一次函数与一次不等式
一次函数与一元一次不等式的关系
一次函数与一元一次不等式的关系●教学目标（一）教学知识点1.一元一次不等式与一次函数的关系.2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较.（二）能力训练要求1.通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识.2.训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力.（三）情感与价值观要求体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.●教学重点了解一元一次不等式与一次函数之间的关系.●教学难点自己根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答.●教学方法研讨法即主要由学生自主交流合作来解决问题，老师只起引导作用.●教具准备投影片两张第一张：（记作§1.5.1 A）第二张：（记作§1.5.1 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］上节课我们学习了一元一次不等式的解法，那么，是不是不等式的知识是孤立的呢？本节课我们来研究不等式的有关应用.Ⅱ.新课讲授1.一元一次不等式与一次函数之间的关系.［师］大家还记得一次函数吗？请举例给出它的一般形式.［生］如y=2x－5为一次函数.［师］在一次函数y=2x－5中，当y=0时，有方程2x－5=0;当y＞0时，有不等式2x－5＞0;当y＜0时，有不等式2x－5＜0.由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式.下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系.2.做一做图1－21请大家讨论后回答：［生］（1）当y =0时，2x －5=0,∴x =25, ∴当x =25时，2x －5=0. （2）要找2x －5＞0的x 的值，也就是函数值y 大于0时所对应的x 的值，从图象上可知，y ＞0时，图象在x 轴上方，图象上任一点所对应的x 值都满足条件，当y =0时，则有2x －5=0,解得x =25.当x ＞25时，由y =2x －5可知 y ＞0.因此当x ＞25时，2x －5＞0; （3）同理可知，当x ＜25时，有2x －5＜0; （4）要使2x －5＞3,也就是y =2x －5中的y 大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x 轴，这条直线与y =2x －5相交于一点B （4，3），则当x ＞4时，有2x －5＞3.3.试一试如果y =－2x －5,那么当x 取何值时，y ＞0?［师］由刚才的讨论，大家应该很轻松地完成任务了吧.请大家试一试.［生］首先要画出函数y =－2x －5的图象，如图1－22：图1－22从图象上可知，图象在x 轴上方时，图象上每一点所对应的y 的值都大于0，而每一个y 的值所对应的x 的值都在A 点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x －5=0,得x =－2.5,所以当x 取小于－2.5的值时，y ＞0.4.议一议兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m ，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑 3 m ，哥哥每秒跑4 m ，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？（3）谁先跑过20 m ？谁先跑过100 m ？（4）你是怎样求解的？与同伴交流.［生］［解］设兄弟俩赛跑的时间为x 秒.哥哥跑过的路程为y 1，弟弟跑过的路程为y 2，根据题意，得y 1=4xy 2=3x +9函数图象如图1－23：图1－23 从图象上来看：（1）当0＜x ＜9时，弟弟跑在哥哥前面；（2）当x ＞9时，哥哥跑在弟弟前面；（3）弟弟先跑过20 m ，哥哥先跑过100 m;（4）从图象上直接可以观察出（1）、（2）小题，在回答第（3）题时，过y 轴上20这一点作x 轴的平行线，它与y 1=4x ,y 2=3x +9分别有两个交点，每一交点都对应一个x 值，哪个x 的值小，说明用的时间就短.同理可知谁先跑过100 m.Ⅲ.课堂练习1.已知y 1=－x +3,y 2=3x －4,当x 取何值时，y 1＞y 2？你是怎样做的？与同伴交流.解：如图1－24所示：图1－24当x 取小于47的值时，有y 1＞y 2. Ⅳ.课时小结本节课讨论了一元一次不等式与一次函数的关系，并且能根据一次函数的图象求解不等式.Ⅴ.课后作业习题1.6Ⅵ.活动与探究作出函数y 1=2x －4与y 2=－2x +8的图象，并观察图象回答下列问题：（1）x 取何值时，2x －4＞0？（2）x 取何值时，－2x +8＞0?（3）x 取何值时，2x －4＞0与－2x +8＞0同时成立？（4）你能求出函数y 1=2x －4，y 2=－2x +8的图象与x 轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程.解：图象如下：图1－25分析：要使2x －4＞0成立，就是y 1=2x －4的图象在x 轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－2x +8＞0成立的x ，即为函数y 2=－2x +8的图象在x 轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x ，根据函数图象与x 轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积.［解］（1）当x ＞2时，2x －4＞0;（2）当x ＜4时，－2x +8＞0;（3）当2＜x ＜4时，2x －4＞0与－2x +8＞0同时成立.（4）由2x －4=0,得x =2;由－2x +8=0,得x =4所以AB =4－2=2由⎩⎨⎧+-=-=8242x y x y 得交点C （3，2） 所以三角形ABC 中AB 边上的高为2. 所以S =21×2×2=2. §1.5.1 一元一次不等式与一次函数（一）一、1.一元一次不等式与一次函数之间的关系；2.做一做（根据函数图象求不等式）；3.试一试（当x 取何值时，y ＞0）;4.议一议二、课堂练习三、课时小结四、课后作业参考练习1.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现：如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？解：设商场计划投入资金为x 元，在月初出售，到月末共获利y 1元；在月末一次性出售获利y 2元，根据题意，得y 1=15%x +（x +15%x ）·10%=0.265x ,y 2=30%x －700=0.3x －700.（1）当y 1＞y 2,即0.265x ＞0.3x －700时，x ＜20000;（2）当y 1=y 2,即0.265x =0.3x －700时，x =20000;（3）当y 1＜y 2，即0.265x ＜0.3x －700时，x ＞20000.所以，当投入资金不超过20000元时，第一种销售方式获利较多；当投入资金超过20000元时，第二种销售方式获利较多.2.某医院研究发现了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10－3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3毫克，每毫升血液中含药量y （微克），随着时间x （小时）的变化如图所示（成人按规定服药后）.（1）分别求出x ≤2和x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式；（2）根据图象观察，如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多少？图1－26解：（1）当x ≤2时，图象过（0，0），（2，6）点，设y 1=k 1x ,把（2，6）代入得，k 1=3∴y 1=3x .当x ≥2时，图象过（2，6），（10，3）点.设y 2=k 2x +b ,则有⎩⎨⎧=+=+3106222b k b k 得k 2=－83,b =427 ∴y 2=－83x +427 （2）过y 轴上的4点作平行于x 轴的一条直线，于y 1,y 2的图象交于两点，过这两点向x 轴作垂线,对应x 轴上的34和322，即在322－34=6小时间是有效的.。
一元一次不等式与一次函数
（2）列：将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解：解方程得出未知系数的值；
（4）答：将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
二、典型例题：
1、若点 在函数 的图象上，则 的值是
（1）当x分别取何值时，y1=y2，y1<y2，y1>y2？
（2）在同一坐标系中，分别作出这两个函数的图像，请你说说（1）中的解集与函数图像之间的关系．
6、某企业急需一辆汽车，但无资金购买，公司经理决定租一辆汽车，使用期限为一个月．甲汽车出租公司的出租条件为每千米的租车费为1．2元，乙汽车出租公司的条件是每月须支付司机800元的工资，另外每千米的租车费为1元，设在这一个月中汽车行驶x（km），租用甲公司的费用为y1（元），租用乙公司的费用为y2（元）．
增减性
k>0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）
k<0，y随x的增大而减小。（从左向右下降）
倾斜度
|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
图像的
平 移
b>0时，将直线y=kx的图象向上平移 个单位；
b<0时，将直线y=kx的图象向下平移 个单位.
4、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（ 设、列、解、答 ）
自变量
范 围
x为全体实数
图 象
一条直线
必过点
（0，0）、（1，k）
（0，b）和（- ，0）
走 向
k>0时，直线经过一、三象限；
k<0时，直线经过二、四象限
k＞0，b＞0,直线经过第一、二、三象限
一次函数、方程及一次不等式的关系
文峰说：
满200,再购的商品9折
金鹰的优惠方案的起点是购物满
300 元．
文峰的优惠方案的起点是购物满 200 元．
一样 ⑴如果累计购物不超过200元,则两家商场的花费____ ．
文峰 ⑵如果累计购物超过200元而不超过300元,则在____ 花费少. ⑶如果累计购物超过300元. 解:设累计购物 x元 ( x 300) ,如果在文峰花费少则
随堂演练
1、在一次函数y=2x-3中，已知x=0 则y= ；若已知y=2则x= ；
2、当自变量x 时，函数 y=3x+2的值大于0；当x 时， 函数y=3x+2的值小于0。 3、已知函数y=-3x+6，当x y>0.当x 时，y≤-2。 时，
5、已知函数y1 = 2 x – 4与y2 = - 2 x + 8的图象， 观察图象并回答问题： (1)x取何值时，2x-4>0? (2)x取何值时，-2x+8>0? (3)x取何值时，2x-4>0与-2x+8>0同时成立？ (4)你能求出函数y1 = 2 x – 4与y2 = - 2 x + 8的 图象与X轴所围成的三角形的面积吗？
收获和体会
实际问题与一元一次不等式
重客隆和新世纪两商店以同 问题1： 样价格出售同样的商品，并且又各自 推出不同的优惠方案：
新世纪
我店累计购买100元商品 后，再购买的商品按原 价的90%收费。
我店累计购买50元商品后，再购 买的商品按原价的95%收费。
重客隆
讨论开始
分析：若新世纪收费＜重客隆收费
系数化为1，得
∴累计购物超过150元时在新世纪购物花费小。
答：
当 0 x 50或 x 150 时，在两家 商店购物没有区别； 当 50 x 150 时，在重客隆购物花 费小； 当 时，在新世纪购物花费小
一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式与一次函数【基础知识精讲】1.一元一次不等式与一次函数的关系。
两个一次函数有时根据需要，要比较其函数值的大小，这时问题就转化为一元一次不等式的问题。
另一方面，利用解不等式的方法也可以求出两个一次函数的值的大小。
事实上，不等式与函数和方程是紧密联系的一个整体。
2.一次函数的图象与一元一次不等式的关系。
一次函数y=kx＋b（k≠0）的图像是一条直线，当kx＋b＞0时，表示图像在x轴上方的部分；当kx＋b=0时，表示直线与x轴的交点；当kx＋b＜0时，表示图像在x轴下方的部分。
【考点聚焦】本章一元一次不等式与一次函数是中考热点，随着素质教育的逐步发展，突出了对创新意识的考查，加大了对“三个一次”（即一元一次方程，一次函数，一元一次不等式）综合应用考查及解决实际问题的考查。
题型有选择题、填空题及解决实际问题（多为压轴题）。
【典例精析】例1作出函数y=x－3的图象如图所示，并观察图象回答下列问题：（1）x取哪些值时，y＞0；（2）x取哪些值时，y＜0；（3）x取哪些值时，y＞3。
思路点拨：首先要认清一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线，所以需要知图象上两点的坐标，可取(3，0)和(0，－3)。
解：由图象可知：（1）当x＞3时，y＞0；（2）当x＜3时，y＜0；（3）当x＞6时，y＞3。
评注：（1）两点确定一条直线。
（2）大于往右看，小于往左看。
【试解相关题】兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9米，然后自己才开始跑。
已知弟弟每秒跑3米，哥哥每秒跑4米，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？思路点拨：此题两问均牵扯到不等式问题，但需先列函数关系式。
解：设当时间为x秒时，跑过的路为y米，则y哥哥=4x，y弟弟=3x＋9如图所示，由图象知9秒前弟弟跑在哥哥前面；9秒后，哥哥跑在弟弟前面。
评注：通过以上两例，体会：刻画运动变化的规律需要用函数模型；刻画运动变化过程中的某一瞬间需要用方程模型。
一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式与一次函数
一元一次不等式和一次函数是初中数学中的两个重要概念，它们的关系如下：
一元一次不等式：指只有一个未知数（一元），且方程中未知数的最高次数为1（一次）的不等式，例如：2x+1>5 或者x-3<7。
一次函数：指只有一个未知数（一元），且方程中未知数的最高次数为1（一次）的函数，例如：y=2x+1 或者y=x-3。
这两个概念之间的关系在于，我们可以将一元一次不等式转化为一次函数的形式进行分析和解决。
具体来说，我们可以将不等式中的未知数视为函数的自变量x，将不等式的两边分别视为函数的因变量y，例如：2x+1>5 可以转化为y=2x+1 和y=5 两个函数，我们可以画出这两个函数的图像，通过比较函数图像来解决不等式的解集。
例如，将不等式x-3<7 转化为一次函数的形式，得到y=x-3 和y=7 两个函数，我们可以在坐标系中画出这两个函数的图像，发现两个函数的交点在x=10 处，因此不等式的解集为x<10。
总之，一元一次不等式和一次函数之间有着紧密的联系，将不等式转化为函数的形式可以帮助我们更好地分析和解决问题。
一次函数与一次方程一次不等式说课稿
《一次函数与一次方程、一次不等式》说课稿一、教材分析1、说教材地位和作用这一节内容是初中数学沪科版八年级上册第十二章第二节的内容。
它是在学生学习了前面一节一次函数后，回过头重新认识已经学习过的一些其他数学概念（一次方程、一次不等式），即通过讨论一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程、不等式的认识，构建和发展相互联系的知识体系。
它不是简单的回顾复习，而是居高临下的进行动态分析。
2、说教学目标和要求①理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系。
会根据一次函数图像解决一元一次方程、一元一次不等式求解问题。
②学习用函数的观点看待方程、不等式的方法，初步形成用全面的观点处理局部问题。
③经历用函数的观点研究方程、不等式的探讨过程，学习用联系的观点看待数学问题的辨证思想。
④增强学生学数学，用数学，探索数学奥妙的愿望，体验成功的感觉，品尝成功的喜悦。
培养学生宏观思维与微观思维相结合的数学理论体系。
二、说教学理念培养学生的合作探究精神，自主学习、创新精神是新课程标准的重要理念。
课堂教学中渗透了数学的转化思想，数型结合思想，分类讨论思想。
体现新课程标准中的知识与能力、情感与态度、过程与方法的三统一。
三、学情分析八年级学生的思维已逐步从直观的形象思维向抽象的逻辑思维过渡，而且具备一定的信息收集的能力。
四、学法分析1、学生自主探索，思考问题，获取知识，掌握方法，真正成为学习的主体。
2、学生在小组合作学习中体验学习的快乐。
合作交流的友好氛围，让学生更有机会体验自己与他人的想法，从而掌握知识，发展技能，获得愉快的心理体验。
只有自己探究出的东西才能更便于掌握。
五、教法分析由于任何一个一元一次方程都能写成ax+b=0（a≠0）的形式，而此式的左边与一次函数y=ax+b 的右边一致，所以从变化与对应的观点考虑问题，解一元一次方程也可以归结为两种认识：⑴从函数值（数）的角度看，解方程：ax+b=0（a≠0）就是求一次函数y=ax+b的值等于0。
一次函数与一次不等式
一次函数与一次不等式在数学中，一次函数和一次不等式是基础的代数表达式。
一次函数可以用一个未知数的一次幂（指数为1）表示，形式为f(x) = ax + b，其中a和b是常数，x是未知数。
一次不等式则是表达一个未知数与常数之间的关系，形式为ax + b < 0或ax + b > 0，其中a和b是常数，x是未知数。
一次函数是解决许多实际问题的重要工具。
它可以用来描述线性关系，例如速度和时间之间的关系、价格和数量之间的关系等。
一次函数的图像通常是一条直线。
根据常数a的正负值，可以确定直线的斜率。
当a为正数时，直线向上倾斜；当a为负数时，直线向下倾斜。
一次函数与一次不等式之间存在密切的联系。
一次不等式的解可通过一次函数的图像来求得。
以一次不等式ax + b < 0为例，我们可以将其转化为一次函数f(x) = ax + b，并找出函数图像上使得f(x) < 0的部分。
这样，解便是不等式ax + b < 0的解集。
解一次不等式时，还可以运用一次函数的性质。
当a大于0时，不等式ax + b < 0的解是使得函数图像位于x轴下方的部分。
当a小于0时，不等式ax + b < 0的解是使得函数图像位于x轴上方的部分。
由此，我们可以通过一次函数的图像形态来判断一次不等式的解的范围。
除了图像法之外，还可以使用代数方法求解一次不等式。
以一次不等式ax + b > 0为例，我们可以通过求解一次方程ax + b = 0来确定不等式的解集。
当a大于0时，不等式的解为使得函数值f(x) > 0的x值集合；当a小于0时，不等式的解为使得函数值f(x) < 0的x值集合。
这种方法利用了一次函数在x轴两侧函数值的正负差异来求解不等式。
在实际应用中，一次函数和一次不等式的概念经常被用到。
例如，在经济学中，一次函数可以用来描述价格和需求之间的线性关系，从而分析供求关系对市场均衡的影响。
一次函数与一元一次不等式实用教案
-=y 一次函数与一元一次不等式【教学目标】知识与技能：理解一次函数与一元一次不等式的关系掌握用函数图象求一元一次不等式的解集的方法。
过程与方法：渗透由特殊到一般和转化的数学思想方法，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力。
【教学重点】 用函数的知识求一次不等式的解集。
【教学难点】 一次函数图象与一元一次不等式的关系。
【教学互动设计】〈一〉创设情景 导入新课大家对一次函数与一元一次方程之间的联系都有了一定的了解，通过一次函数的图象，我们可以直接看出对应的一元一次方程的解。
那么，一次函数与一元一次不等式又有何关系呢？我们能否通过看一次函数的图象得到一元一次不等式的解集呢？这就是我们今天要探讨的内容。
〈二〉合作交流 解读探究（课前导案，学生在课前进行学习讨论）一次函数与一元一次不等式的关系 ﹝展示﹞已知函数62+-=x y 的图象如图所示，根据图象回答：⑴当x= 时，y=0，即方程062=+-x 的解为 思考：⑵当x 时，y ＞0，即不等式062＞+-x 的解集为⑶当x 时，y ＜0，即不等式062＜+-x 的解集为总结：当y=0时，正好是图象与轴的交点当y＞0时，图象位于轴方当y＜0时，图象位于轴方学生完成展示共同完成课本导学（多媒体展示）解(1)移项得:5x - 3x > 10 - 6合并,得2x > 4化系数为1,得x >2∴原不等式的解是: x>2(2)作出函数y = 2x -4 的图象(如图)从图知观察知，当x>2时y 的值在x轴上方，即y > 0因此当x > 2 时函数的值大于0。
﹝概括﹞任何一元一次不等式都可以化为0b＜ax+（a、b＞bax+或0为常数且a≠0）的形式，所以解一元一次不等式，可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围；或者看作：当一次函数图象在x轴上（下）方时，求自变量的取值范围。
〈三〉例题讲解例题:用画函数图象的方法解不等式5x+4＜2x+10解法1:原不等式化为3x -6,画出直线y = 3x -6(如图)可以看出,当x<2 时这条直线上的点在轴的下方,即这时y = 3x -6 <0所以不等式的解集为x<2解法二：画出函数y = 2x+10 y = 5x+4图象从图中看出：当x <2时直线y = 5x +4 在y = 2x +10的下方即5x+4 < 2x +10∴不等式5x+4 < 2 x +10 的解集是x < 2师生总结步骤：1把不等号右边划为0 2 画函数图象 3 找与X轴的交点4作答〈四〉随堂练习1．自变量X的取值满足什么条件时，函数y=3X+8的值满中下列条件？(3)y>0 (4)y<22 利用函数图象解出X：（2）6x—4<3x+2〈五〉课堂小结1．一次函数与一元一次不等式的关系2．用函数图象求一元一次不等式的解集的方法。
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一次函数与一次不等式
一、一次函数
一次函数，又称为线性函数，是指函数的表达式中只含有一次幂的项，例如 y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，a ≠ 0。
一次函数的图像为一
条直线，具有以下特征：
1. 斜率：一次函数的斜率等于函数表达式中 x 的系数 a。
斜率代表
了直线的倾斜程度，正斜率表示直线上升，负斜率表示直线下降，斜
率的绝对值越大，直线越陡峭。
2. 截距：一次函数的截距为函数表达式中常数 b。
截距表示了直线
与 y 轴的交点位置，当 x=0 时对应的 y 值。
3. 函数的增减性：当斜率为正时，函数随着 x 的增加而增加；当斜
率为负时，函数随着 x 的增加而减小。
4. 零点：一次函数的零点指的是使得函数值等于零的 x 值。
一次函
数的零点可以通过解一元一次方程来求解。
二、一次不等式
一次不等式是指函数的表达式中含有一次幂的项，并且不等号（＞、≥、＜、≤）对应的两边均为一次函数的形式。
1. 解一次不等式：解一次不等式的方法与解一次方程类似，可以通
过将不等式转化为相等，然后求解相应的一元一次方程。
需要注意的是，不等号的方向会因为乘法或除法转化而改变。
2. 不等式的图像表示：一次不等式的图像表示为直线上或下的半平面。
直线上方或下方满足不等式中的不等号所对应的关系，直线上的点则不满足不等式。
3. 解集表示：一次不等式的解集通常以不等式形式表示，例如 x > 1 表示 x 的取值范围为大于 1 的所有实数。
总结：
一次函数与一次不等式在数学中具有重要的应用价值。
一次函数可以用于描述线性关系，例如物体的等速直线运动；一次不等式常用于解决一元一次不等式问题，如求解两个数的大小关系或约束条件下的取值范围。
理解和掌握一次函数与一次不等式的概念和性质，对于数学问题的解决具有重要意义。