高中立体几何大题题汇总

高中立体几何大题题汇

总

公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

(2012江西省）（本小题满分12分）

如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5，BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG.

（1） 求证：平面DEG ⊥平面CFG ；

（2)求多面体C DEFG 的体积。

【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得EG GF ⊥又因为CF EGF ⊥底面,可得CF EG ⊥，即

EG CFG ⊥面所以平面DEG ⊥平面CFG.

（2）过G 作GO 垂直于EF ，GO 即为四棱锥G-EFCD 的高，所以所求体积为1112

55203

3

5

DECF S GO ?=???

=正方形

2012，山东(19) (本小题满分12分)

如图，几何体E ABCD

-是四棱锥，△ABD为正三角

形，,

=⊥.

CB CD EC BD

(Ⅰ)求证：BE DE

=；

(Ⅱ)若∠120

BCD=?，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.解：设BD中点为O，连接OC，OE，则由BC CD

=知，

⊥，

CO BD

又已知CE BD

⊥，所以BD⊥平面OCE.

所以BD OE

⊥，即OE是BD的垂直平分线，

所以BE DE

=.

(II)取AB中点N，连接,

MN DN，

∵M是AE的中点，∴MN∥BE，∵△ABD是等边三角形，∴DN AB

⊥.

由∠BCD＝120°知，∠CBD＝30°，所以∠ABC＝60°+30°＝90°，即⊥，

BC AB

所以ND∥BC，

所以平面MND∥平面BEC，故DM∥平面BEC.

2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥

垂直底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中，

,AD BC //AD

11,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中

点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。 （Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面 （Ⅱ）

求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。

(第20题图)

1

1

解析：本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成角等基础知

识，同时考查空间想象能力和推理认证能力。

（Ⅰ）（i）因为11111111,,C B A D C D ADD A ?平面//所以1111.C B A D DA 平面// 又因为1111,B C EF A D DA EF =平面平面所以11,C B EF // 所以 11.A D EF //

ii （）因为11111,BB A B C D ⊥平面所以111.BB B C ⊥

又因为 11111111111,,.B C B A B C ABB A B C BA ⊥⊥⊥所以平面所以 在矩形111,ABB A F AA 中是的中点，1112

tan tan 2

A B F AA B ∠=∠= 即 11111.A B F AA B BA B F ∠=∠?⊥

所以111.BA B C EF ⊥平面

（Ⅱ）设1BA 与1B F 交点为H ，连接1,C H 由（Ⅰ）

知111.BA B C EF ⊥平面 所以1111BC H BC B C EF ∠是与面所成的角 在矩形111,2,2,6AA B B AB AA BH ===中得

在直角1BHC ?中，111

3025,sin 6BH BC BH BC H BC ==

∠==得

所以1BC 与平面11B C EF 30 （2010四川）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点，

（Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线； （Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小；

(第20题图)

H

F E 1

B 1

D 1

A D B

C

解：连接AC,取AC 中点K ，则K 为BD 中点，连接OK ，因为点M 是棱'AA 的中点，点O 是'BD 的中点，∴1'2

AM DD OK ==,AM ∥1'2

BD ∥OK ,∴

MO AK =,MO ∥AK .

由'AA AK ⊥,得'MO AA ⊥.

因为,'AK BD AK BB ⊥⊥,所以AK ⊥平面''BDD B ∴ 'AK BD ⊥ ,∴'MO BD ⊥.

又∵OM 与异面直线'AA 和'BD 都相交，

故OM 为异面直线'AA 和'BD 的公垂线。 ………………… （5分）

（Ⅱ）取'BB 的中点N ，连接MN ，则MN ⊥ 平面''BCC B ,

过点N 作NH ⊥'BC 于H ，连接MH ，则由

三垂线定理得 'BC MH ⊥,从而MHN ∠为二面角''M BC B --的平面角。

设1AB =,则1221,sin 452

24

MN NH BN ==?=?

=，

在Rt MNH ?中，tan 222

4

MN MHN NH =

==. 故二面角''M BC B --的大小为arctan 22。 …………… （12分）

2010辽宁文（19）（本小题满分12分）

如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥

（Ⅰ）证明：平面11A B C ⊥平面11A BC ；

（Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//AB 平面1B CD ，求11:A D DC 的值。

2012辽宁（18）(本小题满分12分)

如图，直三棱柱///

∠=，

BAC

ABC A B C

-，90 ==AA′=1，点M，N分别为/A B和

2,

AB AC

//

B C的中点。

(Ⅰ)证明：MN∥平面//

A ACC;

(Ⅱ)求三棱锥/A MNC

-的体积。

（椎体体积公式

V=

1

3

Sh,

其中S为地面面积，h为高）

【答案与解析】

2012，北京（16）（本小题共14分）

如图1，在Rt ABC

?中，90

C

∠=?，D，E分别为

AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE

?

沿DE折起到

1

A DE

?的位置，使

1

A F CD

⊥，如图2．

（Ⅰ）求证：

DE

1

A CB

1

A F BE

⊥

1

A B Q

1

AC⊥DEQ D E AC AB DE BC DE?

1

A C

B DE

D

F

D E

A

1

F

E

A

1A CB AC BC ⊥DE BC DE AC ⊥1DE A D

⊥DE CD ⊥DE ⊥1A DC 1A F ?1A DC 1DE A F

⊥1A F CD ⊥1A F ⊥BCDE 1A F BE ⊥1A B Q 1

AC ⊥DEQ 1A C 1A B P Q PQ BC DE BC DE PQ DEQ DEP DE ⊥1A DC 1DE A C ⊥P 1DA C 1A C 1A C DP ⊥1AC ⊥DEP 1AC ⊥DEQ 1A B Q 1

AC ⊥DEQ 本小题满分13分）

如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC=1，PC=23，PD=CD=2.

（I ）求异面直线PA 与BC 所成角的正切值； （II ）证明平面PDC ⊥平面ABCD ；

（III ）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。

A 1

P F D Q

E

C

B

18．（本题满分12分）

如图，已知直三棱柱ABC—A

1B

1

C

1

，

90

ACB?

∠=，2

AC BC

==，

14

AA=，E、F

分别是棱CC

1

、AB中点．

（1）判断直线CF 和平面AEB 1的位置关系，

并加以证明；

（2）求四棱锥A —ECBB 1的体积．

（1）解：

CF G F , .21,//11BB FG BB FG =∴.2

1,//11BB EC BB EC = EC

FG EC FG =∴,//∴.//EG CF ∴?CF ?EG //CF ∴ ⊥∴1BB ?AC 1

BB AC ⊥∴?=∠90ACB BC AC ⊥∴.1B BC BB =? ⊥∴AC AC S V SCBB ECBB A ?=∴-113

1

E

2211==∴AA EC 6

2)42(2

1

)(2111+?+?=?+=∴BC BB EC S ECBB .4263

1

3111=??=?=∴-AC S V ECBB ECBB A （Ⅰ）求证：DM

解：（Ⅰ）∵M 为AB 中点，D 为PB 中点， ∴

MD ?.

2128416100==-=PC .

212212441

4121=??=?==??BC PC S S PBC BDC .3510202

12122=-==AP 710352123

1

31=??=??DM S BDC P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 22AC =

E

D

A

P

2PA =E PC 2PE EC =PC ⊥BED A PB C --90PD PBC AC

BD O =O OC

x OD y (2,0,0),(2,0,0),(2,0,2),A C P --(0,,0),(0,,0),(,,)

B a D a E x y z -2PE E

C =22(

,0,)33E (22,0,2)PC =-22(,,)33

BE a =(0,2,0)BD a =22

(22,0,2)(

,,)033

PC BE a ?=-?=(22,0,2)(0,2,0)0PC BD a ?=-?=PC BE ⊥PC BD ⊥PC ⊥BED

PAB (,,)n x y z =(0,0,2),(2,,0)AP AB a ==-0,0n AP n AB ?=?=2

(1,

,0)n a

=PBC (,,)m x y z =(2,,0),(22,0,2)BC a CP ==-0,0m BC m CP ?=?=2

(1,,2)m a

=-

A P

B

C --900m n ?=2a =(2,2,2)P

D =-PBC (1,1,2)m =-PD PBC

||1

2

||||PD m PD m ?=?PD PBC 6π

27.【2012高考安徽文19】（本小题满分 12分）

如图，长方体1111D C B A ABCD -中，底面1111D C B A 是正方形，O 是BD

的中点，E 是棱1AA 上任意一点。

（Ⅰ）证明：BD 1EC ⊥ ；

（Ⅱ）如果AB =2，AE =2，1EC OE ⊥,，求1AA 的长。

【解析】（I ）连接AC ，11//,,,AE CC E A C C ?共面 长方体1111D C B A ABCD -中，底面1111D C B A 是正方形 ,,AC BD EA BD AC EA A BD ⊥⊥=?⊥面1EACC 1BD EC ?⊥

（Ⅱ）在矩形11ACC A 中，111OE EC OAE EAC ⊥???

得：

1111AC AE AA AO EA =?=?=

【2012高考四川文19】(本小题满分12分)

如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，

AB BC CA ==，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上。

（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小。

命题立意：本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系，线面角的概念，二面角的概念等基础知识，考查空间想象能力，利用向量解决立体几何问题的能力.

[解析]（1）连接OC. 由已知，ABC PC OCP 与平面为直线∠所成的角

设AB 的中点为D ，连接PD 、CD. 因为AB=BC=CA,所以CD ⊥AB.

因为为，所以，PAD PAB APB ??=∠?=∠6090等边三角形， 不妨设PA=2，则OD=1，OP=3, AB=4. 所以CD=23，OC=1312122=+=+CD OD . 在Rt 中，OCP ?tan 1339

13

3=

==

∠OC OP OPC .…………………………6分 （2）过D 作DE AP ⊥于E ，连接CE. 由已知可得，CD ⊥平面PAB. 据三垂线定理可知，CE⊥PA，

所以，的平面角——为二面角C AP B CED ∠. 由（1）知，DE=3 在Rt△CDE 中，tan 23

3

2===

∠DE CD CED

故

二面角C

AP

B…………………………………12分

—

—

2

arctan

的大小为

[点评]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念，重点考查思维能力和空间想象能力，进一步深化对二面角的平面

角的求解.求解二面角平面角的常规步骤：一找

（寻找现成的二面角的平面角）、二作（若没有找

到现成的，需要引出辅助线作出二面角的平面

角）、三求（有了二面角的平面角后，在三角形中

求出该角相应的三角函数值）.

【2012高考天津文科17】（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，

PC=23，PD=CD=2.

（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；

（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；

（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。

【解析】（I ）//AD BC ?PAD ∠是PA 与BC 所成角 在ADP ?中，,1,2AD PD AD BC PD ⊥===

tan 2PD

PAD AD

∠=

= 异面直线PA 与BC 所成角的正切值为2

（II ）,,AD PD AD DC PD DC D AD ⊥⊥=?⊥面PDC AD ?面ABCD ∴平面PDC ⊥平面ABCD （III ）过点P 作PE CD ⊥于点E ，连接BE

平面PDC ⊥平面ABCD PE ?⊥面ABCD PBE ?∠是直线PB 与平面

ABCD 所成角

2,1201CD PD PC PDC PE DE

?===?∠=?==

在Rt BCE ?中，BE PB ====

在Rt BPE ?中，sin PE PBE PB ∠=

=

得：直线PB 与平面ABCD

【2012高考新课标文19】（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1

2AA 1，

D 是棱AA 1的中点

(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

B 1

C B

A

D

C 1

A 1

解析：本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.

解：（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ?=,∴BC ⊥面

11ACC A , 又∵1DC ?面11ACC A ，∴1DC BC ⊥,

由题设知01145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,即1DC DC ⊥, 又∵DC BC C ?=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ?面1BDC ， ∴面BDC ⊥面1BDC ；

（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，

1V =1121132

+???=12，

由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，

∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1.

【2102高考北京文16】（本小题共14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线

段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的

位置，使A1F⊥CD，如图2。

(I)求证：DE∥平面A1CB；

(II)求证：A1F⊥BE；

(III)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ说明理由。

解析：本题第二问是对基本功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解决。第三问的创新式问法，难度比较大。

解：（1）因为D,E分别为AC,AB的中点，所以DE

∥BC.又因为DE?平面A1CB,所以DE∥平面A1CB.

（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC.所以

DE⊥A1D,DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F ?平面A1DC,

所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE