14实验十四 矩阵的特征值与特征向量,相似变换,二次型
特征值,特征向量,相似矩阵(最全)word资料
定义5.1设为阶矩阵，是一个数，如果方程（5.1）存在非零解向量，则称为的一个特征值，相应非零解向量称为与特征值对应的特征向量.将（5.1）式改写为（5.2）即元齐次线性方程组（5.3）此方程组存在非零解的充分必要条件为系数行列式等于零，即定义5.2设为阶矩阵，含有未知量的矩阵称为的特征矩阵，其行列式为的次多项式，称为的特征多项式，称为的特征方程.是矩阵的一个特征值，则一定是的根，因此又称特征根.若是的重根，则称为的重特征值（根）.方程的第一个非零解向量，都是相应于的特征向量.例1求矩阵的特征值与特征向量.解：矩阵的特征方程为化简得所以是矩阵的两个不同的特征值.以代入与特征方程对应的齐次线性方程组（5.3），得它的基础解系是，所以是矩阵对应于的全部特征向量.同样，以代入与特征方程对应的齐次线性方程组，得它的基础解系是，所以是矩阵对应于特征值的全部特征向量.例2求矩阵的特征值和特征向量.解：矩阵的特征方程为化简得，所以是矩阵的特征值，“1”是矩阵的二重特征值.以代入与特征方程对应的齐次线性方程组，得它的基础解系是,所以是矩阵对应于的全部特征向量.以代入与特征方程对应的齐次线性方程组，得它的基础解系是，所以是矩阵对应于二重特征值的全部特征向量.(二)特征值与特征向量的基本性质定理5.1阶矩阵与它的转置矩阵有相同的特征值.证：由有得与有相同的特征多项式，所以它们的特征值相同.定理5.2设是阶矩阵，如果（1）或(2)有一个成立，则矩阵的所有特征值的模小于1，即定理5.3阶矩阵互不相同的特征值，对应的特征向量线性无关.(三)相似矩阵定义5.3设、为阶矩阵，如果有阶非奇异矩阵中存在，使得成立，则称矩阵与相似，记为.例如，则所以，,即.地基承载力特征值计算公式探讨贾文华1【摘要】 在现有的理论计算公式基础上，结合我国现行的建筑勘察设计体制，推导出适用于岩土工程师的承载力计算公式，在基础宽度和埋置深度未定情况下，直接计算天然地基承载力特征值。
矩阵的特征值与特征向量 正文
引言众所周知，矩阵理论在历史上至少可以追溯到Sylvester与Cayley，特别是Cayley1858年的工作。
自从Cayley建立矩阵的运算以来，矩阵理论便迅速发展起来，矩阵理论已是高等代数的重要组成部分。
近代数学的一些学科，如代数结构理论与泛函分析可以在矩阵理论中寻找它们的根源。
另一方面，作为一种基本工具，矩阵理论在应用数学与工程技术学科，如微分方程、概率统计、最优化、运筹学、计算数学、控制论与系统理论等方面有着广泛的应用。
同时，这些学科的发展反过来又极大地促进了矩阵理论的发展。
特征值与特征向量是矩阵理论中既具有基本理论意义，又具有重要应用价值的知识，与矩阵理论的其它知识也有着密切的联系。
可以说，特征值与特征向量问题是矩阵理论的基本核心问题。
因此，掌握这方面的知识对于培养新的高素质科技人才来说是必备的非常重要的。
矩阵是高等代数课程的一个基本概念是研究高等代数的基本工具。
线性空间、线性变换等，都是以矩阵作为手段，由此演绎出丰富多彩的理论画卷。
求解矩阵的特征值和特征向量，是高等数学中经常碰到的问题。
一般的线性代数教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征值，再通过解线性方程组得到对应的特征向量。
特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在于生活现实中的应用也很广泛。
“特征”一词来自德语的eigen，由希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用（亥尔姆霍尔兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念）。
eigen一词可翻译为“自身的”，“特定于...的”，“有特征的”或者“个体的”，这强调了特征值对于定义特定的变换上是很重要的。
矩阵特征值是高等代数研究的中心问题之一，也是硕士研究生招生考试的热点.而且在自然科学（如物理学、控制论、弹性力学、图论等）和工程应用（如结构设计、振动系统、矩阵对策）的研究中也同样离不开矩阵特征值问题,因而对其研究具有重要的理论和应用价值。
随着计算机的迅速发展，现代社会的进步和科技的突飞猛进，高等代数作为一门基础的工具学科已经向一切领域渗透，它的作用越来越为世人所重视。
特征值、特征向量与二次型
4、特征多项式性质 1）、若x是A的对应于λ的特征向量，则对于任意k ≠ 0, kx也是A的对应于λ的特征向量. 2）、设λ1, λ2是方阵A的两个不同特征值， p1, p2分别 是与之对应的特征向量，则p1+ p2不是A的特征向量 3）、方阵A的对应于λ的特征向量不是唯一的, 而是有 的对应于λ 无限多个. 4）、对于方阵A的对应于λ的所有特征向量, 其非零的 的对应于λ 非零的
3）、以这n个两两正交的单位特征向量为列向量构 成正交矩阵P,这时P-1AP = PTAP = Λ,其中对角方阵Λ 的元素排列顺序依次与P的列向量的排列顺序相对应 三、二次型及其标准形 1、实二次型及矩阵 含n个变量的二次齐次函数
f (x1, x2 ,L, xn )
= a x + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 +L+ 2a1n x1xn 2 + a22 x2 + 2a23x2 x3 +L+ 2a2n x2 xn +L 2 + ann xn
Step1 计算A的特征多项式|A - λE|. Step2 令|A - λE| = 0得出A的所有不同的特征值. Step3 对于每个不同的特征值λ,求出齐次线性方程组 (A - λE)x = 0的所有非零解即得A的对应于λ的全部特 征向量. 更具体地说, 先求出(A - λE)x = 0的一个基础解系ξ1, ξ2,…, ξn-r,其所有非零的线性组合k1ξ1+ k2ξ2+…+ kn-rξn(只要k1, k2, …, kn-r不全为0)就是A的对应于λ的全部 k 0) A r( 特征向量, 其中R(A) = r.
线性组合 k x + k x +L+ k x 1 1 2 2 m m 也是A的对应于λ的特征向量. 的对应于λ
线性代数PPT课件：相似矩阵与二次型 第2节 矩阵的特征值与特征向量
| A - E | = 0 ，
a11
即
a12 an 2
a1n a
ann
上式是以 为未知数的一元 n 次方程，称为
方阵 A 的特征方程. 其左端 | A - E | 是 的 n 次多项式，记作 f(), 称为方阵 A 的特征多项式.
定理 设 1 , 2 , … , n 是 n 阶矩阵 A = (aij)
的 n 个特征值( k 重特征值算作 k 个特征值) , 则 (1) 1 + 2 + … + n = a11 + a22 + … + ann ;
(2) 12 …n = | A |.
由该定理容易得到下面的推论．
推论 方阵可逆当且仅当它的特征值全不为0．
定理4.2.2 设 1 , 2 是对称矩阵 A 的两个
特征值, p1 , p2 是对应的特征向量,
则 p1 , p2 正交.
若 1 2 ,
利用定理4.1.1和定理4.2.2，容易得到下面的 结论．
定理4.2.3 对称矩阵 A 的不同特征值的特征
向量是线性无关的．
变化，但通常会有某些特殊向量，A对这些向量的
作用是很简单的．
引例 请在 矩阵对向量的作用
中任意输入
矩阵，观察它对单位向量组的作用，对于您输入 的矩阵，是否存在一个单位向量，使矩阵对该向 量的作用只是“拉伸”了该向量．备选数据 1 1 3 2 0.707 0.8944 ： A ; A , u , v .
第4.2节 矩阵的特征值与特征向量
定 义
计算方法
性 质
工程技术中的振动问题和稳定性问题，往往 可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题，
线性代数特征值、特征向量与二次型
Step1 计算A的特征多项式|A - λE|. Step2 令|A - λE| = 0得出A的所有不同的特征值. Step3 对于每个不同的特征值λ,求出齐次线性方程组 (A - λE)x = 0的所有非零解即得A的对应于λ的全部特 征向量. 更具体地说, 先求出(A - λE)x = 0的一个基础解系ξ1, ξ2,…, ξn-r,其所有非零的线性组合k1ξ1+ k2ξ2+…+ kn-rξn(只要k1, k2, …, kn-r不全为0)就是A的对应于λ的全部 k 0) A r( 特征向量, 其中R(A) = r.
i = m
ai Ai 的特征值为 f(λ); ∑
n
4,特征多项式性质 1),若x是A的对应于λ的特征向量,则对于任意k ≠ 0, kx也是A的对应于λ的特征向量. 2),设λ1, λ2是方阵A的两个不同特征值, p1, p2分别 是与之对应的特征向量,则p1+ p2不是A的特征向量 3),方阵A的对应于λ的特征向量不是唯一的, 而是有 的对应于λ 无限多个. 4),对于方阵A的对应于λ的所有特征向量, 其非零的 的对应于λ 非零的
5), f ( A) = 6),A与AT
有相同的特征值; 7),AB与BA有相同的特征值; 8),0是A的特征值====|A|=0; 9),零矩阵有n重特征值0; 10),单位矩阵有n重特征值1; 11),数量矩阵kE有n重特征值k; 12),幂等矩阵(A^2=A )只有特征值0或1; 13),对和矩阵(A^2=E )只有特征值-1或1; 14),k- 幂矩阵(A^k=E )只有特征值1的k次方; 3,设n阶方阵A = (aij)的n个特征值为λ1, λ2, …, λn(重 根按重数计算), 则 (1) λ1+λ2+ …+λn= a11+a22+ …+ann . (2) λ1λ2 …λn= |定义 设A是n阶方阵, 若存在数λ 和非零向量x, 使得Ax = λx, 则称λ为方阵A的特征值 特征值(eigenvalue), x是对应于λ 特征值 对应于 的特征向量( 的特征向量 λ). A - λE 称为A的特征矩阵; |A - λE|称为方阵A的特征多项式;|A - λE| = 0为A的 特征多项式; 特征方程.注意: 特征向量是非零向量 特征方程. 2,特征值的性质和运算, 如λ是A 的特征值, 则 1),kA 的 特征值为k λ; 2), Am的特征值为 λm; 3), A-1的特征值为 λ-1; 4), A*的特征值为 |A|/λ;
14实验十四 矩阵的特征值与特征向量,相似变换,二次型
14.2.2 矩阵的相似变换
若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量, 则A与对角阵相似。实对称阵一 定与对角阵相似, 且存在正交阵 P , 使 P 1 A P 为对角阵。
4 【例4】设方阵A 2 2 1 2 2 1 2 , 2
求一个可逆阵 P , 使 P 1 A P 为对角阵。
0 1 1 因此, 特征值是0,2,6。特征向量是 1 , 1 与 1 。 1 1 1 1 1 0 矩阵 P 1 1 1 就是要求的相似变换矩阵。为了验证 P 1 A P 1 1 1
14.2 实验内容
14.2.1 求方阵的特征值与特征向量
1 【例1】求方阵 A 2 3
2 1 3
输入： clear; A=[1,2,3;2,1,3;3,3,6]; v=eig(A) [P,X]=eig(A) 输出为： v= -1.0000 -0.0000 9.0000 P= 0.7071 0.5774 0.4082 -0.7071 0.5774 0.4082 0 -0.5774 0.8165
1
再求 A n 的表达式及 lim A 。由于三个特征向量线性无关, 从而A可相似 n 1 对角化, 即 P A P X 。那么 A P X P 1, A n ( P X P 1 ) n ) P
n n n n
MATLAB
高等数学实验
实验十四 矩阵的特征值与特征向量, 相似 变换, 二次型
实验目的 学习利用MATLAB命令求方阵的特征值和 特征向量; 利用特征值求二次型的标准形。
矩阵的相似变换
2
2
2 2 2
0 0 0
如下形式 x1 x2 x3 0
T 1 , 1 , 0 x 1 , x 0 取 2 得 3
取 x2 0, x3 1得 1, 0, 1 2 ,3均为A的二重特征值2,3 1 的特征向量，全 部特征向量为 k 2 2 k33 其中 k 2 , k3 不全为 零
注2 方程组(A I)x 0 的解空间N(A I) 称为A的属于 的特征子空间，而把 dim N(A I) n r (A I) 称 为 的几何重数，记作
注3
足 1 m 1.3 设A为n阶方阵，A的n个特征值 1, 2 , n
n n i 1
n
i
i 1
ii
i 1
i
A
注1 若 , 是A的分别属于特征值 , 的特征 向量， ，则 不是A 的特征向量
1 2
1
2
1
2
1
2
若 ，u 分别是A，B的特征值，则 也未必是 未必是A+B的特征值 ， AB的特征值 T A 注3 A 与 有相同的特征值，但特征向量 未必相同 注4 正交阵A的特征值只能是1或-1
i
不仅仅线形无关,而且相互正交,再将每一个
i
单位化,则可得到标准正交特征向量组 1 , 2 ,, n 令Q= , , ,则Q为正交矩阵,且满足 Q AQ
T
1
2
n
(2)
A B
A I B I
(3) tr (A) tr (B)
(4) A I B I 从而A与B有相同的特征值
矩阵的相似变换和特征值
§5.2 相似矩阵
定理5.5. 设n阶方阵A与B相似, 则有相同的特 征多项式和特征值.
事实上, 设P –1AP = B, 则
|I–A| = |P –1|·|I–A|·|P|= |I–B|.
注: 特征多项式相同的矩阵未必相似.
例如 A =
1 0
1 1
, B=
1 0
0 1
,
它们的特征多项式都是(1)2.
注: A的零化多项式的根未必都是A的特征值.
例如f(x) = x21,
A1 =
1 0
0 1
,
A2 =
1 0 0 1
,
A3 =
0 1
1 0
.
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.2 相似矩阵
§5.2 相似矩阵
一. 相似矩阵的定义和性质
设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使得
P 1AP =B, 则称矩阵A与B相似. 记为A~B.
P称为相似变换矩阵或过渡矩阵.
易见, 矩阵间的相似关系满足
(1) 反身性: A~A;
(2) 对称性: A~B B~A; (3) 传递性: A~B, B~C A~C. 即矩阵间的相似关系是一种等价关系.
且A与B相似 A与B相抵. 但反之未必.
第五章 矩阵的相似变换和特征值
§5.2 相似矩阵
命题: 设A~B, f是一个多项式, 则f(A)~ f(B).
证明: 设P 1AP =B, f(x) = anxn+…+a1x+a0, 则 P 1f(A)P
= P 1(anAn+…+a1A+a0I)P
= anP 1AnP+…+A1p 1AP+a0 P 1IP = an(P 1AP)n+…+a1P 1AP+a0I = anBn+…+a1B+a0I
数学实验 Mathematic实验十四 矩阵的特征值与特征向量
天水师范学院数学与统计学院实验报告实验项目名称 所属课程名称 实验类型 实验日期矩阵的特征值与特征向量 数学实验 线性代数 2011.12.14班级 学号 姓名 成绩一、实验概述： 【实验目的】学习掌握利用 Mathematica(4.0 以上版本)命令求方阵的特征值 和特征向量；利用特征值求二次型的标准形.【实验原理】(1)命令 Eigenvalues[M]给出方阵 M 的特征值. (2)命令 Eigenvectors[M]给出方阵 M 的特征向量.但有时输出中 含有零向量其中的非零向量才是真正的特征向量. (3)命令 Eigensystem[M]给出方阵 M 的特征值和特征向量.同样有 时输出的向量中含有零向量. (4)调用“线性代数.向量组正交化”软件包命令是<<LinearAlgebra\Orthogonalization.m 现在对向量组施行正交单位化的命令 GramSchmidt 就可以使用 了.命令 GramSchmidt[A]给出与矩阵 A 的行向量组等价的且已正交化 的单位向量组.【实验环境】Mathematic 4二、实验内容： 【实验方案】1.求方阵的特征值与特征向量; 2.矩阵的相似变换;【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析）1.求方阵的特征值与特征向量1用 命 令 Eigenvalues[M] 立 即 求 得 方 阵 M 的 特 征 值 命 令Eigenvectors[M]立即求得方阵 M 的特征向量命令 Eigensystem[M]立即求得方阵的特征值和特征向量.例 14.11 2求方阵M 2 31 333 6 的特征值和特征向量.Clear[M];M={{1,2,3},{2,1,3},{3,3,6}};Eigenvalues[M]Eigenvectors[M]Eigensystem[M]例 14.21 31 31 2 M1 511 3 求方阵 612 的特征值和特征向量.(*Example14.2*)G={{1/3，1/3，-1/2}{1/5，1，-1/3}{6，1，-2}}；Eigensystem[G]例 14.33 0 0A 1t3 已 知 2 是 方 阵 1 2 3 的 特 征 值 ， 求t.(*Example14.3*)Clear[Aq]；A={{2-3，0，0}{-1，2-t，-3}{-1，-2，2-3}}；2q=Det[A]；，t] 2 1 2 例 14.4已知x(1,1,1)是方阵A= 5 1a b32 的一个特征向量，求参数 a，b 及特征向量ｘ所属的特征值.(*Example14.4*)设特征值为t，输入Clear[A，B，v，a，b，t]；A={{t-2，1，-2}，{-5，t-a，-3}，{1，-b，t+2}}；v={1，1，-1}；B=A.v；，，，{a，b，t}]2.矩阵的相似变换若 n 阶方阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，则 A 与对角阵相似.实对称阵总与对角阵相似，且存在正交阵 P，使 P1AP 为对角阵.命令EigenVectors[A]与 Eigensystem[A]给出还未经过正交化和单位化的特征向量.因此要对特征向量进行正交化和单位化，所用的命令是GramSchmidt[ ].不过首先要输入调用软件包<<LinearAlgebra＼Orthogonalization.m 的命令.例 14.54 1 22设方阵 A= 2 212 2 ，求一可逆阵 P，使 P-1AP 为对角阵.Clear[A，p]；A={{4，1，1}，{2，2，2}，{2，2，2}}；3Eigenvalues[A]；p=Eigenvectors[A]//Transpose为了验证 P-1AP 为对角阵，输入Inverse[p].A.p解法二 直接用 JardanDecomposition[A]jor=JordanDecomposition[A]jor[[1]]jor[[2]]例 14.6方阵A 1 201 是否与对角阵相似?Clear[A]；A={{1，0}，{2，1}}；Eigensystem[A] 2 0 0 1 0 0 例 14.7A 2已知方阵 3x 12 1 与B 0 02 00 y 相似，求ｘ，ｙ.Clear[x，v]；v={{4，0，0}，{-2，2-x，-2}，{-3，-1，1}}；，x]40 1 1 0A 1010 1 1 0 0例 14.8 对实对称矩阵 0002 ，求一个正交阵P，使P-1AP 为对角阵.<<LinearAlgebra\Orthogonalization.mClear[a，p]；A={{0，1，1，0}，{1，0，1，0}，{1，1，0，0}，{0，0，0，2}}；Eigenvalues[A]Eigenvectors[A]p=GramSchmidt[Eigenvectors[A]]//Transpose例 14.9 求一个正交变换，化二次型 f 2x1x2 2x1x3 2x2 x3 2x42 为标准型 二次型的矩阵为0 1 1 0A 1010 1 1 0 0 0002 f=Table[x[j]，{j，4}].A.Table[x[j]，{j，4}]//Simplify【实验结论】（结果）根据程序的编辑,实验很成功。
二次型与矩阵特征值的关系研究
二次型与矩阵特征值的关系研究引言：在线性代数中，二次型和矩阵特征值都是重要的概念。
二次型是一种与二次多项式相关的函数，而矩阵特征值是矩阵在线性代数中的一个重要性质。
本文将探讨二次型与矩阵特征值之间的关系。
一、二次型的定义与性质二次型是一种形如$Q(x)=x^TAx$的函数，其中$x$是一个$n$维列向量，$A$是一个$n\times n$的实对称矩阵。
二次型具有以下性质：1. 对于任意非零向量$x$，$Q(x)>0$，则称$Q(x)$为正定二次型；若$Q(x)<0$，则称$Q(x)$为负定二次型；若$Q(x)$既大于零又小于零，则称$Q(x)$为不定二次型。
2. 对于任意非零向量$x$，若存在非零向量$y$使得$Q(x+y)>Q(x)$，则称$Q(x)$为正定二次型；若存在非零向量$y$使得$Q(x+y)<Q(x)$，则称$Q(x)$为负定二次型；若存在非零向量$y$使得$Q(x+y)$既大于$Q(x)$又小于$Q(x)$，则称$Q(x)$为不定二次型。
3. 二次型可以通过矩阵的特征值来判断其正定性。
若矩阵$A$的所有特征值均大于零，则对应的二次型$Q(x)=x^TAx$为正定二次型；若矩阵$A$的所有特征值均小于零，则对应的二次型$Q(x)=x^TAx$为负定二次型；若矩阵$A$的特征值既有正值又有负值，则对应的二次型$Q(x)=x^TAx$为不定二次型。
二、矩阵特征值的定义与性质矩阵特征值是一个矩阵在线性代数中的一个重要性质，它可以通过特征方程来求解。
给定一个$n\times n$的矩阵$A$，如果存在一个非零向量$x$，使得$Ax=\lambda x$，其中$\lambda$是一个标量，则称$\lambda$为矩阵$A$的特征值，$x$为对应的特征向量。
矩阵特征值具有以下性质：1. 矩阵的特征值与其特征向量是一一对应的。
2. 矩阵的特征值的和等于其对角线上元素的和，即$\sum_{i=1}^{n}\lambda_i=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$。
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1
1 P lim 0 n 0
0 1 0
0 0 1 2
n
1 1 P P 0 0
0 1 0
0 1 0 P 0
输入： P*diag([1,1,0])*inv(P) 输出为： ans = 1 1/2 0 0 0 0 0 1/2 1 n 这就是 lim A 。 n
14.2.2 矩阵的相似变换
若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量, 则A与对角阵相似。实对称阵一 定与对角阵相似, 且存在正交阵 P , 使 P 1 A P 为对角阵。
4 【例4】设方阵A 2 2 1 2 2 1 2 , 2
求一个可逆阵 P , 使 P 1 A P 为对角阵。
MATLAB
高等数学实验
实验十四 矩阵的特征值与特征向量, 相似 变换, 二次型
实验目的 学习利用MATLAB命令求方阵的特征值和 特征向量; 利用特征值求二次型的标准形。
14.1 学习MATLAB命令
命令： [P,X]=eig(A) 输出的X为以特征值为对角线元素的对角阵; P为以相应的特征 向量为列向量的矩阵, 并且有A×P=P×X。在数值运算中, 该 命令求得的每个特征向量都是单位向量, 并且属于同一特征值 的线性无关特征向量已经正交化。 命令： [P,X]=eigs(A) 输出X为以前6个最大特征值为对角线元素的对角阵; P为以相 应的特征向量为列向量的矩阵。 命令： jordan(A) 输出方阵A的Jordan标准形, 输入方阵的元素必须是整数或分 数。 一般情况下, 命令： [P,J]=jordan(A) 输出相似变换矩阵P及Jordan标准形J, 即: P 1 A P J 。
2 【例7】已知方阵 A 2 3
0 x 1
0 1 2 与B 0 0 1
0 2 0
0 0 相似, y
求x,y。
注意矩阵B是对角阵, 特征值是-1,2,y。矩阵A是分块下三角阵, -2是矩阵A的特征值。矩阵A与B相似, 则y=-2, 且-1,2也是矩 阵A的特征值。 输入： clear; syms x; v=[2-(-2),0,0;-2,2-x,-2;-3,-1,2-1]; det(v) 输出为： ans = -4*x 显然x=0时特征方阵的行列式为0。即x=0, y=-2。
解1 用命令[P,X]=eig(A),输入： clear; A=[4,1,1;2,2,2;2,2,2]; A=sym(A); [P,X]=eig(A) %输出的特征向量没有单位化
输出为： P= [ 0, -1, 1] [ -1, 1, 1] [ 1, 1, 1] X= [ 0, 0, 0] [ 0, 2, 0] [ 0, 0, 6]
再输入： P(:,1)=P(:,1)/sqrt(sum(P(:,1).^2)) P(:,2)=P(:,2)/sqrt(sum(P(:,2).^2)) P(:,3)=P(:,3)/sqrt(sum(P(:,3).^2)) P(:,4)=P(:,4)/sqrt(sum(P(:,4).^2)) 输出为单位化的特征向量矩阵P： P= [-2^(1/2)/2, -(2^(1/2)*3^(1/2))/6, 3^(1/2)/3, 0] [ 2^(1/2)/2, -(2^(1/2)*3^(1/2))/6, 3^(1/2)/3, 0] [ 0, (2^(1/2)*3^(1/2))/3, 3^(1/2)/3, 0] [ 0, 0, 0, 1] 为了验证P是正交阵, 以及 P 1 A P P T A P 是对角阵, 输入： P'*P x1=inv(P)*A*P simplify(x1) 输出略。同样说明 P T P E ,及
2
这正好是例8的矩阵, 因此用例8中的正交矩阵P, 作正交变换 X=PY, 即：
x1 0 x2 0 x3 0 x4 1 0 .5 7 7 4 0 .5 7 7 4 0 .5 7 7 4 0 0 .7 1 5 2 0 .0 1 6 6 0 .6 9 8 7 0 0 .3 9 3 8 0 .8 1 6 3 0 .4 2 2 5 0 y1 y2 y3 y4
14.2 实验内容
14.2.1 求方阵的特征值与特征向量
1 【例1】求方阵 A 2 3
2 1 3
输入： clear; A=[1,2,3;2,1,3;3,3,6]; v=eig(A) [P,X]=eig(A) 输出为： v= -1.0000 -0.0000 9.0000 P= 0.7071 0.5774 0.4082 -0.7071 0.5774 0.4082 0 -0.5774 0.8165
1
再求 A n 的表达式及 lim A 。由于三个特征向量线性无关, 从而A可相似 n 1 对角化, 即 P A P X 。那么 A P X P 1, A n ( P X P 1 ) n P X n P 1,
n
lim A P ( lim X ) P
n n n n
1 1 T P AP P AP 1 2 2
成立。
【例9】求一个正交变换,化二次型 标准型。 二次型的矩阵为： 0 1 1 0
1 A 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 2
f 2 x1 x 2 2 x1 x 3 2 x 2 x 3 2 x 4 为
2 【例3】已知 x (1,1, 1) 是方阵 A 5 1 a,b及特征向量x所属的特征值。
1 a b
2 3 的一个特征向量, 2
求参数
设特征值为t, 输入： clear; A=sym('[t-2,1,-2;-5,t-a,-3;1,-b,t+2]'); v=[1,1,-1]'; B=A*v; [a,b,t]=solve(B(1), B(2), B(3)) 输出为： a= -3 b= 0 t= -1 即a=-3,b=0时, 向量x=(1,1,-1)是方阵A的属于特征值-1的特征向量。
1 【例6】方阵 A 2
0 是否与对角阵相似? 1
只需检查矩阵A的线性无关的特征向量的数目即可。 输入： clear; A=[1,0;2,1]; [P,X]=eigs(A) 输出为： P= 0.0000 0 -1.0000 1.0000 X= 1 0 0 1 可见, 1是二重特征值, 但是两个特征向量线性相关, 因此矩阵A 不与对角阵相似, 虽然A×P=P×A仍然成立。
3 3 的特征值与特征向量。 6
X= -1.0000 0 0 0 -0.0000 0 0 0 9.0000 其中v为特征值向量, P为特征向量矩阵, X为特征值矩阵。 输入： A=sym(A); %作符号运算 v=eig(A) [P,X]=eig(A) %输出的特征向量没有单位化 输出为： v= -1 0 9 P= [ -1, -1, 1/2] [ -1, 1, 1/2] [ 1, 0, 1] X= [ 0, 0, 0] [ 0, -1, 0] [ 0, 0, 9]
为对角
阵, 输入： inv(P)*A*P
输出为： ans = [ 0, 0, 0] [ 0, 2, 0] [ 0, 0, 6] 因此方阵A在相似变换矩阵P的作用下, 可化作对角阵。
解2 直接用jordan命令。 输入： [P,X]=jordan(A) 输出为： P= [ 0, -1, 1] [ -1, 1, 1] [ 1, 1, 1] X= [ 0, 0, 0] [ 0, 2, 0] [ 0, 0, 6]
0 1 【例8】对于实对称矩阵 A 1 0 对角阵。
1 0 1 0
1 1 0 0
0 0 , 0 2
求一个正交阵 P , 使 P 1 A P 为
输入： clear; A=[0,1,1,0;1,0,1,0;1,1,0,0;0,0,0,2]; [P,X]=eigs(A) 输出为： P= 0 0.5774 -0.7152 0.3938 0 0.5774 0.0166 -0.8163 0 0.5774 0.6987 0.4225 1.0000 0 0 0 X= 2.0000 0 0 0 0 2.0000 0 0 0 0 -1.0000 0 0 0 0 -1.0000
0 0.0000 0 1.0000 0 -0.0000 -0.0000 -1.0000
第一个结果说明 P T P
, 因此P是正交阵。第二个结果说明
1
2 1 P AP
2 1
以上解法是求数值解。如果要求精确解，则输入： A=[0,1,1,0;1,0,1,0;1,1,0,0;0,0,0,2]; [P,D]=eig(sym(A,'r')) 输出为： P= [-1, -1, 1, 0] [ 1, 0, 1, 0] [ 0, 1, 1, 0] [ 0, 0, 0, 1] D= [-1, 0, 0, 0] [ 0, -1, 0, 0] [ 0, 0, 2, 0] [ 0, 0, 0, 2] 其中P的列向量还没有正交化。 再输入： P(:,2)=P(:,2)-(P(:,1)'*P(:,2)/(P(:,1)'*P(:,1)))*P(:,1) 输出为已经正交化的矩阵： P= [-1, -1/2, 1, 0] [ 1, -1/2, 1, 0] [ 0, 1, 1, 0] [ 0, 0, 0, 1]