兰州大学高等代数10年考研真题
兰州大学《数学分析》《高等代数》考研真题汇总(2009-2018历年真题)
Dn = −a −a x · · · a ;
... ... ...
...
−a −a −a · · · x
1 3 3 ··· 3
3 2 3 ··· 3
Dn = 3 3 3 · · · 3 .
... ... ...
...
3 3 3 ··· n
A, B, C, D Ñ´ n ?¢Ý , … AC = CA. y²:
AB = |AD − CB|.
CD
o. ( 20 ©) y²: n ?Ý A •˜ Ý (A2 = A) ¿©7‡^‡´ r(A) + r(E − A) = n.
Ê. ( 13 ©) A ´ n ? Ý , ÙA Šþ•¢ê. y²: A ´é¡Ý .
8. ( 15 ©) A, B Ñ´ n ? ½Ý . y²: A−1, A + B ´ ½Ý .
(2) f (x) = (x − a1)(x − a2) · · · (x − an) − 1, Ù¥ a1, a2, · · · , an ´ n ‡üüØ knê•þØŒ .
ê. y²: f (x) 3
. ( 16 ©) OŽe 1 ª Š.
(1)
1 + x1 1 + x21 · · · 1 + xn1
20
13 =²ŒÆ 2011 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
21
14 =²ŒÆ 2012 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
23
15 =²ŒÆ 2013 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
24
16 =²ŒÆ 2014 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
25
17 =²ŒÆ 2015 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
26
18 =²ŒÆ 2016 cïÄ)\Æ•ÁÁKêÆ©Û
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高等代数考研真题第一章多项式
且f(x)在有理数域上不可约。
第一章多项式1 (清华2 000— 20分)试求7次多项式f(X )，使f(M 1能被(X -1)4整除，而f(X )-1能被(X 1)4整除。
2、 (南航 2001 — 20 分)(1) 设 x —2px+2 I x +3x +px+q ，求 p,q 之值。
(2) 设f(x) , g(x), h(x) € R[x]，而满足以下等式2(x +1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=02(x +1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=02 2证明：x +1 I f(x) , x +1 I g(x)3、 (北邮2002 —12分)证明：x d - 1 I x "- 1的充分必要条件是d I n (这里里记号 d I n 表示正整数d 整除正整数n )。
4、 、(北邮 2003 —15分)设在数域 P 上的多项式 g 1(x), g 2(x) , g 3(x) , f(x),已知 g 1(x) I f(x),g 2(x) I f(x) , g 3(x) I f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：(〔)如果 g 1(x) ,g 2(x) , g 3(x)两两互素，则一定有 g 1(x) , g 2(x) , g 3(x) I f(X )(2)如果g1(x) , g 2(x) , g 3(x)互素，则一定有 g 1(x)g 2(x)g 3(x)I f(X )5、 (北师大2003—25分)一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a ,b 若p I ab 则p I a 或p I b 。
6、 (大连理工2003 —12分)证明：次数＞0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幕主充分必要条件是，对任意的多项式g(x) , h(x),由f(x) I g(x) h(x)可以推出f(x) I g(x)，或者对某一正整数 m , f(x) I h m(x)。
兰州大学2010年高等代数考研试题
兰州大学2010年高等代数考研试题
注意：答案请一律写在答题纸上，写在试题上无效
初试科目代码：801 初试科目名称：高等代数一．(1) (15分)设都是多项式,且和
的次数都大于零。
证明唯一地存在多项式
使:,
并且.
(2) (10分)设…-1,其中是n个两两不等的整数。
证明：在有理数域上不可约。
二．（16分）计算下列行列式的值。
（1）=
(2)
三．（16分）设
（1）是实矩阵。
证明，
i=1,2,…,n,那么.
四．（12）设A与B是数域上的n级矩阵且AB=BA。
证明:
r(A+B)r(A)+ r(B)- r(AB).
五．（16分）设A，B是可交换的实对称矩阵。
证明：存在正交矩阵T 使得,都是对角矩阵.
六．（20分）设为n维线性空间上的线性变换，并且
={x存在正整数m使得},.
证明：（1）,都是的不变子空间。
（2）。
七．（20）设设A是n级实对称矩阵。
证明：A正定的充分必要条件是A的所有顺序主子式都大于零。
八．（25分）已知3维列向量是3级实对称矩阵
的特征向量。
（1）求a,b的值；（2）求正交矩阵P使得为对角矩阵，并给出这个对角矩阵。
2010年兰州大学数学分析考研试题
x
=
0
处定义
t→x sin x
f (0) 的值，使得 f (x) 在该点可导
8．已知函数 f (x) 在[a,b] 上有二阶导数，并且 f (x) > 0 f ′′(x) < 0 。记 f (x) 的图像曲线
为 C ，过 C 上点 M (t, f (t)) (t ∈[a,b]) 引切线，证明：当 t 变动时，由该切线与曲线 C 以及 直线 x = a x = b 围成的平面图形面积可取到最小值，并求出此值 9．用一致连续的定义验证 f (x) = sin(x2 ) 在 (−∞, +∞) 上不一致连续
由题设条件 f (x0 ) ≠ 0 ，存在ξn 介于 xn 与 x0 之间
lim
n→∞
ξ
n
=
x0 ，使得
f
(ξn ) = 0
f (x) 在[a,b] 上连续，于是 f (x0 ) = 0 ，矛盾
所以假设不成立，故结论得证 12 证明 书上的定理有证明
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x→0
x
x
= lim esin x − e x→0 x
=
x
lim esin x
x→0
sin
x − x cos x sin2 x
= e lim x sin x x→0 2sin x cos x
=0
即 f (x) 在 x = 0 处可导
8 解 根据题设条件之 f (x) 为上凸函数，根据题意所指面积
S(t) = ∫b{[ f (t)(x − t) + f (t)] − f (x)}dx a
a≤t≤b
2
2
a
西北大学2010年高等代数硕士学位研究生试题
的系数矩阵为 A ，三阶矩阵 B 0 ,且 AB 0 ，试求 的值。 8（15 分）设 A 为数域 p 上秩为 r 的 m n 矩阵， r 0 ，试证：存在秩为
r 的 m r 矩阵 F 和秩为 r 的 r n 矩阵 G ,使得 A FG .
9 (10 分) 设 A, B 为实对称矩阵，若 B 为正定矩阵，证明，若 BA 的特 征值都大于零，则 A 是正定矩阵。
3（10 分）计算 n 1 阶行列式的值
a1 1 0 . . . 0 a2 ... an 0 ... 0 1 . . . 0 ... . . . ... 1 0 0 b1 b2 . . . bn
4 （15 分）当 a, b 取什么值时，下列线性方程组有解，并在有解时求 出所有解
x1 x2 x3 x4 x5 1 x 2x 2x 6x 3 2 3 4 5 3 x1 2 x2 x3 x4 3 x5 a 5 x1 4 x2 3 x3 3 x4 x5 b
2010 年攻读硕士学位研究生入学考试命题 考试科目 高等代数
d n 1（10 分） 求证： ( x 1)|(x 1) 当且仅当 d |n ，其中 d , n 都是非负整数。
2（10 分）解下列联立方程
5 y 2 6 xy 5 x 2 16 0 2 2 y xy 2 x y x 4 0
f1 , f 2 , f3 是它的对偶基， 13 (15 分) 设 1， 2， 3 是线性空间 V 的一组基，
令
1 1 3 , 2 1 2 3 , 3பைடு நூலகம் 2 3
试证：1 , 2 , 3 是现行空间 V 的一组基，并求它的对偶基（用 f1 , f 2 , f3 表 示） 。
研究生高等代数复习题完整版
32.设 的两个子空间为： ,
.求 与 的基与维数.
33.设 是3维线性空间， 为它的一个基.线性变换 ，
求（1） 在基 下的矩阵； （2）求核 和值域 .
34.设 是实数域上所有 阶对称阵所构成的线性空间，对任意 ，定义 ，其中 表示 的迹.（1）证明： 构成一欧氏空间；（2）求使 的子空间 的维数；（3）求 的正交补 的维数.
17.设 是5维的欧几里得空间 的一组标准正交基， ，其中 ，求 的一组标准正交基.
18.设 是 矩阵，其中
（1）求 的值；（2）设 ，求W的维数及W的一组基.
19.设?是线性空间 上的线性变换，满足 ，求?在基 下的矩阵.
20.设?是 维线性空间 上的线性变换， 是 的一组基.
如果?是单射，则 也是一组基.
研究生高等代数复习题
1.设?是数域 上线性空间 的线性变换且 ,证明:
（1）?的特征值为1或0；（2） ;（3） .
2.已知?是n维欧氏空间的正交变换，证明：?的不变子空间 的正交补 也是?的不变子空间．
3.已知复系数矩阵 ， （1） 求矩阵 的行列式因子、不变因子和初等因子；（2）若当标准形.（15分）
35.试找出全体实2级矩阵 所构成的线性空间到 的一个线性同构.
36.求由向量 生成的子空间 与由向量 生成的子空间 的交的基和维数.
37.设 ，求(1) 的不变因子、行列式因子、初等因子.(2) 的 标准形.
38.设 是数域 上 矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间，
定义变换 ， .（1）证明： 是 上的对合线性变换，即 是满足 （恒等变换）的线性变换；（2）求 的特征值和特征向量.
58.设 是4维空间 的一组基，已知线性变换 在这组基下的矩阵为
全国名校高等代数考研真题汇编(含部分答案)
考生注意： 1.本 试 卷 满 分 为 150 分，共计10道题，每题满分15 分，考试时间总计180 分钟；
2.答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸 上均无效。
一、设 是 阶单位矩阵， ，证明 的行列式等于 .
，矩阵 满足
二、设 是 阶幕零矩阵满足
，
.证明所有的 都相似于一个对角矩阵，
的特征值之和等于矩阵 的秩.
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有
证明：
(1)
.
(2) 是 的不变子空间，则 也是的 不变子空间.
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