广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试数学理试题

2014届越秀区高三摸底考试试卷数 学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号、座号”处填涂考生号、座位号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在学校、班级，以及自己的姓名填写在答题卷上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将试卷和答题卷一并交回． 参考公式：圆锥的侧面积公式S r l π=，其中r 是圆锥的底面半径，l 是圆锥的母线长.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合2{4}A x x =<，{10}B x x =->，则A B =R （）ð（ ）.A.{21}x x -<<B.{21}x x -<≤C.{12}x x <<D.{12}x x ≤<2.已知3()log f x x =，则3f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭（ ）.A.13 B.13- C.12 D.12- 3.设a ∈R ，则“1a =”是“直线10ax y -+=与直线10x ay --=平行”的（ ）. A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是底边长为6、腰长为5的等腰三角形，则这个几何体的全面积为（ ）.A.12πB.15πC.21πD.24π5.在△ABC 中，3sin 5A =，8AB AC ⋅=，则△ABC 的面积为（ ）.A.3B.4C.6D.1256.函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）. A.1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.31,2⎛⎫⎪⎝⎭7.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则双曲线的离心率为（ ）.A.43 C.2 D.8.若过点(2,0)的直线与曲线3y x =和274y ax x =+-都相切，则a 的值为（ ）. A.2或4916-B.3或516C.2D.516二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．若复数z 满足i 2i z =+，则复数z 的实部是 .10.921()x x -的展开式中的常数项是 .（用数字作答） 11.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是 .12.已知实数,x y 满足143x y+≤，则z x y =-的最大值 是 .13.在区间[0,2]上随机取一个数a ，在区间[0,4]上随机取一个数b ，则关于x 的方程220x ax b ++=有实根的概率是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 相交于点P ，若3AB =，1CD =，则cos APB ∠的值为 . 15．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程是12x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，x ∈R 的最大值是1，最小正周期是2π，其图像经过点(,1)M π-．（1）求()f x 的解析式；（2）设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且3()5f A =，5()13f B =-，求()f C 的值．17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的50位已知这50位顾客中一次购物量少于10件的顾客占80％. （1）确定x 与y 的值；（2）若将频率视为概率，求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望；（3）在（2）的条件下，若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2分钟的概率.18.（本小题满分14分）如图，菱形ABCD 的边长为4，60BAD ∠=，AC BD O = .将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B ACD -，点M 是棱BC 的中点，DM =（1）求证：//OM 平面ABD ； （2）求证：平面DOM ⊥平面ABC ； （3）求二面角D A B O --的余弦值.19.(本小题满分14分)已知数列{}n a 满足112a =，*111()2n n n a a n ++=-∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与321nn +的大小，并予以证明.20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，P 为椭圆C 上任意一点，且12cos F PF ∠的最小值为13. （1）求椭圆C 的方程；（2）动圆222x y t t +=<与椭圆C 相交于A 、B 、C 、D 四点，当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积.21.(本小题满分14分)已知函数()1ln(02)2xf x x x=+<<-. （1）是否存在点(,)M a b ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（2）定义2111221()()()()n n i i n S f f f f n n n n-=-==++⋅⋅⋅+∑，其中*n ∈N ，求2013S ； （3）在（2）的条件下，令12n n S a +=，若不等式2()1n am n a ⋅>对*n ∀∈N 且2n ≥恒成立，求实数m 的取值范围.2014届越秀区高三摸底考试数学（理科）参考答案二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9.1 10.84- 11.300 12.4 13.13 14.13- 15.2cos 4sin ρθθ=+ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 16.（1）依题意得1A =.由22T ππω==，解得1ω=.所以()sin()f x x ϕ=+.因为函数()f x 的图像经过点(,1)M π-，所以sin()1πϕ+=-，即sin 1ϕ=. 因为0ϕπ<<，所以2πϕ=.所以()sin()cos 2f x x x π=+=.（2）由（1）得()cos f x x =，所以3()cos 5f A A ==，5()cos 13f B B ==-. 因为,(0,)A B π∈，所以4sin 5A ==，12sin 13B ==.因为,,A B C 为△ABC 的三个内角，所以()cos cos[()]cos()f C C A B A B π==-+=-+(cos cos sin sin )A B A B =--35412[()]513513=-⨯--⨯6365=.17.（1）依题意得，20105080%x ++=⨯，55020%y +=⨯，解得10x =，5y =.（2）该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的50位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为50的随机样本，将频率视为概率得，10(0.5)0.250P X ===，20(1)0.450P X ===，10( 1.5)0.250P X ===， 5(2)0.150P X ===，5( 2.5)0.150P X ===. 所以X的数学期望为.（3）记“该顾客结算前的等候时间不超过2分钟”为事件A ，该顾客前面第i 位顾客的结算时间为(1,2)i X i =，由于各顾客的结算相互独立，且12,X X 的分布列都与X 的分布列相同，所以121212()(0.5(0.5)(0.5(1)(0.5( 1.5)P A P X P X P X P X P X P X ==⋅=+=⋅=+=⋅=)))121212(1(0.5)(1(1)( 1.5(0.5)P X P X P X P X P X P X +=⋅=+=⋅=+=⋅=))) 0.20.20.20.40.20.20.40.20.40.40.20.20.44=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 为所求.18.（1）因为O 为AC 的中点，M 为BC 的中点，所以//OM AB .因为OM ⊄平面ABD ，AB ⊂平面ABD ，所以//OM 平面ABD .（2）因为在菱形ABCD 中，OD AC ⊥，所以在三棱锥B ACD -中，OD AC ⊥.在菱形ABCD 中，AB ＝AD ＝4，60BAD ∠= ，所以BD ＝4.因为O 为BD 的中点， 所以122OD BD ==.因为O 为AC 的中点，M 为BC 的中点，所以122OM AB ==. 因为2228OD OM DM +==，所以90DOM ∠= ，即OD OM ⊥.因为AC ⊂平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，AC OM O = ，所以OD ⊥平面ABC . 因为OD ⊂平面DOM ，所以平面DOM ⊥平面ABC .（3）作OE AB ⊥于E ，连结DE .由（2）知，OD ⊥平面ABC ，所以OD ⊥AB .因为OD OE O ＝，所以AB ⊥平面ODE .因为DE⊂平面ODE ，所以AB DE ⊥. 所以DEO ∠是二面角D AB O --的平面角. 在Rt△DOE 中，2OD =，OA OBOE AB⨯==DE ， 所以cos 7OE DEO DE ∠==.所以二面角D A B O --的余弦值为7. 19.（1）当2≥n 时，121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+⋅⋅⋅+-2311112222n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2311112222n ⎛⎫=-++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭1111114212212n n-⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=-. 又112a =也适合上式，所以*1()2n n a n =∈N . （2）由（1）得12n n a =，所以2n n n nb na ==.因为1231232222n nnT =+++⋅⋅⋅+①，所以2341112322222n n n T +=+++⋅⋅⋅+②. 由①－②得，123111*********n n n nT +=+++⋅⋅⋅+-，所以121111112212122222212nn n n n nn n n T --+=+++⋅⋅⋅+-=-=--. 因为33222(2)(221)221212212(21)2n n n n nn n n n n n n T n n n n ++++--⎛⎫-=--=-= ⎪++++⎝⎭， 所以确定n T 与321n n +的大小关系等价于比较2n与21n +的大小. 当1n =时，12211<⨯+；当2n =时，22221<⨯+；当3n =时，32231>⨯+；当4n =时，42241>⨯+；……，可猜想当3n ≥时，221nn >+.证明如下：当3n ≥时，0112(11)n n n nn n n nC C C C -=+=++⋅⋅⋅++ 0112221n nn n n n C C C C n n -≥+++=+>+.综上所述，当1n =或2n =时，321n n T n <+；当3n ≥时，321n nT n >+. 20.（1）因为P 是椭圆C 上一点，所以122PF PF a +=.在△12F PF 中，122FF =，由余弦定理得22212121212cos 2PF PF F F F PF PF PF +-∠=⋅ ()22121212122444122PF PF PF PF a PF PF PF PF +-⋅--==-⋅⋅. 因为2122122PF PF PF PF a ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12PF PF a ==时等号成立.因为1a >，所以21222442cos 112a F PF a a -∠≥-=-. 因为12cos F PF ∠的最小值为13，所以22113a -=，解得23a =. 又1c =，所以2222b a c =-=.所以椭圆C 的方程为22132x y +=. （2）设00(,)A x y ，则矩形ABCD 的面积004S x y =.因为2200132x y +=，所以2200213x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以2222222000003231632124332x S x y x x ⎛⎫⎛⎫==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为0x <00x ≠，所以当2032x =时，2S 取得最大值24.此时201y =，t ==所以当t =ABCD 的面积最大，最大面积为21.（1）假设存在点(,)M a b ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上，则函数()y f x =图像的对称中心为(,)M a b . 由()(2)2f x f a x b +-=，得21ln1ln 2222x a x b x a x-+++=--+， 即22222ln 0244x axb x ax a -+-+=-++-对(0,2)x ∀∈恒成立，所以220,440,b a -=⎧⎨-=⎩解得1,1.a b =⎧⎨=⎩所以存在点(1,1)M ，使得函数()y f x =的图像上任意一点P 关于点M 对称的点Q 也在函数()y f x =的图像上.（2）由（1）得()(2)2(02)f x f x x +-=<<.令i x n =，则()(2)2i if f n n+-=(1,2,,21)i n =⋅⋅⋅-. 因为1221()()(2)(2)n S f f f f n n n n =++⋅⋅⋅+-+-①，所以1221(2)(2)()()n S f f f f n n n n=-+-+⋅⋅⋅++②，由①+②得22(21)n S n =-，所以*21()n S n n =-∈N . 所以20132201314025S =⨯-=.（3）由（2）得*21()n S n n =-∈N ，所以*1()2n n S a n n +==∈N . 因为当*n ∈N 且2n ≥时，2()121ln ln 2n a m n m n n m a n n ⋅>⇔⋅>⇔>-.所以当*n ∈N 且2n ≥时，不等式ln ln 2n m n >-恒成立minln ln 2n m n ⎛⎫⇔>- ⎪⎝⎭. 设()(0)ln x g x x x =>，则2ln 1()(ln )x g x x -'=. 当0x e <<时，()0g x '<，()g x 在(0,)e 上单调递减； 当x e >时，()0g x '>，()g x 在(,)e +∞上单调递增. 因为23ln 9ln 8(2)(3)0ln 2ln 3ln 2ln 3g g --=-=>⋅，所以(2)(3)g g >， 所以当*n ∈N 且2n ≥时，[]min 3()(3)ln 3g n g ==. 由[]min ()ln 2m g n >-，得3ln 3ln 2m >-，解得3ln 2ln 3m >-.所以实数m 的取值范围是3ln 2(,)ln 3-+∞.。