布和边界条件，区域V中任意点的
电位即可由此式求出。
对格林函数法的进一步说明
电子科技大学
可以用于第一类、第二类和第三类边值问题的求解
ij
4
i1, j
i , j1
i , j1
i1, j
一般为了收敛更快，可采用超松驰法，即
n1 ; n (n＋1) (n＋1) (n) (n) －4 n
ij
ij
4
i1, j
i , j1
i , j1
i1, j
ij
其中：为加速收敛因子，且1 2
11.1.3 用格林函数求边值问题
求解某电荷和边界条件给定的区域的电位分布时，需先求出 该区域的格林函数及其法向导数，再利用①式求解。
电子科技大学 例1 在无限大的导体平面上有一半径为a的圆，圆内 与圆外之间用极狭窄的绝缘环绝缘。设圆内的电位为
常数V0，导体其余部分电位为零，求上半空间电位分布。 解：由于上半空间中没有电荷分布，所以此问题是拉普拉斯方
某区域的格林函数的求解本身就是一个求解边值问题的过程， 但通常其边界条件相对待解边值问题的边界条件简单
某区域的格林函数只与区域形状有关，与待解边值问题的边 界条件无关
给定区域的格林函数可以用多种方法求解，如镜像法、分离 变量法等
只有当待求区域的边界为几种特殊形状时，才能得到其格林 函数
程的第一类边值问题。利用①式，并考虑上半空间第一类格林
函数在导体平面上为零，得上半空间的电位为
r
Ñ S
r
G
r ,
n
r
dS
将上半空间的格林函数代入，再利用题目给定的边界条件， 可以通过积分求出上半空间的电位分布。（略）
z
a
11.3 有限差分法
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当边界为任意形状时，分离变量法和镜像法等解析法都无法 使用，通常使用数值法求解。
类或第二类边值问题的格林函数，也可以简称为第一类格林函
数或第二类格林函数。
同理可得区域V内的第三类格林函数。
格林函数满足对称性，即互易性。
Gr,r Gr,r
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11.1.2 用格林函数表示边值问题的解
设区域V内的电荷分布为(r)，则电位分布(r)满足泊松方程
2 r 1 r
利用格林函数所满足的泊松方程、格林函数的对称性和函数的
问题：相邻4个点的电位也是未知。怎么办？
求解差分方程组
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采用迭代法求解。基本思想是逐次逼近。步骤为：
（1）给所有的ij赋初值；
（2）利用差分方程求新的ij，顺序为从左至右，从下至上；
（3）以得到的新的ij为基础，再利用差分方程求更新的ij；
（4）比较前后两次得出的ij ，如果相差小，停止计算，否
1
4
r
1 r
r
1 r
其中，r和r′分别为原电荷和像电荷的位置矢量。
球内、球外空间的格林函数
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球内和球外空间的格林函数可以用接地导体球外或球内放置 点电荷时，用镜像法求解电位分布的方法求得，即
G
r,r
1
4
1 R1
a rR2
其中，a为球形区域的半径，R1和R2分别为原电荷和像电荷到场 点的距离。
11.1.1 格林函数
静电场中的格林函数G(r, r′)为位于r′处的单位正点电荷在一 定边界条件下，在空间r处所产生的电位，它满足泊松方程：
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2G r, r 1 r r
设包含点r′的某空间区域V的边界S上满足边界条件
G r, r 0 或 G r, r 0
S
n
S
则分别称此边值问题的解G(r, r′)为泊松方程在区域V内的第一
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第11章 静态场边值问题（二）
11.1 格林函数法求解静电场
格林函数法是求解线性电磁场问题的一种重要方法。 格林函数法的意义在于，当点源的解已知时，任意分布源 的解即可以得到。 格林函数法可以用于求解静态场问题的拉普拉斯方程和泊 松方程，也可以用于求解时变场的波动方程。 本节以静电场的边值问题为例，说明格林函数法的应用。
无界空间的格林函数
电子科技大学Βιβλιοθήκη 在无界空间中，以无穷远点为参考点时，位于r′处的单位正 点电荷在r处所产生的电位，即为无界空间的格林函数，有
Gr,r 1 1
4 R 4 r r
半空间的格林函数
考虑到无限大接地理想导体平板上方有一个点电荷时的电位 分布情况，可用镜像法求出上半空间的格林函数，有
G r, r
则继续前3步。
写成数学式，有 n1 ; 1 (n) (n) (n) (n)
ij
4
i1, j
i , j1
i , j1
i1, j
当
n1 (n)
ij
ij
或
n1 (n)
ij
ij
(n)
时，停止。
ij
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或者写成 n1 ; 1 (n＋1) (n＋1) (n) (n)
有限差分法即为最简单的一种数值法。
基本原理
以离散点上的电位值替代连续分布的电 位函数，或者说，把求解连续电位分布的 问题化成求解离散点电位值的问题。
求解方法
将连续区域分割成分离点
原则上可以任意划分，但为方便，采用 有规律的网格划分。
用差商代替电位的偏导数
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选节点0，1，2，3，4，各点电位分别为0，1，2，3， 4，等步长划分。
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化拉普拉斯方程为差分方程
在O点利用以差商表示的偏导数，可将拉方程表示成差分方程
这是一个 代数方程
2
2 2
x2
0
y2
0
;
1 2 3 4 40
h2
0
0 ;
1 4
1 2 3 4
ij ;
1 4
i1, j
i , j1
i, j1
i 1, j
这是在任意点上电位的表达式，它由相邻4个点的电位决定。 即如果知道了这4个点的电位，这个点的电位也就知道了。
将1和3在O点展开成泰勒级数，有
2h
1
;
0
h
x
0
1 2
h2
2
x 2
0
1
3
01 y
3
;
0
h
x
0
1 2
h2
2
x 2
0
2
4 x
1
2
x
0
;
1 3
2h
一阶中心差商
1
2
2
x2
0
;
1 20 3
h2
二阶中心差商
同理：
2
y2
0
;
2 20 4
h2
至此，已用差商代替了偏导数。
挑选性，可以得到
r V rG r, r dV
Ñ S
G
r
,
r
r
n
r
G
r ,
n
r
dS
①
此式即为用格林函数表示的有限区域内任意点的电位表达式。
如果知道了区域V中的电荷分布和边界条件，区域V中任意点的
电位即可由此式求出。
对格林函数法的进一步说明
电子科技大学
可以用于第一类、第二类和第三类边值问题的求解
ij
4
i1, j
i , j1
i , j1
i1, j
一般为了收敛更快，可采用超松驰法，即
n1 ; n (n＋1) (n＋1) (n) (n) －4 n
ij
ij
4
i1, j
i , j1
i , j1
i1, j
ij
其中：为加速收敛因子，且1 2
11.1.3 用格林函数求边值问题
求解某电荷和边界条件给定的区域的电位分布时，需先求出 该区域的格林函数及其法向导数，再利用①式求解。
电子科技大学 例1 在无限大的导体平面上有一半径为a的圆，圆内 与圆外之间用极狭窄的绝缘环绝缘。设圆内的电位为
常数V0，导体其余部分电位为零，求上半空间电位分布。 解：由于上半空间中没有电荷分布，所以此问题是拉普拉斯方