北京市清华大学附属中学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(答案解析)

一、选择题1．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2134m m a b+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（ ）A ．[]4,3-B ．[]2,6-C ．[]6,2-D ．[]3,4- 2．下列结论中一定正确的是（ ）A ．若,0a b c <≠，则ac bc <B ．若33a b >，则a b >C ．若,0a b c >≠，则a b c c >D ．若a bc d >⎧⎨>⎩，则a c b d ->-3．若,,a b c ∈R ，且||1a ≤，||1b ≤，||1c ≤，则下列说法正确的是（ ）A ．322a ab bc ca +++≥B ．322a bab bc ca -+++≥C ．322a b cab bc ca --+++≥ D ．以上都不正确4．等差数列{a n }的前n 项和S n ，且4≤S 2≤6，15≤S 4≤21，则a 2的取值范围为（ ） A ．94788⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．233388⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．93388⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．234788⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5．对任意x ∈R ,不等式22|sin ||sin |x x a a +-≥恒成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．01a ≤≤B ．11a -≤≤C ．12a -≤≤D ．22a -≤≤ 6．已知实数0a b >>，R c ∈，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．ac bc <B ．11b b a a +<+C ．11b ba a +>+ D ．ac bc ≥7．如果sin 2a =，1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.51log 3c =，那么( )A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >> 8．已知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系不一定成立的是（ ） A ．221a b >+ B ．122a b +> C ．24a b > D ．1ab b >+9．已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()33f x f a a -≤+B ．()()5f x f a a -≤+C ．()()24f x f a a -≤+D ．()()()231f x f a a -≤+10．若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( )A ．若22ac bc >，则a b >B ．若0a b <<，则22a b <C ．若0a b >>，则11a b <D ．若0a b <<,0c d >>，则ac bd <11．若a ＞b ，c 为实数，下列不等式成立是（） A ．ac ＞bc B ．ac ＜bc C ． 22ac bc > D ． 22ac bc 12．实数,a b 满足0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．1a b <B ．1133a b <C ．a b a b -<-D ．2a ab <二、填空题13．若0,0,0a b m n >>>>，则a b , b a , b m a m ++, a n b n++按由小到大的顺序排列为_______. 14．若关于实数x 的不等式|x ﹣5|+|x+3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是___________． 15．已知不等式122a x y z -≥++，对满足2221x y z ++=的一切实数x y 、、z 都成立，则实数a 的取值范围为______16．如图，边长为(00)1a b a b ++>>,的正方形被剖分为9个矩形，这些矩形的面积如图所示，则3572468152S S S S S S S S S +++++的最小值是______.17．已知a b R ∈，，写出不等式a b a b a b +≤++-等号成立的所有条件_________ 18．对任意实数x ，若不等式|x ＋2|－|x －3|＞k 恒成立，则k 的取值范围是________ 19．已知()2|1|f x x =-，记1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，1()(())n n f x f f x +=，…，若对于任意的*n N ∈，0|()|2n f x ≤恒成立，则实数0x 的取值范围是_______．20．已知二次函数f （x ）=ax 2+2x+c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则11a c c a+++的最小值为_____． 三、解答题21．已知n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，22a =，()2*112n n n S a a n N ++=-∈. （1）证明：数列{}n a 是等差数列；（2）设()*2n n n a b n N =∈，数列{}n b 的前n 项和n T ， ①求证：2n T <； ②解关于n 的不等式：3332n n n T +>-. 22．已知函数()|4||1|f x x x =-+-，x ∈R .（1）解不等式：()5f x ≤；（2）记()f x 的最小值为M ，若实数,a b 满足22a b M +=，试证明：22112213a b +≥++. 23．设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，:q 实数x 满足31x -<.（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若其中0a >且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.24．已知函数()3f x x x a =-++．（1）当2a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()5f x x ≤-的解集包含[]1,3，求实数a 的取值范围．25．已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，a b -．26．已知函数()21,f x x m x m R =-+-∈（1）当1m =时，解不等式()2f x ； （2）若不等式()3f x x <-对任意[0,1]x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得112ab，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围．【详解】解：两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab ∴，∴112ab ． ∴不等式2134m m a b ++恒成立，即234a b m m ab ++恒成立， 即214m m ab+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，故选：C ．【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．2．B解析：B【分析】通过反例可判断A 、C 、D 均错误，利用函数的单调性可证明B 正确.【详解】对于A ，取2,1,1a b c =-=-=-，则a b <，但ac bc >，故A 错误.对于C ，取2,1,1b a c =-=-=-，则a b >，但a b c c<，故C 错误. 对于B ，因为3y x =为R 上的增函数，故33a b >等价于a b >，故B 正确.对于D ，取1,2,1,100a b c d =-=-=-=-，满足a b c d>⎧⎨>⎩，但a c b d -<-，故D 错误. 故选：B.【点睛】本题考查不等式的性质，注意说明一个不等式不成立，只需要举出一个反例即可，另外证明一个不等式成立可用作差法或作商法，本题属于基础题. 3．A解析：A【分析】首先根据题意得到13ab bc ca -≤++≤，即可得到选项A 正确，再利用特值法排除选项B ，C ，即可得到答案.【详解】因为,,a b c ∈R ，且||1a ≤，||1b ≤，||1c ≤，所以当,,a b c 都为1或1-时，ab bc ca ++取得最大值3，设()()1,||1f x b c x bc x =+++≤，(1)()1(1)(1)f b c bc b c -=-+++=--，(1)()1(1)(1)f b c bc b c =+++=++，||1b ≤，||1c ≤，(1)0,(1)0f f ∴-≥≥，||1x ∴≤时，()0f x ≥，又||1a ≤，()()10f a b c a bc ∴=+++≥，1ab bc ca ++≥-即：13ab bc ca -≤++≤.对于选项A ，3122ab bc ca +++≥，122a ≤，显然不等式成立． 取1a =，1b =-，0c ，得到31(1)10022---+++≥ 显然不成立，故排除选项B. 取1a =-，0b =，1c =，得到310100(1)22---++-+≥ 显然不成立，故排除选项C.故选：A【点睛】本题主要考查根据条件判断不等式是否正确，特值法为解决本题的关键，属于简单题. 4．B解析：B【分析】首先设公差为d ，由题中的条件可得2426a d ≤-≤和21521222a d ≤+≤，利用待定系数法可得()()222112244a a d a d =-++，结合所求的范围及不等式的性质可得 2233388a ≤≤. 【详解】设公差为d ，由246S ≤≤，得1246a a ≤+≤，即2426a d ≤-≤；同理由41521S ≤≤可得21521222a d ≤+≤. 故可设()()22222a x a d y a d =-++，所以有()()2222a x y a y x d =++-，所以有221y x x y =⎧⎨+=⎩，解得14x y ==，即()()222112244a a d a d =-++， 因为 ()2131242a d ≤-≤，()2151212848a d ≤+≤. 所以()()22231133228448a d a d ≤-++≤，即2233388a ≤≤. 故选：B.本题主要考查不等式的性质及等差数列的运算，利用不等式求解范围时注意放缩的尺度，运算次数越少，范围越准确.5．B解析：B【分析】解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥.求函数()||||||f t t t t a =++-的最小值,从而不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.解法二:（特殊值法）代入2a =, 1a =-,排除错误选项即可.【详解】解:解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥.令()||||||f t t t t a =++-,则min [()](0)||f t f a ==,从而解不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.故选B .解法二:（特殊值法）当2a =时,因为2|sin ||sin 2|2sin 2|sin |2|sin |2x x x x x +-=-+≥+≥,当且仅当sin 0x =时,等号成立.此时2|sin ||sin 2|4x x +-≥不恒成立,所以2a =不合题意,可以排除C 、D .当1a =-时,因为2|sin ||sin 1|1sin 2|sin |1|sin |1x x x x x ++=++≥+≥,当且仅当sin 0x =时,等号成立.此时2|sin ||sin 1|1x x ++≥恒成立,所以1a =-符合题意,可以排除A.故选:B【点睛】本题考查绝对值不等式的参数问题,属于中档题,利用函数求最值的方法或者特殊值排除法都可以解题.6．C解析：C【分析】根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案.【详解】当0c ≥时，不等式不成立，A 错误；()()10111b b ab a ab b a b a a a a a a ++----==>+++，故B 错误C 正确； 当0c <时，不等式不成立，D 错误；故选：C .本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用. 7．D解析：D【分析】由题意可知，3sin 2sin 4a π=>，12112b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，0.51log 13c =>，从而判断,,a b c 的大小关系即可.【详解】3224ππ<<∴3sin sin 2sin 42ππ<<1a << 110.523=> 0.50.511log log 132∴>=，即0.51log 13c => 121122b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭∴b a c <<故选：D【点睛】本题考查比较大小，是比较综合的一道题，属于中档题.8．D解析：D【分析】||1a b >+两边平方，结合绝对值的性质，可判断选项A 成立；||11a b b >+>+，再由指数函数的单调性，可判断选项B 正确；由212||b b +≥，结合选项A ，判断选项C 正确； 令5,a =3b =，满足||1a b >+，1a b b>+不成立. 【详解】 ||1a b >+2222||11a b b b ⇔>++>+，A 一定成立；||11a b b >+≥+122a b +⇒>，B 一定成立；又212||b b +≥，故24||4a b b >≥，C 一定成立；令5,a =3b =，即可推得D 不一定成立.故选:D.本题考查不等式与不等关系，注意绝对值性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题.9．C解析：C【分析】先表示出()()f x f a -，利用绝对值三角不等式a b a b ±≤+即可求解.【详解】由()23f x x x =+，得()()()(3)f x f a x a x a -=-++，因为1x a -≤，所以()(3)323x a x a x a x a a -++≤++=-++，由绝对值三角不等式得232324x a a x a a a -++≤-++≤+，故()()24f x f a a -≤+一定成立. 故选C.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的灵活应用，在求最值时要注意等号成立的条件，考查逻辑推理能力，属基础题.10．B解析：B【分析】由题意利用不等式的性质逐一考查所给的四个选项中的结论是否正确即可.其中正确的命题可以用不等式的性质进行证明，错误的命题给出反例即可.【详解】对于A ，若22ac bc >，则0c ≠，2222ac bc c c>，即a b >，故正确； 对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-， 则22a b >，故题中结论错误；对于C ，若0a b >>，则a b ab ab>，即11a b <，故正确； 对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确. 故选B.【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，属于中等题.11．D解析：D【分析】由已知条件，利用不等式的基本性质，直接求解，即可得到答案.【详解】由题意，,a b c >为实数，在A 中，当0c ≤时，ac bc >不定成立，所以不正确；在B 中，当0c ≥时，ac bc <不定成立，所以不正确；在C 中，当0c 时，22ac bc >不定成立，所以不正确；在D 中，因为2,0a b c >≥，所以22ac bc ≥成立，故选D.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理推理、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．C解析：C【解析】分析：根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．详解：根据题意，依次分析选项：对于A. 2,b 1a ==时，1a b>成立，故A 错误； 对于B 、2,b 1a ==时，有1133a b >成立，故B 错误；对于D 、2,b 1a ==，有2a ab >成立，故D 错误；故选：C ．点睛：本题考查不等式的性质，对于错误的结论举出反例即可．二、填空题13．【解析】解答：−==∵a>b>0m>0n>0∴<0∴−=∵a>b>0m>0n>0∴<0∴−<0∴−=∵a>b>0n>0∴−<0∴综上可知故答案为：点睛：比较大小的方法：作差法（作商法）中间量（比如0 解析：b b m a n a a a m b n b++<<<++ 【解析】解答：b a −b m a m ++==()()b a m a a m -+ ∵a >b >0，m >0，n >0，∴()() b a m a a m -+<0 ∴b b m a a m+<+b m a m ++−a n b n ++=()()()()()()b a b a b a m n a m b n +-+-+++ ∵a >b >0，m >0，n >0，∴()()()()()() b a b a b a m n a m b n +-+-+++<0 ∴b m a m ++−a n b n ++<0 ∴b m a n a m b n++<++ a n b n ++−a b =()()b a n b b n -+ ∵a >b >0，n >0， ∴a nb n ++−a b <0 ∴a n a b n b+<+ 综上可知，b b m a n a a a m b n b ++<<<++ 故答案为：b b m a n a a a m b n b++<<<++ 点睛：比较大小的方法：作差法（作商法），中间量（比如0或1），函数的单调性，数形结合等方法.14．（﹣∞8【解析】由于|x ﹣5|+|x+3|表示数轴上的x 对应点到5和﹣3对应点的距离之和其最小值为8再由关于实数x 的不等式|x ﹣5|+|x+3|＜a 无解可得a≤8故答案为（﹣∞8解析：（﹣∞，8]【解析】由于|x ﹣5|+|x+3|表示数轴上的x 对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8， 再由关于实数x 的不等式|x ﹣5|+|x+3|＜a 无解，可得a≤8，故答案为（﹣∞，8]．15．【解析】试题分析：不等式|a ﹣1|≥x+2y+2z 恒成立只要|a ﹣1|≥（x+2y+2z ）max 利用柯西不等式9=（12+22+22）•（x2+y2+z2）≥（1•x+2•y+2•z ）2求出x+2y解析：42a a ≥≤-或【解析】试题分析：不等式|a ﹣1|≥x+2y+2z 恒成立，只要|a ﹣1|≥（x+2y+2z ）max ，利用柯西不等式9=（12+22+22）•（x 2+y 2+z 2）≥（1•x+2•y+2•z ）2求出x+2y+2z 的最大值，再解关于a 的绝对值不等式即可．解：由柯西不等式9=（12+22+22）•（x 2+y 2+z 2）≥（1•x+2•y+2•z ）2即x+2y+2z≤3，当且仅当 即，，时，x+2y+2z 取得最大值3．∵不等式|a ﹣1|≥x+2y+2z ，对满足x 2+y 2+z 2=1的一切实数x ，y ，z 恒成立，只需|a ﹣1|≥3，解得a ﹣1≥3或a ﹣1≤﹣3，∴a≥4或∴a≤﹣2．即实数的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．故答案为a≥4或a≤﹣2．点评：本题考查柯西不等式的应用，考查运算能力和运用所学知识解决问题的能力． 16．2【分析】根据矩形的面积公式化简的表示然后分类讨论结合基本不等式比较法放缩法进行求解即可【详解】由图示可得：当时当且仅当时取得等号；当时即有成立由可得当且仅当时取得等号综上可得的最小值是2【点睛】关 解析：2【分析】 根据矩形的面积公式化简3572468152S S S S S S S S S +++++的表示，然后分类讨论，结合基本不等式、比较法、放缩法进行求解即可.【详解】 由图示可得：222235724681522211S S S b a b a S S S S S S b a a b ab a b ab +++=++=+++++++++， 当1a b ab +<+时，2221b a a b ab ++++2222222221111b a a b ab ab ab ab ab ++++>+=≥=++++， 当且仅当1a b ==时，取得等号；当1a b ab +≥+时，即有2221b a a b ab ++++222222a b a b a b a b a b+++≥+=+++成立， 由2222222222(1)(1)20a b a b a b a b a b a b a b+++--+-+--==≥+++， 可得3572468152S S S S S S S S S +++++2≥，当且仅当1a b ==时，取得等号， 综上可得，3572468152S S S S S S S S S +++++的最小值是2. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据1a b ab ++，之间的大小关系，利用放缩法进行求解. 17．或【分析】根据将证等号成立条件转化为证等号成立条件求解【详解】因为所以要证的等号成立条件只需证的等号成立条件即的等号成立条件当时当时所以当且仅当即或时取等号故答案为：或【点睛】本题主要考查绝对值三角 解析：a b =或=-a b【分析】 根据0,0+≥++-≥a b a b a b ，将证a b a b a b +≤++-等号成立条件，转化为证()()22+≤++-a ba b a b 等号成立条件求解. 【详解】 因为0,0+≥++-≥a b a b a b ， 所以要证a b a b a b +≤++-的等号成立条件 ， 只需证()()22+≤++-a b a b a b 的等号成立条件 ， 即2222220++--≥a b a b ab 的等号成立条件 ，当22a b ≥时，()()()222222223230++--=--=-+≥a b a b ab a b ab a ba b ， 当22a b <时，()()()222222223230+---=--=-+≥a b a b ab b a ab b a a b ， 所以当且仅当22a b a b ⎧≥⎪⎨=⎪⎩，即a b =或=-a b 时，取等号， 故答案为：a b =或=-a b【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式等号成立的条件，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.18．【分析】令求出即可得出k 的取值范围【详解】设当时则即故答案为：【点睛】本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围属于中档题解析：(),5-∞-【分析】令()|2||3|f x x x =+--，求出min ()f x ，即可得出k 的取值范围.【详解】设5,3()|2||3|21,235,2x f x x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩当(2,3)x ∈-时，()(5,5)f x ∈-，则min ()5f x =-即5k <-故答案为：(),5-∞-【点睛】本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围，属于中档题.19．【解析】【分析】先由得再由的定义可知对于任意的时不等式均成立进而得解【详解】由对于任意的恒成立可知即解得下证即为所求当时…故答案为：【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式及函数的表达式的应用属于中档题 解析：[0,2]【解析】【分析】先由()()1002f x f x =≤，得002x ≤≤，再由()()()1n n f x ff x +=的定义可知对于任意的*n N ∈，[]00,2x ∈时不等式均成立，进而得解.【详解】由对于任意的*n N ∈，()02n f x ≤恒成立，可知()()1002f x f x =≤，即0212x -≤，解得002x ≤≤.下证02x ≤≤即为所求.当[]00,2x ∈时，()[]100,2f x ∈， ()()()()[]201010210,2f x f f x f x ==-∈, ()()()()[]302020 210,2f x f f x f x ==-∈,…，()()()()[]01010 210,2n n n f x f f x f x --==-∈.故答案为：[]0,2.【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式及函数的表达式的应用，属于中档题. 20．4【分析】先判断是正数且把所求的式子变形使用基本不等式求最小值【详解】由题意知则当且仅当时取等号∴的最小值为4【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用属中档题解析：4【分析】先判断a c 、是正数，且1ac =，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．【详解】由题意知，044010a ac ac c =-=∴=＞，，，＞，则111111 2224a c a c a c c a c c a a c a c a +++=+++=+++≥+=+=（）（）， 当且仅当1a c ==时取等号． ∴11a c c a +++的最小值为4． 【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用．属中档题.三、解答题21．（1）见解析；（2）①见解析；②{1，2}【分析】（1）运用数列的递推式，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）①22n n n na nb ==，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证； ②原不等式化为2112n n +>，即221n n <+，运用二项式定理和不等式的性质，可得解集．【详解】（1）证明：n S 是正项数列{}n a 的求和，22a =，2112n n n S a a ++=-，可得21122222a S a a ==-=，则11a =，当2n 时，212n n n S a a -=-，又2112n n n S a a ++=-，两式相减可得22111222n n n n n n n a S S a a a a -++=-=--+，化为11()(1)0n n n n a a a a +++--=，由正项数列{}n a ，可得11n n a a +-=，可得数列{}n a 是首项和公差均为1的等差数列；（2）①证明：22n n n n a n b ==，前n 项和1232482n nn T =+++⋯+， 11123248162n n n T +=+++⋯+， 两式相减可得1111(1)11111221224822212n n n n n n n T ++-=+++⋯+-=--， 化为222n nn T +=-， 可得2n T <； ②3332n n n T +>-即2332322n n n n ++->-， 化为2112n n +>，即221n n <+， 22(11)11n n n n C n =+=+++⋯++，可得1n =时23<；2n =时，45；3n 不成立，故原不等式的解集为{1，2}．【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等差数列的定义和通项公式，等比数列的求和公式，数列的错位相减法求和，化简运算能力和推理能力，属于中档题．22．（1）{}05x x ≤≤，（2）证明见解析【分析】（1）先将()f x 化成分段函数的形式，然后根据()5f x ≤，分别解不等式即可；（2）由（1）可知()f x 的最小值为3M =，从而可得223a b +=，再利用基本不等式证明即可【详解】 （1）解：25,4()413,1425,1x x f x x x x x x ->⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪-+<⎩因为()5f x ≤，所以2554x x -≤⎧⎨>⎩，或14x ≤≤，或2551x x -+≤⎧⎨<⎩所以45x <≤，或14x ≤≤，或01x ≤<，所以05x ≤≤，所以不等式的解集为{}05x x ≤≤（2）证明：因为()|4||1|(4)(1)3f x x x x x =-+-≥-+-=，当且仅当14x ≤≤时取等号，所以()f x 的最小值为3M =，所以223a b +=， 所以22222211111[(2)(1)]21216a b a b a b ⎛⎫+=++++⨯ ⎪++++⎝⎭ 22221212216b a a b ⎛⎫++=++⨯ ⎪++⎝⎭12263⎛≥+⨯= ⎝， 当且仅当22221221b a a b ++=++，即21a =，22b =时取等号 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方23．（1）{}|23x x <<（2）423a ≤≤ 【分析】 （1）解一元二次不等式求得p 中x 的取值范围，解绝对值不等式求得q 中x 的取值范围，根据p q ∧为真，即,p q 都为真命题，求得x 的取值范围.（2）解一元二次不等式求得p 中x 的取值范围，根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围.【详解】对于q ：由31x -<得131x -<-<，解24x <<（1）当1a =时，对于p ：()()243310x x x x -+=--<，解得13x <<，由于p q ∧为真，所以,p q 都为真命题，所以2413x x <<⎧⎨<<⎩解得23x <<，所以实数x 的取值范围是{}|23x x <<.（2）当0a >时，对于p ：()()224303x ax a x a x a =---+<，解得3a x a <<.由于p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的必要不充分条件，所以234a a ≤⎧⎨≥⎩，解得423a ≤≤.所以实数a 的取值范围是423a ≤≤. 【点睛】 本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据含有逻辑连接词命题真假性求参数的取值范围，考查根据充分、必要条件求参数的取值范围，属于中档题.24．（1）{}14x x x ≤≥或（2）[]3,1a ∈--【分析】（1）利用分类讨论法，求得不等式的解集．（2）（2）原命题等价于35x x a x -++≤-在[]1,3上恒成立，即22x a x --≤≤-+在[]1,3上恒成立，由此求得a 的范围．【详解】解：（1）当2a =-时，()3f x ≥， 323x x ∴-+-≥2523x x ≤⎧∴⎨-≥⎩或2313x <<⎧⎨≥⎩或3253x x ≥⎧⎨-≥⎩1x ∴≤或x ∈∅或4x ≥， 所以不等式的解集为{1x x ≤或4}x ≥．（2）()5f x x ≤-，35x x a x ∴-++≤-由于[]1,3x ∈，所以上式2x a ⇔+≤，所以22x a x --≤≤-+在区间[]1,3上恒成立，所以[]3,1a ∈--．【点睛】本题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．25．（1）[]1,1M =-；（2）证明见解析.【分析】（1）根据绝对值定义化简函数，再解三个不等式组，最后求并集得结果；（2）利用分析法证明不等式【详解】 （1）()12,,411111,,4424412,4x x f x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩()12422x f x x ⎧≤-⎪≤∴⎨⎪-≤⎩或1144122x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或1422x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩ 114x ∴-≤≤-或1144x -<<或114x ≤≤ 所以不等式的解集为[]1,1M =-．（2）要证a b -，只需证a b -，即证()241ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b --+≥，即2242a ab b ++≥， 即证()24a b ≥+，只需证2a b ≥+因为a ，b M ∈，所以2a b +≤，所以所证不等式成立．【点睛】本题考查含绝对值不等式解法、分析法证明不等式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.26．（1）403x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）02m <<. 【分析】（1）分类讨论去绝对值后分区间解不等式，再求并集；（2）转化为||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立，后再构造函数，利用函数的单调性列不等式可得结果．【详解】（1）当1m =时，()|1||21|f x x x =-+-， 所以123,21(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=⎨⎪->⎪⎪⎩， ∴23212x x -<⎧⎪⎨<⎪⎩或2112x x <⎧⎪⎨⎪⎩或3221x x -<⎧⎨>⎩， 解得403x << 所以不等式()2f x 的解集为4{|0}3x x << （2）由题意()3f x x <-对任意的[0x ∈，1]恒成立，即||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立， 令12,02()321143,12x x g x x x x x ⎧+<⎪⎪=---=⎨⎪-⎪⎩， ()g x 在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递增，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减， ||y x m =-在(],m -∞上递减，在[),m +∞上递增，要使||3|21|x m x x -<---对任意的[0x ∈，1]恒成立，只需0021431m m ⎧-<+⎪⎨-<-⨯⎪⎩可得02m <<【点睛】绝对值不等式的常见解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。