2.3.1__空间直角坐标系的建立__2.3.2__空间直角坐标系中点的坐标
2022-2021年《金版学案》数学·必修2(苏教版)练习：第2章2.3-2.3.1空间直角坐标系
第2章平面解析几何初步2.3 空间直角坐标系2.3.1 空间直角坐标系A级基础巩固1．点P(－2，0，3)位于()A．y轴上B．z轴上C．xOz平面内D．yOz平面内解析：由于点P在y轴上的坐标为0，所以点P位于xOz平面内．答案：C2．在空间直角坐标系中，P(2，3，4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是() A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对解析：三坐标均相反时，两点关于原点对称．答案：C3．在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)关于x轴对称的点的坐标为() A．(－1，2，3) B．(1，－2，－3)C．(－1，－2，3) D．(－1，2，－3)解析：关于x轴对称，x不变，y，z相反，故P(1，2，3)关于x轴对称点的坐标为P′(1，－2，－3)．答案：B4．点P(2，3，4)关于yOz平面对称的点的坐标为()A．(－2，3，4) B．(－2，－3，4)C．(2，－3，－4) D．(－2，3，－4)解析：关于yOz平面对称的点，在y轴上，z轴上的坐标不变，在x轴上的坐标变为原来的相反数．答案：A5．已知ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，则点D的坐标为________．解析：连接AC，BD交于点P，则P为AC与BD的中点，由点A，C坐标求得中点P⎝⎛⎭⎪⎫72，4，－1，再由B(2，－5，1)求得点D的坐标为(5，13，－3)．答案：(5，13，－3)6．若x轴上一点A到z轴上一点B的距离为4，并且AB的中点到平面xOy 的距离为1，则点A的坐标为________．解析：设A(a，0，0)，B(0，0，c)，则AB中点P⎝⎛⎭⎪⎫a2，0，c2，所以|c|2＝1.所以|c|＝2.又a2＋c2＝16，所以a2＝12，a＝±2 3.答案：(±23，0，0)7．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标肯定是(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标肯定可写成(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0，0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a，0，c)．其中正确叙述的序号是________．解析：依据空间直角坐标系中坐标轴及坐标面上点的特点知②③④正确．答案：②③④8.如右图所示，空间直角坐标系中OABC-D′A′B′C′是棱长为2的正方体．其中，E，F，G，H分别为边AB，BB′，C′D′，AA′的中点，则坐标为(0，1，2)的点是________．解析：点的横坐标为0，所以点在平面yOz上，竖坐标为2.所以点在正方体的上底面上．又纵坐标为1，故点为D′C′的中点G.答案：G点9．在空间直角坐标系中，点P(2，－4，6)关于y轴对称的点P′的坐标为________．解析：点P(2，－4，6)关于y轴对称的点P′的坐标为(－2，－4，－6)．答案：(－2，－4，－6)10．点M(2，－3，1)关于点P(1，1，1)的对称点是________．解析：点M(a，b，c)关于点P(1，1，1)的对称点是(2－a，2－b，2－c)．答案：(0，5，1)B级力量提升11．如图所示，三棱锥O-ABC为一个正方体截下的一角，OA＝a，OB＝b，OC＝c，建立如图所示的坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________．解析：由于A(a，0，0)，B(0，0，b)，C(0，c，0)，所以G⎝⎛⎭⎪⎫a3，c3，b3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫a3，c3，b312．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，给出下面命题：①点P关于x轴的对称点的坐标是(x，－y，－z)；②点P关于平面yOz的对称点的坐标是(x，－y，－z)；③点P关于y轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；④点P关于原点的对称点的坐标是(－x，－y，－z)．其中正确命题的序号是________．解析：点P关于x轴、平面yOz、y轴、原点的对称点的坐标分别是(x，－y，－z)，(－x，y，z)，(－x，y，－z)，(－x，－y，－z)，故只有命题①④正确．答案：①④13．在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，全部的棱长都是1，建立适当的空间直角坐标系，并写出各点的坐标．解：如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，连接BO，OO1，可得BO⊥AC，BO⊥OO1.以OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由于各棱长均为1，所以OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32.由于A ，B ，C 均在坐标轴上，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0. 由于点A 1，C 1均在yOz 平面内，所以A 1⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1.由于点B 1在xOy 平面内的射影为点B ，且BB 1＝1，所以B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1.14．如图所示，已知一长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点O ，顶点A 的坐标为(－2，－3，－1)，求其他7个顶点的坐标．解：由于A (－2，－3，－1)，依据长方体各顶点的对称关系， 不难求得B (－2，3，－1)，C (2，3，－1)，D (2，－3，－1)．点A 1，B 1，C 1，D 1与点A ，B ，C ，D 分别关于平面xOy 对称，可得到A 1(－2，－3，1)，B 1(－2，3，1)，C 1(2，3，1)，D 1(2，－3，1)．。
高中数学必修课件第二章空间直角坐标系
台体是由两个平行且小于大底面的截面所截得的几何体，在空间直角坐标系中可以通过上 下底面的方程和高度来描述。
几何体顶点、棱长等参数求解
要点一
顶点坐标
对于给定的几何体方程，可以通过解 方程求得顶点的坐标。例如，对于圆 锥方程$z = sqrt{x^2 + y^2} tan(theta)$，当$x=y=0$时， $z=0$，即顶点在原点。
质。
06
空间直角坐标系在实际问 题中应用
地球经纬度系统简介及转换方法
要点一
地球经纬度系统概述
要点二
经纬度与空间直角坐标系的转换
地球经纬度系统是一种以经度和纬度来表示地球上任意位 置的方法，广泛应用于地理、导航、气象等领域。
在实际应用中，经常需要将经纬度坐标转换为空间直角坐 标系中的坐标，或者将空间直角坐标系中的坐标转换为经 纬度坐标。这种转换可以通过一定的数学公式和算法来实 现。
点与坐标对应关系
空间中的每一个点都唯一对应一个三元组坐标，反之每一个三元组坐标也唯一对 应空间中的一个点。
空间向量及其运算规则
01
空间向量定义
既有大小又有方向的量称为空间向量，其大小称为向量的模，方向由起
点指向终点。
02
向量表示
在空间直角坐标系中，向量可以用一个有序三元组来表示，即向量的坐
标表示。
03
向量运算
空间向量的运算包括加法、减法、数乘和点积等，其中加法和减法遵循
平行四边形法则和三角形法则，数乘是将向量与标量相乘得到新的向量
，点积则是两个向量的数量积运算。
02
空间直角坐标系中点与线 关系
点到直线距离公式推导及应用
公式推导
通过向量投影的概念，推 导出点到直线的距离公式 。
(北师大版)高中数学必修2课件：2.3.1-2空间直角坐标系的建立 空间直角坐标系中点的坐标
数 学 必修2
第二章
解析几何初步
自主学习· 新知突破 合作探究· 课堂互动 高效测评· 知能提升
2．(1)在空间直角坐标系中，点 M(－2,1,0)关于原点的对称点 M′的坐标是 ( ) A．(2，－1,0) C．(2,1,0) B．(－2，－1,0) D．(0，－2,1)
(2)已知点 A(2,3－μ，－1＋υ)关于 x 轴的对称点为 A ′(λ，7，－6)，则 λ，μ， υ 的值为( )
c)， 平面的对称点 M2 的坐标为(a， －b， 关于 yOz 平面的对称点 M3 的坐标为(－a， b，c)． 关于 x 轴的对称点 M4 的坐标为(a，－b，－c)， 关于 y 轴的对称点 M5 的坐标为(－a，b，－c)， 关于 z 轴的对称点 M6 的坐标为(－a，－b，c)， 关于原点对称的点 M7 的坐标为(－a，－b，－c)．
2 2 1 1 1 2 2 2 2 DD DF DA DG DC P ， ， | | | | | | | | | | ′ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，所以 点的坐标为 3 3 3 3 3 3 3 3 3，故
选 D.
答案：
(1)D
(2)D
数 学 必修2
第二章
解析几何初步
自主学习· 新知突破 合作探究· 课堂互动 高效测评· 知能提升
数 学 必修2
第二章
解析几何初步
自主学习· 新知突破 合作探究· 课堂互动 高效测评· 知能提升
理解空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标描出点的位置，会由点的位置 写出点的坐标．
数 学 必修2
第二章
解析几何初步
自主学习· 新知突破 合作探究· 课堂互动 高效测评· 知能提升
空间直角坐标系的建立 (1)空间直角坐标系建立的流程图 平面直角坐标系 ↓
2.3.1 空间直角坐标系的建立 2.3.2 空间直角坐标系中点的坐标
z
1350 o 1350 x y
有了空间直角坐标系，那空间中的任意一点Ａ 有了空间直角坐标系，那空间中的任意一点Ａ怎样来表示它 的坐标呢？ 的坐标呢？ 经过A 经过A点作三个 平面分别垂直于x 平面分别垂直于x轴、
z
y轴和z轴，它们与x 轴和z 它们与x 轴、y轴和z轴分别交 轴和z 于三点，三点在相应 于三点， 的坐标轴上的坐标
不实心不成事，不虚心不知事，不自是者博 闻，不自满者受益。
z
4 3
墙 墙 地面
4
1
(4,5,3)
5
O 1
y某一个定点０ 从空间某一个定点０引三条互相 垂直且有相同单位长度的数轴， 垂直且有相同单位长度的数轴，这样 就建立了空间直角坐标系０ xyz． 就建立了空间直角坐标系０－xyz．
o y x
点Ｏ叫作坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴，这三条 叫作坐标原点， 轴统称为坐标轴， 坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、 坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、 xoy平面 yoz平面、 zox平面 平面． yoz平面、和 zox平面． 平面
右手系：伸出右手， 右手系：伸出右手，让四指与大拇指垂 直，并使四指先指向x轴正方向，然后让 并使四指先指向x轴正方向， 指向y 四指沿握拳方向旋转 90o 指向y轴正方 向，此时大拇指的指向即为z轴正向.我 此时大拇指的指向即为z轴正向. 们也称这样的坐标系为右手系 ．
z 说明: 说明:
☆本书建立的坐标系
o
都是右手直角坐标系. 都是右手直角坐标系.
y x
空间直角坐标系的画法: 空间直角坐标系的画法:
1.x轴与y 1.x轴与y轴、x轴与z轴均成135°, 轴与 轴与z轴均成135° 135 而z轴垂直于y轴． 轴垂直于y 2.y轴和z轴的单位长度相同，x 2.y轴和z轴的单位长度相同， 轴和 轴上的单位长度为y 轴上的单位长度为y轴（或z轴） 的单位长度的一半． 的单位长度的一半．
空间直角坐标系
2．3．1 空间直角坐标系一、教材知识解析 1、空间直角坐标系的定义：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴和z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面和xOz 平面。
2、右手直角坐标系及其画法：（1）定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
本书上所指的都是右手直角坐标系。
（2）画法： 将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°，而z轴垂直于y 轴，，y 轴和z 轴的长度单位相同，，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等。
3、空间中点的坐标表示：点在对应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，我们把有序实数对（x ，y ，z ）叫做点A 的坐标，记为A （x ，y ，z ）。
二、题型解析：题型1、在空间直角坐标系下作点。
例1、在空间直角坐标系中，作出M(4,2,5). 解：法一：依据平移的方法，为了作出M(4,2,5)，可以按如下步骤进行：（1）在x 轴上取横坐标为4的点1M ；（2）将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向右移动2个单位，得到点2M ；（3）将2M 沿与z 轴平行的方向向上移动5个单位，就可以得到点M （如图）。
法二：以O 为一个顶点，构造三条棱长分别为4，2，5的长方体，使此长方体在点O 处的三条棱分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、z 轴的正半轴上，则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M 。
法三：在x 轴上找到横坐标为4的点，过此点作与x 垂直的平面α；在y 轴上找到纵坐标为2的点，过此点作与y 垂直的平面β；在z 轴上找到竖坐标为5的点，过此点作与z 垂直的平面γ；则平面αβγ,,交于一点，此交点即为所求的点M 的位置。
空间直角坐标系
返回
空间中点 P 坐标的确定方法 (1)由 P 点分别作垂直于 x 轴、y 轴、z 轴的平面，依次 交 x 轴、y 轴、z 轴于点 Px、Py、Pz，这三个点在 x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为 x、y、z，那么点 P 的坐标就是(x， y，z)． (2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点 P 在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．
返回
总结 1．求空间对称点的规律方法 空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问 题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的 问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论． 2．空间直角坐标系中，任一点 P(x，y，z)的几种特殊 对称点的坐标如下： ①关于原点对称的点的坐标是 P1(－x，－y，－z)；
返回
空间中点的对称
[例 2] (1)点 A(1,2，－1)关于坐标平面 xOy 及 x 轴的 对称点的坐标分别是________．
(2)已知点 P(2,3，－1)关于坐标平面 xOy 的对称点为 P1， 点 P1 关于坐标平面 yOz 的对称点为 P2，点 P2 关于 z 轴的对 称点为 P3，则点 P3 的坐标为________．
返回
②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)； ③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)； ④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)； ⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)； ⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)； ⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．
空间直角坐标系及点的坐标表示完整版本
同单位长度的数轴，这 样就建立了空间直角坐
o
y
标系０－xyz． x
点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做
坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标
平面，分别称为xoy平面、 yoz平面、和 Zox
平面．
在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向x轴的正方向， 食指指向y轴的正方向，若中 指指向z轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
z D'
C&A
B
Cy
z D'
A' O
xA
C' B'
Cy B
1.坐标平面内的点
xoy平面上的点表示为（x,y,0) yoz平面上的点表示为（0,y,z) xoz平面上的点表示为（x,0,z)
2.坐标轴上的点
x轴上的点表示为（x，0，0） y轴上的点表示为（0，y，0）
z轴上的点表示为（0,0,z)
求下列各点的坐标
1 、 A ( 6 ,2 ,4 ) ,B ( 0 ,2 ,1 ) 的 中 点 坐 标 为 _ （_ _ 3_ ,2_ ,2.5）
2 、 A ( 3 ,1 ,4 ) ,B ( 1 ,2 ,8 ) 的 中 点 坐 标 为 _ （_ 2_ ,_ 1_ .5_ ,6）
3 、 A B 的 中 点 坐 标 为 (3 ,1 ,4 )， 其 中 B 点 坐 标 为 （ 0 ， 0 ， 0 ） ， 那 么 A 点 的 坐 标 为 _ （_ _ 6_ ,2_ ,_ 8_ ）
四、空间中点坐标公式
空 间 两 点 A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)的 中 点 坐 标 为 (x1+x2,y1+y2,z1+z2)
222
例 2 ： A ( 1 ,2 ,4 ) ,B ( 0 ,2 ,5 ) 的 中 点 坐 标 为 （ 1 ， 2 ， 9 ） 22
北师大版高中数学必修2教案备课空间直角坐标系中点的坐标
§3空间直角坐标系3．1空间直角坐标系的建立3．2空间直角坐标系中点的坐标学习目标核心素养1.了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念.2.会在空间直角坐标系中用三元有序数组刻画点的位置．(重点、难点)1.通过空间直角坐标系的建立方法及有关概念培养数学抽象素养.2.通过在空间直角坐标系中用三元有序数组，刻画点的位置提升直观想象素养.1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系建立的流程图：平面直角坐标系↓通过原点O，再增加一条与xOy平面垂直的z轴↓空间直角坐标系(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：①伸出右手，让四指与大拇指垂直；②四指先指向x轴正方向；③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向；④大拇指的指向即为z轴正方向．(3)有关名称：如图所示，①O叫作原点；②x，y，z轴统称为坐标轴；③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面，由x，y轴确定的平面记作xOy平面，由y，z轴确定的平面记作yOz平面，由x，z轴确定的平面记作xOz平面．2．空间直角坐标系中点的坐标(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个三元有序数组来刻画．(2)空间任意一点P的坐标记为(x，y，z)，第一个是x轴坐标，第二个是y轴坐标，第三个是z轴坐标．(3)空间直角坐标系中，点一一对应三元有序数组．(4)对于空间中点P坐标的确定方法是：过点P分别向坐标轴作垂面，构造一个以O，P为顶点的长方体，如果长方体在三条坐标轴上的顶点P1，P2，P3的坐标分别为(x,0,0)，(0，y,0)，(0,0，z)，则点P的坐标为(x，y，z)．思考：画空间直角坐标系时，任意两坐标轴的夹角是否都画成90°呢？提示：不是，空间直角坐标系中，任意两坐标轴的夹角都是90°，但在画直观图时通常画为∠xOy＝135°，∠xOz＝135°.1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一象限内C[点(2,0,3)的y轴坐标为0，所以该点在xOz平面上．]2．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是()A.a2＋b2B．|a|C．|b| D．|c|D[点P(a，b，c)到坐标平面的距离应为|c|.]3．在空间直角坐标系中，自点P(－4，－2,3)引x轴的垂线，则垂足的坐标为________．(－4,0,0)[∵点P(－4，－2,3)，∴自点P引x轴的垂线，垂足坐标为(－4,0,0)．]求空间点的坐标【例1】 如图，棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是AB 的中点，F 是BB 1的中点，G 是AB 1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E ，F ，G 三点的坐标．[思路探究] 取D 为空间坐标系的原点，过D 点的三条棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，按定义确定E ，F ，G 坐标．[解] 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，E 点在平面xDy 中，且|EA |＝12.∴E 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0. ∵B 点和B 1点的坐标分别为(1,1,0)和(1,1,1)，故F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12. 同理可得G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，12.1．空间中点的位置和点的坐标是相对的，建立空间直角坐标系，要力争尽可能简捷地将点的坐标表示出来．因此，要确定各点到xDy 面、yDz 面、xDz 面的距离，同时中点坐标公式在空间直角坐标系中仍然适用．2．设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)，则P 1P 2中点P (x ，y ，z )坐标满足x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，z ＝z 1＋z 22.[跟进训练]1．(1)点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，26，－13所在的位置是( ) A ．x 轴上B ．xOz 平面上C ．xOy 平面内D ．yOz 平面内(2)正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为1，且|BP |＝13|BD ′|，建立如图所示的空间直角坐标系，则P 点的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13 (1)D (2)D [(1)∵M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，26，－13，x ＝0， ∴点M 在平面yOz 内．(2)如图所示，过P 分别作平面xOy 和z 轴的垂线，垂足分别为E ，H ，过E 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为F ，G ，由于|BP |＝13|BD ′|，所以|DH |＝13|DD ′|＝13，|DF |＝23|DA |＝23，|DG |＝23|DG |＝23，所以P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，13，故选D.] 已知点的坐标确定点的位置[解] 法一：先确定点M ′(2，－6,0)在xOy 平面上的位置，因为点M 的竖坐标为4，则|MM ′|＝4，且点M 和z 轴的正半轴在xOy 平面的同侧，这样就可确定点M 的位置了(如图所示)．法二：以O 为一个顶点，构造三条棱长分别为2,6,4的长方体，使此长方体在点O 处的三条棱分别在x 轴正半轴、y 轴负半轴、z 轴正半轴上，则长方体中与顶点O 相对的顶点即为所求的点(图略)．由点的坐标确定点位置的方法(1)先确定点(x 0，y 0,0)在xOy 平面上的位置，再由竖坐标确定点(x 0，y 0，z 0)在空间直角坐标系中的位置；(2)以原点O 为一个顶点，构造棱长分别为|x 0|，|y 0|，|z 0|的长方体(三条棱的位置要与x 0，y 0，z 0的符号一致)，则长方体中与O 相对的顶点即为所求的点．[跟进训练]2．在空间直角坐标系中，作出点P (5,4,6)．[解] 第一步从原点出发沿x 轴正方向移动5个单位，第二步沿与y 轴平行的方向向右移动4个单位，第三步沿与z 轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P .求空间某对称点的坐标1．平面中，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的中点坐标是什么？类比平面中两点的中点坐标，空间中两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)的中点坐标是什么？提示：平面上两点P 1，P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22；空间中两点P 1，P 2中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22. 2．在空间直角坐标系中，关于一个平面对称的点有什么特点？关于一条坐标轴对称的点有什么特点？提示：关于哪个平面的对称点在这个平面上的坐标不变，另外的坐标变成原来的相反数．关于一条坐标轴的对称点这个坐标不变，另两个坐标变为原来的相反数．3．在空间直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标有什么特点？提示：三个坐标分别互为相反数．【例3】求点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴对称的点的坐标．[思路探究]解答本题可先作出点A的坐标，然后借助于图形，分析其对称点的情况．[解]如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使|AM|＝|CM|，则A与C关于坐标平面xOy对称点C(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N，并延长到点B，使|AN|＝|NB|，则A与B关于x轴对称且B(1，－2,1)，∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy 对称的点的坐标为(1,2,1)；A(1,2，－1)关于x轴对称的点的坐标为(1，－2,1).[跟进训练]3．写出点P(－2,1,4)关于y轴，z轴，yOz面，xOz面的对称点的坐标．[解](1)点P关于y轴的对称点坐标为P1(2,1，－4)，(2)点P关于z轴的对称点坐标为P2(2，－1,4)，(3)点P关于面yOz的对称点为P3(2,1,4)，(4)点P关于面xOz对称的点为P4(－2，－1,4)．1．空间直角坐标系的作图要求(1)将空间直角坐标系Oxyz画在纸上时，x轴与y轴，x轴与z轴均画成135°，而z轴垂直于y轴．(2)y轴和z轴的单位长度相同，x轴的单位长度为y轴(或z轴)单位长度的一半．(3)每两条坐标轴确定的平面两两垂直．2．空间直角坐标系中点与有序实数组(x，y，z)的关系在空间直角坐标系中，空间任意一点A与有序实数组(x，y，z)之间是一种一一对应关系．(1)过点A作三个平面分别垂直于x轴，y轴，z轴，它们与x轴，y轴，z轴分别交于P，Q，R，点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次是x，y，z，这样对于空间任意一点A，就定义了一个有序数组(x，y，z)．(2)反之，对任意一个有序数组(x，y，z)，按照上述作图的相反顺序，在坐标轴上分别作出点P，Q，R，使它们在x轴，y轴，z轴上的坐标分别是x，y，z，再分别过这些点作垂直于各自所在的坐标轴的平面，这三个平面的交点即为所求的点A.1．思考辨析(1)给定空间直角坐标系，空间任意一点与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系．()(2)点P(1,0,2)在空间直角坐标系中的xOy坐标平面上．()(3)空间直角坐标系中，y轴上的点的坐标为(0，y,0)．()(4)在不同的空间直角坐标系中，同一点的坐标可能不同．()[解析](2)×，∵点P(1,0,2)的纵坐标为0，∴点P(1,0,2)应在坐标平面xOz上．[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．在空间直角坐标系中，点M(－2,1,0)关于原点的对称点M′的坐标是() A．(2，－1,0)B．(－2，－1,0)C．(2,1,0) D．(0，－2,1)A[很明显点M和M′的中点是原点，所以点M′的坐标是(2，－1,0)．] 3．在空间直角坐标系中，已知点A(－1,2，－3)，则点A在yOz平面内射影的点的坐标是________．(0,2，－3)[由空间直角坐标系中点的坐标的确定可知，点A在yOz平面内的射影的点的坐标是(0,2，－3)．]4．如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，AA1＝2AB＝4，点E在CC1上且C1E＝3EC.试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标．[解]以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系．依题意知，B(2，2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．。
空间直角坐标系
3.数量积不满足消去律
1.下列命题成立吗?
①若 a b a c ,则 b c
②若 a b k
,则 a
k b
③ ( a b) c a (b c )
2 ,ab 2 , 2. 已知 a 2 2 , b 2 135 则 a 与b 的夹角大小为_____.
角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、
DC的中点。求下列向量的数量积：
A F E D G C
(1) AB AC;(2) AD BD; (3)GF AC ;(4) EF BC.
4.如图，在空间四边形 ABCD 中，B AB 2 ， BC 3 ， BD 2 3 ， CD 3 ， ABD 30 ， ABC 60 ， 求 AB 与 CD 的夹角的余弦值
D' A' O B' z C'
A C 与 D B 相交于点P
写出点P的坐标。
C y x A
B
中点坐标公式
x1 x2 y1 y2 平面：P1 P2 的中点 ( , ) 2 2
类比
猜想
x1 x2 y1 y2 z1 z2 空间：P1 P2 的中点 ( , , ) 2 2 2
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任 1 1 意一点O， OM xOA ＋ OB ＋ OC ,则x 3 3 的值为： D
A. 1
B. 0
C. 3
4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？ 2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
预备知识
数轴Ox上的点M
M x
《空间直角坐标系》课标解读
《空间直角坐标系》课标解读教材分析本节内容是空间直角坐标系,主要包括空间直角坐标系的建立、点在空间直角坐标系中的坐标、空间两点间的距离公式.空间直角坐标系是一种工具,主要用来解决立体几何中用常规方法难以解决的一些问题,因此在学业水平考试中一般不单独考查.本节内容是在学生学习了平面直角坐标系,能利用平面直角坐标系解决平面几何图形问题,且有了一定的数形结合思想的基础上的进一步推广.有了前面的基础,学生学习空间直角坐标系就有了一定的知识基础;有了平面解析几何知识,学生进行知识迁移就有了保障.在学习空间直角坐标系以后,学生通过知识迁移可以利用空间直角坐标系解决空间立体几何问题,同时把数形结合思想由平面推广到空间,为立体几何问题的解决提供新的解题途径.本节的重点是空间直角坐标系的理解,空间直角坐标系中点的坐标的确定,空间两点间的距离公式;难点是通过建立适当的空间直角坐标系,表示出空间中点的坐标.本节内容所涉及的主要核心素养有：数学抽象、直观想象、逻辑推理与数学运算等.学情分析一方面,学生通过对空间几何体一柱、锥、台、球的学习,理解了空间中点、线、面的关系,初步掌握了简单几何体的直观图画法,已经有了一定的空间思维能力;另一方面,学生刚刚学习了解析几何的基础内容——直线和圆,对通过建立平面直角坐标系,根据坐标利用代数的方法处理几何问题有了一定的认识,也有了一定的转化能力和数形结合的思想,这两方面都为学习本节内容打下了基础.教学建议本节内容非常抽象,如果只通过教师讲解就想让学生听懂、记住、会用,难以达到预想效果,必须突出学生的主体地位,通过学生自主学习与合作探究,让学生亲手实践,这样他们才能获得感性认识,从而为后续由感性认识上升到理性认识奠定基础.因此,建议教师采用启发式教学方法,通过激发学生学习的求知欲望,使学生主动参与教学实践活动.同时创设学习情境,营造氛围,精心设计问题,让学生在整个学习过程中有充分自我展示的机会,获得经常性的成功体验,增强学生的学习信心.可适时借助信息技术的应用,提升学生的直观想象与逻辑推理等数学学科核心素养.点在空间直角坐标系中的坐标和空间两点间的距离公式是点在平面直角坐标系中的坐标和平面内两点间的距离公式的推广,是从二维问题转化为三维问题,教学时可以充分利用类比思想和化归思想引导学生学习.学科核心素养目标与素养1.感受建立空间直角坐标系的必要性,能正确建立空间直角坐标系,达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.2.了解空间直角坐标系,掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定方法,达到直观想象和逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.3.能利用空间两点间的距离公式求两点间的距离,达到数学运算核心素养学业质量水平二的层次.情境与问题案例从复习在数轴上和平面内确定一点位置的方法入手,引入空间直角坐标系,进而学习在空间直角坐标系中如何确定点的坐标及空间两点间的距离公式等新知,达到要求的数学学科核心素养学业质量水平.内容与节点本节内容为空间直角坐标系的建立、空间直角坐标系中点的坐标的确定和空间两点间的距离公式,是前面数轴上和平面直角坐标系中点的坐标和两点间的距离公式的延续,同时也是下一步研究和学习空间向量的基础,是一节基础必备知识课.过程与方法1.通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性,进而抽象出空间直角坐标系与右手系的概念,发展学生的数学抽象核心素养.2.经历探究在空间直角坐标系中确定点的坐标的方去的过程,发展学生的直观想象和逻辑推理核心素养.3.经历探究并利用空间两点间的距离公式求两点间的距离的过程,发展学生的数学运算核心素养.教学重点难点重点空间直角坐标系的理解,空间直角坐标系中点的坐标的确定,空间两点间的距离公式.难点通过建立适当的空间直角坐标系,表示出空间中点的坐标.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
z
y轴和z轴，它们与x
轴、y轴和z轴分别交 于三点，三点在相应
c o a
x
Ａ(a,b,c)
的坐标轴上的坐标
a,b,c组成的有序实 数对（a,b,c)叫作点 Ａ的坐标by记为：Ａ（a,b,c)
应用举例
例１ 点P′在x轴正半轴上，|OP′|=2,P′P在xOz平面上， 且垂直于x轴，|P′P|=1，求点P′和P的坐标. 解 点P′的坐标为（2,0,0）,点P的坐标
下图是一个房间的示意图,我们来探讨表示电灯位置的方法.
z
4 3
墙 墙 地面
4
1
(4,5,3)
5
O 1
y
x
空间直角坐标系
z
从空间某一个定点０引三条互相
垂直且有相同单位长度的数轴，这样
就建立了空间直角坐标系０－xyz．
o x
点Ｏ叫作坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴，这三条
y
坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、
１．空间直角坐标系的概念． ２．空间直角坐标系的画法． ３．运用空间直角坐标系表示空间点的坐标．
不实心不成事，不虚心不知事，不自是者博 闻，不自满者受益。
例2．在空间直角坐标系中作出点P(3,-2,4). 解 先确定点P′(3,-2,0)在xOy平面上的位置. 因为点P的z坐标为4, 则|P′P|=4，且点P和z轴的正半轴 在xOy平面的同侧，这样就确定了 点P在空间直角坐标系中的位置, 如右图所示.
想 一 想 ？
在空间直角坐标系中, x轴上的点、xoy
为(2,0,1)或(2,0,-1). 思考：在空间直角坐标系中，给定点
的坐标，如何确定点的位置呢？
已知点P(x,y,z)，可以先确定点P′(x,y,0)在平面xOy 上的位置.|P′P|=|z|,如果z=0，则点P即点P′；如果z>0，
则点P与z轴的正半轴在xOy平面的同侧；如果z<0，则点P
与z轴的负半轴在平面xOy的同侧.
轴作垂线交点的坐标．
Q(0, y ,0)
y
A( x , y ,0)
如图，长方体OABC – D′A′B′C′中，|OA| = 3，|OC|
= 4，|OD′| = 3，A′C′与B′D′相交于点P.分别写出点
C、B′、P的坐标.
3 答案：C、B′、P 各点的坐标分别是(0，4，0)，(3，4，3)， ( , 2,3) 2
yoz平面、和 zox平面．
空间直角坐标系的画法:
1.x轴与y轴、x轴与z轴均成135°,
z
而z轴垂直于y轴．
2.y轴和z轴的单位长度相同，x 轴上的单位长度为y轴（或z轴） 的单位长度的一半．
1350 o
1350 y
x
有了空间直角坐标系，那空间中的任意一点Ａ怎样来表示它
的坐标呢？
经过A点作三个 平面分别垂直于x轴、
坐标平面内的点的坐标各有什么特点？
1．x轴上的点横坐标就是与x轴交点的坐
标，纵坐标和竖坐标都是０．
z
R(0,0, z )
２．xoy坐标平面内的点
B(0, y , z )
的竖坐标为０，横坐标 与纵坐标分别是点向两
C ( x , o, z )
M ( x, y, z )
O(0,0,0) o
x P ( x,0,0)
§3 空间直角坐标系
3.1 空间直角坐标系的建立 3.2 空间直角坐标系中点的坐标
1. 了解建立空间直角坐标系的背景. 2. 掌握建立空间直角坐标系的方法. 3. 会在空间直角坐标系中表示点的坐标.
在平面直角坐标系中, 平面上任意一点的位置，可
以用坐标唯一表示.
那么空间中任意一点的位置，可以用坐标表示吗？ 怎样用坐标表示?