信号与系统(郑君里)3.5

F 奇双边函数付氏变换 2 j F ( ) 2 , 2 a
（2）画其频谱图
F ( )
2 j
,
F (w)
幅度谱：
F ( )
2

0
w
( w)
2
相位谱：
, 0 ( ) 2 , 0 2
sgn(t )
1
0
1
at
t
（1）求其傅氏变换
（取极限的思路）
sgn(t ) lim [sgn(t )e t ]
a 0
s
不满足绝对可积 条件，不能直接 用定义求 F
\
F[sgn(t )] = lim F[sgn(t )e
0
{
- st
]
}
2 j
即:
F ( )
2 j
（纯虚函数）
π 2 π 2
0
2
w
2
三.双边指数信号1
（1）求其傅氏变换
F (w) =
偶双边指数信号
f (t ) e
a t
1
f (t )
(a 0的实数)
0
ò
¥
-
e
- a t - jwt
e
dt
¥ 0
t
=
蝌e e
-
0
at - jwt
dt +
e- at e-
jwt
dt
1 2a =+ = 2 a - jw a + jw a + w2
4. 信号的频谱分量主要集中在零频到第一个过零点 之间，工程中往往将此宽度作为有效带宽。 5. 脉冲宽度越窄，有效带宽越宽，高频分量越多。 传送信号所占用信道频带越宽。
二.单边指数信号
f (t ) e u (t )
(a 0的实数)
at
1
f (t )
（1）求其傅氏变换
F (w) =
0
t
2
F () E e
2
2
E
e
0
2
w
六.升余弦脉冲信号
E t f (t ) 1 cos( ) 2 (0 t )

f (t )
E
（1）求其傅氏变换
F ( w) =
E 2
0 2
1 F ( ) , a j
1 a2 2
1 a 1 2a
0
F ()
,
E F (w) = a F( ) 0
3a
f (w)
w
相位谱：
ì ï ï ï w 甪 0, ï ï ï ï , í ï ï ï ï ï , ï ï ï î
( ) arctg a
(w ) = 0 ( ) ( )
1
即:
2a F ( ) 2 a
2
（正实函数）
（2）画其频谱图
2a F ( ) 2 a
2 a
2
F ()
幅度谱：
2a F ( ) 2 a 2
0
1 a
3a
w
相位谱：
( ) 0
三.双边指数信号2
at e , t 0 f (t ) at e , t 0
（纯虚函数）
2 j （2）画其频谱图 F ( ) a 2 2
1 a
F ()
幅度谱：
2 F ( ) 2 a 2
a
0a
( w)
2


2
w
w0 w0

2
相位谱：
0
w
2
四.符号函数
1， t 0 sgn(t ) 0， t 0 1，t 0
ò
¥
-
f (t )e
- jwt
dt =
ò
0
¥
0
e e
- at - jwt
dt =
ò
¥
0
e
- ( a+ jw)t
dt
1 - ( a + jw) t =e (a + jw)
1 = a + jw
即:
1 F ( ) a j
（2）画其频谱图 幅度谱： F ()
ì ï ï ï w= 0, í ï ï ï ï î
信号与系统 第三章
第五节 典型非周期信号的傅里叶变换
具体讨论：
1、矩形脉冲信号 3、双边指数信号 2、单边指数信号 4、符号函数
5、钟形脉冲信号
6、升余弦脉冲信号
要求：
会求傅氏变换并熟记 会画非周期信号的频谱图并理解其含义
归纳出一般非周期信号频谱特点
一．矩形脉冲信号
ì E， | t |£ τ / 2 ï ï f (t ) = í ï ï î 0， | t |> τ / 2
2
0
w
五.钟形脉冲信号（高斯脉冲）
f (t )
f (t ) Ee
t
2
E
（1）求其傅氏变换
F () E e
2
2
E e
0

t
（正实函数）
E
2
（2）画其频谱图
F ( ) E e ( ) 0
F ( w)
E
E 2
0
2
3 4
w
归纳：
非周期信号频谱的结构特点如下：
ì ï ï í ï ï î
连续性：连续谱线 包含了从零到无限高的所有频率分量 收敛性：高频分量幅度渐小（总趋势）
jwt
蝌
- ?
ゥ
f (t )e
- jwt
dt =
E轾 pt 犏 1 + cos( ) e 2犏 t 臌
2

t
dt
jwt
p p ゥ t t E E jwt jt - jwt - jt dt + e e dt + e e4 0 4 0 轾 p 轾 p Et Et = Et Sa( wt ) + Sa 犏 ( w - )t + Sa 犏 ( w + )t 犏 犏 2 2 臌 t 臌 t
（1）求其傅氏变换
即:
练习
（2）画其频谱图
2π
E
F
O
2π
4π

E
F
幅度频谱：
2π O
2π
4π


相位频谱： 带宽：
π
2π
0
2π 4π

π
(3)分析
1. 非周期矩形脉冲信号的频谱是连续频谱，其形状 与周期矩形脉冲信号离散频谱的包络线相似。 2. 周期信号的离散频谱可以通过对非周期信号的 连续频谱等间隔取样求得 3. 信号在时域有限，则在频域将无限延续。
奇双边指数信号
1
f (t)
t= sgn(t )e- at0(a 0的实数)
（1）求其傅氏变换
F (w) =
蝌- e e
-
0
at - jwt
dt +
¥ 0
e- a t e-
jwt
dt
1 - 2 jw =+ = 2 a - jw a + jw a + w2
1
即:
2 j F ( ) 2 a 2
E 0 = 蝌e 2 -
dt
F ( w)
化简得：
E sin(w ) ESa( w ) 2 2 w w w 1 1
（2）画其频谱图
F ( w)
E sin(w ) ESa( w ) 2 2 w w w 1 1