数学组卷不等式绝对值不等式

数学组卷不等式绝对值不等式一．解答题（共30小题）1．已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，存在实数x使f（x）＜2成立．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求证：+≥．2．已知x，y∈（0，+∞），x2+y2=x+y．（1）求的最小值；（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）=5？并说明理由．3．已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a的最大值为k，且m+n=2k（m＞0，n＞0），求证：+≥3．4．（1）已知实数a，b，c满足a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值；（2）已知正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：．5．已知两条直线l1：y=m和l2：y=（m＞0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A、B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C、D．记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b．当m变化时，求的最小值．6．已知x＞0，y＞0，x+y=2，求证：（1+）（1+）≥4．7．已知函数的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的范围；（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a，b满足时，求4a+7b的最小值．8．已知a∈（0，+∞），b∈（0，+∞），a+b=2．（1）求的最小值；（2）若对∀a，b∈（0，+∞），|恒成立，求实数x的取值范围．9．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c的最小值为1．（1）求a+b+c的值；（2）求证：a2+b2+c2．10．已知函数f（x）=2|x+1|+|x﹣2|．（1）求f（x）的最小值；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证：++≥3．11．（Ⅰ）求不等式2x+2|x|≥2的解集；（Ⅱ）已知实数m＞0，n＞0，求证：+≥．12．已知函数f（x）=|2x﹣1|，x∈R，（1）解不等式f（x）＜x+1；（2）若对于x，y∈R，有|x﹣y﹣1|≤，|2y+1|≤，求证：f（x）＜1．13．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|，（x∈R）（1）求证：f（x）≥2；（2）若不等式f（x）≥对任意非零实数b恒成立，求x的取值范围．14．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证：+≥1．15．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若不等式f（x）≥0的解集为空集，求实数a的取值范围；（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．16．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（I）若∃x0∈R，使得不等式f（x0）≤m成立，求实数m的最小值M（Ⅱ）在（I）的条件下，若正数a，b满足3a+b=M，证明：+≥3．17．已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．18．（1）设函数f（x）=|x﹣2|+|x+a|，若关于x的不等式f（x）≥3在R上恒成立，求实数a的取值范围；（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，求的最小值．19．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）求不等式f（x）+x2﹣4＞0的解集；（2）设g（x）=﹣|x+7|+3m，若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．20．已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜4；（2）若函数g（x）=f（x）+f（x﹣1）的最小值a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求+的取值范围．21．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．22．已知函数f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c均为正实数，且ab+bc+ac=1．（Ⅰ）当b=1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．23．设函数f（x）=|x﹣4|，g（x）=|2x+1|．（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若2f（x）+g（x）＞ax对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．24．已知f（x）=|x﹣1|+|x+2|．（1）若不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值的集合T；（Ⅱ）设m、n∈T，证明：|m+n|＜|mn+3|．25．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x+|（1）当a=1时，求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围．26．已知函数f（x）=|x﹣4|，g（x）=a|x|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解关于x的不等式f（x）＞2g（x）+1；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）﹣4对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．27．设函数f（x）=a（x﹣1）．（Ⅰ）当a=1时，解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；（Ⅱ）设|a|≤1，当|x|≤1时，求证：．28．已知函数f（x）=|x+t|的单调递增区间为[﹣1，+∞）．（3）求不等式f（x）+1＜|2x+1|的解集M；（4）设a，b∈M，证明：|ab+1|＞|a+b|．29．已知函数f（x）=2|x﹣1|﹣a，g（x）=﹣|x+m|（a，m∈R），若关于x的不等式g（x）＞﹣1的整数解有且仅有一个值为﹣3．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象恒在函数y=g（x）的图象上方，求实数a的取值范围．30．已知a，b∈（0，+∞），且2a4b=2．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若存在a，b∈（0，+∞），使得不等式成立，求实数x的取值范围．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2017•吉林三模）已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣m|+|x|，m∈N*，存在实数x使f（x）＜2成立．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若α，β＞1，f（α）+f（β）=2，求证：+≥．【解答】（I）解：∵|x﹣m|+|x|≥|x﹣m﹣x|=|m|，∴要使|x﹣m|+|x|＜2有解，则|m|＜2，解得﹣2＜m＜2．∵m∈N*，∴m=1．（II）证明：α，β＞0，f（α）+f（β）=2α﹣1+2β﹣1=2，∴α+β=2．∴+==≥=，当且仅当α=2β=时取等号．2．（2017•唐山一模）已知x，y∈（0，+∞），x2+y2=x+y．（1）求的最小值；（2）是否存在x，y，满足（x+1）（y+1）=5？并说明理由．【解答】解：（1），当且仅当x=y=1时，等号成立．所以的最小值为2．（2）不存在．因为x2+y2≥2xy，所以（x+y）2≤2（x2+y2）=2（x+y），∴（x+y）2﹣2（x+y）≤0，又x，y∈（0，+∞），所以x+y≤2．从而有（x+1）（y+1）≤≤=4，因此不存在x，y，满足（x+1）（y+1）=5．3．（2017•河北模拟）已知函数f（x）=的定义域为R．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a的最大值为k，且m+n=2k（m＞0，n＞0），求证：+≥3．【解答】解：（Ⅰ）∵|2x﹣1|+|x+1|﹣a≥0，∴a≤|2x﹣1|+|x+1|，根据绝对值的几何意义可得|2x﹣1|+|x+1|的最小值为，∴a≤，证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a的最大值为k=，∴m+n=3，∴（+）=（+）（m+n）=（1+4++）≥（5+2）=3，问题得以证明．4．（2017•青羊区校级模拟）（1）已知实数a，b，c满足a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值；（2）已知正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：．【解答】解：（1）由柯西不等式，（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=1，当且仅当时等号成立；∴a2+b2+c2的最小值为；（2）证明：左边=≥=，构造函数，则：，函数f（x）在上单调递减，最小值为=；∴的最小值为；∴．5．（2017•梅河口市校级一模）已知两条直线l1：y=m和l2：y=（m＞0），l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A、B，l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C、D．记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a、b．当m变化时，求的最小值．【解答】解：由题意得x A=，x B=2m，x C=，x D=，所以a=|x A﹣x C|=|﹣|，b=|x B﹣x D|=|2m﹣|，即=||=•2m=．因为+m=（2m+1）+﹣≥4﹣=，当且仅当（2m+1）=，即m=时取等号．所以，的最小值为=8．6．（2017春•三元区校级月考）已知x＞0，y＞0，x+y=2，求证：（1+）（1+）≥4．【解答】证明：（1+）（1+）=1+++=1++．∵x+y=2，x＞0，y＞0，∴（1+）（1+）=1+，2，即1，当且仅当x=y=1时取等号．∴（1+）（1+）≥4．7．（2016•大庆校级二模）已知函数的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的范围；（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a，b满足时，求4a+7b的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|=6，∴m≤6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知n=6，由柯西不等式知，4a+7b==，当且仅当时取等号，∴4a+7b的最小值为．8．（2016•衡阳二模）已知a∈（0，+∞），b∈（0，+∞），a+b=2．（1）求的最小值；（2）若对∀a，b∈（0，+∞），|恒成立，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）∵a∈（0，+∞），b∈（0，+∞），a+b=2，∴，∴，此时，．（2）∵对∀a，b∈（0，+∞）恒成立，∴或或或或，，∴．9．（2016•赤峰模拟）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c的最小值为1．（1）求a+b+c的值；（2）求证：a2+b2+c2．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，c＞0，∴f（x）=|x﹣a|+|x+b|+c≥|x﹣a﹣x﹣b|+c=a+b+c，当且仅当（x﹣a）（x﹣b）≤0时：“=”成立，故a+b+c=1；（2）3（a2+b2+c2）﹣12=3（a2+b2+c2）﹣（a+b+c）2=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac=（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，∴a2+b2+c2．10．（2016•贵州校级模拟）已知函数f（x）=2|x+1|+|x﹣2|．（1）求f（x）的最小值；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证：++≥3．【解答】解：（1）∵函数f（x）=2|x+1|+|x﹣2|，当x＜﹣1时，f（x）=﹣2（x+1）﹣（x﹣2）=﹣3x∈（3，+∞）；当﹣1≤x＜2时，f（x）=2（x+1）﹣（x﹣2）=x+4∈[3，6）；当x≥2时，f（x）=2（x+1）+（x﹣2）=3x∈[6，+∞）；综上，f（x）的最小值为m=3；（2）a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m=3，又因为+++（a+b+c）=（+a）+（+b）+（+c）≥2（++）=2（a+b+c），当且仅当a=b=c=1时，取“=”，所以，++≥a+b+c，即++≥3．11．（2016•吉林校级二模）（Ⅰ）求不等式2x+2|x|≥2的解集；（Ⅱ）已知实数m＞0，n＞0，求证：+≥．【解答】解：（Ⅰ）①当x≥0时，有，由，解得．②当x＜0时，有，即．解得或，又x＜0，解得，则原不等式解集为{x|或}．（Ⅱ）证明：==，则，当且仅当na=mb时等号成立．12．（2017•西安一模）已知函数f（x）=|2x﹣1|，x∈R，（1）解不等式f（x）＜x+1；（2）若对于x，y∈R，有|x﹣y﹣1|≤，|2y+1|≤，求证：f（x）＜1．【解答】解：（1）不等式f（x）＜x+1，等价于|2x﹣1|＜x+1，即﹣x﹣1＜2x﹣1＜x+1，求得0＜x＜2，故不等式f（x）＜x+1的解集为（0，2）．（2）∵，∴f（x）=|2x﹣1|=|2（x﹣y﹣1）+（2y+1）|≤|2（x﹣y﹣1）|+|（2y+1）|≤2•+＜1．13．（2017•江西一模）设f（x）=|x﹣1|+|x+1|，（x∈R）（1）求证：f（x）≥2；（2）若不等式f（x）≥对任意非零实数b恒成立，求x的取值范围．【解答】（1）证明：f（x）=|x﹣1|+|x+1|=|1﹣x|+|x+1|≥|1﹣x+x+1|=2；（2）解：g（b）=≤=3，∴f（x）≥3，即|x﹣1|+|x+1|≥3，x≤﹣1时，﹣2x≥3，∴x≤﹣1.5，∴x≤﹣1.5；﹣1＜x≤1时，2≥3不成立；x＞1时，2x≥3，∴x≥1.5，∴x≥1.5．综上所述x≤﹣1.5或x≥1.5．14．（2017•广西一模）已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证：+≥1．【解答】解：（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|=5，若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．∴M=4．（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c=4，即[（a+b）+（b+c）]=1∴+=[（a+b）+（b+c）]（+）=（1+1++）≥（2+2）≥×4=1，当且仅当=即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时，取等号．∴+≥1成立．15．（2017•凉山州模拟）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．（1）若不等式f（x）≥0的解集为空集，求实数a的取值范围；（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）令g（x）=|x+1|﹣|x|，则由题意可得f（x）≥0的解集为∅，即g（x）≥﹣a的解集为∅，即g（x）＜﹣a恒成立．∵，作出函数g（x）的图象，由图可知，函数g（x）的最小值为g（x）min=﹣1；函数g（x）的最大值为g（x）max=1．∴﹣a＞1，∴a＜﹣1，综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．（2）在同一坐标系内作出函数g（x）=|x+1|﹣|x|图象和y=x的图象如下图所示，由题意可知，把函数y=g（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与y=x的图象始终有3个交点，从而﹣1＜a＜0．16．（2017•临翔区校级一模）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．（I）若∃x0∈R，使得不等式f（x0）≤m成立，求实数m的最小值M（Ⅱ）在（I）的条件下，若正数a，b满足3a+b=M，证明：+≥3．【解答】解：（I）函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，可得|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，当（2x+1）（2x﹣3）≤0，即﹣≤x≤时，f（x）取得最小值4．由题意可得m≥4，即实数m的最小值M=4；（Ⅱ）证明：正数a，b满足3a+b=4，即1=（3a+b），+=（+）（3a+b）=（3+3++）≥×（6+2）=×（6+2×3）=3，当且仅当b=3a=2时，取得等号．则+≥3．17．（2017•成都模拟）已知函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．（I）求不等式f（x）≤6的解集；（Ⅱ）若f（x）的最小值为n，正数a，b满足2nab=a+2b，求2a+b的最小值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=x+1+|3﹣x|，x≥﹣1．若f（x）≤6，则有或，解可得﹣1≤x≤4，故原不等式的解集为{x|﹣1≤x≤4}；（Ⅱ）函数f（x）=x+1+|3﹣x|=，分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；则正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，2a+b=（+）（2a+b）=（++5）≥（5+2）=；即2a+b的最小值为．18．（2017•丰城市模拟）（1）设函数f（x）=|x﹣2|+|x+a|，若关于x的不等式f（x）≥3在R上恒成立，求实数a的取值范围；（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，求的最小值．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣2|+|x+a|≥|x﹣2﹣x﹣a|=|a+2|∵原命题等价于f（x）min≥3，|a+2|≥3，∴a≤﹣5或a≥1．（5分）（2）由于x，y，z＞0，所以当且仅当，即时，等号成立．∴的最小值为．（10分）19．（2017•榆林二模）已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）求不等式f（x）+x2﹣4＞0的解集；（2）设g（x）=﹣|x+7|+3m，若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题意，x﹣2＞4﹣x2，或x﹣2＜x2﹣4，由x﹣2＞4﹣x2得x＞2或x＜﹣3；由x﹣2＜x2﹣4得x＞2或x＜﹣1，∴原不等式的解集为{x|x＞2或x＜﹣1}；（2）原不等式等价于|x﹣2|+|x+7|＜3m的解集非空，∵|x﹣2|+|x+7|≥|x﹣2﹣x﹣7|=9，∴3m＞9，∴m＞3．20．（2017•江西一模）已知函数f（x）=|2x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜4；（2）若函数g（x）=f（x）+f（x﹣1）的最小值a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求+的取值范围．【解答】解：（1）不等式f（x）＜4，即|2x﹣1|＜4，即﹣4＜2x﹣1＜4，求得﹣＜x＜，故不等式的解集为{x|﹣＜x＜}．（2）若函数g（x）=f（x）+f（x﹣1）=|2x﹣1|+|2（x﹣1）﹣1|=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|（2x﹣1）﹣（2x ﹣3）|=2，故g（x）的最小值为a=2，∵m+n=a=2（m＞0，n＞0），则+=+=1+++=++≥+2=+，故求+的取值范围为[+，+∞）．21．（2017•南昌一模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a＜2时，函数f（x）的最小值为3，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）由题f（x）≤2﹣|x﹣1|，即为．而由绝对值的几何意义知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由不等式f（x）≤2﹣|x﹣1|有解，∴，即0≤a≤4．∴实数a的取值范围[0，4]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|的零点为和1，当a＜2时知，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）如图可知f（x）在单调递减，在单调递增，∴，得a=﹣4＜2（合题意），即a=﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）22．（2017•四川模拟）已知函数f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|，g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|，其中a，b，c 均为正实数，且ab+bc+ac=1．（Ⅰ）当b=1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）当x∈R时，求证f（x）≤g（x）．【解答】解：（Ⅰ）由题意，当b=1时，f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|=，当x≤﹣1时，f（x）=﹣2＜1，不等式f（x）≥1无解，不等式f（x）≥1的解集为∅；当﹣1＜x＜1时，f（x）=2x，由不等式f（x）≥1，解得x≥，所以≤x＜1；当x≥1时，f（x）=2≥1恒成立，所以不等式f（x）≥1的解集为[，+∞）．（Ⅱ）（Ⅱ）当x∈R时，f（x）=|x+b2|﹣|﹣x+1|≤|x+b2 +（﹣x+1）|=|b2+1|=b2+1；g（x）=|x+a2+c2|+|x﹣2b2|=≥|x+a2+c2﹣（x﹣2b2）|=|a2+c2+2b2|=a2+c2+2b2．而a2+c2+2b2﹣（b2+1）=a2+c2+b2﹣1=（a2+c2+b2+a2+c2+b2）﹣1≥ab+bc+ac﹣1=0，当且仅当a=b=c=时，等号成立，即a2+c2+2b2≥b2+1，即f（x）≤g（x）．23．（2017•乌鲁木齐模拟）设函数f（x）=|x﹣4|，g（x）=|2x+1|．（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若2f（x）+g（x）＞ax对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＜g（x）等价于（x﹣4）2＜（2x+1）2，∴x2+4x﹣5＞0，∴x＜﹣5或x＞1，∴不等式的解集为{x|x＜﹣5或x＞1}；（2）令H（x）=2f（x）+g（x）=，G（x）=ax，2f（x）+g（x）＞ax对任意的实数x恒成立，即H（x）的图象恒在直线G（x）=ax的上方．故直线G（x）=ax的斜率a满足﹣4≤a＜，即a的范围为[﹣4，）．24．（2017•安庆二模）已知f（x）=|x﹣1|+|x+2|．（1）若不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值的集合T；（Ⅱ）设m、n∈T，证明：|m+n|＜|mn+3|．【解答】（1）解：∵f（x）=|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|=3，不等式f（x）＞a2对任意实数x恒成立，∴3＞a2，∴﹣＜a＜，∴T={a|﹣＜a＜}；（2）证明：由（1）可得m2＜3，n2＜3，∴（m2﹣3）（3﹣n2）＜0，∴3（m+n）2＜（mn+3）2，∴|m+n|＜|mn+3|．25．（2017•湖北四模）已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x+|（1）当a=1时，求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）＞4为|x﹣2|+|x+1|＞4．x＜﹣1时，不等式可化为﹣（x﹣2）﹣（x+1）＞4，解得x＜﹣，∴x＜﹣；﹣1≤x≤2时，不等式可化为﹣（x﹣2）+（x+1）＞4，不成立；x＞2时，不等式可化为（x﹣2）+（x+1）＞4，解得x＞，∴x＞；综上所述，不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞}；（2）f（x）=|x﹣2a|+|x+|≥|2a+|=|2a|+||，不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，∴2m2﹣m+2，∴0≤m≤1．26．（2017•安徽模拟）已知函数f（x）=|x﹣4|，g（x）=a|x|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解关于x的不等式f（x）＞2g（x）+1；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）﹣4对任意x∈R恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，不等式f（x）＞2g（x）+1为|x﹣4|＞4|x|+1，x＜0，不等式化为4﹣x＞﹣4x+1，解得x＞﹣1，∴﹣1＜x＜0；0≤x≤4，不等式化为4﹣x＞4x+1，解得x＜，∴0≤x＜；x＞4，不等式化为x﹣4＞4x+1，解得x＜﹣，无解；综上所述，不等式的解集为{x|﹣1＜x＜}；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）﹣4对任意x∈R恒成立，即|x﹣4|≥a|x|﹣4对任意x∈R恒成立，当x=0时，不等式|x﹣4|≥a|x|﹣4恒成立；当x≠0时，问题等价于a≤对任意非零实数恒成立．∵≥=1，∴a≤1，即a的取值范围是（﹣∞，1]．27．（2017•揭阳一模）设函数f（x）=a（x﹣1）．（Ⅰ）当a=1时，解不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x；（Ⅱ）设|a|≤1，当|x|≤1时，求证：．【解答】解：（I）当a=1时，不等式|f（x）|+|f（﹣x）|≥3x即|x﹣1|+|x+1|≥3x当x≤﹣1时，得1﹣x﹣x﹣1≥3x⇒x≤0，∴x≤﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）当﹣1＜x＜1时，得1﹣x+x+1≥3x，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）当x≥1时，得x﹣1+x+1≥3x⇒x≤0，与x≥1矛盾，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）综上得原不等式的解集为=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）证明：|f（x2）+x|=|a（x2﹣1）+x|≤|a（x2﹣1）|+|x|﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∵|a|≤1，|x|≤1∴|f（x2）+x|≤|a|（1﹣x2）+|x|≤1﹣x2+|x|﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）当时取“=”，得证．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）28．（2017•黔东南州一模）已知函数f（x）=|x+t|的单调递增区间为[﹣1，+∞）．（3）求不等式f（x）+1＜|2x+1|的解集M；（4）设a，b∈M，证明：|ab+1|＞|a+b|．【解答】（1）解：由已知得t=1，…．（1分）所以|x+1|+1＜|2x+1|当x＜﹣1时，﹣（x+1）+1＜﹣（2x+1），得x＜﹣1当时，（x+1）+1＜﹣（2x+1）得x∈ϕ当时，（x+1）+1＜（2x+1）得x＞1综上得M={x|x＜﹣1或x＞1}…..（5分）（2）证明：要证|ab+1|＞|a+b|，只须证（ab）2+2ab+1＞a2+2ab+b2即证（ab）2﹣a2﹣b2+1＞0因为（ab）2﹣a2﹣b2+1=a2（b2﹣1）﹣b2+1=（b2﹣1）（a2﹣1）由于a，b∈{x|x＜﹣1，x＞1}，所以（b2﹣1）（a2﹣1）＞0成立即|ab+1|＞|a+b|成立．…..（10分）29．（2017•九江一模）已知函数f（x）=2|x﹣1|﹣a，g（x）=﹣|x+m|（a，m∈R），若关于x的不等式g（x）＞﹣1的整数解有且仅有一个值为﹣3．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象恒在函数y=g（x）的图象上方，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由g（x）＞﹣1，即﹣|x+m|＞﹣1，|x+m|＜1，∴﹣1﹣m＜x＜1﹣m，∵不等式的整数解有且仅有一个值为﹣3，则﹣4≤﹣1﹣m＜﹣3＜1﹣m≤﹣2，解得m=3．（Ⅱ）因为y=f（x）的图象恒在函数y=g（x）的图象上方，故f（x）﹣g（x）＞0，∴2|x﹣1|+|x+3|＞a对任意x∈R恒成立，设h（x）=2|x﹣1|+|x+3|，则，∴h（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴当x=1时，h（x）取得最小值4，∴4＞a，∴实数a的取值范围是（﹣∞，4）．30．（2017•本溪模拟）已知a，b∈（0，+∞），且2a4b=2．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若存在a，b∈（0，+∞），使得不等式成立，求实数x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由2a4b=2可知a+2b=1，又因为，由a，b∈（0，+∞）可知，当且仅当a=2b时取等，所以的最小值为8．…（5分）（Ⅱ）由题意可知即解不等式|x﹣1|+|2x﹣3|≥8，①，∴．②，∴x∈∅，③，∴x≥4．综上，．…（10分）。