立体几何综合大题20道理

立体几何综合大题20道理
立体几何综合大题20道理

立体几何综合大题(理科)40道及答案

1、四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,23PA =,2BC CD ==, 3ACB ACD π

∠=∠=.

(Ⅰ)求证:BD ⊥平面PAC ;

(Ⅱ)若侧棱PC 上的点F 满足7PF FC =,求三棱锥P BDF -的体积。

【答案】

(Ⅰ)证明:因为BC=CD ,即BCD ?为等腰三角形,又ACD ACB ∠=∠,故AC BD ⊥. 因为⊥PA 底面ABCD ,所以BD PA ⊥,从而BD 与平面PAC 内两条相交直线AC PA ,都垂直,

故BD ⊥平面PAC 。

(Ⅱ)解:33

2sin 2221sin 21=??=∠??=?πBCD CD BC S BCD . 由⊥PA 底面ABCD 知23233

131=??=??=?-PA S V BCD BDC P . 由,7FC PF =得三棱锥BDC F -的高为PA 8

1,

故:4

132813318131=???=??=?-PA S V BCD BDC F 4

7412=-=-=---BCD F BCD P BDF P V V V 2、如图,四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为矩形,PAD ?为等腰三角形,

90APD ?∠=,

平面PAD ⊥ 平面ABCD ,且1,2AB AD ==,,E F 分别为PC 和BD 的中点.

(Ⅰ)证明:EF 平面PAD ;

(Ⅱ)证明:平面PDC ⊥平面PAD ;

(Ⅲ)求四棱锥P ABCD -的体积.

【答案】

(Ⅰ)证明:如图,连结AC .

∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点.∴F 也是AC 的中点. 又E 是PC 的中点,EF AP ∵EF ?平面PAD ,PA ?平面PAD ,所以EF 平面PAD ;

(Ⅱ)证明:∵平面PAD ⊥ 平面ABCD ,CD AD ⊥,平面PAD

平面ABCD AD =,

所以平面CD ⊥ 平面PAD ,又PA ?平面PAD ,所以PA CD ⊥ 又PA PD ⊥,,PD CD 是相交直线,所以PA ⊥面PCD 又PA ?平面PAD ,平面PDC ⊥平面PAD ; (Ⅲ)取AD 中点为O .连结PO ,PAD ?为等腰直角三角形,所以PO AD ⊥, 因为面PAD ⊥面ABCD 且面PAD 面ABCD AD =, 所以,PO ⊥面ABCD ,

即PO 为四棱锥P ABCD -的高.

由2AD =得1PO =.又1AB =.

∴四棱锥P ABCD -的体积1233

V PO AB AD =??= 考点:空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.

3、如图,在四棱锥P ABCD -中,PD ABCD ⊥平面,CD PA ⊥, DB ADC ∠平分,

E PC 为的中点,45DAC ∠=,AC =

(Ⅰ)证明:PA ∥BDE 平面; (Ⅱ)若,22,2==BD PD 求四棱锥ABCD E -的体积

【答案】(Ⅰ)设F BD AC =?,连接EF ,

CD PD ABCD CD ABCD PD ⊥∴?⊥,平面,平面 PAD PA PD P PA PD PA CD 平面,,,又?=?⊥ AD CD PAD AD PAD CD ⊥∴?⊥∴平面,平面 ∵,45?=∠DAC ∴,DC DA = ∵DB 平分,ADC ∠F 为AC 中点,E 为PC 中点, ∴EF 为CPA ?的中位线. ∵EF ∥,PA EF BDE ?平面,PA BDE ?平面

∴PA ∥BDE 平面. (Ⅱ)底面四边形ABCD 的面积记为S ;

ABC ADC S S S ??+=222322122221=??+??=

. 的中点,为线段点PC E

111122232323

E ABCD V S PD -∴=?=???=. 考点:1.线面平行的证明;2.空间几何体的体积计算.

4、如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,其中2PA PD AD ===,60BAD ?∠=,Q 为AD 的中点.

(1) 求证:AD PQB ⊥平面;

(2) 若平面PAD ⊥平面ABCD ,且M 为PC 的中点,求四棱锥M ABCD -的体积.

【答案】

(1)PA PD =,Q 为中点,AD PQ ∴⊥ 连DB ,在ADB ?中,AD AB =,60BAD ?∠=,

ABD ∴?为等边三角形,Q 为AD 的中点,

AD BQ ∴⊥, PQ BQ Q ?=,PQ ?平面PQB ,BQ ?平面PQB , ∴AD ⊥平面PQB .

(2)连接QC ,作MH QC ⊥于H .

H

A

B C

D P

M

Q PQ AD ⊥,PQ ?平面PAD , 平面PAD ?平面ABCD AD =, 平面PAD ⊥平面ABCD , PQ ABCD ∴⊥平面 , QC ?ABCD 平面 , PQ QC ∴⊥ //PQ MH ∴. ∴MH ABCD ⊥平面, 又12PM PC =

,1122222MH PQ ∴==?=. 在菱形ABCD 中,2BD =,

01sin 602

ABD S AB AD Λ=??

?1=222??

∴2ABD ABCD S S ?==菱形

M ABCD V -13

ABCD S MH =??

菱形13=?1=.

高一数学立体几何练习题及部分答案大全

立 体几何试题 一.选择题(每题4分,共40分) 1.已知AB 0300300150空间,下列命题正确的个数为( ) (1)有两组对边相等的四边形是平行四边形,(2)四边相等的四边形是菱形 (3)平行于同一条直线的两条直线平行 ;(4)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一个平面的位置关系是( ) A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m αα过平面α外一点,作与α平行的平面,则这样的平面可作( ) A 1个 或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC ⊥菱形ABCD 所在平面,那么MA 与BD 的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( ) A 0个 B 1个 C 无数个 D 1个或无数个 8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 二.填空题(每题4分,共16分) 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ,设直线AB 与平面α交于点O ,则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个,过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块

立体几何大题练习题答案

立体几何大题专练 1、如图,已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面,M 、N 分别为AB 、PC 的中点; (1)求证:MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°,求证:MN ⊥平面PCD 2(本小题满分12分) 如图,在三棱锥P ABC -中,,E F 分别为,AC BC 的中点. (1)求证://EF 平面PAB ; (2)若平面PAC ⊥平面ABC ,且PA PC =,90ABC ∠=?, 求证:平面PEF ⊥平面PBC . P A C E F

(1)证明:连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点, //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ,?AB 平面PAB , ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 (2)PA PC =,E 为AC 的中点, PE AC ∴⊥ ……………………6分 又平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点, //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ?面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AC=BC ,点D 是AB 的中点。 (1)求证:BC 1//平面CA 1D ; (2)求证:平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4.已知矩形ABCD 所在平面外一点P ,PA ⊥平面ABCD ,E 、F 分别是 AB 、PC 的中点. (1) 求证:EF ∥平面PAD ; (2) 求证:EF ⊥CD ; (3) 若∠PDA =45°,求EF 与平面ABCD 所成的角的大小.

立体几何大题专题(基础)

练习1:如图:四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,E 为侧棱PD 的中点,证明:PB ∥平面EAC 练习2:如图:三棱柱ABC —111C B A 中,M 为AB 的中点,证明:1BC ∥平面CM A 1 练习3:如图:三棱柱ABC —111C B A 中,M 为BC 的中点,证明:C A 1∥平面M AB 1 练习4:如图:四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,E 、F 分别为PA 、BC 的中点,证明:EF ∥平面PCD 练习5:如图:三棱柱ABC —111C B A 中,M 、N 分别为AC 、11C B 的中点,证明:MN ∥平面

11A ABB 练习6:如图:四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,M 、N 分别为PC 、AD 的中点,证明:MN ∥平面PAB 练习7:如图:三棱柱ABC —111C B A 中,M 为1CC 的中点,N 为AB 的中点,证明:CN ∥平面M AB 1 练习8:如图:四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是梯形,AD ∥BC , 090=∠BAD ,BC AB AD 22==,AB PA 2=,E 为PC 的中点,证明:AE ⊥DE

练习9:如图:直三棱柱ABC —111C B A 中,0 90=∠ACB ,1112C A AA =,E 、F 分别为1CC 、 1BB 的中点,Q 为E A 1的中点,证明:Q C 1⊥FQ 练习10:如图:四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,AB ⊥ AD ,BC AB PA ==, 060=∠ABC ,DC ⊥AC ,AF ⊥PD ,E 为PC 的中点,证明:EF ⊥PD 练习11:如图:四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是矩形,平面PAB ⊥平面ABCD ,证明:平面PBC ⊥平面PAB

高考立体几何大题20题汇总情况

高考立体几何大题20 题汇总情况 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

(2012江西省)(本小题满分12分) 如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,E ,F 是线段AB 上的两点,且DE ⊥AB ,CF ⊥AB ,AB=12,AD=5, BC=42,DE=4.现将△ADE ,△CFB 分别沿DE ,CF 折起,使A ,B 两点重合与点G ,得到多面体CDEFG. (1) 求证:平面DEG ⊥平面CFG ; (2)求多面体C DEFG 的体积。 2012,山东(19) (本小题满分12分) 如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形, ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证:BE DE =; (Ⅱ)若∠120BCD =?,M 为线段AE 的中点,求证:DM ∥平面BEC . 2012浙江20.(本题满分15分)如图,在侧棱锥垂直 底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中,,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中 点,F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 (Ⅰ)证明:(i) 11;EF A D //ii ()111;BA B C EF ⊥平面 (Ⅱ)求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C

(2010四川)18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中,点M 是棱'AA 的中点,点O 是对角线'BD 的中点, (Ⅰ)求证:OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线; (Ⅱ)求二面角''M BC B --的大小; 2010辽宁文(19)(本小题满分12分) 如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形,11B C A B ⊥ (Ⅰ)证明:平面11A B C ⊥平面11A BC ; (Ⅱ)设D 是11A C 上的点,且1//AB 平面1B CD ,求11:A D DC 的值。

高中数学立体几何测试题及答案一)

高中数学必修2立体几何测试题及答案(一)一,选择(共80分,每小题4分) 1,三个平面可将空间分成n个部分,n的取值为() A,4;B,4,6;C,4,6,7 ;D,4,6,7,8。 2,两条不相交的空间直线a、b,必存在平面α,使得() A,a?α、b?α;B,a?α、b∥α;C,a⊥α、b⊥α;D,a?α、b⊥α。 3,若p是两条异面直线a、b外的任意一点,则() A,过点p有且只有一条直线与a、b都平行;B,过点p有且只有一条直线与a、b都垂直;C,过点p有且只有一条直线与a、b都相交;D,过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4,与空间不共面四点距离相等的平面有()个 A,3 ;B,5 ;C,7;D,4。 5,有空间四点共面但不共线,那么这四点中() A,必有三点共线;B,至少有三点共线;C,必有三点不共线;D,不可能有三点共线。 6,过直线外两点,作与该直线平行的平面,这样的平面可有()个 A,0;B,1;C,无数;D,涵盖上三种情况。 7,用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形,则() A,3≤n≤6 ;B,2≤n≤5 ;C,n=4;D,上三种情况都不对。 8,a、b为异面直线,那么() A,必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b;B,过直线b 存在唯一的一个平面与a平行;C,必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b;D,过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9,a、b为异面直线,p为空间不在a、b上的一点,下列命题正确的个数是() ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直;②过点p总可以作一条直线与a、b都相交;③

过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行;④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直;⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ,1; B ,2; C ,3; D ,4。 10,异面直线a 、b 所成的角为80°,p 为空间中的一定点,过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有( )条 A ,2; B ,3; C ,4; D ,6。 11,P 是△ABC 外的一点,PA 、PB 、PC 两两互相垂直,PA=1、PB=2、PC=3,则△ABC 的 面积为( )平方单位 A ,25; B ,611; C ,27; D ,2 9。 12,空间四个排名两两相交,以其交线的个数为元素构成的集合是( ) A ,{2,3,4}; B ,{1,2,3,}; C ,{1,3,5}; D ,{1,4,6}。 13,空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1,点P 在AB 上移动 ,点Q 在CD 上移 动,点P 到点Q 的最短距离是( ) A ,21; B ,22; C ,23; D ,4 3。 14,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC ,PA=8,则P 到BC 的距离是( ) A ,45; B ,43; C ,25; D ,23。 15,已知m ,n 是两条直线,α,β是两个平面,下列命题正确的是( ) ①若m 垂直于α内的无数条直线,则m ⊥α;②若m 垂直于梯形的两腰,则m 垂直于梯形所 在的平面;③若n ∥α,m ?α,则n ∥m ;④若α∥β,m ?α,n ⊥β,则n ⊥m 。 A ,①②③; B ,②③④; C ,②④; D ,①③。 16,有一棱长为1的立方体,按任意方向正投影,其投影最大面积为( )

立体几何专题训练

专题一 立体几何 班级: _____ 姓名: _____ 学号: _____ 一、选择题(4分×10=40分) 1.直线12,l l 和α,12//l l ,a 与1l 平行,则a 与2l 的关系是 A .平行 B .相交 C .垂直 D .以上都可能 2.若线段AB 的长等于它在平面内射影长的3倍,则这条斜线与平面所成角的余弦值为 A .1 3 B . 3 C .2 D .23 3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,B 1C 与平面DD 1B 1B 所成的角的大小为 A .15o B .30o C .45o D .60o 4.有下列命题:①空间四点共面,则其中必有三点共线;②空间四点不共面,则其中任何三点不共线;③空间四点中有三点共线,则此四点共面;④空间四点中任何三点不共线,则此四点不共面.其中正确的命题是 A .②③ B .①②③ C .①③ D .②③④ 5.有一山坡,倾斜度为300,若在斜坡平面上沿着一条与斜坡底线成450角的直线前进1公里,则升高了 A .米 B . 米 C .米 D . 500米 6.已知三条直线,,a b l 及平面,αβ,则下列命题中正确的是 A .,//,//b a b a αα?若则 B .若,a b αα⊥⊥,则//a b C . 若,a b ααβ?=I ,则//a b D .若,,,,a b l a l b αα??⊥⊥则l α⊥ 7.已知P 是△EFG 所在平面外一点,且PE=PG ,则点P 在平面EFG 内的射影一定在△EFG 的 A .∠FEG 的平分线上 B .边EG 的垂直平分线上 C .边EG 的中线上 D .边EG 的高上 8 .若一正四面体的体积是3,则该四面体的棱长是 A . 6cm B . C .12cm D .9.P 是△ABC 所在平面α外一点,PA ,PB ,PC 与α所成的角都相等,且PA ⊥BC ,则 △ABC 是 A .等边三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等腰直角三角形 10.如图,在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为3的正方形,EF//AB ,EF= 32 ,C D E F

高中数学必修2空间立体几何大题

必修2空间立体几何大题 一.解答题(共18小题) 1.如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面V AB⊥平面ABC,△V AB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,V A的中点. (1)求证:VB∥平面MOC;(2)求证:平面MOC⊥平面V AB(3)求三棱锥V﹣ABC的体积. 2.如图,三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°. (1)求三棱锥P﹣ABC的体积; (2)证明:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求的值. 3.如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4.过E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) (Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 4.如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC1的中点, (Ⅰ)证明:平面AEF⊥平面B1BCC1; (Ⅱ)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°,求三棱锥F﹣AEC的体积.

5.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E. 求证: (1)DE∥平面AA1C1C;(2)BC1⊥AB1. 6.如题图,三棱锥P﹣ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=,点D、E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4, 点F在线段AB上,且EF∥BC. (Ⅰ)证明:AB⊥平面PFE.(Ⅱ)若四棱锥P﹣DFBC的体积为7,求线段BC的长. 7.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1, (Ⅰ)若D为线段AC的中点,求证;AC⊥平面PDO; (Ⅱ)求三棱锥P﹣ABC体积的最大值; 8.如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD. (Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面BED; (Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E﹣ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.

立体几何大题道

立体几何大题20道 1、(17年浙江)如图,已知四棱锥P-ABCD ,△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形,BC ∥AD ,CD ⊥AD ,PC=AD=2DC=2CB,E 为PD 的中点.(I )证明:CE ∥平面PAB ;(II )求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值 2、(17新课标3)如图,四面体ABCD 中,△ABC 是正三角形,AD =CD .(1)证明:AC ⊥BD ;(2)已知△ACD 是直角三角形,AB =BD .若E 为棱BD 上与D 不重合的点,且AE ⊥EC ,求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比. 3、(17新课标2)如图,四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 为等边三角形且垂直于底ABCD , 1 ,2 AB BC AD BAD == ∠90.ABC =∠=?(1)证明:直线BC ∥平面PAD ; (2)若△PCD 的面积为27,求四棱锥P ABCD -的体积.

4、(17新课标1)如图,在四棱锥P-ABCD 中,AB//CD ,且90BAP CDP ∠=∠=o (1)证明:平面PAB ⊥平面PAD ; (2)若PA =PD =AB =DC ,90APD ∠=o ,且四棱锥P-ABCD 的体积为 8 3 ,求该四棱锥的侧面积. 5、(17年山东)由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD , (Ⅰ)证明:1A O ∥平面B 1CD 1; (Ⅱ)设M 是OD 的中点,证明:平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1. 6、(17年北京)如图,在三棱锥P –ABC 中,PA ⊥AB ,PA ⊥BC ,AB ⊥BC ,PA =AB =BC =2,D 为线段AC 的中点,E 为线段PC 上一点.(Ⅰ)求证:PA ⊥BD ;(Ⅱ)求证:平面BDE ⊥平面PAC ; (Ⅲ)当PA ∥平面BD E 时,求三棱锥E –BCD 的体积.

立体几何大题训练及答案

1、如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,△是等腰直角三角形, (1)线段的中点为,线段的中点为, 求证:; (2)求直线与平面所成角的正切值. 解:(1)取AB 的中点为N ,连MN ,PN ,则//MN EB ,//PN BC ∴ PMN EBC ∴//PM BCE 平面FE ⊥EBC FCE ∴∠ ⊥//AB DE (1)求证:AO ⊥平面CDE ; (2)求直线BD 与平面CBE 所成角的正弦值 3、如图,在△ABC 中,?=∠90C ,a BC AC 3==,点P 在AB 上,BC PE //交AC 于 E ,AC P F //交BC 于F .沿PE 将△APE 翻折成△PE A ',使平面⊥PE A '平面 ABC ;沿PF 将△BPF 翻折成△PF B ',使平面⊥PF B '平面ABC . (1)求证://'C B 平面PE A '; (2)若PB AP 2=,求二面角E PC A --'的平面角的正切值. 解:(1)因为PE FC //,?FC 平面PE A ',所以//FC 平面PE A '. 因为平面⊥PE A '平面PEC ,且PE E A ⊥',所以⊥E A '平面ABC . …2分 同理,⊥F B '平面ABC ,所以E A F B '//',从而//'F B 平面PE A '. …4分 所以平面//'CF B 平面PE A ',从而//'C B 平面PE A '. …6分 (2)因为a BC AC 3==,BP AP 2=, 所以a CE =,a A E 2=',a PE 2=,a PC 5=. …8分 A B C D E F M . . C B F P A F C ' B ' A E

空间立体几何练习题(含答案)

第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2.棱长都是1的三棱锥的表面积为( ) 3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在 同一球面上,则这个球的表面积是( ) A .25π B .50π C .125π D .都不对 4.正方体的内切球和外接球的半径之比为( ) A B 2 C . 5.在△ABC 中,02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周, 则所形成的几何体的体积是( ) A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6.底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为5,它的对角线的长 分别是9和15,则这个棱柱的侧面积是( ) A .130 B .140 C .150 D .160 二、填空题 1.一个棱柱至少有 _____个面,面数最少的一个棱锥有 ________个顶点, 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2.若三个球的表面积之比是1:2:3,则它们的体积之比是_____________。 3.正方体1111ABCD A BC D - 中,O 是上底面ABCD 中心,若正方体的棱长为a , 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4.如图,,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心,则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6,这个 长 方体的对角线长是___________;若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15,则它的体积为___________. 三、解答题 1.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用) ,已建的仓库的 主视图 左视图 俯视图

专题一立体几何经典练习题

2 专题一 立体几何 班级: _____ 姓名: _____ 学号: _____ 一、选择题(4 分×10=40 分) 1.直线 l , l 和 α , l // l , a 与 l 平行,则 a 与 l 的关系是 1 2 1 2 1 2 A .平行 B .相交 C .垂直 D .以上都可能 2.若线段 AB 的长等于它在平面内射影长的 3 倍,则这条斜线与平面所成角的余弦值为 A . 1 3 B . 2 2 2 2 C . D . 3 3 3.在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中,B 1C 与平面 DD 1B 1B 所成的角的大小为 A .15 B . 30 C . 45 D . 60 4.有下列命题:①空间四点共面,则其中必有三点共线;②空间四点不共面,则其中 任何三点不共线;③空间四点中有三点共线,则此四点共面;④空间四点中任何三点 不共线,则此四点不共面.其中正确的命题是 A .②③ B .①②③ C .①③ D .②③④ 5.有一山坡,倾斜度为 300,若在斜坡平面上沿着一条与斜坡底线成 450 角的直线前进 1 公里,则升高了 A . 250 2 米 B . 250 3 米 C . 250 6 米 D . 500 米 6.已知三条直线 a , b , l 及平面 α , β ,则下列命题中正确的是 A . 若b ? α , a // b , 则a // α B .若 a ⊥ α , b ⊥ α ,则 a // b C . 若 a ? α ,α β = b ,则 a // b D .若 a ? α , b ? α , l ⊥ a , l ⊥ b , 则 l ⊥ α 7.已知 P 是△EFG 所在平面外一点,且 PE=PG ,则点 P 在平面 EFG 内的射影一定在△EFG 的 A .∠FEG 的平分线上 B .边 EG 的垂直平分线上 C .边 EG 的中线上 D .边 EG 的高上 8.若一正四面体的体积是18 2 cm 3,则该四面体的棱长是 A . 6cm B . 6 3 cm C .12cm D . 3 3 cm 9.P 是△ABC 所在平面α 外一点,PA ,PB ,PC 与α 所成的角都相等,且 PA ⊥BC ,则 △ABC 是 A .等边三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等腰直角三角形 3 10.如图,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF//AB ,EF= ,EF 2 与面 AC 的距离为 2,则该多面体的体积为 E F A .2 B .4 C . 2 2 D . 4 2 D C 二、填空题(4 分×4=16 分) A B 11.空间四边形 ABCD 中,AB=6,CD=8,E 、F 、G 分别是 BD ,AC ,BC 的中点,若异面直

高一数学空间几何体综合练习题

人教A 必修2第一章空间几何体综合练习卷 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分. 第Ⅰ卷(选择题,共50分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分,共50分). 1.不共面的四点可以确定平面的个数为 ( ) A . 2个 B . 3个 C . 4个 D .无法确定 2.利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图一定是三角形; ②正方形的直观图一定是菱形; ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形; ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的是 ( ) A .①② B . ① C .③④ D . ①②③④ 3.棱台上下底面面积分别为16和81,有一平行于底面的截面面积为36,则截面戴的两棱台高 的比为 ( ) A .1∶1 B .1∶1 C .2∶3 D .3∶4 4.若一个平行六面体的四个侧面都是正方形,则这个平行六面体是 ( ) A .正方体 B .正四棱锥 C .长方体 D .直平行六面体 5.已知直线a 、b 与平面α、β、γ,下列条件中能推出α∥β的是 ( ) A .a ⊥α且a ⊥β B .α⊥γ且β⊥γ C .a ?α,b ?β,a ∥b D .a ?α,b ?α,a ∥β,b ∥β 6.如图所示,用符号语言可表达为( ) A .α∩β=m ,n ?α,m ∩n =A B .α∩β=m ,n ∈α,m ∩n =A C .α∩β=m ,n ?α,A ?m ,A ? n D .α∩β=m ,n ∈α,A ∈m ,A ∈ n 7.下列四个说法 ①a //α,b ?α,则a // b ②a ∩α=P ,b ?α,则a 与b 不平行 ③a ?α,则a //α ④a //α,b //α,则a // b 其中错误的说法的个数是 ( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 8.正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为 ( ) A .279cm 2 B .79cm 2 C .32 3cm 2 D .32cm 2 9.将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形,其圆心角之比为3∶4. 再将它们卷成两个圆锥侧 面,则两圆锥体积之比为 ( ) A .3∶4 B .9∶16 C .27∶64 D .都不对 10.将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使BD =a ,则三棱锥D —ABC 的体积为 ( )

高考立体几何大题20题汇总

(2012XX省)(本小题满分12分) 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F是线段AB上的两点,且DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=42,DE=4.现将△ADE ,△CFB分别沿DE,CF折起,使A,B两点重合与点G,得到多面体CDEFG. (1)求证:平面DEG⊥平面CFG; (2)求多面体CDEFG的体积。 2012,(19)(本小题满分12分) 如图,几何体EABCD是四棱锥,△ABD为正三角形, CBCD,ECBD. (Ⅰ)求证:BEDE; (Ⅱ)若∠BCD120,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面 BEC. BC 2012XX20.(本题满分15 分)如图,在侧棱锥垂直 A D 底面的四棱锥ABCDA1B1C1D1中,AD//BC,AD FE AB,AB2,AD2,BC4,AA2,E是DD的中点,F 11 是平面B C E 与直线AA1 的交点。 1 1 A1 B1 D1 ( 第20题图) C1 (Ⅰ)证明:(i )E F//A1D1;(ii)BA1平面B1C1EF; (Ⅱ)求BC与平面B1C1EF所成的角的正弦值。 1 (2010)18、(本小题满分12分)已知正方体ABCDA'B'C'D'中,点M是棱AA' 的中点,点O是对角线BD'的中点, (Ⅰ)求证:OM为异面直线AA'与BD'的公垂线;

(Ⅱ)求二面角MBC'B'的大小; 2010XX文(19)(本小题满分12分) 如图,棱柱 ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1CA1B (Ⅰ)证明:平面A B C平面A1BC1; 11 (Ⅱ)设D 是A C上的点,且 11 AB1//平面BCD,求 1 A1D :DC1的值。 2012(18)(本小题满分12分) 如图,直三棱柱/// ABCABC,BAC90, ABAC2,AA′=1,点M,N分别为/ AB和// BC的中点。 (Ⅰ)证明:MN∥平面// AACC;

立体几何综合大题20道

立体几何综合大题(理科)40道及答案 1、四棱锥中,⊥底面,,, . (Ⅰ)求证:⊥平面; (Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积。 【答案】 (Ⅰ)证明:因为BC=CD ,即BCD ?为等腰三角形,又ACD ACB ∠=∠,故AC BD ⊥. 因为⊥PA 底面ABCD ,所以BD PA ⊥,从而BD 与平面PAC 内两条相交直线 AC PA ,都垂直, 故⊥平面。 (Ⅱ)解:33 2sin 2221sin 21=??=∠??= ?π BCD CD BC S BCD . 由⊥PA 底面ABCD 知232331 31=??=??=?-PA S V BCD BDC P . 由,7FC PF =得三棱锥BDC F -的高为PA 8 1 , 故:4 1 32813318131=???=??=?-PA S V BCD BDC F 4 7 412=- =-=---BCD F BCD P BDF P V V V 2、如图,四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 为矩形,PAD ?为等腰三角形, 90APD ?∠=,平面PAD ⊥ 平面ABCD ,且1,2AB AD ==,,E F 分别为PC 和BD 的中点.

(Ⅰ)证明:EF P 平面PAD ; (Ⅱ)证明:平面PDC ⊥平面PAD ; (Ⅲ)求四棱锥P ABCD -的体积. 【答案】 (Ⅰ)证明:如图,连结AC . ∵四边形ABCD 为矩形且F 是BD 的中点.∴F 也是AC 的中点. 又E 是PC 的中点,EF AP P ∵EF ?平面PAD ,PA ?平面PAD ,所以EF P 平面PAD ; (Ⅱ)证明:∵平面PAD ⊥ 平面ABCD ,CD AD ⊥,平面PAD I 平面 ABCD AD =, 所以平面CD ⊥ 平面PAD ,又PA ?平面PAD ,所以PA CD ⊥ 又PA PD ⊥,,PD CD 是相交直线,所以PA ⊥面PCD 又PA ?平面PAD ,平面PDC ⊥平面PAD ; (Ⅲ)取AD 中点为O .连结PO ,PAD ?为等腰直角三角形,所以PO AD ⊥, 因为面PAD ⊥面ABCD 且面PAD I 面ABCD AD =, 所以,PO ⊥面ABCD , 即PO 为四棱锥P ABCD -的高. O

立体几何练习题(含答案)

《立体几何 》练习题 一、 选择题 1、一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( ) A 、垂直 B 、平行 C 、相交不垂直 D 、不确定 2. 在正方体1111ABCD A B C D -中, 与1A C 垂直的是( ) A. BD B. CD C. BC D. 1CC 3、线n m ,和平面βα、,能得出βα⊥的一个条件是( ) A.βα//n ,//m ,n m ⊥ B.m ⊥n ,α∩β=m ,n ?α C.αβ?⊥m n n m ,,// D.βα⊥⊥n m n m ,,// 4、平面α与平面β平行的条件可以是( ) A.α内有无穷多条直线与β平行; B.直线a//α,a//β C.直线a α?,直线b β?,且a//β,b//α D.α内的任何直线都与β平行 5、设m 、n 是两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若m ⊥α,n //α,则m n ⊥ ②若αβ//,βγ//,m ⊥α,则m ⊥γ ③若m //α,n //α,则m n // ④若αγ⊥,βγ⊥,则//αβ 其中正确命题的序号是( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④ 6.点P 为ΔABC 所在平面外一点,PO ⊥平面ABC ,垂足为O,若PA=PB=PC , 则点O 是ΔABC 的( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线,α、β是不重合的平面, 则下列命题中为真命题的是( ) A .若//,,l n αβαβ??,则//l n B .若,l αβα⊥?,则l β⊥ C. 若,//l l αβ⊥,则αβ⊥ D .若,l n m n ⊥⊥,则//l m 8. 已知两个平面垂直,下列命题中正确的个数是( ) ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面. A.3 B.2 C.1 D.0 9. 设m.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面, ( ) A .若m∥α,n∥α,则m∥n B .若m∥α,m∥β,则α∥β C .若m∥n,m⊥α,则n ⊥α D .若m∥α,α⊥β,则m⊥β

立体几何综合试题

立体几何综合试题 1.(本小题满分12分)如图,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长都相等,D、E分别为AC1,BB1的中点。(1)求证:DE∥平面A1B1C1;(2)求二面角A1—DE—B1的大小。 2.(本小题满分12分) 如图:已知直三棱柱ABC—A1B1C1,AB=AC,F为棱BB1上一点,BF∶FB1=2∶1,BF=BC=2a。 (I)若D为BC的中点,E为AD上不同于A、D的任意一点,证明EF⊥FC1; (II)试问:若AB=2a,在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角,为什么?证明你的结论 A B C 1 A 1 B 1 C E D

3. (本小题满分12分) 如图,在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD -中,AD ∥BC ,∠ABC =90°,且 ∠ADC =arcsin 5 5 ,又PA ⊥平面ABCD ,AD =3AB =3PA =3a 。 (I )求二面角P —CD —A 的正切值; (II )求点A 到平面PBC P B C A D 4.(本小题满分14分)在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,CA=CB=CC 1=2,∠ACB=90°,E 、F 分别是BA 、BC 的中点,G 是AA 1上一点,且AC 1⊥EG. (Ⅰ)确定点G 的位置; (Ⅱ)求直线AC 1与平面EFG 所成角θ的大小.

已知四棱锥P —ABCD ,底面ABCD 是菱形,⊥?=∠PD DAB ,60平面ABCD ,PD=AD , 点E 为AB 中点,点F 为PD 中点. (1)证明平面PED ⊥平面PAB ; (2)求二面角P —AB —F 的平面角的余弦值 6.在棱长为4的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是正方形A 1B 1C 1D 1的中心,点P 在棱CC 1 上,且CC 1=4CP. (Ⅰ)求直线AP 与平面BCC 1B 1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示); (Ⅱ)设O 点在平面D 1AP 上的射影是H ,求证:D 1H ⊥AP ; (Ⅲ)求点P 到平面ABD 1的距离. · B 1 P A C D A 1 C 1 D 1 B O H ·

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(一) 1.如图所示,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为正方形,⊥PD 平面ABCD , 2PD AB ==,点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证:EF PA ⊥; (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示,该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成,AF AD ⊥,2AE AD ==. (1)证明:平面⊥PAD 平面ABFE ; (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ,使得二面角C AF P --的余弦值是 22 .

3.四棱锥P ABCD -中,侧面PDC是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角,M为PB的中点. (Ⅰ)求证:PD∥面ACM. (Ⅱ)求证:PA⊥CD. (Ⅲ)求三棱锥P ABCD -的体积. 4.如图,四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD,90 DAB ABC ∠=∠=?.SA AB BC a ===,2 AD a =. (Ⅰ)求证:面SAB⊥面SAD. (Ⅱ)求证:CD⊥面SAC. S B A D M C B A P D

5.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,测棱PD ⊥底面ABCD ,PD DC =,点E 是 BC 的中点,作EF PB ⊥交PB 于F . (Ⅰ)求证:平面PCD ⊥平面PBC . (Ⅱ)求证:PB ⊥平面EFD . 6.在直棱柱111ABC A B C -中,已知AB AC ⊥,设1AB 中点为D ,1A C 中点为E . (Ⅰ)求证:DE ∥平面11BCC B . (Ⅱ)求证:平面11ABB A ⊥平面11ACC A . E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P

立体几何、解析几何综合10题(含答案)

城北中学高二上期第八周20班周末双休数学练笔 题目及参考答案 1、已知双曲线与椭圆x 29+y 225=1共焦点,它们的离心率之和为14 5 ,求双曲线方程. 解: 由椭圆方程可得椭圆的焦点为F (0,±4),离心率e =4 5 , 所以双曲线的焦点为F (0,±4),离心率为2, 从而c =4,a =2,b =2 3.所以双曲线方程为y 24-x 2 12 =1. 2、如图4所示,矩形ABCD 中,AD ⊥平面ABE ,AE =EB =BC =2,F 为 CE 上的点,且BF ⊥平面ACE . (1)求证:AE ⊥平面BCE ; (2)求证:AE ∥平面BFD ; (1)证明 ∵AD ⊥平面ABE ,AD ∥BC , ∴BC ⊥平面ABE ,则AE ⊥BC . 又∵BF ⊥平面ACE ,则AE ⊥BF , 又BC ∩BF =B ,∴AE ⊥平面BCE . (2)证明 由题意可得G 是AC 的中点,连结FG , ∵BF ⊥平面ACE ,∴CE ⊥BF . 而BC =BE ,∴F 是EC 的中点, 在△AEC 中,FG ∥AE ,∴AE ∥平面BFD . 3、设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率e = 3 2 .已知点P ????0,32到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆的方程. 解: 设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),M (x ,y )为椭圆上的点,由c a =3 2 得a =2b . |PM |2=x 2+????y -322=-3????y +1 22+4b 2+3(-b ≤y ≤b ), 若b <1 2,则当y =-b 时,|PM |2最大,即????b +322=7, 则b =7-32>1 2 ,故舍去. 若b ≥12时,则当y =-1 2时,|PM |2最大,即4b 2+3=7, 解得b 2=1. ∴所求方程为x 24 +y 2 =1. 4、矩形ABCD ,AB =2,AD =3,沿BD 把ΔBCD 折起,使C 点在平面ABD 上的射影E 恰好落在AD 上. (1)求证:CD ⊥AB

立体几何综合大题20道(理)

立体几何综合大题(理科)40道及答案 1 、四棱锥P ABCD 中, PA ⊥底面ABCD , PA 2 3 , BC CD 2 , ACB ACD . 3 ( Ⅰ) 求证: BD ⊥平面PAC ; ( Ⅱ) 若侧棱PC 上的点F 满足PF 7FC , 求三棱锥P BDF 的体积。 【答案】 ( Ⅰ) 证明: 因为BC=C,D即B C D为等腰三角形,又ACB ACD , 故BD AC . 因为PA 底面ABCD,所以PA BD , 从而BD 与平面PAC 内两条相交直线 PA, AC 都垂直, 故⊥平面。 BD PAC 1 1 2 ( Ⅱ) 解: 3 S BCD . BC CD sin BCD 2 2 sin 2 2 3 1 1 由PA 底面ABCD知V P BDC BCD 3 2 3 2 . S PA 3 3 1 由PF 7FC,得三棱锥F BDC 的高为PA 8 , 故: 1 V F BDC S BCD 3 1 8 PA 1 3 3 1 8 2 3 1 4 V P V V BDF P BCD F BCD 2 1 4 7 4

2、如图,四棱锥P ABCD中,四边形ABCD 为矩形,PAD 为等腰三角形,APD 90 ,平面PAD 平面ABCD,且A B1,A D 2 ,E, F 分别为PC 和BD 的中点.

(Ⅰ)证明:EF平面PAD; (Ⅱ)证明:平面PDC平面PAD; (Ⅲ)求四棱锥P ABCD的体积. P E D C O F A B 【答案】 (Ⅰ)证明:如图,连结AC. ∵四边形ABCD为矩形且F是BD的中点.∴F也是AC的中点. 又E是PC的中点,EF AP ∵EF平面PAD,PA平面PAD,所以EF平面PAD; (Ⅱ)证明:∵平面PAD平面ABCD,CD AD,平面PAD平面ABCD AD, 所以平面CD平面PAD,又PA平面PAD,所以PA CD 又PA PD,PD,CD是相交直线,所以PA面PCD 又PA平面PAD,平面PDC平面PAD; (Ⅲ)取AD中点为O.连结PO,PAD为等腰直角三角形,所以PO AD,因为面PAD面ABCD且面PAD面ABCD AD, 所以,PO面ABCD, 即PO为四棱锥P ABCD的高. 由AD2得PO1.又AB1. ∴四棱锥P ABCD的体积 12 V PO AB AD 33

立体几何大题

互相垂直,F 为BC 的中点, BAC ACD 90°,AE// CD (2012济宁高三上学期期末 文) 1/1本小题满分12分) 如图,在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中.P 人丄面ABCD 用是PD 的中 & (I [求证:平面PDC 丄平面PDA. & (fl )求几何怵P-ABCD 被平面ACE 分得的两部分 的体积岀 : VpMCE* / - / A A —■■■-\— ■! ............... (2012潍坊高三期末 文)18.(本小题满分12分) 如图所示,直角梯形 ACDE 与等腰直角 ABC 所在平面 DC=AC=2AE=2 (I) 求证:平面BDEL 平面ABC (II) 求证:AF//平面BDE (III) 求四面体B-CDE 的体积。 (IV) (2012年佛山市普通高中高三教学质量检测) 18.(本题满分14分) 如图,三棱锥 P ABC 中,PB 底面ABC , BCA 90o , PB BC CA 4 , E 为 PC 的中点, M 为AB 的中点,点F 在PA 上,且AF 2FP . 1) 求证:BE 平面PAC ; 2) 求证:CM //平面BEF ; (3)求三棱锥F ABE 的体积? 20.(本小题满分13分) 在边长为a 的正方形ABCD 中,E, F 分别 为BC, CD 的中点,现沿 AE 、AF 、EF 折 叠,使 B 、 C 、 D 三点重合,构成一个三棱锥 (I) 在三棱锥 B AEF 中,求证: (H)求四棱 锥 E AMNF 的体积. B AEF ,如图所示. AB EF ;

18.(本小题满分13分) 如图,四棱锥 P— ABCD的底面是正方形,PD 底面ABCD,点E在棱PB上。 (1)求证平面AEC 平面PDB ;

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