三角函数与平面向量专题
三角函数和平面向量专题练习2
北
B
的位置 C 处 (1) 求该船的行驶速度.
西
A
45° θ
C D
东
(2) 若该船不改变航行方向,判断它是否会进入警戒 水域,并说明理由.
P E Q
20 用 a, b, c 分别表示 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边的边长, R 表示 ∆ABC 的外接圆半径 (1)如图在 O 以为圆心,半径为 2 的 O 中, BC , BA 分别是 O 的弦,其中 BC = 2, ∠ABC = 45° ,求 弦 AB 的长 (2)在 ∆ABC 中,若 ∠C 为钝角,求证: a 2 + b 2 ≤ 4 R 2 (3)给定三个正实数 a, b, R ,其中 a ≥ b ,问 a, b, R 满足怎样的关系是时,以 a, b 为边长,以 R 为外 接圆半径的 ∆ABC 不存在,存在一个,或存在两个(全等的 三角 形 算作同 一个 ), 在 ∆ABC 存 在的 情况 下 ,用 a, b, R 表 示c
uuu r uuur
1 2
16. 在三角形 ABC 中, 用 a, b, c 分别表示 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边的边长,已知
∠B = 45° , b = 10, cos C = 2 5 5
(1)求边长 BC 的值 (2 若 AB 的中点为 D ,求中线 CD 的值.
2/8
π π 17. 已知函数 f ( x ) = 2 sin x + − 2 cos x, x ∈ , π 6 2
2 n 为偶数时, ○
f n (θ ) = sin n θ + cos n θ ,∴ f n′ (θ ) = n sin n −1 θ ⋅ cos θ − n cos n −1 θ sin θ = n sin θ cos θ ( sin n − 2 θ − cos n − 2 θ )
专题二 三角函数与平面向量的综合应用
的参数 A，ω ，φ，从图象的特征上寻找答案，A 主要由最值 确定，ω 是由周期确定，周期通过特殊点观察求得，如相邻 两个最大、最小值点相差半个周期，φ 可由点在函数图象上 求得，确定 φ 值时，注意它的不惟一性．如果函数的最大值 与最小值不互为相反数，说明解析式为 y＝Asin( ω x＋φ)＋k 的形式．设最大值为 m，最小值为 n，则 A＋k＝m，－A＋k m－n m＋n ＝n，从而 A＝ 2 ，k＝ 2 .
π 由图象最高点为 ， 3得 6
(2)由 (1)知，函数的最小值为－ 3； π π π 由 2x＋ ＝2kπ－ ，k∈Z，得 x＝kπ－ ，k∈ Z， 6 2 3 π ∴函数取得最小值时自变量 x 的集合为x|x＝kπ－ ， k∈ Z. 3
探究提高
确定函数关系式 y＝Asin( ω x＋φ)就是确定其中
题型分类 深度剖析
题型一 三角函数的化简求值问题 3 1 1 例1 求 2 － 2 · 的值． sin 140° cos 140° 2sin 10°
思维启迪 从角、函数名称、式子结构入手找其
特征，构造“相消”、“约分”或构造特殊角．
3cos2140° － sin2140° 1 解 原式＝ · sin2140° cos2140° 2sin 10° 3cos240° － sin240° 1 ＝ · sin240° cos240° 2sin 10° ( 3cos 40° － sin 40° )( 3cos 40° ＋ sin 40° ) 1 ＝ · 1 2 2sin 10° sin 80° 4 2sin(60° － 40° )· 2sin(60° ＋ 40° ) 1 ＝ · 1 2 2sin 10° cos 10° 4 8sin 20° sin 100° 16sin 10° · cos210° ＝ ＝ ＝ 16. cos210° · sin 10° cos210° · sin 10° π 探究提高 若 α＋β＝π，则 sin α＝sin β；若 α＋β＝2，
高考数学大二轮复习专题一平面向量、三角函数与解三角形第一讲平面向量课件理
－b)⊥b，则 a 与 b 的夹角为( )
π
π
A.6
B.3
C.23π
D.56π
解析：由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2.
∵|a|＝2|b|，∴cos〈a，b〉＝|aa|··|bb|＝2bb22＝12.
∵0≤〈a，b〉≤π，∴a 与 b 的夹角为π3.故选 B. 答案：B
4．(2019·恩施州模拟)已知向量 a＝(1， 3)，b＝－12， 23，则
3．(2019·河北衡水中学模拟)已知 O 是平面上一定点，A，B，
C
是平面上不共线的三点，动点
P
满
足
→ OP
＝
O→B＋O→C 2
＋
λ
→ AB →
→
＋
AC →
，λ∈[0，＋∞)，则点 P 的轨迹经过△
|AB|cos B |AC|cos C
ABC 的( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
解析：设
答案：A
4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝ (1，λ)．若 c∥(2a＋b)，则 λ＝________.
解析：2a＋b＝(4,2)，因为 c∥(2a＋b)，所以 4λ＝2，得 λ＝12. 答案：12
[类题通法] 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用 平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运 算．一般将向量归结到相关的三角形中，利用三角形法则列出 三个向量之间的关系． 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一组基 底，并运用该组基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过 向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不 同的，但在每组基底下的分解都是唯一的．
专题03 三角函数与平面向量综合问题(答题指导)(解析版)
专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）【题型解读】题型特点命题趋势▶▶题型一：三角函数的图象和性质1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sinωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．【突破训练1】 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)f (x )＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝ －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32＝sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤sin 5π2＝1，所以－1≤f (x )≤32，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.▶▶题型二 解三角形1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题． 2．用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化． 第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性．【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sin Csin B ． (1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值． 【答案】见解析【解析】(1)cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sinCsinB ＝cos2(C ＋B)－sinCsinB ，则cos(C ＋B)[cos(C －B)－cos(C ＋B)]＝－sinCsinB ，则－cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB ，可得cosA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A＝60°.(2)由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝23，得b ＋2c ＝23(sinB ＋2sinC)＝23[sinB ＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB＋3cosB)＝221sin(B ＋φ)，其中tanφ＝32，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3得B ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，7π6，所以sin(B ＋φ)的最大值为1，所以b ＋2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．【突破训练2】 (2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知和余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos 2A ·sin π4＝7226.▶▶题型三 三角函数与平面向量的综合1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响． 【例3】 (2019·佛山调考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值． 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.因为0＜A ＜π，所以π3＜2A ＋π3＜7π3，所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.因为a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①因为向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sinC ． 由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.【突破训练3】(2019·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ，且32AB →·AC →＝S ，|AC →－AB →|＝3.(1)若f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω＞0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，求△ABC 的面积S ；(2)求S ＋3 3 cos B cos C 的最大值． 【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为32AB →·AC →＝S ，所以32bc cos A ＝12bc sin A ， 解得tan A ＝3，所以A ＝π3.由|AC →－AB →|＝3得|BC →|＝a ＝3.(1)因为f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω>0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离T ＝2，即2πω＝2，解得ω＝π，故f (x )＝2cos(πx ＋B )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝12.因为B 是△ABC 的内角，所以B ＝π6，从而△ABC 是直角三角形，所以b ＝3，所以S △ABC ＝12ab ＝332.(2)由题意知A ＝π3，a ＝3，设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝a sin A ＝ 332＝23，解得R ＝3，所以S＋33cos B cos C ＝12bc sin A ＋33cos B cos C ＝34bc ＋33cos B cos C ＝33sin B sin C ＋33cos B cos C ＝33cos(B －C )，故S ＋33cos B cos C 的最大值为3 3.。
数学专题2__三角函数_平面向量与解三角形
三角函数,平面向量与解三角形1.【答案】C2.若tan α=3，则αα2cos 2sin 的值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】D 3.若2a =，则10[cos()]______3a π-=．【答案】81-4.已知θ是三角形中的最小角，则)3sin(πθ+的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛1,23B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,23 C ．⎥⎦⎤⎝⎛1,21D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21【答案】B5.已知奇函数f （x ）在[-1，0]上为单调递减函数，又α，β为锐角三角形两内角，下列结论正确的是 A ．f （cos α）> f （cos β） B ．f （sin α）> f （sin β）C ．f （sin α）> f （cos β）D ．f （sin α）<f （cos β）【答案】D6.【答案】 A7.已知sin cos θθ+=，则7cos(2)2πθ-的值为（ ） A.49 B.29 C.29- D.49-【答案】A8.已知53sin =α，且α为第二象限角，则αtan 的值为 .【答案】34-9．设全集U ＝R ，A ＝{y ｜y ＝tan x ，x ∈B }，B ＝{x ｜｜x ｜≤4π}，则图中阴影部分表示的集合是 A ．［－1，1］ B ．［－4π，4π］ C ．［－1，－4π）∪（4π，1］ D ．［－1，－4π］∪［4π，1］【答案】C10.函数π()3sin(2)3f x x =-的图象为C ，如下结论中正确的是（写出所有正确结论的编号）．①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 的所有对称中心都可以表示为(0)()6k k Z ππ+∈，；③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3cos 2y x =-的图象向左平移12π个单位长度可以得到图象C ． ⑤函数()f x 在[0,]2π上的最小值是3-.【答案】①③④11.(2013·江西省南昌市调研）右图是函数y=sin （ωx+ϕ）（x ∈R ）在区间[-π6，5π6]上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将y=sinx （x ∈R ）的图像上所有点A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变。
高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质课件理
在[－π ＋2k
π 2
＋2kπ
(k∈Z)上
单调性
单调递增； 在π2 ＋2kπ ，
3π 2
＋2kπ
(k∈Z)
π ，2kπ ] (k∈Z)上单调 递增；在[2k π ，π ＋2k π ](k∈Z)上 单调递减
在－π2 ＋kπ ，
π 2
＋kπ
(k∈Z)
上单调递增
上单调递减
对称性
对称中心：
(kπ ，0) (k∈Z)； 对称轴：x＝
π 2
＋kπ
(k∈Z)
对称中心：
π
2
＋kπ，0
对称中心：
(k∈Z)； 对称轴：x ＝kπ
kπ
2
，0
(k∈Z)
(k∈Z)
2.三角函数的常用结论 (1)y＝Asin(ωx＋φ)，当 φ＝kπ (k∈Z)时为奇函数；
(2)已知图象求函数 y＝Asinωx＋φ(A＞0，ω＞0)的解析式时，
常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点 求 A；由函数的周期确定 ω；确定 φ 常根据“五点法”中的 五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图 象的升降找准第一个零点的位置.
【训练 1】 (2017·连、徐、宿模拟)若函数 f (x)＝2sin(2x＋
第1讲 三角函数的图象与性质
高考定位 高考对本内容的考查主要有：三角函数的有关 知识大部分是B级要求，只有函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 与性质是A级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答 题中也有考查，经常与向量综合考查，构成低档题.
真题感悟 1.(2013·江苏卷)函数 y＝3sin2x＋π4 的最小正周期为________.
专题+三角函数与平面向量的交汇问题经典回顾--讲义
三角函数与平面向量综合问题经典回顾开篇语三角函数与平面向量是高中数学的两大重点内容，在近几年的数学高考中，除了单独考查三角函数问题和平面向量问题以外，还常常考查三角函数与平面向量的交汇问题．即一个问题中既涉及三角函数内容，又涉及平面向量知识，以此检测我们综合处理问题的能力．因此，在高三数学复习中，我们应当有意识地关注平面向量与三角函数的交汇，通过典型的综合问题的分析和研究，逐步掌握这类问题的求解策略．开心自测题一：设ABC ∆的三个内角,,A B C ，向量sin ,sin )A B =m ，(cos )B A =n ，若1cos()A B ⋅=++m n ，则C =（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π题二：设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则m λ的取值范围是（ ）． A ．[6,1]-B ．[48]，C ．[1,1]-D ．[1,6]-金题精讲题一：平面上,,O A B 三点不共线，设,OA = OB = a b ，则AOB △的面积等于（ ）．A BC D题二：设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )ααββββ===-a b c （Ⅰ）若a 与2-b c 垂直，求tan()αβ+的值；（Ⅱ）求||+b c 的最大值；（Ⅲ）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b ．题三：在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos 25A =，3AB AC ⋅= ．（I ）求ABC △的面积；（II ）若6b c +=，求a 的值．题四：设ABC △是锐角三角形，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对边长，并且22sin sin() sin() sin 33A B B B ππ=+-+．(Ⅰ)求角A 的值；(Ⅱ)若12,AB AC a == ,b c （其中b c <）．名师寄语本讲要点小结与建议：三角函数和平面向量的综合问题是近几年数学高考的一个新的视角．求解这类问题，既要求我们具有娴熟的三角函数的恒等变换技能，又要求我们熟练地进行平面向量的四种运算，特别是数乘运算和数量积运算．因此，在高三复习中，我们应当选择典型的综合性问题进行求解训练，提高我们处理这类综合问题的能力．三角函数与平面向量综合问题经典回顾讲义参考答案开心自测题一：C ． 题二：A ．金题精讲题一：C ．题二：（Ⅰ）tan()2αβ+=；（Ⅱ）（Ⅲ）略．题三：（I ）2ABCS ∆=；（II ）a = 题四：(Ⅰ) 3A π=；(Ⅱ) 4,6b c ==．。
专题02 三角函数、解三角形、平面向量(学生版)
专题二 三角函数、解三角形、平面向量第1讲 三角函数高考考试说明：三角函数的概念（B 级）；同角三角函数的基本关系式（B 级）；正弦函数、余弦函数的诱导公式（B 级）；函数y ＝A sin （ωx ＋φ）的图像与性质（A 级）；正弦、余弦、正切的图像与性质（B 级），两角和（差）的正弦、余弦及正切（C 级）；二倍角的正弦、余弦及正切（B 级） 一、填空题：1.（2008.江苏.1）若函数y ＝cos （ωx －π6）（ω＞0）最小正周期为π5，则ω＝ .2.（2009.江苏.4）函数y ＝ y ＝A sin （ωx ＋φ）（A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0）在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝ .第2题 第5题3.（2010.江苏.10）定义在区间（0，π2）上的函数y ＝6cos x 的图像与y ＝5tan x 的图像的交点为P ，过点P作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图像交于点P 2，则线段P 1P 2的长为 .4.（2011.江苏.7）已知tan （x ＋π4）＝2，则tan xtan 2x 的值为 .5.（2011.江苏.9）函数f （x ）＝A sin （ωx ＋φ）（A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f （0）的值为 .6.（2012.江苏.11）设α为锐角，若cos （α＋π6）＝45，则sin （2α＋π12）的值为 .7.（2013.江苏.1）函数y ＝3sin （2x ＋π4）的最小正周期为 .8.（2014江苏5）已知函数y ＝cos x 与y ＝sin （2x ＋φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是 .9.（2015.江苏.8）已知tan α＝－2，tan （α＋β）＝17，则tan β的值为_______.10.（2015.江苏.14）设向量a k ＝（cos k π6，sin k π6＋cos k π6）（k ＝0，1，2，...，12），则11k =∑（a k →˙a k ＋１→）的值为 .11.（2016.江苏.9）定义在区间 [0，3π] 上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________.12.（2017.江苏.5）若tan （α－π4）＝16，则 tan α＝ .13.（2018.江苏.7）已知函数f （x ）＝sin （2x ＋φ）（－π2＜φ＜π2）的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是 .14.（2019.江苏.13）已知tan 2π3tan()4αα=-+，则sin （π24α+）值是_____. 二、解答题：1.（2008.江苏.15）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A ，B 两点.已知A ，B 两点的横坐标分别是210，255. （1）求tan （α＋β）的值； （2）求α＋2β的值.2.（2014.江苏.15）已知α∈（π2，π），sin α＝55.（1）求sin （π4＋α）的值；（2）求cos （5π6－2α）的值.3.（2017.江苏.16）已知向量a ＝（cos x ，sin x ），b ＝（3，－3），x ∈[0，π]. （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记f （x ）＝a ∙b ，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值.4.（2018.江苏.16）已知α，β为锐角，tan α＝43，cos （α＋β）＝－55.（1）求cos2α的值； （2）求tan （α－β）的值.5.（2018.江苏.17）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成.已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米.先规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚 Ⅱ 内的地块形状为△CDP ，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.（1）用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚 Ⅰ 内种植甲种蔬菜，大棚 Ⅱ 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3.求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.第2讲 解三角形高考考试说明：三角函数的概念（B 级）；同角三角函数的基本关系式（B 级）；正弦函数、余弦函数的诱导公式（B 级）；函数()ϕω+=x A y sin 的图像与性质（A 级）.正弦、余弦、正切的图像与性质（B 级），两角和（差）的正弦、余弦及正切（C 级）；二倍角的正弦、余弦及正切（B 级），正弦定理、余弦定理及其应用（B 级） 一、填空题：1.（2008.江苏.13）满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是 .2.（2010.江苏.13）在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b a ＋a b ＝6cos C ，则 tan C tan A ＋tan C tan B ＝ .3.（2014.江苏.14）若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是 .4.（2016.江苏.14）在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________.5.（江苏.2018.13）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 与点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为 . 二、解答题：1.（2011.江苏.15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . （1）若sin （A ＋π6）＝2cos A ，求A 的值；（2）若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值.2.（2012.江苏.15）在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. （1）求证：tan B ＝3tan A ； （2）若cos C ＝55，求A 的值.3.（2013.江苏.18）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min .在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再以匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ，山路AC 长为1260m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35. （1）求索道AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？4.（2015.江苏.15）在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. （1）求BC 的长； （2）求sin2C 的值.5.（2016.江苏.15）在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.（1）求AB 的长； （2）cos （A －π6）的值.6.（2019.江苏.15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .（1）若a ＝3c ，b ，cos B ＝23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值.第3讲 平面向量高考考试说明：平面向量的概念（B 级），平面向量的加法、减法及数乘运算（B 级），平面向量的坐标表示（B 级），平面向量的概平行与垂直（B 级），平面向量的数量积（C 级），平面向量的应用（A 级） 一、填空题：1.（2008.江苏.5）已知向量a 和b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则 |5a －b |＝ .2.（2009.江苏.2）已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和b 的数量积a·b ＝ .3.（2011.江苏.10）已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b ＝0，则实数k 的值为 .4.（2012.江苏.9）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则 AE →·BF → 的值是 .第4题5.（2013.江苏.10）设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC→（λ1，λ2为实数），则λ1＋λ2的值为 .6.（2014.江苏.12）如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是 .7.（2015.江苏.6）已知向量a ＝（2，1），b ＝（1，－2），若m a ＋n b ＝（9，－8）（m ，n R ），m －n 的的值为______.P（第6题）8.（2015.江苏.14.）（见第1讲第10题）设向量a k ＝（cos k π6，sin k π6＋cos k π6）（k ＝0，1，2，...，12），则11k =∑（a k →˙a k ＋１→）的值为 .9.（2016.江苏.13）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.第9题 第10题10.（2017.江苏. 12）如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →（m ，n ∈R ），则m ＋n ＝ .11.（江苏.2017.13）在平面直角坐标系xOy 中，A （－12，0），B （0，6），点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上，若P A →·PB →≤20则点P 的横坐标的取值范围是 .12.（江苏.2018.12）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B （5，0），以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为 .13.（江苏.2019.12）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE ＝2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是_____.二、解答题：1.（2009.江苏.15）设向量a ＝（4cos α，sin α），b ＝（sin β，4cos β），c ＝（cos β，4sin β-）. （1）若a 与b －2c 垂直，求tan()αβ+的值； （2）求 |b ＋c | 的最大值；（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b .2.（2010.江苏.15）在平面直角坐标系xOy 中，点A （－1，－2），B （2，3），C （－2，－1）. （1）求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； （2）设实数t 满足（AB →－t OC →）·OC →＝0，求t 的值.3.（2012.江苏.15）在△ABC 中，已知AB →·AC →＝3BA →·BC →. （1）求证：tan B ＝3tan A ； （2）若cos C ＝55，求A 的值.A黎曼教育4.（2013.江苏.15）已知向量a＝（cos α，sin α），b＝（cos β，sin β），0＜β＜α＜π. （1）若| a－b | ＝2，求证：a⊥b；（2）设c＝（0，1），若a＋b＝c，求α，β的值.5.（2017.江苏.16）已知向量a＝（cos x，sin x），b＝（3，－3），x∈[0，π].（1）若a∥b，求x的值；（2）记f（x）＝a∙b，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值.练江苏卷，考名校分第11页。
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三角函数与平面向量专题考情分析1.对三角函数图像的考查主要是平移、伸缩变换，或由图像确定函数的解析式，如2013年福建T9，四川T6等．2.三角函数的性质是考查的重点，可以单独命题，也可与三角变换交汇，综合考查三角函数的单调性、周期性、最值等．另外由性质确定函数的解析式也是高考考查的重点，如2013年天津T6，浙江T6等.3.对三角变换公式注重基础考查，并在综合试题中作为一种工具考查，主要考查利用各种三角公式进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点，切化弦、角的变换是常考的三角变换思想．如2013年新课标全国卷ⅡT6，江西T13等．4.正弦定理和余弦定理及解三角形问题是高考考查的重点，单独命题的频率较高，主要涉及以下几个问题：(1)边和角的计算；(2)三角形形状的判断；(3)面积的计算；(4)有关范围的问题．如2013年北京T5，山东T7等.5.对平面向量的概念及线性运算主要考查线性运算法则及其几何意义以及两个向量共线的条件，或以向量为载体求参数的值，如2013年辽宁T3等．6.对平面向量的基本定理及坐标运算的考查主要侧重以下两点：(1)以平面向量的基本定理为基石，利用一组基底表示相关向量；(2)利用坐标运算解决平行、垂直问题，如2013年山东T15等．7.数量积的运算是每年必考的内容，主要涉及：(1)向量数量积的运算；(2)求向量的模；(3)求向量的夹角，如2013年浙江T17等.要点归纳1．三角函数的概念、基本关系式和诱导公式这一类题型主要是选择题与填空题，解决问题的方法是熟知各个公式，且能熟练运用，要注意角与角的统一，角与角的线性关系。
2. y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图像与解析式解决这类问题在于熟知各图像，在利用图像求三角函数y＝A sin(ωx＋φ)的有关参数时，注意直接从图中观察振幅、周期，即可求出A、ω，然后根据图像过某一特殊点求φ，若是利用零点值来求，则要注意是ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，根据点在单调区间上的关系来确定一个k的值，此时要利用数形结合，否则就易步入命题人所设置的陷阱．3. 三角函数的奇偶性、周期性、单调性与最值掌握三角函数的奇偶性、周期性、单调性的判断公式就能进行此类型的解决。
4. 三角函数图像变换本类题目主要考查三角函数图像的平移、三角函数的性质、三角运算等知识，意在考查考生的运算求解能力及转化与化归思想的应用．解决问题的一般步骤是：（1）审条件（2）审结论（3）建联系.5. 三角变换与求值（1）三角函数式的化简求值可以采用“切化弦”“弦化切”来减少函数的种类，做到三角函数名称的统一，通过三角恒等变换，化繁为简，便于化简求值，其基本思路为：找差异，化同名(同角)，化简求值．（2）解决条件求值应关注的三点：a 分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．b 正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．c 求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．6. 利用正弦、余弦定理解三角形(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理；(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．7．平面向量的概念及线性运算(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线8. 平面向量的数量积解决数量积问题要注意选择合适的计算公式，要注意向量共线与垂直的结论。
热点一 三角函数的概念、基本关系式和诱导公式[例1] (1)已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π3 D.11π6(2)若3cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos(π＋θ)＝0，则cos 2θ＋12sin 2θ的值是________． [自主解答] (1)∵sin 5π6>0，cos 5π6<0， ∴α为第四象限角．又tan α＝cos 5π6sin 5π6＝－3212＝－3， ∴α的最小正值为5π3. (2)∵3cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos(π＋θ)＝0，∴3sin θ－cos θ＝0，从而tan θ＝13. ∴cos 2θ＋12sin 2θ＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋⎝⎛⎭⎫132＝ 43 109＝65. [答案] (1)C (2)65——————————————————(规律·总结)——————————————应用三角函数的概念和诱导公式应注意两点(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．(2)使用三角函数诱导公式常见的错误有两个：一个是函数名称，一个是函数值的符号．相关练习1．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________． 解析：由点P (－8m ，－6sin 30°)在角α的终边上且cos α＝－45，知角α的终边在第三象限，则m >0，又cos α＝ －8m(－8m )2＋9＝－45，所以m ＝12. 答案：12热点二 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像与解析式[例2] (1)(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(M ，ω，φ是常数，M >0，ω>0,0≤φ≤π)的部分图像如图所示，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么f (－1)＝( )A ．－2B ．－1C ．2D ．－1或2(2)(2013·海口模拟)将函数y ＝sin ωx (ω>0)的图像向左平移π6个单位，平移后的图像如图所示，则平移后的图像所对应的函数解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 [自主解答] (1)由图可知M ＝2.因为A ，B 两点分别是函数图像上相邻的最高点和最低点，设A (x 1,2)，B (x 2，－2)，因为|AB |＝5，所以(x 2－x 1)2＋(－2－2)2＝5，解得|x 2－x 1|＝3.因为A ，B 两点的横坐标之差的绝对值为最小正周期的一半，即T 2＝3，T ＝6，所以2πω＝6，解得ω＝π3.因为f (0)＝1，所以2sin φ＝1，解得sin φ＝12.因为0≤φ≤π，所以φ＝π6或φ＝5π6.结合图像，经检验，φ＝π6不合题意，舍去，故φ＝5π6.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋5π6.故f (－1)＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋5π6＝2sin π2＝2. (2)函数y ＝sin ωx (ω>0)的图像向左平移π6个单位后对应的函数解析式为y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋ωπ6，又因为f ⎝⎛⎭⎫7π12＝－1，由图可得7πω12＋ωπ6＝3π2，解得ω＝2，所以平移后的图像对应的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. [答案] (1)C (2)C——————————————————规律·总结——————————————根据三角函数图像确定解析式应注意的问题在利用图像求三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关参数时，注意直接从图中观察振幅、周期，即可求出A 、ω，然后根据图像过某一特殊点求φ，若是利用零点值来求，则要注意是ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，根据点在单调区间上的关系来确定一个k 的值，此时要利用数形结合，否则就易步入命题人所设置的陷阱．相关练习2.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋θ)的图像如图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f ⎝⎛⎭⎫－π6＝( ) A ．－23 B ．－12 C.23 D.12解析：选A 由图知，T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－7π12＝2π3，所以f ⎝⎛⎭⎫－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋2π3＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23.热点三 三角函数的奇偶性、周期性、单调性与最值[例3] (2013·皖南八校联考)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0)的图像关于直线x ＝π12对称，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，则ω的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[自主解答] 由题意知ω·π12＋φ＝k 1π，ω·π3＋φ＝k 2π＋π2，其中k 1，k 2∈Z ，两式相减可得ω＝4(k 2－k 1)＋2，又ω>0，易知ω的最小值为2.[答案] A[例4] (1)(2013·沈阳模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋ωπ)(A >0，ω>0)的图像在⎣⎡⎦⎤－3π2，－3π4上单调递增，则ω的最大值是( )A.12B.34 C ．1 D ．2(2)设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x 满足f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值和最小值分别为________，________. [自主解答] (1)因为A >0，ω>0，所以f (x )＝A sin(ωx ＋ωπ)的递增区间满足2k π－π2≤ωx ＋ωπ≤2k π＋π2(k ∈Z)，即2k π－π2ω－π≤x ≤2k π＋π2ω－π(k ∈Z)，所以⎣⎡⎦⎤－3π2，－3π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2ω－π，2k π＋π2ω－π(k ∈Z)，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω≤2＋8k ，ω≤1－4k ，即ω≤1，所以ω的最大值为1.(2)f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x ＝a 2sin 2x －cos 2x . 由f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)，得⎝⎛⎭⎫－32·a 2＋12＝－1，解得a ＝2 3. 因此f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由x ∈⎣⎡⎦⎤π4，11π24，可得2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，3π4. 当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，f (x )为增函数； 当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，11π24时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π2，3π4，f (x )为减函数， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π3＝2. 又f ⎝⎛⎭⎫π4＝3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2，故f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫11π24＝ 2. [答案] (1)C (2)22——————————————————规律·总结——————————————1．奇偶性的三个规律(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z)，是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z)； (2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z)，是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z)； (3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z)．2．对称性的三个规律(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)解得；(2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图像的对称轴由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)解得，对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)解得； (3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的图像的对称中心由ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z)解得． 3．三角函数单调性的求法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间的一般思路是令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．4．三角函数周期性的求法：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的周期为T ＝π|ω|. 5．三角函数值域的求法：在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合正弦函数性质可得函数f (x )的最值．相关练习3．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解析：选B ∵cos ⎝⎛⎭⎫πω6＋π6＝0，∴πω6＋π6＝π2＋k π(k ∈Z)，∴ω＝2＋6k ，又ω∈N *，∴ω的最小值为2.热点四 三角函数图像变换[例5] (2013·新课标全国卷Ⅱ)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝________. [自主解答] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎡ ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－⎦⎤π2＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6.·① y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2个单位后得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ＝cos(2x －π＋φ)．② 由题意可知－π＋φ＝－π6＋2k π(k ∈Z)，即φ＝5π6＋2k π(k ∈Z)．③ 又因为φ∈[－π，π)，所以φ＝5π6.④ [答案] 5π6 —————————————————规律·总结——————————————解决函数图像变换问题的模型示意图如下：相关练习4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图像如图所示，为了得到g (x )＝－A cos ωx 1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图像如图所示，为了得到g (x )＝－A cos ωx 的图像，可以将f (x )的图像( )A ．向右平移π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向左平移5π12个单位长度 解析：选B 由图像可知A ＝1，∵14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，ω＝2ππ＝2，由f ⎝⎛⎭⎫7π12＝sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－1，|φ|<π，知φ＝π3，∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图像要平移得到函数g (x )＝－cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2⎝⎛⎫x －π4的图像，需要将f (x )的图像向右平移π6－⎝⎛⎭⎫－π4＝5π12个单位长度．热点五 三角变换与求值[例6] (1)(2013·重庆高考)4cos 50°－tan 40°＝( ) A.2 B.2＋32C.3 D ．22－1(2)若cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0<β<π4<α<π2，则α＋β的值为________． [自主解答] (1)4cos 50°－tan 40°＝4cos 50°－sin 40°cos 40° ＝4sin 40°·cos 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40° ＝2cos 10°－sin 40°cos 40°＝2cos 10°－sin (30°＋10°)cos 40°＝32cos 10°－32sin 10°cos 40°＝3(cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°)cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝ 3. (2)∵cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，∴sin(2α－β)＝5314. ∵sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，∴cos(α－2β)＝17. ∴cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－1114×17＋5314×437＝12.∵π4<α＋β <3π4，∴α＋β＝π3. [答案] (1)C (2) π3—————————————————规律·总结——————————————1．化简求值的方法与思路三角函数式的化简求值可以采用“切化弦”“弦化切”来减少函数的种类，做到三角函数名称的统一，通过三角恒等变换，化繁为简，便于化简求值，其基本思路为：找差异，化同名(同角)，化简求值．2．解决条件求值应关注的三点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．相关练习5．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是( )A ．－22 B.22 C.12 D ．－12解析：选B 由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22. 热点六 利用正弦、余弦定理解三角形[例7] (1)(2013·湖南高考)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于 ( ) A.π3 B.π4 C.π6 D.π12(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________．[自主解答] (1)由已知及正弦定理得2sin A sin B ＝3sin B ，因为sin B >0，所以sin A ＝32.又A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以A ＝π3. (2)因为4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，所以2[1－cos(A ＋B )]－2cos 2C ＋1＝72，2＋2cos C －2cos 2C ＋1＝72，cos 2C －cos C ＋14＝0，解得cos C ＝12.根据余弦定理，有cos C ＝12＝a 2＋b 2－72ab，则ab ＝a 2＋b 2－7，故3ab ＝a 2＋b 2＋2ab －7＝(a ＋b )2－7＝25－7＝18，所以ab ＝6，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. [答案] (1)A (2)332——————————————————规律·总结——————————————解三角形问题的方法(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理；(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：定已知—梳理已知条件，确定三角形中已知边和角以及待求问题，然后确定转化的方向，如步骤①根据已知条件和所求问题合理选择转化的定理，进行边角间的转化．边角互化时，应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变换，如步骤②定结果—将已知条件中的数据代入所选用的定理并求出相应的结论，如步骤③相关练习6．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若a cos C＋3a sin C＝b＋c，则角A的值为()A．30°B．45°C．60°D．120°解析：选C由a cos C＋3a sin C＝b＋c及正弦定理，得sin A cos C＋3×sin A sin C＝sin B＋sin C，由三角形内角和定理知，sin A cos C＋3sin A sin C＝sin(A＋C)＋sin C，化简得3sin A－cos A＝1，即sin(A－30°)＝12.由于0°<A<180°，所以－30°<A－30°<150°，所以A－30°＝30°，故A＝60°.热点七平面向量的概念及线性运算[例8](1)(2013·广东高考)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是() A．1B．2C．3D．4(2)(2013·合肥模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若AB＝λAM＋μAN，则λ＋μ＝________.[自主解答](1)显然①②正确；对于③，当μ＜|a a，b时，不存在符合题意的单位向量c和实数λ，③错；对于④，当λ＝μ＝1，|a|＞2时，易知④错．(2)依题意得AM ＝AB ＋BC ＋CM ＝AB ＋BC －14AB ＝34AB ＋BC ，AN ＝AB ＋BN ＝AB ＋12BC ；又AB ＝λAM ＋μAN ，于是有AB ＝λ⎝⎛⎭⎫34 AB ＋BC ＋μ⎝⎛⎭⎫AB ＋12 BC ＝⎝⎛⎭⎫34λ＋μAB ＋⎝⎛⎭⎫λ＋μ2BC ；又AB 与BC 不共线，因此有⎩⎨⎧34λ＋μ＝1，λ＋μ2＝0，由此解得λ＝－45，μ＝－2λ，所以λ＋μ＝－λ＝45.[答案] (1)B (2)45——————————规律·总结—————————————————— 平面向量的线性运算应注意三点(1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(3) OA ＝λOB ＋μOC (λ，μ为实数)，若A 、B 、C 三点共线，则λ＋μ＝1.相关练习7．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝32.若AP ＝λAB ＋μAD (λ，μ∈R)，则λ＋3μ的最大值为( )A.32B.62 C.3＋34D.6＋324解析：选B 据已知|AP |2＝(λAB ＋μAD )2⇒⎝⎛⎭⎫322＝λ2＋3μ2，整理变形可得(λ＋3μ)2－23λμ＝34，由均值不等式，可得(λ＋3μ)2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋3μ22≤34，解得λ＋3μ≤62.热点八 平面向量的数量积[例9] (1)(2013·济南模拟)△ABC 的外接圆半径为1，圆心为O ，且3OA ＋4OB ＋5OC ＝0，则OC ·AB 的值为( )A ．－15 B.15 C ．－65 D.65(2) (2013·浙江高考)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB ·PC ≥0P B ·0P C ，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC[自主解答] (1)由已知得4OB ＝－3OA －5OC ⇒|4OB |2＝(－3OA －5OC )2，即16＝34＋30OA ·OC ，解得OA ·OC ＝－35；同理3OA ＝－4OB －5OC ，两边平方得OB ·OC ＝－45，因此OC ·AB ＝OC ·(OB －OA )＝OC ·OB －OC ·OA ＝－15.(2)设AB ＝4，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (－2,0)，B (2,0)．又P 0是边AB 上一定点，P 0B ＝14AB ，所以P 0(1,0)．设C (a ，b )，P (x,0)，∴PB ＝(2－x,0)，PC ＝(a －x ，b )．∴0P B ＝(1,0)，0P C ＝(a －1，b )．PB ·PC ≥0P B ·0P C 恒成立⇒(2－x )·(a －x )≥a －1恒成立，即x 2－(2＋a )x ＋a ＋1≥0恒成立．∴Δ＝(2＋a )2－4(a ＋1)＝a 2≤0恒成立．∴a ＝0.即点C 在线段AB 的中垂线上，∴AC ＝BC .[答案] (1)A (2) D——————————规律·总结———————————————— 解决数量积运算应注意三点(1)a ·b ＝0未必有a ＝0或b ＝0. (2)|a ·b |≤|a |·|b |.(3)a ·(b ·c )与(a ·b )·c 不一定相等．相关练习8.如图所示，P 为△AOB 所在平面内一点，向量OA ＝a ，OB ＝b ，且P 在线段AB 的垂直平分线上，向量OP ＝c .若|a |＝3，|b |＝2，则c ·(a －b )的值为( )A ．5B ．3 C.52D.32解析：选C 设AB 中点为D ，c ＝OP ＝OD ＋DP ，所以c ·(a －b )＝(OD ＋DP )·BA ＝OD ·BA ＋DP ·BA ＝OD ·BA ＝12(a ＋b )·(a －b )＝12(|a |2－|b |2)＝52.高考真题1，（2013年湖北高考）将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A.12π B.6π C.3π D.56π【解析与答案】2cos 6y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个长度单位后变成2cos 6y x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以m 的最小值是6π。