第五讲 向量与三角函数

第五讲 向量与三角函数【考点透视】1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算．2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义．3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．4．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．5．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图，理解A 、ω、ψ的物理意义．6．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x 表示．7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．8．掌握向量与三角函数综合题的解法．常用解题思想方法1．三角函数恒等变形的基本策略。

（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。

即倍角公式降次与半角公式升次。

（4）化弦（切）法。

将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

（5）引入辅助角。

asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。

（6）万能代换法。

巧用万能公式可将三角函数化成tan2θ的有理式。

2．证明三角等式的思路和方法。

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。

（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3．证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。

4．解答三角高考题的策略。

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。

（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。

【例题解析】考点1．三角函数的求值与化简此类题目主要有以下几种题型：⑴考查运用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式能力，以及求三角函数的值的基本方法.⑵考查运用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值的问题.⑶考查已知三角恒等式的值求角的三角函数值的基本转化方法，考查三角恒等变形及求角的基本知识.例1.已知函数f(x)=)2sin(42cos 2ππ+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x .（Ⅰ）求f(x)的定义域； （Ⅱ）若角a 在第一象限且3cos ,5a f a =求（）.命题目的：本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式，同角三角函数的关系等基本知识，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识.解：（Ⅰ）由Z),(2,202sin ∈-≠≠-≠⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k x k x x πππππ即得故f(x)的定义域为.Z ,2|R ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠∈k k x x ππ（Ⅱ）由已知条件得.54531cos 1sin 22-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=a a从而)2sin()42cos(21)(ππ+-+=a a a f ＝aa a cos 4sin 2sin 4cos cos 21⎪⎭⎫ ⎝⎛++ππ＝a a a a a a a cos cos sin 2cos 2cos sin 2cos 12+=++ ＝.514)sin (cos 2=+a a 例2. 310.43a a a ππ<< =-已知，tan +cos （Ⅰ）求tan a 的值；（Ⅱ）求225sin 8sin cos 11cos 822222)a a a aa π++-的值－4.命题目的：本小题主要考查同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.解答过程：（Ⅰ）10tan cos 3a a +=-，23tan 10tan 30a a ∴++=，解得 1tan 3a =-或tan 3a =-.3,1tan 04a a ππ<<∴-<<.1tan .3a ∴=-（II ） 1tan 3a =-，225sin 8sin cos 11cos 822222()4a a a a a a π++-∴-＝221cos 5(sin cos )4sin 68222sin cos a a a a a a++++⋅--＝4tan 35tan 14a a +=--.例3已知0,1413)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan 的值.（Ⅱ）求β.命题目的：本题考三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.解：（Ⅰ）由1cos ,072παα=<<，得22143sin 1cos 17αα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴sin 437tan 43cos 1ααα===22tan 24383tan 21tan 143ααα⨯===--（Ⅱ）由02παβ<<<，得02παβ<-<又∵()13cos 14αβ-=，∴()()221333sin 1cos 114αβαβ⎛⎫-=---= ⎪⎝⎭由()βααβ=--得：()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-113433317142=⨯=所以3πβ=例4.已知),,0(,1cos )cos()22sin(sin 3πθθθπθπθ∈=⋅+--求θ的值.命题目的：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力，以及求角的基本知识..解：由已知条件得1cos cos 2cos sin 3=⋅--θθθθ.即0sin 2sin 32=-θθ.解得0sin 23sin ==θθ或.由0＜θ＜π知23sin =θ，从而323πθπθ==或.考点2．解三角形此类题目以考查正弦定理，余弦定理，两角差的正弦公式，同角三角函数间的关系式和诱导公式等基本知识，以及考查基本的运算为主要特征.解此类题目要注意综合应用上述知识.典型例题例5．已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．命题目的：本小题考查正弦定理、余弦定理和三角函数等基础知识，考查基本运算能力及分析解决问题的能力.解：（I ）由题意及正弦定理，得21AB BC AC ++=，2BC AC AB +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C = ，得13BC AC = ，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC+-=22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--== ，所以60C = ．例6.如图，在ABC ∆中，2AC =，1BC =，43cos =C ．（1）求AB 的值；（2）求()C A +2sin 的值.命题目的：本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查基本运算能力及分析解决问题的能力.解答过程：（Ⅰ） 由余弦定理，得2222..cos AB AC BC AC BC C =+- 341221 2.4=+-⨯⨯⨯=那么， 2.AB =（Ⅱ）由3cos 4C =，且0,C π<<得27sin 1cos C C =-由正弦定理，得,sin sin AB BCC A=解得sin 14sin BC C A AB==所以，52cos A .由倍角公式sin 2sin 2cos A A A =⋅=，且29cos 212sin 16A A =-=，故()sin 2sin 2cos cos 2sin A C A C A C +=+.例7．在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB 17，求BC 边的长．命题目的：本题主要考查三角函数的诱导公式、正弦定理及两角和公式等基础知识，考查运算能力.解：（Ⅰ）π()C A B =-+ ，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=-- ．又0πC << ，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得17sin 17A =sin sin AB BC C A = ，sin 2sin A BC AB C ∴== ．考点3．求三角函数的定义域、值域或最值此类题目主要有以下几种题型：⑴考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求值域的能力.⑵考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.⑶考查利用三角函数的有界性来求最大值与最小值的能力. 典型例题例8.已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是（ ）A.[]1,1-B.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2⎡-⎢⎣⎦ D.21,⎡--⎢⎣⎦命题目的：本小题考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求值域的能力.)),,444, 1.,,,24f x x x x f x x f x A C D x f x πππππ+-∴==--=-=解法1:(当时(故选C.11解法2:当时()=知不可能.又由时(知选C.22例9．设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2π(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且. （Ⅰ）求实数m 的值;（Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.命题目的：本小题考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求最值的能力.解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++ a b ，πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 1214f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 14x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为12例10.已知函数12)4()cos x f x xπ-=， （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且4tan 3α=-，求()f α的值.命题目的：本题考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力. 解答过程：（Ⅰ） 由cos 0x≠得()2x k k Z ππ≠+∈.故()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， （Ⅱ） 因为43tan ,cos ,55αα=-=且第四象限的角， 所以43sin ,cos ,55αα=-=故()()212)4cos 2212(22)22cos 1sin 2cos 2cos 2cos 2sin cos cos 2cos sin 14.5f πααααααααααααααα-==-+=-==-=例11设)0(cos sin )(>+=ωωωx b x a x f 的周期π=T ，最大值4)12(=πf ， （1）求ω、a 、b 的值；（2）的值终边不共线，求、、的两根，为方程、、若)tan(0)(βαβαβα+=x f .命题目的：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性. 解答过程：(1))x sin(b a )x (f 22ϕ+ω+=， π=∴T ， 2=ω∴， 又 )x (f 的最大值 4)12(f =π ， 22b a 4+=∴ ① ， 且 122cos b 122sin a 4π+π= ②， 由 ①、②解出 a=2 , b=3.(2) )3x 2sin(4x 2cos 32x 2sin 2)x (f π+=+=， 0)(f )(f =β=α∴，)32sin(4)32sin(4π+β=π+α∴，32k 232π+β+π=π+α∴， 或)32(k 232π+β-π+π=π+α， 即 β+π=αk (βα、 共线，故舍去) ， 或 6k π+π=β+α，33)6k tan()tan(=π+π=β+α∴ )Z k (∈.例12.设函数2()sin cos f x x x x a ωωω=++（其中0,a R ω>∈），且()f x 的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π.（I ）求ω的值；（II ）如果()f x 在区间5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3a 的值.命题目的：本题考查利用三角函数的性质逆用两角和的正弦公式等基本知识，考查运算和推理能力.解答过程：（Ⅰ）313()2sin 22f x x x a ωω=+3sin(2)32x a πω=+++, 依题意得 2632πππω⋅+=， 解得 12ω=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，3()sin()3f x x a π=+,又当5,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，70,36x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故11sin()123x -≤+≤，从而()f x 在5[,]36ππ-上取得最小值132a -.因此，由题设知1332a -故31a +=例13.已知函数R x x x x f ∈++=),2sin(sin )(π（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 的最大值和最小值； （Ⅲ）若43)(=αf ，求α2sin 的值.命题目的：本题考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角和的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.解答过程：)4sin(2cos sin )2sin(sin )(ππ+=+=++=x x x x x x f（Ⅰ）)(x f 的最小正周期为ππ212==T ;（Ⅱ）)(x f 的最大值为2和最小值2-；（Ⅲ）因为43)(=αf ，即37sin cos 2sin cos .416αααα+=⇒=-即 1672sin -=α. 考点4．三角函数的图象和性质考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用.会用数形结合的思想来解题. 典型例题例14.已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,f x x x x x x R =++∈.求：（Ⅰ）求函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； （Ⅱ）函数()f x 的单调增区间.命题目的：本题考查三角公式、三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力. 解答过程：（I ）解法一： ()1cos 23(1cos 2)sin 222x f x x θ-+=++2sin 2cos 2x x =++22)4x π=+. ∴当2242x k πππ+=+，即()8x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值22因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 解法二：222()(sin cos )sin 22cos f x x x x x =+++ 1sin 21cos 2x x =+++22)4x π=+.∴当2242x k πππ+=+，即()8x k k Z ππ=+∈时，()f x 取得最大值22因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. （Ⅱ）解： ()22)4f x x π=+由题意得222()242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即3()88k x k k Z ππππ-≤≤+∈.因此， ()f x 的单调增区间是()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.例15．（本小题满分12分） 已知函数2π()cos 12f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值． （II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．命题目的：本小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力. 解：（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++． 因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =， 即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）． 所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭， 当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=． （II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1π31313cos 2sin 2sin 2262222x x x x ⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时， 函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数， 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ） 例16.已知函数22()sin 3sin cos 2cos ,.f x x x x x x R =+∈ （I ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（II ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？ 命题目的：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力.解答过程：（I ）1cos 2()2(1cos 2)2x f x x x -=+++3132cos 2223sin(2).62x x x π=++=++ ()f x ∴的最小正周期2.2T ππ== 由题意得222,,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈即 ,.36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的单调增区间为,,.36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（II ）方法一：先把s i n 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度，得到sin(2)6y x π=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3s i n (2)62y x π=++的图象. 方法二： 把sin 2y x =图象上所有的点按向量3(,)122a π=- 平移，就得到3sin(2)62y x π=++的图象.例17.已知函数2()3)2sin ()().612f x x x x R ππ=-+-∈（I ）求函数()f x 的最小正周期；（II ）求使函数()f x 取得最大值的x 集合.命题目的：本题考查三角公式、三角函数的周期性及已知三角函数值求角等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力.解答过程：(Ⅰ) f(x)=3sin(2x －π6)+1－cos2(x －π12) = 2[32sin2(x －π12)－12 cos2(x －π12)]+1 =2sin[2(x －π12)－π6]+1 = 2sin(2x －π3) +1 . ∴ T=2π2 =π．(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x －π3)=1,有 2x －π3 =2k π+π2 ， 即x=k π+ 5π12 (k ∈Z) ∴所求x 的集合为{x ∈R|x= k π+ 5π12 , k ∈Z}.考点5．平面向量、三角函数的图象和性质考查平面向量和三角函数的图象和性质相结合的题目，是高考的热点题型.此类题目要求考生在熟练掌握平面向量和三角函数图象的基础上要对平面向量和三角函数的性质灵活运用.会用数形结合的思想来解题. 典型例题例18.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π=-命题目的：本题考查了应用平面向量平移图象和应用数形 结合的思想解题的能力.解答过程：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=，因此选C.例19.已知向量(sin ,1),(1,cos ),.22a b ππθθθ==-<<（Ⅰ）若a b ⊥，求θ；（Ⅱ）求a b +的最大值.命题目的：本题主要考查应用平面向量、三角函数知识分析和计算能力.解：（Ⅰ）,sin cos 0a b θθ⊥若则＋＝，由此得 tan 1ππθθ=- (-<<),22所以 ;4πθ=-（Ⅱ）由22(sin ,1),(1,cos )(sin 1,1cos ),(sin )(1cos )32(sin cos )322sin(),4a b b b θθθθθθθθπθ== α+=++ α+=++ =++ =++得当sin()1,,, 1.44a b a b ππθθ+=+=+时取得最大值即当时的最大值为2例20.已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量()()3,cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅=（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tan B . 命题目的：本题考查了平面向量、三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式等知识.考查应用、分析和计算能力.解答过程：（Ⅰ）∵1m n ⋅=, ∴(()3cos ,sin 1A A -⋅= , 3sin cos 1A A -=.312sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ∵50,666A A ππππ<<-<-<, ∴66A ππ-= . ∴3A π=.（Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B B B B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --=∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --=. ∴tan 2B =或tan 1B =-.而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去. ∴tan 2B =.∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan 1tan tan A B A B+=--23123+=-853+【专题训练】 一.选择题1．函数)(x f y =的图象如图所示，则)(x f 的解析式可能是 ( )（A ）x x x f cos )(--= （B ）x x x f sin )(--= （C ）x x x f sin )(= （D ）x x x f cos )(=2．已知4sin 5θ=，且sin cos 1θθ->，则sin 2θ= （ ）(A) 2425- (B) 1225- (C) 45- (D) 24253．如图，要测量河对岸A 、B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得 ∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB 的距离是（ ）. （A ）202（B ）203（C ）402（D ）2064．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(ϕω++=t A k y 的图象.在下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（ ）（A ）]24,0[,6sin 312∈+=t t y π（B ）]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππ（C ）]24,[,12sin 312∈+=t t y π（D ）]24,0[),212sin(312t t y ππ++=5．已知22ππθ-<<，且s i n c o s ,a θθ+=其中()0,1a ∈，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是 （ ）（A ）3- （B ）3 或13 （C ） 13- （D ）3-或13-二填空题.6．如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P 到水面的距离为d 米（P 在水面下则d 为负数），则d （米）与时间t （秒）之间满足关系式：sin()(0, 0, )22d A t k A ππ=ω+ϕ+>ω>-<ϕ<，且当P 点从水面上浮现时开始计算时间．有以下四个结论：①A=10； ②215πω=； ③6πϕ=； ④k=5．则其中所有正确结论的序号是 ．7．已知:sin 3α+cos 3α=1，则sin α+cos α; sin 4α+cos 4α;sin 6α+cos 6α的值是 ． 三.解答题8． 求函数44sin 23sin cos cos y x x x x =+-的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0,]π上的单调递增区间．9． 求函数xx x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期、最大值和最小值．10． 已知α为锐角,且,21tan =α求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值．11． 已知0<α<2π，tan 2α+cot 2α=25，求sin(3πα-)的值． 12．21tan()2,42sin cos cos παααα+=+已知求的值．13．已知)32sin(],,2[,0cos 2cos sin sin 622παππααααα+∈=-+求的值．14．如图，A 、B 是一矩 OEFG 边界上不同的两点，且∠AOB=45°,OE=1,EF=3，设∠AOE=α. （1）写出△AOB 的面积关于α的函数关系式f(α);（2）写出函数f(x)的取值范围．15．已知函数y=21cos 2x+23sinx ·cosx+1 （x ∈R ）,（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？【参考答案】一．１．C. 2．A. ３．D. ４．A. ５．C. 二．６．①②④．7．解法一：令sin α+cos α=t ，则sin α·cos α=212-t ，∴sin 3α+cos 3α=(sin α+cos α)(sin 2α－sin α·cos α+cos 2α)=t ·(1－212-t )=1，得： t 3－3t+2=0⇒(t －1)2·(t+2)=0，∵t ≠－2 ∴t=sin α+cos α=1，且sin α·cos α=212-t =0．∴sin 4α+cos 4α=(sin 2α+cos 2α)2 – 2sin 2α·cos 2α=1－2·0=1 sin 6α+cos 6α=(sin 2α+cos 2α)(sin 4α－sin 2α·cos 2α+cos 4α)=1 解法二：∵sin 3α≤sin 2α,cos 3α≤cos 2α ∴sin 3α+cos 3α≤sin 2α+cos 2α=1等号当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==ααααcos cos sin sin 33时成立⇒⎩⎨⎧==1cos 0sin αα或⎩⎨⎧==1sin 0cos αα．∴sin α+cos α=sin 4α+cos 4α=sin 6α+cos 6α=1．三．8．x x x x y 44cos cos sin 32sin -+=2222(sin cos )(sin cos )3232cos 22sin(2).6x x x x xx xx π=+-=-=-故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；单增区间是[π31,0]，],65[ππ．9． xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222--+=221sin cos 111(1sin cos )sin 2.2(1sin cos )242x x x x x x x -==+=+-所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41.10． 原式=,2cos cos sin 22cos sin ααααα因为21tan =α时,,02cos ,0sin ≠≠αα所以 原式=.cos 21α因为α为锐角,由21tan =α得,52cos =α所以 原式=.4511．由已知54sin ,25sin 22cot 2tan ===+αααα得. .53sin 1cos ,202=-=∴<<ααπα从而 3s i n co s 3co s s i n )3s i n (παπαπα⋅-⋅=-)334(10123532154-=⨯-⨯=. 12．由.31tan ,2tan 1tan 1)4tan(==-+=+ααααπ得于是.3213121)31(1tan 21tan cos cos sin 2cos sin cos cos sin 21222222=+⨯+=++=++=+ααααααααααα 13．由已知得：0)cos sin 2)(cos 2sin 3(=-+αααα0cos sin 20cos 2sin 3=-=+⇔αααα或．由已知条件可知).,2(,2,0cos ππαπαα∈≠≠即所以 从而 t a n 0,α< 有 2tan .3α=-3sin2cos 3cos2sin )32sin(παπαπα+=+.tan 1tan 123tan 1tan sin cos sin cos 23sin cos cos sin )sin (cos 23cos sin 22222222222αααααααααααααααα+-⨯++=+-⨯++=-+=2tan 3α=-将代入上式，得22222()1()33sin(2)2231()1()33613πα---+=-+-+-=-14．解：（1）∵OE=1，EF=3．∴∠EOF=60°．当α∈[0，15°]时，△AOB 的两顶点A 、B 在E 、F 上，且AE=tan α,BE=tan(45°+α) ． ∴f(α)=S △AOB =21[tan(45°+α)－tan α]=)45cos(·cos 245sin α+︒︒α=2)452cos(22+︒+α．当a ∈（15°,45°）时，A 点在EF 上，B 点在FG 上，且OA=αcos 1，OB=)45cos(3α-︒．∴)(αf =S △AOB =21OA ·OB ·sin45°=αcos 21·)45cos(3α-︒·sin45°=2)24cos(26+-α综上得：f(α)= ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈+-∈++]4,12(2)42cos(26]12,0[2)42cos(22ππαππαπ α α（2）由（1）得：当α∈[0，12π]时，f(α)=2)42cos(22++πα∈[21,3－1] ．且当α=0时，f(α)min =21；α=12π时，f(α)max =3－1；当α∈]4,12(ππ时,－12π≤2α－4π≤4π，f （α）=2)42cos(26+-πα∈[6－3,23]．且当α=8π时，f(α) min =6－3；当α=4π时，f(α) max =23．所以f(x) ∈[21,23]．15．解：（1）y=21cos 2x+23sinx ·cosx+1=41 (2cos 2x －1)+ 41+43（2sinx ·cosx ）+1=41cos2x+43sin2x+45=21 (cos2x ·sin 6π+sin2x ·cos 6π)+45=21sin(2x+6π)+45．所以y 取最大值时，只需2x+6π=2π+2k π,（k ∈Z ），即 x=6π+k π,（k ∈Z ）．所以当函数y 取最大值时，自变量x 的集合为{x|x=6π+k π,k ∈Z}（2）将函数y=sinx 依次进行如下变换：（i ）把函数y=sinx 的图像向左平移6π，得到函数y=sin(x+6π)的图像；（ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+6π)的图像；（iii ）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数y=21sin(2x+6π)的图像；（iv ）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数y=21sin(2x+6π)+45的图像．综上得到y=21cos 2x+23sinxcosx+1的图像．。