高考全国卷数学理科试题及答案详解
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学
(全国新课标卷II)
第一卷
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．(2021课标全国Ⅱ，理1)集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，那么M ∩N ＝( )．
A ．{0,1,2}
B ．{－1,0,1,2}
C ．{－1,0,2,3}
D ．{0,1,2,3}
2．(2021课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，那么z ＝( )．
A ．－1＋i
B ．－1－I
C ．1＋i
D ．1－i
3．(2021课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项与为S n .S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，那么a 1＝( )．
A ．13
B ．13-
C ．19
D ．1
9-
4．(2021课标全国Ⅱ，理4)m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，那么( )．
A ．α∥β且l ∥α
B ．α⊥β且l ⊥β
C ．α与β相交，且交线垂直于l
D ．α与β相交，且交线平行于l
5．(2021课标全国Ⅱ，理5)(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，那么a ＝( )．
A ．－4
B ．－3
C ．－2
D ．－1
6．(2021课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．
A ．111
1+23
10+++
B ．
1111+
2!3!
10!+++
C ．111
1+23
11+++ D ．
1111+
2!3!
11!+++
7．(2021课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图
时，以zOx 平面为投影面，那么得到的正视图可以为( )．
8．(2021课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，那么( )．
A ．c ＞b ＞a
B ．b ＞c ＞a
C ．a ＞c ＞b
D ．a ＞b ＞c 9．(2021课标全国Ⅱ，理9)a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥(-)⎩
假设z ＝2x
＋y 的最小值为1，那么a ＝( )．
A ．14
B ．1
2 C ．1 D ．2
10．(2021课标全国Ⅱ，理10)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，以下结论中错误的选项是( )．
A ．∃x0∈R ，f(x0)＝0
B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形
C ．假设x0是f(x)的极小值点，那么f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D ．假设x0是f(x)的极值点，那么f′(x0)＝0
11．(2021课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，假设以MF 为直径的圆过点(0,2)，那么C 的方程为( )．
A ．y2＝4x 或y2＝8x
B ．y2＝2x 或y2＝8x
C ．y2＝4x 或y2＝16x
D ．y2＝2x 或y2＝16x
12．(2021课标全国Ⅱ，理12)点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两局部，那么b 的取值范围是( )．
A ．(0,1) B
．
112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C
．113⎛⎤- ⎥ ⎝⎦ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 第二卷
本卷包括必考题与选考题两局部，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每题5分．
13．(2021课标全国Ⅱ，理13)正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，那么AE BD ⋅＝__________.
14．(2021课标全国Ⅱ，理14)从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，假设取出的两数之与等于5的概率为
1
14
，那么n ＝__________. 15．(2021课标全国Ⅱ，理15)设θ为第二象限角，假设π1tan 42θ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭，那么sin θ＋cos θ＝__________.
16．(2021课标全国Ⅱ，理16)等差数列{a n}的前n项与为S n，S10＝0，S15＝25，那么nS n的最小值为__________．
三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2021课标全国Ⅱ，理17)(本小题总分值12分)△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，a＝b cos C＋c sin B.
(1)求B；
(2)假设b＝2，求△ABC面积的最大值．
18．(2021课标全国Ⅱ，理18)(本小题总分值12分)如图，直三棱柱ABC－A
B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝
CB＝
AB.
2
(1)证明：BC1∥平面A1CD；
(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．
19．(2021课标全国Ⅱ，理19)(本小题总分值12分)经销
商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品
获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如下图．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T表示为X的函数；
(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该
区间中点值的概率(例如：假设需求量X
∈[100,110)，那么取X＝105，且X＝
105的概率等于需求量落入[100,110)
的频率)，求T的数学期望．
20．(2021课标全国Ⅱ，理20)(本小题总分值12分)平面直角坐标系xOy 中，
过椭圆M ：22
22=1x y a b
+(a ＞b ＞0)右焦点的直线0x y +=交M 于A ，B 两点，P
为AB 的中点，且OP 的斜率为1
2
.
(1)求M 的方程； (2)C ，D 为M 上两点，假设四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．
21．(2021课标全国Ⅱ，理21)(本小题总分值12分)函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )＞0.
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22．(2021课标全国Ⅱ，理22)(本小题总分值10分)选修4—1：几何证明选讲 如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆． (1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；
(2)假设DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．
23．(2021课标全国Ⅱ，理23)(本小题总分值10分)选修4—4：坐标系与参数方程
动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,
2sin x t y t
=⎧⎨
=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0
＜α＜2π)，M 为PQ 的中点． (1)求M 的轨迹的参数方程；
(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．
24．(2021课标全国Ⅱ，理24)(本小题总分值10分)选修4—5：不等式选讲 设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤1
3
；
(2)222
1a b c b c a
++≥.
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学
(全国新课标卷II)
第一卷
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．
答案：A
解析：解不等式(x －1)2＜4，得－1＜x ＜3，即M ＝{x |－1＜x ＜3}．而N ＝{－1,0,1,2,3}，所以M ∩N ＝{0,1,2}，应选A. 2．
答案：A 解析：2i 2i 1i =
1i 1i 1i z (+)=-(-)(+)＝22i 2
-+＝－1＋i. 3．
答案：C
解析：设数列{a n }的公比为q ，假设q ＝1，那么由a 5＝9，得a 1＝9，此时S 3＝27，而a 2＋10a 1＝99，不满足题意，因此q ≠1.
∵q ≠1时，S 3＝31(1)
1a q q --＝a 1·q ＋10a 1，
∴311q q
--＝q ＋10，整理得q 2＝9.
∵a 5＝a 1·q 4＝9，即81a 1＝9，∴a 1＝1
9
.
4．
答案：D
解析：因为m ⊥α，l ⊥m ，l α，所以l ∥α.同理可得l ∥β.
又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线．应选D. 5．
答案：D
解析：因为(1＋x )5的二项展开式的通项为5
C r r
x (0≤r ≤5，r ∈Z )，那么含x 2的项为225C x ＋ax ·15C x ＝(10＋5a )x 2
，所以10＋5a ＝5，a ＝－1.
6．
答案：B
解析：由程序框图知，当k ＝1，S ＝0，T ＝1时，T ＝1，S ＝1； 当k ＝2时，12
T =，1=1+2
S ；
当k ＝3时，123T =
⨯，111+223S =+⨯； 当k ＝4时，1234T =⨯⨯，111
1+223234
S =++
⨯⨯⨯；…； 当k ＝10时，123410T =⨯⨯⨯⨯，111
1+2!3!10!
S =+++，k 增加1变为11，满足
k ＞N ，输出S ，所以B 正确．
7．
答案：A
解析：如下图，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图像为以下图：
那么它在平面zOx 上的投影即正视图为，应选A.
8．
答案：D
解析：根据公式变形，lg 6lg 21lg 3lg 3
a =
=+，lg10lg 21lg 5lg 5b ==+，lg14lg 2
1lg 7lg 7c ==+，因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以lg 2lg 2lg 2
lg 7lg 5lg 3
<<，即c ＜b ＜a .应选D. 9．
答案：B
解析：由题意作出1,
3
x x y ≥⎧⎨
+≤⎩所表示的区域如图阴影
局部所示，
作直线2x ＋y ＝1，因为直线2x ＋y ＝1与直线x
＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y ＝a (x －3)过点(1，－1)，代入得
12a =
，所以12
a =. 10．
答案：C
解析：∵x 0是f (x )的极小值点，那么y ＝f (x )的图像大致如以下图所示，那么在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确． 11． 答案：C
解析：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF |＝x 0＋2
p ＝5，那
么x 0＝5－2
p .
又点F 的坐标为,02p
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，所以以MF 为直径的圆的方程为(x －x 0)2p
x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭＋(y －y 0)y ＝0.
将x ＝0，y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0，即2
02
y －4y 0＋8＝0，所以y 0＝4.
由20y ＝2px 0，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，解之得p ＝2，或p ＝8.
所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .应选C.
12． 答案：B
第二卷
本卷包括必考题与选考题两局部，第13题～第21题为必考题，每个试题考生
都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每题5分． 13．答案：2
解析：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如下图，那么点A 的坐标为(0,0)，点B 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为(0,2)，点E 的坐标为(1,2)，那么AE ＝(1,2)，BD ＝(－2,2)，所以2AE BD ⋅=. 14．答案：8 解析：从1,2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n 种取法，
两数之与为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以
221C 14n
=，即241
11142
n n n n ==
(-)(-)，解得n ＝8.
15．答案：
解析：由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪
-⎝
⎭，得tan θ＝13-，即sin θ＝13-cos θ. 将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，得210
cos 19
θ=.
因为θ为第二象限角，所以cos θ＝10-，sin θ＝10
，sin θ＋cos θ＝5-.
16．答案：－49
解析：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么S 10＝1109
102
a d ⨯＋
＝10a 1＋45d
＝0，①
S 15＝11514152a d ⨯+＝15a 1＋105d ＝25.② 联立①②，得a 1＝－3，23
d =， 所以S n ＝2(1)211032333
n n n n n --+⨯=-. 令f (n )＝nS n ，那么32110()33f n n n =-，220'()3
f n n n =-. 令f ′(n )＝0，得n ＝0或203
n =. 当203n >时，f ′(n )＞0,200<<3n 时，f ′(n )＜0，所以当203n =时，f (n )取最小值，而n ∈N ＋，那么f (6)＝－48，f (7)＝－49，所以当n ＝7时，f (n )取最小值－49.
三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．
解：(1)由及正弦定理得
sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ．①
又A ＝π－(B ＋C )，故
sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．②
由①，②与C ∈(0，π)得sin B ＝cos B ，
又B ∈(0，π)，所以π4B =.
(2)△ABC 的面积12sin 2
4
S ac B ac ==. 由及余弦定理得4＝a 2＋c 2－π2cos 4
ac . 又a 2＋c 2≥2ac ，故22ac ≤-，当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2+1.
18．
解：(1)连结AC 1交A 1C 于点F ，那么F 为AC 1中点．
又D 是AB 中点，连结DF ，那么BC 1∥DF .
因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1平面A 1CD ，
所以BC 1∥平面A 1CD .
(2)由AC ＝CB 2AB 得，AC ⊥BC . 以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如下图的空间直角坐标系C －xyz .
设CA ＝2，那么D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD ＝(1,1,0)，CE ＝(0,2,1)，1CA ＝(2,0,2)．
设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，
那么10,0,
CD CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即11110,220.x y x z +=⎧⎨+=⎩
可取n ＝(1，－1，－1)．
同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，
那么10,0,
CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 可取m ＝(2,1，－2)．
从而cos 〈n ，m
〉＝
||||=·n m n m 故sin 〈n ，m
〉＝3
. 即二面角D －A 1C －E
的正弦值为
3. 19．
解：(1)当X ∈[100,130)时，T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000， 当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.
所以80039000,100130,65000,130150.
X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩
(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.
由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.
(3)依题意可得T 的分布列为
所以ET ＝45 000000×0.4＝59 400.
20．
解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，
那么221122=1x y a b
+，222222=1x y a b
+，2121=1y y x x ---， 由此可得2212122121
=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-.
因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，0012
y x =， 所以a 2＝2b 2.
又由题意知，M 的右焦点为
0)，故a 2－b 2＝3.
因此a 2＝6，b 2＝3.
所以M 的方程为22=163
x y +. (2)
由220,1,6
3x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
解得,3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或0,x y =⎧⎪⎨=⎪
⎩ 因此|AB |
. 由题意可设直线CD 的方程为
y
＝x n n ⎛+<< ⎝，
设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)． 由22
,16
3y x n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0. 于是x 3,4
. 因为直线CD 的斜率为1，
所以|CD |
43|x x -=
由，四边形ACBD
的面积1||||2S CD AB =⋅=. 当n ＝0时，S
. 所以四边形ACBD
. 21．
解：(1)f ′(x )＝1e x x m
-+. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1.
于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝1e 1
x x -
+. 函数f ′(x )＝1e 1x x -+在(－1，＋∞)单调递增，且f ′(0)＝0. 因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0；
当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.
所以f (x )在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
(2)当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，故只需证明当m ＝2时，f (x )＞0.
当m ＝2时，函数f ′(x )＝1e 2
x x -+在(－2，＋∞)单调递增． 又f ′(－1)＜0，f ′(0)＞0，
故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x 0，且x 0∈(－1,0)．
当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )＜0；
当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值． 由f ′(x 0)＝0得0e x ＝012
x +，ln(x 0＋2)＝－x 0， 故f (x )≥f (x 0)＝012x +＋x 0＝20012
x x (+)+＞0. 综上，当m ≤2时，f (x )＞0.
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22．
解：(1)因为CD 为△ABC 外接圆的切线，
所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC DC FA EA
=， 故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA .
因为B ，E ，F ，C 四点共圆，
所以∠CFE ＝∠DBC ，
故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.
所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．
(2)连结CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB ＝BE ，有CE ＝DC ，又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.
而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12
.
23．
解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)， 因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩
(α为参数，0＜α＜2π)． (2)M 点到坐标原点的距离
d ==＜α＜2π)．
当＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．
24．
解：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .
由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13
.
(2)因为22a b a b +≥，22b c b c
+≥，22c a c a +≥， 故222()a b c a b c b c a
+++++≥2(a ＋b ＋c )， 即222a b c b c a
++≥a ＋b ＋c . 所以222a b c b c a ++≥1.
高考全国卷数学理科试题及答案详解
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学 (全国新课标卷II) 第一卷 一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．(2021课标全国Ⅱ，理1)集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，那么M ∩N ＝( )． A ．{0,1,2} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,0,2,3} D ．{0,1,2,3} 2．(2021课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，那么z ＝( )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i 3．(2021课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项与为S n .S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，那么a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．1 9- 4．(2021课标全国Ⅱ，理4)m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，那么( )． A ．α∥β且l ∥α B ．α⊥β且l ⊥β C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l 5．(2021课标全国Ⅱ，理5)(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，那么a ＝( )． A ．－4 B ．－3 C ．－2 D ．－1 6．(2021课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )． A ．111 1+23 10+++ B ． 1111+ 2!3! 10!+++ C ．111 1+23 11+++ D ． 1111+ 2!3! 11!+++ 7．(2021课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图
2021年全国卷Ⅲ高考理科数学试题及答案
2021年全国卷Ⅲ高考理科数学试题及答案 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 2．复数 1 13i -的虚部是 A ．310 - B ．110 - C ． 110 D ． 310 3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且4 1 1i i p ==∑，则下面四种情形中，对应 样本的标准差最大的一组是 A ．14230.1,0.4p p p p ==== B ．14230.4,0.1p p p p ==== C ．14230.2,0.3p p p p ==== D ．14230.3,0.2p p p p ==== 4．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53) ()= 1e t K I t --+，其中K 为最大确诊病 例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln193)≈ A ．60 B ．63 C ．66 D ．69 5．设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 A ．1 (,0)4 B ．1 (,0)2 C ．(1,0) D ．(2,0) 6．已知向量a ，b 满足||5=a ，||6=b ，6⋅=-a b ，则cos ,=+a a b A ．3135 - B ．1935 - C ． 1735 D ． 1935
2020年高考全国II卷理科数学试题(含解析)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ） 一、选择题 1.已知集合{2,1,0,1,2,3}U =--，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U C A B ?=（ ） A.{2,3}- B.{2,2,3}- C.{2,1,0,3}-- D.{2,1,0,2,3}-- 【答案】A 【解析】∵{1,0,1,2}A B =-，∴ (){2,3}U C A B ?=-. 2.若α为第四象限角，则（ ） A.cos20α> B.cos20α< C.sin 20α> D.sin 20α< 【答案】D 【解析】∵22()2 k k k Z π παπ- +<<∈，∴424()k k k Z ππαπ-+<<∈， ∴2α是第三象限角或第四象限角，∴sin 20α<. 3.在新冠肺炎疫情期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A.10名 B.18名 C.24名 D.32名 【答案】B 【解析】因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为16005001200 18 50 +-=名. 4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇形面形石板（不含天心石）（ ） A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块
2022年全国高考数学(理科)真题及答案解析
2022年高考（乙卷）数学（理科）真题 及答案解析 一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.设全集U={1,2,3,4,5}，集合M满足∁U M={1,3}，则( ) A. 2∈M B. 3∈M C. 4∉M D. 5∉M 2.已知z=1−2i，且z+az+b=0，其中a，b为实数，则( ) A. a=1，b=−2 B. a=−1，b=2 C. a=1，b=2 D. a=−1，b=−2 3.已知向量a，b满足|a⃗|=1，|b⃗ |=√3，|a⃗−2b⃗ |=3，则a⃗·b⃗ =( ) A. −2 B. −1 C. 1 D. 2 4.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞 行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 {b n}:b1=1+1 a1，b2=1+ 1 α1+1 a2 ， 3 1 2 3 1 1 1 1 b α α α =+ + + ，⋯，依此类推，其中a k∈ N∗(k=1,2,⋯).则( ) A. b1 三、解答题（本大题共7小题，共80.0分） 17. 记ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sinCsin(A −B)=sinBsin(C −A)． (1)证明：2a 2=b 2+c 2; (2)若a =5，cosA =25 31，求ΔABC 的周长． 18. 如图，四面体ABCD 中AD ⊥CD ，AD =CD ，∠ADB =∠BDC ， E 为AC 中点． (1)证明：平面BED ⊥平面ACD; (2)设AB =BD =2，∠ACB =600，点F 在BD 上，当△AFC 的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成角的正弦值． 19. 某地经过多年的环填治理，已将就山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的 总材积量，随机选取了10棵这种村木，测量每棵村的根部横截而积(心位：m 2)和材积量(m 3)，得到如下数据： 样本数号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积x i 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量y i 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得∑x i 210i=1=0.038，∑y i 210i=1=1.6158，∑x i 10i=1y 1=0.2474． (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量： (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01); (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m 2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数r =∑(x i −x )n i=1(y i −y ) √∑(x i −x )2n i=1∑(y i −y ) 2n i=1，√1.896≈1.377． 20. 已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴，y 轴，且过A(0,−2)，B(3 2,−1)两点 (1)求E 的方程; (2)设过点P(1,−2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，证明：直线HN 过定点． 21. 已知函数f(x)=ln(1+x)+axe −x ． (1)当a =1时，求曲线f(x)在点(0,f(0))处的切线方程： 2021 年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷） 数学（理） 一、选择题 1.设2(z +z) + 3(z -z) = 4 + 6i ，则z =( ） A.1 - 2i B.1 + 2i C.1 +i D.1 -i 答案： C 解析： 设z =a +bi ，则 z =a -bi ，2(z +z) + 3(z -z) = 4a + 6bi = 4 + 6i ，所以 a = 1 ，b = 1，所以 z = 1 +i . 2.已知集合S = {s | s = 2n +1, n ∈Z} ，T = {t | t = 4n +1,n ∈Z}，则S T =() A. ∅ B. S C. T D. Z 答案： C 解析： s = 2n +1，n ∈Z ； 当n = 2k ，k ∈Z 时，S = {s | s = 4k +1, k ∈Z} ；当n = 2k +1，k ∈Z 时， T =T S = {s | s = 4k + 3, k ∈Z}.所以T Ü S ，S.故选 C. 3.已知命题p : ∃x ∈R ﹐sin x < 1 ；命题q : ∀x ∈R,e|x| ≥1 ，则下列命题中为真命题的是（） A.p ∧q B.⌝p ∧q C.p ∧⌝q D.⌝( p ∨q) 答案： A 解析： 根据正弦函数的值域sin x ∈[-1,1] ，故∃x ∈R ，sin x < 1 ，p 为真命题，而函数 y =y =e|x|为偶函数，且x ≥ 0 时，y =e|x| ≥1，故∀x ∈R ，y =e|x| ≥1恒成立.，则q 也为真命题，所以p ∧q 为真，选 A. 4.设函数f ( x) =1-x ，则下列函数中为奇函数的是（）1+x A.f ( x -1) -1 B.f ( x -1) +1 C.f ( x +1) -1 D.f ( x +1) +1 答案： B 解析： 1-x 2 2 f (x) ==-1+ 1+x1+x ，f (x) 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到g(x) =为奇 x 函数. 5.在正方体ABCD -A 1 B 1 C 1 D 1中， P为B 1 D 1 的中点，则直线 PB 与AD 1所成的角为（） A. π 2 B. π 3 C. π 4 D. π 6 3 3 绝密★启用前 注意事项: 2021 年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷） 理科数学 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合 M = {x 0 < x < 4} , N = ⎧x 1 ≤ x ≤ 5⎫ ，则 M N = （ ） A. ⎧ x 0 < x ≤ 1 ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ B. ⎧x 1 ≤ x < 4⎫ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ ⎩ 3 ⎭ C. {x 4 ≤ x < 5} D. {x 0 < x ≤ 5} 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集定义运算即可 【详解】因为 M = {x | 0 < x < 4}, N = {x | 1 ≤ x ≤ 5} ，所以 M ⋂ N = ⎧x | 1 ≤ x < 4⎫ , 3 ⎨ 3 ⎬ ⎩ ⎭ 故选：B. 【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解. 2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（） A.该地农户家庭年收入低于4.5 万元的农户比率估计为6% B.该地农户家庭年收入不低于10.5 万元的农户比率估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5 万元 D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5 万元至8.5 万元之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C. 【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值. 该地农户家庭年收入低于4.5 万元的农户的比率估计值为0.02 + 0.04 = 0.06 = 6% ,故A 正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5 万元的农户比率估计值为0.04 + 0.02 ⨯3= 0.10 =10% ,故B 正确； 该地农户家庭年收入介于4.5 万元至8.5 万元之间的比例估计值为 0.10 + 0.14 + 0.20 ⨯ 2 = 0.64 = 64% > 50% ,故D 正确； 该地农户家庭年收入的平均值的估计值为 3⨯0.02 + 4 ⨯0.04 + 5⨯0.10 + 6 ⨯0.14 + 7 ⨯0.20 +8⨯0.20 + 9 ⨯0.10 +10 ⨯0.10 +11⨯0.04 +12⨯0.02 +13⨯0.02 +14⨯0.02 = 7.68 (万元)，超过6.5 万元，故C 错误. 综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C. 【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率 2021年普通高等学招生全国统一考试〔全国一卷〕理科数学 参考答案与解析 一、选择题：此题有12小题，每题5分，共60分。 1、设z=，那么|z|= A 、0 B 、 C 、1 D 、 【答案】C 【解析】由题可得i z =+=2i ）i -（，所以|z|=1 【考点定位】复数 2、集合A={x|x 2-x-2>0}，那么A = A 、{x|-1 【解析】由题可得新农村建立后，种植收入37%*200%=74%>60%， 【考点定位】简单统计 4、记S n为等差数列{a n}的前n项和，假设3S3=S2+S4，a1=2，那么a5= A、-12 B、-10 C、10 D、12 【答案】B 【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d) (a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得: 2d+3a1=0; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10 【考点定位】等差数列求和 5、设函数f〔x〕=x3+(a-1)x2+ax，假设f〔x〕为奇函数，那么曲线y=f〔x〕在点〔0，0〕 处的切线方程为： A、y=-2x B、y=-x C、y=2x D、y=x 【答案】D 【解析】f〔x〕为奇函数，有f〔x〕+f〔-x〕=0整理得: f〔x〕+f〔-x〕=2*(a-1)x2=0 ∴a=1 f〔x〕=x3+x 求导f‘〔x〕=3x2+1 f‘〔0〕=1 所以选D 【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数 6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，那么= A、-- B、-- C、-+ D、- 【答案】A 绝密 ★ 启用前 2021年普通高等学校招生全国统一考试〔全国1卷〕 数学〔理科〕 考前须知： 1.本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.第一卷1至3页,第二卷3至5页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试完毕后,将本试题和答题卡一并交回. 第一卷 一. 选择题：本大题共12小题,每题5分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题 目要求的. 〔1〕设集合{ }2 430A x x x =-+< ,{ } 230x x ->,那么A B = 〔A 〕33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 〔B 〕33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 〔C 〕31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 〔D 〕3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】D 考点：集合的交集运算 【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以根底题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进展运算,假如是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进展运算. 〔2〕设(1i)1i x y +=+,其中x ,y 实数,那么i =x y + 〔A 〕1 〔B 2 〔C 3 〔D 〕2 【答案】B 【解析】 试题分析：因为(1)=1+,x i yi +所以=1+,=1,1,||=|1+|2,x xi yi x y x x yi i +==+=应选B. 考点：复数运算 容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不 大,但容易出现运算错误,特别是2 i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性. 〔3〕等差数列{}n a 前9项的和为27,108a =,那么100a = 〔A 〕100 〔B 〕99 〔C 〕98 〔D 〕97 【答案】C 【解析】 试题分析：由,1193627 ,98 a d a d +=⎧⎨ +=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=应选C. 考点：等差数列及其运算 【名师点睛】我们知道,等差、等比数列各有五个根本量,两组根本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于根本量的方程〔组〕,因此可以说数列中的绝大局部运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 〔4〕某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,那么他等车时间不超过10分钟的概率是 〔A 〕13 〔B 〕12 〔C 〕23 〔D 〕34 【答案】B 考点：几何概型 【名师点睛】这是全国卷首次考察几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度〞,常见的测度由：长度、面积、体积等. 〔5〕方程22 2 213x y m n m n -=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的间隔 为4,那么n 的取值范 高考精品文档 高考全国甲卷 理科数学·2021年考试真题与答案解析 同卷地区 贵州省、四川省、云南省 西藏自治区、广西自治区 高考全国甲卷：《理科数学》2021年考试真题与答案解析 一、选择题 本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、设集合M=｛x|0＜x＜4｝，N=｛x|1 ≤x≤5｝，则M∩N=（） 3 ｝ A、｛x|0＜x≤1 3 ≤x＜4｝ B、｛x|1 3 C、｛x|4≤x＜5｝ D、｛x|0＜x≤5｝ 答案：B 2、为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（） A、该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B、该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C、估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D、估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 答案：C 3、已知(1−i)2z=3+2i，则z=（） A、−1−3 i 2 B、−1+3 i 2 C、−3 +i 2 D、−3 −i 2 答案：B 4、青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某 10≈1.259）同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（）（√10 A、1.5 B、1.2 C、0.8 D、0.6 答案：C 5、已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（） A、√7 2 2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅲ卷 理科数学答案解析 一、选择题 1.【答案】C 【解析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.由题意，A B 中的元素满足8y x x y ⎧⎨+=⎩≥，且x ，* y ∈N ， 由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有()17， ，()26，，()35，，()44，，故A B 中元素的个数为 4.故选：C . 【考点】集合的交集运算，交集定义的理解 2.【答案】D 【解析】利用复数的除法运算求出z 即可.因为()()113131313131010i z i i i i += ==+--+，所以复数113z i =-的虚部为 3 10 .故选：D . 【考点】复数的除法运算，复数的虚部的定义 3.【答案】B 【解析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组. 对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=， 方差为()()()()2 2 2 2 2 1 2.50.1 2 2.50.4 3 2.50.4 4 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=； 对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=， 方差为()()()()2 2 2 2 21 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=； 对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=， 方差为()()()()2 2 2 2 21 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=； 对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=， 方差为()()()()2 2 2 2 21 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=. 因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B . 【考点】标准差的大小比较，方差公式的应用 4.【答案】C 【解析】将t t *=代入函数()() 0.23531t K I t e --= +结合() 0.95I t K * =求得t *即可得解. ()() 0.23531t K I t e --= +，所 2022全国甲卷高考理科数学试卷及答案解 析 2022全国甲卷高考理科数学试卷及答案 数学选择题高分必备方法 排除法 “排除法”是根据高考数学选择题“四选一”的特点，通过分析、推理、计算、判断，排除或者说淘汰错误的选择支，缩小其选择的范围，进而求得高考数学选择题正确答案的方法。排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题。当高考数学选择题题设条件较多时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，直至选出正确项。此法往往与“特例法”、“验证法”、“数形结合法”等相结合使用。 估算法 所谓“估算法”，即通过对有关数据进行简单运算，或扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或一个估计，达到选出高考数学选择题正确选项目的的方法。估算法对于选项为数值的问题具有十分重要意义，它可以避免许多的推导过程与繁杂的计算，减少了计算量，节省了时间，但思维层次要求高，是我们研究与解决高考数学选择题的一种重要的方法。 数形结合法 数形结合法是指在处理高考数学选择题问题时，能准确地将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来进行思考，通过“以形助数”、“以数辅形”，使抽象思维与形象思维相结合，从而实现化抽象为直观、化直观为精确，并达到 简捷解决问题的方法。数形结合法在解决高考数学选择题问题中具有十分重要的意义。 特例法 所谓“特例法”，就是利用满足高考数学选择题题设的一些特例(包括特殊值、特殊点、特殊图形、特殊位置等)代替普遍条件，得出特殊结论，以此对各选择支进行检验与筛选，从而得到正确选择项的方法。值得注意的是使用特例法时，若有两个或三个选择支符合结论，应再选择特例检验或用其他方法求解。当然这也说明恰当地选择特例，将有利于提高解高考数学选择题题的准确性和简捷性。 数学爆强秒杀公式与方法 1，适用条件：[直线过焦点]，必有ecosa=(x-1)/(x+1)，其中a为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。注上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。 2，函数的周期性问题(记忆三个)：1、若f(x)=-f(x+k)，则t=2k; 2、若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则t=2k; 3、若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则t=6k。注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。 3，关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：1，若在r上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;2、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;3、若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称 2021年高考全国甲卷理科数学真题及答案详解 1.设集合M=｛x|0＜x＜4｝，N=｛x|≤x≤5｝，则M∩N= A. ｛x|0＜x≤｝ B. ｛x|≤x＜4｝ C. ｛x|4≤x＜5｝ D. ｛x|0＜x≤5｝ 2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是 A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 3.已知，则z= A.-1-i B. -1+i C. -+i D. --i 4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（≈1.259） A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 5.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60°，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为 A. B. C. D. 6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是 A. B. C. D. 7.等比数列｛an｝的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q0，乙:｛Sn｝是递数列，则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高 绝密★启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国Ⅰ卷真题） 适用地区：安徽、湖北、福建、河南、湖南、山西、河北、江西、广东 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．若z=1+i，则|z2–2z|= A．0 B．1C．2D．2 2．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a= A．–4 B．–2 C．2 D．4 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A．51 4 - B．51 2 - C．51 4 + D．51 2 + 4．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= A．2 B．3 C．6 D．9 5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图： 由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是 A ．y a bx =+ B ．2y a bx =+ C ．e x y a b =+ D ．ln y a b x =+ 6．函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为 A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+ 7．设函数()cos π ()6 f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为 A ．10π 9 B ．7π6 C ．4π3 D ． 3π2 8．2 5()()x x y x y ++的展开式中x 3y 3的系数为 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 9．已知 π()0,α∈ ，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= A ． 53 B ． 23 C ．13 D ． 59 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页;23小题;满分150分..考试用时120分钟.. 注意事项：1．答卷前;考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上..用2B 铅笔将试卷类型B 填涂 在答题卡相应位置上..将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.. 2．作答选择题时;选出每小题答案后;用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动;用橡皮擦干净后;再选涂其他答案..答案不能答在试卷上.. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答;答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需 改动;先划掉原来的答案;然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液..不按以上要求作答无效.. 4．考生必须保证答题卡的整洁..考试结束后;将试卷和答题卡一并交回.. 一、选择题：本题共12小题;每小题5分;共60分..在每小题给出的四个选项中;只有一项是符合题目要求的.. 1．已知集合A ={x |x <1};B ={x |31x <};则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =∅ 2．如图;正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点;则此点取自黑色部分的概率是 A ． 14 B ． π8 C ．12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ;则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ;则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ;则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ;则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=;648S =;则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减;且为奇函数．若(11)f =-;则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 6．6 2 1(1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 7．某多面体的三视图如图所示;其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成;正方形的边长为2;俯视图为等腰 直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形;这些梯形的面积之和为 A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 8．右面程序框图是为了求出满足3n 2n >1000的最小偶数n ;那么在和 两个空白框中;可以分别填入 A ．A >1 000和n =n +1 B ．A >1 000和n =n +2 C ．A ≤1 000和n =n +1 D ．A ≤1 000和n =n +2 9．已知曲线C 1：y =cos x ;C 2：y =sin 2x + 2π 3 ;则下面结论正确的是 2021年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 理科数学 第一卷 〔选择题 共60分〕 一．选择题：共12小题，每题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的一项。 1.集合A={x |2 230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，那么A B ⋂= A .[-2,-1] B .[-1,2〕 C .[-1,1] D .[1,2〕 2.32 (1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，那么以下结论正确的选项是 A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()f x |()g x 是奇函数 C .()f x |()g x |是奇函数 D .|()f x ()g x |是奇函数 4.F 是双曲线C ：22 3(0)x my m m -=>的一个焦点，那么点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3 B .3 C .3m D .3m 5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，那么周六、周日都有同学参加公益活动的概率 A .18 B .38 C .58 D .78 6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边 为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，那么y =()f x 在[0,π]上的图像大致为 7.执行以下图的程序框图，假设输入的,,a b k 分别为1,2,3，那么输出的M = A . 203 B .165 C .72 D .158 2023年全国高考乙卷数学（理科） 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.设25 2i 1i i z += ++，则z =（ ） A.12i - B.12i + C.2i - D.2i + 【分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【解析】由题意可得()252 i 2i 2i 2i 2i 112i 1i i 11i i 1 z +++-=====-++-+-，则12i z =+. 故选 B. 2.设集合U =R ，集合{}1M x x =<，{}12N x x =-<<，则{}2x x =（ ） A. ()U M N B.U N M C. ()U M N D.U M N 【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{}2x x 即可. 【解析】由题意可得{}2M N x x =<，则 (){}2U M N x x =，选项A 正确； {}1U M x x =，则{}1U N M x x =>- ，选项B 错误； {}11M N x x =-<<，则 (){}11U M N x x x =-或，选项C 错误； {}12U N x x x =-或，则{}12U M N x x x =<或，选项D 错误； 故选A. 3.如图所示，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该零件的表面积为（ ） A.24 B.26 C.28 D.30 2021年全国统一高考数学试卷（理科）（乙卷） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）设2()3()46z z z z i ++-=+，则(z = ) A ．12i - B ．12i + C ．1i + D ．1i - 2．（5分）已知集合{|21,}S s s n n Z ==+∈，{|41,}T t t n n Z ==+∈，则(S T = ) A ．∅ B ．S C ．T D ．Z 3．（5分）已知命题:p x R ∃∈，sin 1x <；命题:q x R ∀∈，||1x e ，则下列命题中为真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∨ 4．（5分）设函数1()1x f x x -=+，则下列函数中为奇函数的是( ) A ．(1)1f x -- B ．(1)1f x -+ C ．(1)1f x +- D ．(1)1f x ++ 5．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为( ) A ． 2 π B ． 3 π C ． 4 π D ． 6 π 6．（5分）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( ) A ．60种 B ．120种 C ．240种 D ．480种 7．（5分）把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3 π 个单位长度，得到函数sin()4y x π=-的图像，则()(f x = ) A ．7sin()212x π- B ．sin()212x π+ C ．7sin(2)12 x π - D ．sin(2)12 x π + 8．（5分）在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于7 4 的概率为( ) A ． 79 B ． 2332 C ． 932 D ． 29 9．（5分）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”， EG 称为“表距” ， GC 和EH 都称为“表目距”， GC 与EH 的差称为“表目距的差”，则海岛的高(AB = )2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
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