3立体几何综合大题讲义
立体几何
【典型例题】
题型一、线面平行
例1、（2012?山东）如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．
（Ⅰ）求证：BE=DE；
（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC
变式1：（2013?枣庄二模）一多面体的三视图和直观图如图所示，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）直观图中的平面BEFC水平放置．
（1）求证：AE∥平面DCF；
变式2：（2013?潍坊一模）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，点E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABCD⊥平面EFDC，设AD中点为P．
（I ）当E为BC中点时，求证：CP∥平面ABEF
（Ⅱ）设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．
例2、（2010?湖南）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
（Ⅰ）求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值；
（Ⅱ）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
变式：（2013?广州三模）如图，在等腰梯形PDCB中，PB∥CD，PB=3，DC=1，PD=BC=2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证：平面PAD⊥平面PCD．
（2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V PDCMA：V M-AC B=2：1，若存在，确定点M的位置；若不存在，说明理由．
（3）在（2）的条件下，判断AM是否平行于平面PCD．
练习1、（2013?宁德模拟）如图所示的多面体A1ADD1BCC1中，底面ABCD为正方形，AA1∥BB1∥CC1，AA12AB=2AA1=CC1=DD1=4，且AA1⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求证：A1B∥平面CDD1C1；
（Ⅱ）求多面体A1ADD1BCC1的体积V．
2、（2013?聊城一模）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ACB=90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=2，E、F分别为线段PD和BC的中点
（I）求证：CE∥平面PAF；
（Ⅱ）求三棱锥P-AEF的体积．
立体几何大题练习题答案
立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E F
（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC =，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ?面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．
高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》知识点讲义
第三章 空间向量与立体几何 一、坐标运算 ()()111222,,,,,a x y z b x y z == ()()()()121212121212 11112121 2,,,,,,,,a b x x y y z z a b x x y y z z a x y z a b x x y y z z λλλλ+=+++-=---=?=???则 二、共线向量定理 (),0,=.a b b a b a b λλ≠←??→?充要对于使 三、共面向量定理 ,,.a b p a b x y p x a y b ←??→?=+充要若与不共线，则与共面使 ,,, 1.O OP xOA yOB P A B x y =+←???→+=充要条件四、对空间任意一点，若则三点共线 ,1.P A B C O OP xOA yOB zOC P A B C x y z =++←??→++=充要五、对空间异于、、、四点的任意一点，若若、、、四点 ()()()11, 1.P A B C AP xAB y AC OP OA x OB OA y OC OA OP xOB yOC x y OA x y z x y z ∴=+∴-=-+-∴=++----=∴++=证明：①必要性 、、、四点共面， ，，， 令()()() 1, 1,x y z OP y z OA yOB zOC OP OA y OB OA z OC OA AP y AB z AC A B C P ++=∴=--++∴-=-+-∴=+∴②充分性，，、、、四点共面. 六、空间向量基本定理 {} ,,a b c p x y z p xa yb zc a b c a b c ?若,,不共面，对于任意，使=++，称,,做空间的一个基底，, ,都叫做基向量.
高考立体几何大题20题汇总情况
高考立体几何大题20 题汇总情况 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
(2012江西省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5， BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG. （1） 求证：平面DEG ⊥平面CFG ； （2)求多面体C DEFG 的体积。 2012，山东(19) (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直 底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中，,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中 点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 （Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面 （Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C
（2010四川）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点， （Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线； （Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小； 2010辽宁文（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ （Ⅰ）证明：平面11A B C ⊥平面11A BC ； （Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//AB 平面1B CD ，求11:A D DC 的值。
高中数学空间立体几何讲义
第1讲 空间几何体 高考《考试大纲》的要求： ① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. ④ 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. （一）例题选讲： 例1.四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且CD ＝2，AB ＝3，在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是（ ） A ． 6π B ．3 π C ．32π D ．65π 例2.如果圆台的母线与底面成60°角,那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为( ) A ．π2 B ．π2 3 C ．π332 D ．π2 1 例3.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面ACC 1A 1所成的角 是 . 例4.如图所示，等腰△ABC 的底边AB =66,高CD =3，点B 是线段BD 上异于点B 、D 的动点.点F 在BC 边上，且EF ⊥AB .现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE ⊥AE .记BE ＝x ，V (x )表示四棱锥P-ACFE 的体积. （1）求V (x )的表达式； （2）当x 为何值时，V (x )取得最大值？ （3）当V (x )取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值。 （二）基础训练： 1．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④ 2．设地球半径为R ，若甲地位于北纬045东经0120，乙地位于南纬度0 75东经0120，则甲、乙两地球面距离为（ ） （A ）3R (B) 6 R π (C) 56 R π (D) 23R π ①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥
高中数学必修2空间立体几何大题
必修2空间立体几何大题 一．解答题（共18小题） 1．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面V AB⊥平面ABC，△V AB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，V A的中点． （1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面V AB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积． 2．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°． （1）求三棱锥P﹣ABC的体积； （2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值． 3．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） （Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 4．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点， （Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1； （Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．
5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E． 求证： （1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1． 6．如题图，三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，点D、E在线段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4， 点F在线段AB上，且EF∥BC． （Ⅰ）证明：AB⊥平面PFE．（Ⅱ）若四棱锥P﹣DFBC的体积为7，求线段BC的长． 7．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1， （Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证；AC⊥平面PDO； （Ⅱ）求三棱锥P﹣ABC体积的最大值； 8．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD． （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED； （Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．
立体几何大题道
立体几何大题20道 1、（17年浙江）如图，已知四棱锥P-ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，PC=AD=2DC=2CB,E 为PD 的中点.（I ）证明：CE ∥平面PAB ；（II ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值 2、(17新课标3)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD =CD ．（1）证明：AC ⊥BD ；（2）已知△ACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比． 3、（17新课标2）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底ABCD , 1 ,2 AB BC AD BAD == ∠90.ABC =∠=?（1）证明：直线BC ∥平面PAD ; （2）若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积.
4、（17新课标1）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ； （2）若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=o ,且四棱锥P-ABCD 的体积为 8 3 ，求该四棱锥的侧面积. 5、（17年山东）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD , （Ⅰ）证明：1A O ∥平面B 1CD 1; （Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1. 6、（17年北京）如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ； （Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积．
高中数学立体几何讲义
平面与空间直线 (Ⅰ)、平面的基本性质及其推论 图形 符号语言 文字语言（读法） A a A a ∈ 点A 在直线a 上。 A a A a ? 点A 不在直线a 上。 A α A α∈ 点A 在平面α内。 A α A α? 点A 不在平面α内。 b a A a b A =I 直线a 、b 交于A 点。 a α a α? 直线a 在平面α内。 a α a α=?I 直线a 与平面α无公共点。 a A α a A α=I 直线a 与平面α交于点A 。 l αβ=I 平面α、β相交于直线l 。 2、平面的基本性质 公理1： 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内 推理模式：A AB B ααα∈? ??∈? ?。 如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也是检验平面的方法。 B A α
公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。 推理模式： A l A ααββ∈? ?=?∈? I 且A l ∈且l 唯一如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上。 例1．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，直线AB ，BC ，AD ，DC 分别与平面 α相交于点E ，G ，H ，F ．求证：E ，F ，G ，H 四点必定共线． 解：∵AB ∥CD ， ∴AB ，CD 确定一个平面β． 又∵AB I α＝E ，AB ?β，∴E ∈α，E ∈β， 即E 为平面α与β的一个公共点． 同理可证F ，G ，H 均为平面α与β的公共点． ∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E ，F ，G ，H 四点必定共线． 说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论． 例2．如图，已知平面α，β，且αI β＝l ．设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，且AB ?α，CD ?β，求证：AB ，CD ，l 共点（相交于一点）． 证明 ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴AB ，CD 是梯形ABCD 的两条腰． ∴ AB ，CD 必定相交于一点， 设AB I CD ＝M ． 又∵AB ?α，CD ?β，∴M ∈α，且M ∈β．∴M ∈αI β． 又∵αI β＝l ，∴M ∈l ， 即AB ，CD ，l 共点． 说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的． 公理3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推理模式：,, A B C 不共线?存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈。 应用：①确定平面；②证明两个平面重合 。 例3．已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面． 证明 1o 若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a ，b ，c 相交于一点A ， α D C B A E F H G α D C B A l 例2 β M
立体几何大题训练及答案
1、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形， （1）线段的中点为，线段的中点为， 求证：； （2）求直线与平面所成角的正切值. 解：（1）取AB 的中点为N ，连MN ,PN ,则//MN EB ,//PN BC ∴ PMN EBC ∴//PM BCE 平面FE ⊥EBC FCE ∴∠ ⊥//AB DE (1)求证：AO ⊥平面CDE ； (2)求直线BD 与平面CBE 所成角的正弦值 3、如图，在△ABC 中，?=∠90C ，a BC AC 3==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于 E ，AC P F //交BC 于F ．沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面 ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ． （1）求证：//'C B 平面PE A '； （2）若PB AP 2=，求二面角E PC A --'的平面角的正切值． 解：（1）因为PE FC //，?FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '． 因为平面⊥PE A '平面PEC ，且PE E A ⊥'，所以⊥E A '平面ABC ． …2分 同理，⊥F B '平面ABC ，所以E A F B '//'，从而//'F B 平面PE A '． …4分 所以平面//'CF B 平面PE A '，从而//'C B 平面PE A '． …6分 （2）因为a BC AC 3==，BP AP 2=， 所以a CE =，a A E 2='，a PE 2=，a PC 5=． …8分 A B C D E F M . . C B F P A F C ' B ' A E
立体几何讲义(线面平行,垂直,面面垂直)
D C B 1 A 1 C 1 立体几何讲义------线面平行，垂直，面面垂直 立体几何高考考点： 选择题：三视图 选择填空：球类题型 大题 （1）线面平行、面面平行 线面垂直、面面垂直 【运用基本定理】 （2）异面直线的夹角 线面角 面面角（二面角） 【几何法、直角坐标系法】 (3)锥体体积 【找到一个好算的高，运用公式】 点面距离 【等体积法】 线面平行 1、如图所示，边长为4的正方形 与正三角形 所在平面互相垂直，M 、Q 分别是PC ，AD 的中点．求证：PA ∥面BDM 2、如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, D 为AC 的中点,求证:；平面D BC AB 11// 3、如图，正三棱柱111C B A ABC 的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点.求证：//1C B 平面BD A 1. A B C A 1 B 1 C 1 D
4、如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，ABCD 是平行四边形，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，求证：MN ∥平面PAD ． 5、如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．求证：AF ∥平 面PCE ； 6、(2012·辽宁)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA ′＝1，点M 、N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点． 证明：MN ∥平面A ′ACC ′； 7、【2015高考山东】 如图，三棱台DEF ABC -中，2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点． （Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；
高一数学空间几何体综合练习题
人教A 必修2第一章空间几何体综合练习卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分. 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．不共面的四点可以确定平面的个数为 （ ） A ． 2个 B ． 3个 C ． 4个 D ．无法确定 2．利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图一定是三角形； ②正方形的直观图一定是菱形； ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的是 （ ） A ．①② B ． ① C ．③④ D ． ①②③④ 3．棱台上下底面面积分别为16和81,有一平行于底面的截面面积为36,则截面戴的两棱台高 的比为 （ ） A ．1∶1 B ．1∶1 C ．2∶3 D ．3∶4 4．若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是 （ ） A ．正方体 B ．正四棱锥 C ．长方体 D ．直平行六面体 5．已知直线a 、b 与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是 （ ） A ．a ⊥α且a ⊥β B ．α⊥γ且β⊥γ C ．a ?α，b ?β，a ∥b D ．a ?α，b ?α，a ∥β，b ∥β 6．如图所示，用符号语言可表达为（ ） A ．α∩β＝m ，n ?α，m ∩n ＝A B ．α∩β＝m ，n ∈α，m ∩n ＝A C ．α∩β＝m ，n ?α，A ?m ，A ? n D ．α∩β＝m ，n ∈α，A ∈m ，A ∈ n 7．下列四个说法 ①a //α，b ?α,则a // b ②a ∩α＝P ，b ?α，则a 与b 不平行 ③a ?α，则a //α ④a //α，b //α，则a // b 其中错误的说法的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为 （ ） A ．279cm 2 B ．79cm 2 C ．32 3cm 2 D ．32cm 2 9．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧 面，则两圆锥体积之比为 （ ） A ．3∶4 B ．9∶16 C ．27∶64 D ．都不对 10．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD =a ，则三棱锥D —ABC 的体积为 （ ）
高考立体几何大题20题汇总
(2012XX省）（本小题满分12分） 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F是线段AB上的两点，且DE⊥AB，CF⊥AB，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合与点G，得到多面体CDEFG. （1）求证：平面DEG⊥平面CFG； （2)求多面体CDEFG的体积。 2012，(19)(本小题满分12分) 如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形， CBCD,ECBD. (Ⅰ)求证：BEDE； (Ⅱ)若∠BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面 BEC. BC 2012XX20．（本题满分15 分）如图，在侧棱锥垂直 A D 底面的四棱锥ABCDA1B1C1D1中，AD//BC,AD FE AB,AB2,AD2,BC4,AA2,E是DD的中点，F 11 是平面B C E 与直线AA1 的交点。 1 1 A1 B1 D1 ( 第20题图) C1 （Ⅰ）证明：（i ）E F//A1D1;（ii）BA1平面B1C1EF; （Ⅱ）求BC与平面B1C1EF所成的角的正弦值。 1 （2010）18、(本小题满分12分)已知正方体ABCDA'B'C'D'中，点M是棱AA' 的中点，点O是对角线BD'的中点， （Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'与BD'的公垂线；
（Ⅱ）求二面角MBC'B'的大小； 2010XX文（19）（本小题满分12分） 如图，棱柱 ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B （Ⅰ）证明：平面A B C平面A1BC1； 11 （Ⅱ）设D 是A C上的点，且 11 AB1//平面BCD，求 1 A1D :DC1的值。 2012（18）(本小题满分12分) 如图，直三棱柱/// ABCABC，BAC90， ABAC2,AA′=1，点M，N分别为/ AB和// BC的中点。 (Ⅰ)证明：MN∥平面// AACC;
空间立体几何讲义全
①规定长度为0的向量为零向量，记作0； ②模为1的向量叫做单位向量； 3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量． 4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如a的相反向量记为-a. 5.共线与共面向量 （1）共线向量：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∕∕b. （2）共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量． （3）定理 共线向量定理：对于空间任意两个向量b (b≠ 、的充要条件是存在实数λ，使得.b ),0 a// a b = aλ共面向量定理：如果两个向量b、a不共线，则向量p与向量b、a共面的充要条件是存在唯一的有序史书对(x，y),使得p.b y = a x+ 6．注意： ①零向量的方向是任意的，规定0与任何向量平行； ②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1； ③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量； ④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量； ⑤一般来说，向量不能比较大小．
二、空间向量的运算 1、加减法 （1）空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则． （2）加法运算律： 空间向量的加法满足交换律及结合律． 交换律： 结合律： （3）推广 *首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量： *首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量 2.空间向量的数乘运算 （1）实数λ与空间向量a的乘积λa仍是一个向量，称为向量的数乘运算． ①当λ＞0时，λa与a的方向相同； ②当λ＜0时，λa与a的方向相反； ③当λ=0时，λa=0． ④|λa|=|λ|a?，λa的长度是a的长度的|λ|倍．
高中数学立体几何之面面平行的判定与性质讲义及练习电子教案
高中数学立体几何之面面平行的判定与性质讲义及练习
面面平行的判定与性质 一、基本内容 1.面面平行的判定 文字 图形 几何符号 简称 判定定理1 判定定理2 2.面面平行的性质 文字 图形 几何符号 简称 性质定理1 性质定理2 二、例题 1. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面． 2.在正方体1111ABCD A B C D 中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG . A 1 A B 1 C 1 C D 1 D G E F
F E D B A P C 3.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形， PA ⊥平面ABCD ， E 是PC 中点，F 为线段AC 上一点. （Ⅰ）求证：EF BD ⊥； （Ⅱ）试确定点F 在线段AC 上的位置，使EF //平面PBD . 4. 在四棱锥P ABCD 中，AB //CD ，AB AD ，4,22,2AB AD CD ，PA 平面 ABCD ，4PA . （Ⅰ）设平面PAB 平面PCD m =，求证：CD //m ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ； （Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC 所 成角的正弦值为33，求PQ PB 的值． 5. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠?， EB ⊥平面ABCD ， EF//AB ，2AB=，=1EF ，=13BC ，且M 是BD 的中点. （Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ； （Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得CPD ∠最大？ 若存在，请求出CPD ∠的正切值；若不存在， 请说明理由. P D C B A C A F E B M D
立体几何综合大题20道
立体几何综合大题（理科）40道及答案 1、四棱锥中,⊥底面,,, . (Ⅰ)求证:⊥平面； (Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积。 【答案】 (Ⅰ)证明:因为BC=CD ，即BCD ?为等腰三角形，又ACD ACB ∠=∠,故AC BD ⊥. 因为⊥PA 底面ABCD ，所以BD PA ⊥,从而BD 与平面PAC 内两条相交直线 AC PA ,都垂直， 故⊥平面。 (Ⅱ)解：33 2sin 2221sin 21=??=∠??= ?π BCD CD BC S BCD . 由⊥PA 底面ABCD 知232331 31=??=??=?-PA S V BCD BDC P . 由,7FC PF =得三棱锥BDC F -的高为PA 8 1 , 故：4 1 32813318131=???=??=?-PA S V BCD BDC F 4 7 412=- =-=---BCD F BCD P BDF P V V V 2、如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PAD ?为等腰三角形， 90APD ?∠=，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，且1,2AB AD ==，,E F 分别为PC 和BD 的中点．
（Ⅰ）证明：EF P 平面PAD ； （Ⅱ）证明：平面PDC ⊥平面PAD ； （Ⅲ）求四棱锥P ABCD -的体积． 【答案】 （Ⅰ）证明：如图，连结AC ． ∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点．∴F 也是AC 的中点． 又E 是PC 的中点，EF AP P ∵EF ?平面PAD ，PA ?平面PAD ，所以EF P 平面PAD ； （Ⅱ）证明：∵平面PAD ⊥ 平面ABCD ，CD AD ⊥，平面PAD I 平面 ABCD AD =， 所以平面CD ⊥ 平面PAD ，又PA ?平面PAD ，所以PA CD ⊥ 又PA PD ⊥，,PD CD 是相交直线，所以PA ⊥面PCD 又PA ?平面PAD ，平面PDC ⊥平面PAD ； （Ⅲ）取AD 中点为O ．连结PO ,PAD ?为等腰直角三角形，所以PO AD ⊥， 因为面PAD ⊥面ABCD 且面PAD I 面ABCD AD =， 所以，PO ⊥面ABCD ， 即PO 为四棱锥P ABCD -的高． O
立体几何综合试题
立体几何综合试题 1．（本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长都相等，D、E分别为AC1，BB1的中点。（1）求证：DE∥平面A1B1C1；（2）求二面角A1—DE—B1的大小。 2．（本小题满分12分） 如图：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AB＝AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1＝2∶1，BF＝BC＝2a。 （I）若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF⊥FC1； （II）试问：若AB＝2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角，为什么？证明你的结论 A B C 1 A 1 B 1 C E D
3. （本小题满分12分） 如图，在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，且 ∠ADC =arcsin 5 5 ，又PA ⊥平面ABCD ，AD ＝3AB ＝3PA ＝3a 。 （I ）求二面角P —CD —A 的正切值； （II ）求点A 到平面PBC P B C A D 4.（本小题满分14分）在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA=CB=CC 1=2，∠ACB=90°，E 、F 分别是BA 、BC 的中点，G 是AA 1上一点，且AC 1⊥EG. （Ⅰ）确定点G 的位置； （Ⅱ）求直线AC 1与平面EFG 所成角θ的大小.
已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是菱形，⊥?=∠PD DAB ,60平面ABCD ，PD=AD ， 点E 为AB 中点，点F 为PD 中点. （1）证明平面PED ⊥平面PAB ； （2）求二面角P —AB —F 的平面角的余弦值 6.在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心，点P 在棱CC 1 上，且CC 1=4CP. (Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； (Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ，求证：D 1H ⊥AP ； (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离. · B 1 P A C D A 1 C 1 D 1 B O H ·
利用空间向量立体几何(完整版)
向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 基本思路与方法 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系
线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+- 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n ?= 0022 Ax By C A B +++ 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤：
高一讲义立体几何
立体几何 学习目标 1、认识由柱、锥、台、球组成的几何组合体的结构特征； 2、理解掌握立体图形的平行平面投影三视图； 3、能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，了解球的表面积和体积公式； 4、会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积. 教学内容 1、如下图中所示几何体中是棱柱有（ ） A ．1 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、如下图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、C 1D 1的中点，G 是正方形BCC 1B 1的中心，则四边形AGFE 在该正方体的各个面上的射影可能是下图中的________． 3、已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ） A ． 323 π B ．4π C ．2π D ．43π 4、如右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．9122π+ B ．9 182 π+ C ．942π+ D ．3618π+
空间几何体的结构 【知识梳理】 1、棱柱的结构特征 定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面． 2、棱锥的结构特征 定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……；
立体几何综合大题20道(理)
立体几何综合大题（理科）40道及答案 1 、四棱锥P ABCD 中, PA ⊥底面ABCD , PA 2 3 , BC CD 2 , ACB ACD . 3 ( Ⅰ) 求证: BD ⊥平面PAC ； ( Ⅱ) 若侧棱PC 上的点F 满足PF 7FC , 求三棱锥P BDF 的体积。 【答案】 ( Ⅰ) 证明: 因为BC=C，D即B C D为等腰三角形，又ACB ACD , 故BD AC . 因为PA 底面ABCD，所以PA BD , 从而BD 与平面PAC 内两条相交直线 PA, AC 都垂直， 故⊥平面。 BD PAC 1 1 2 ( Ⅱ) 解： 3 S BCD . BC CD sin BCD 2 2 sin 2 2 3 1 1 由PA 底面ABCD知V P BDC BCD 3 2 3 2 . S PA 3 3 1 由PF 7FC,得三棱锥F BDC 的高为PA 8 , 故： 1 V F BDC S BCD 3 1 8 PA 1 3 3 1 8 2 3 1 4 V P V V BDF P BCD F BCD 2 1 4 7 4
2、如图，四棱锥P ABCD中，四边形ABCD 为矩形，PAD 为等腰三角形，APD 90 ，平面PAD 平面ABCD，且A B1,A D 2 ，E, F 分别为PC 和BD 的中点．
（Ⅰ）证明：EF平面PAD； （Ⅱ）证明：平面PDC平面PAD； （Ⅲ）求四棱锥P ABCD的体积． P E D C O F A B 【答案】 （Ⅰ）证明：如图，连结AC． ∵四边形ABCD为矩形且F是BD的中点．∴F也是AC的中点． 又E是PC的中点，EF AP ∵EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PAD； （Ⅱ）证明：∵平面PAD平面ABCD，CD AD，平面PAD平面ABCD AD， 所以平面CD平面PAD，又PA平面PAD，所以PA CD 又PA PD，PD,CD是相交直线，所以PA面PCD 又PA平面PAD，平面PDC平面PAD； （Ⅲ）取AD中点为O．连结PO,PAD为等腰直角三角形，所以PO AD，因为面PAD面ABCD且面PAD面ABCD AD， 所以，PO面ABCD， 即PO为四棱锥P ABCD的高． 由AD2得PO1．又AB1． ∴四棱锥P ABCD的体积 12 V PO AB AD 33
立体几何知识点归纳
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱 与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其 中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①???????? →???????→?? ?? 底面是正多形 棱垂直于底面斜棱柱 棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形 侧棱与底面边长相等 1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ ，，，那么 222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则2 2 2 cos cos cos 2αβγ++=，2 2 2 sin sin sin 1αβγ++=.
立体几何大题
互相垂直，F 为BC 的中点， BAC ACD 90°，AE// CD (2012济宁高三上学期期末 文) 1/1本小题满分12分) 如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中.P 人丄面ABCD 用是PD 的中 & (I ［求证：平面PDC 丄平面PDA. & (fl )求几何怵P-ABCD 被平面ACE 分得的两部分 的体积岀 : VpMCE* / - / A A —■■■-\— ■! ............... (2012潍坊高三期末 文)18.(本小题满分12分) 如图所示，直角梯形 ACDE 与等腰直角 ABC 所在平面 DC=AC=2AE=2 (I) 求证：平面BDEL 平面ABC (II) 求证：AF//平面BDE (III) 求四面体B-CDE 的体积。 (IV) (2012年佛山市普通高中高三教学质量检测) 18.(本题满分14分) 如图，三棱锥 P ABC 中，PB 底面ABC , BCA 90o , PB BC CA 4 , E 为 PC 的中点， M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且AF 2FP . 1) 求证：BE 平面PAC ; 2) 求证：CM //平面BEF ; (3)求三棱锥F ABE 的体积? 20.(本小题满分13分) 在边长为a 的正方形ABCD 中，E, F 分别 为BC, CD 的中点，现沿 AE 、AF 、EF 折 叠，使 B 、 C 、 D 三点重合，构成一个三棱锥 (I) 在三棱锥 B AEF 中，求证: (H)求四棱 锥 E AMNF 的体积. B AEF ，如图所示. AB EF ;
18.(本小题满分13分) 如图，四棱锥 P— ABCD的底面是正方形，PD 底面ABCD，点E在棱PB上。 (1)求证平面AEC 平面PDB ；
(完整版)历年高考立体几何大题试题
3. 【2015 高考安徽，理 19】如图所示，在多面体 A 1B 1D 1DCBA ，四边形 AA 1B 1B ， ADD 1 A 1 , ABCD 均为正方形， E 为B 1D 1的中点，过 A 1,D, E 的平 面交 CD 1于 F. 2015 年高考立体几何大 题试卷 1.【 2015 高考新课标 2，理 19】 如图，长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中, AB=16 ， BC =10， AA 1 8，点E ，F 分别在 A 1B 1， C 1D 1上， A 1E D 1F 4 ．过点 E ， F 的平 面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方 形． B （1 题图） Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） Ⅱ）求直线 AF 与平面 所成角的正弦值． 2. 【2015 江苏高考， 16】 如图，在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，已知 AC BC ， BC CC 1，设 AB 1的中点为 D ， B 1C BC 1 E . 求证：（ 1） DE // 平面 AA 1C 1C ； 2) BC 1 AB 1 . C 2 题 图） 3 题图）
（Ⅰ）证明：EF //B1C ；（Ⅱ）求二面角E A1D B1余弦值 .
4. 【2015 江苏高考， 22】如图，在四棱锥 P ABCD 中，已知 PA 平面 ABCD ，且 四边形 ABCD 为直角梯 形， ABC BAD ,PA AD 2, AB BC 1 2 （ 1）求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值； 2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成角最小时，求线段 BQ 的长 面 BEC ，BE ^ EC ，AB=BE=EC=2 ，G ，F 分别是线 段 （ Ⅰ ） GF//平面 （ Ⅱ）求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值． 6.【2015 高考浙江，理 17】如图，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 -中， BAC 90o ， AB AC 2， A 1A 4， A 1在底面 ABC 的射影为 BC 的中点， D 为B 1C 1的中点 . （1）证明： A 1D 平面 A 1B C ； 2）求二面角 A 1 -BD- B 1的平面角的余弦值 4 题图） 5 题图） 5 .【 2015 高考福建， 理 17】如图， 在几何体 ABCDE 中， 四边形 ABCD 是矩形， AB ^ 平 BE ， DC 的中点 . D