2预期效用理论 冯.诺依曼与摩根斯坦
决策分析(含答案)优选全文
最新优选全文（可编辑修改）决策分析复习题（请和本学期的大纲对照，答案供参考）第一章一、选择题（单项选）1．1966年，R. A. Howard在第四届国际运筹学会议上发表（ C ）一文，首次提出“决策分析”这一名词，用它来反映决策理论的应用。
A．《对策理论与经济行为》B．《管理决策新科学》C．《决策分析：应用决策理论》D．《贝叶斯决策理论》2．决策分析的阶段包含两种基本方式：( A )A. 定性分析和定量分析B. 常规分析和非常规分析C. 单级决策和多级决策D. 静态分析和动态分析3．在管理决策中，许多管理人员认为只要选取满意的方案即可，而无须刻意追求最优的方案。
对于这种观点，你认为以下哪种解释最有说服力？（ D ）A．现实中不存在所谓的最优方案，所以选中的都只是满意方案B．现实管理决策中常常由于时间太紧而来不及寻找最优方案C．由于管理者对什么是最优决策无法达成共识，只有退而求其次D．刻意追求最优方案，常常会由于代价太高而最终得不偿失4．关于决策，正确的说法是（A ）A.决策是管理的基础B.管理是决策的基础C.决策是调查的基础D.计划是决策的基础5．根据决策时期，可以将决策分为：（D ）A．战略决策与战术决策 B. 定性决策与定量决策C. 常规决策与非常规决策D. 静态决策与动态决策6．我国五年发展计划属于（B）。
A．非程序性决策 B．战略决策 C．战术决策 D．确定型决策7.管理者的基本行为是（A）A．决策 B.计划 C.组织 D.控制8.管理的首要职能是（D）。
A．组织 B. 控制 C.监督 D. 决策9. 管理者工作的实质是（C）。
A．计划 B. 组织 C. 决策D.控制10. 决策分析的基本特点是（C ）。
A．系统性 B. 优选性 C. 未来性 D.动态性二、判断题1．管理者工作的实质就是决策，管理者也常称为“决策者”。
（√）2．1944年，Von Neumann和Morgenstern从决策角度来研究统计分析方法，建立了贝叶斯（统计）决策理论。
期望效用函数理论
其中，E[u(X)]表示关于随机变量X的期望效用。因此U(X)称为期望效用函数，又叫做冯·诺依曼—摩根斯坦 效用函数（VNM函数）。另外，要说明的是期望效用函数失去了保序性，不具有序数性。
受到挑战
EU理论及SEU理论描述了“理性人”在风险条件下的决策行为。但实际上人并不是纯粹的理性人，决策还受 到人的复杂的心理机制的影响。因此，EU理论对人的风险决策的描述性效度一直受到怀疑。例如，EU理论难以解 释阿莱悖论、Ellsberg悖论等现象；没有考虑现实生活中个体效用的模糊性、主观概率的模糊性；不能解释偏好 的不一致性、非传递性、不可代换性、“偏好反转现象”、观察到的保险和赌博行为；现实生活中也有对EU理论 中理性选择上的优势原则和无差异原则的违背；实际生活中的决策者对效用函数的估计也违背EU理论的效用函数。
该理论是将个体和群体合而为一的。阿罗和德布鲁（Arrow and Debreu）将其吸收进瓦尔拉斯均衡的框架中， 成为处理不确定性决策问题的分析范式，进而构筑起现代微观经济学并由此展开的包括宏观、金融、计量等在内 的宏伟而又优美的理论大厦。
函数简介
如果某个随机变量X以概率Pi取值xi，i=1,2,…,n，而某人在确定地得到xi时的效用为u(xi)，那么，该随 机变量给他的效用便是：
期望收入=(结果1的概率)×(结果1的收入)+(结果2的概率)×(结果2的收入)。工作A=1600。工作B=1450则 你应该选择工作A，而期望效用(expected utility)一般在单赌的情况下值为u(g)=pu(A)+(1-P)u(B)当u(g1) > u(g2)时，则可认为毕业时在g_1与g_2之间更偏好g_1。也就是说，当寻找工作的毕业生有多种未知的情况，而要 选择时，他们能够依靠期望效用的极大化来代表分析自己的主观选择。
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)笔记(第18章 不确定性和风险厌恶)
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）第7篇 不确定性、信息和外部性第18章 不确定性和风险厌恶复习笔记跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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1．风险描述——概率、期望值与方差 面对未来的不确定性，消费者和经理人员要经常进行决策。
在各种可能性结果和发生的概率可知的情况下，这种不确定性常常用“风险”来描述。
（1）概率由于在存在风险的条件下，决策者不能确定经济行为的最后结果，需要用概率来描述某种结果发生的可能性。
在实际生活中，概率的形成主要是取决于经济主体自身的主观判断，他可以根据历史的经验或自己的直觉来判断经济行为出现的可能性，而不必拘泥于以前曾经发生过的某个具体事件。
因此对于同样的经济行为，不同的个体做出的判断可能不同，基于这些判断的经济决策也可能不同。
在对风险的描述中，概率是一个必不可少的概念，可以利用概率衡量一项决策行为的收益期望值及其风险波动性。
（2）期望值期望值衡量的是，结果不确定的事件所有可能性结果的加权平均数，权数就是经济主体的主观概率。
作为一个统计变量，期望值反映的是事件的总体趋势，即各种可能性的一个平均结果。
计算期望值的一般公式：如果经济中有n 种可能性结果1X 、2X 、…、n X ，其发生的概率分别为1P 、2P 、…、n P ，则其期望值为：（3）方差方差2σ是实际值与期望值之差平方的平均值，而方差的平方根σ就是标准差，可以衡量不确定事件发生结果的波动程度。
由于方差衡量的是事件结果的波动程度，可以利用它来判断某一决策行为的风险性。
方差越大，风险越大。
冯诺依曼-摩根斯坦效用函数与风险升水PPT课件( 39页)
彩票的选择具有一般商品消费选择的特征，具 有收益的不确定性。可以用式子(p；A，C )表示。 如它会产生两种结果。
L1 ( p1; A, C ) L2 ( p2 ; A, C )
二、单赌和复赌
单赌：设有n种可能的事件结果，A(a1,a2，,an) 则单赌集合可写成：
n
G s{p 1a 1,p2a2 ， ,pnan|pi0, pi1 } i 1
PE(g)CE
或者说，风险升水指一个完全确定的收入E(g) 转化为两个不确定的收入w1和w2时，消费者由 于面临风险付出的代价。
u(w )
1u(w 1)2u(w 2)T
u (w 2 )
u ( E ( g ))
C
S
u(w )
T
u(w1) R p
O w1
CE
E (g)
w2 w
例：假定 u(w)ln(w)。令单赌中赢h和亏h各有 50%的概率，设消费者原来的资产水平为w。求 CE与风险水平P。
【不相等公理】
A B ,L 1 ( P 1 ,A ,B ) P 1 A ( 1 P 1 ) B L 2 (P 2 ,A ,B ) P 2 A ( 1 P 2 )B
当且仅当： P2 P1 消费者严格偏好于L2。L 2 L1
§2.冯诺依曼—摩根斯坦效用函数
一、VNM效用函数定义
u(ai ) Pi
即用消费者心里那个ai使与某个单赌等价的最 好事件发生的概率来定义u(ai)。
例： 设A=(a1,a2,a3)=(10元,4元,-2元)C=死亡。 当a1发生的概率P为多少时，消费者认为
a1(i=1,2,3)与(P,a1, a3)无差异?
如果该消费者回答：
尼科尔森《微观经济理论—基本原理与扩展》(第11版)笔记和课后习题详解-不确定性【圣才出品】
第7章不确定性7.1复习笔记1．风险描述——概率、期望值与方差面对未来的不确定性，消费者和经理人员要经常进行决策。
在各种可能性结果和发生的概率可知的情况下，这种不确定性常常用“风险”来描述。
（1）概率由于在存在风险的条件下，决策者不能确定经济行为的最后结果，需要用概率来描述某种结果发生的可能性。
在实际生活中，概率的形成主要是取决于经济主体自身的主观判断，既可以根据历史的经验，也可以根据直觉来判断经济行为出现的可能性，而不必拘泥于以前曾经发生过的某个具体事件。
因此对于同样的经济行为，不同的个体做出的判断可能不同，基于这些判断的经济决策也可能不同。
在对风险的描述中，概率是一个必不可少的概念，可以利用概率衡量一项决策行为的收益期望值及其风险波动性。
（2）期望值期望值衡量的是，结果不确定的事件所有可能性结果的加权平均数，权数就是经济主体的主观概率。
作为一个统计变量，期望值反映的是事件的总体趋势，即各种可能性的一个平均结果。
计算期望值的一般公式：如果经济中有n 种可能性结果X 1、X 2、…、X n ，其发生的概率分别为P 1、P 2、…、P n ，则其期望值为：11221()nn n i i i E X P X P X P X P X ==+++=∑L （3）方差方差σ2是实际值与期望值之差平方的平均值，而方差的平方根σ就是标准差，可以衡量不确定事件发生结果的波动程度。
由于方差衡量的是事件结果的波动程度，可以利用它来判断某一决策行为的风险性。
方差越大，风险越大。
2．公平赌博与期望效用假说（1）圣彼得堡悖论掷硬币直到出现正面为止。
如果在第n 次才第一次出现正面，则参与者可以得到2n 美元。
圣彼得堡悖论中赌博的期望值为：111211112ii i i i i x π∞∞=====+++++=∞∑∑期望值L L 上述期望值是无限大的，然而，没有人会花很多的钱（更不会多到无穷）去进行这种赌博。
这便产生一个悖论：在某种意义上，贝努利的赌博不值其（无穷的）期望值。
第二讲 不确定性下的期望效用理论
第二讲 不确定性下的期望效用理论确定性条件下的消费与投资尽管考虑了跨时问题，但未来投资收益是完全确定的。
未来往往是未知的，现实中更多重要的经济决策是在不确定环境下做出的，很难直接运用第一章阐述的效用理论来研究不确定性环境中的个体选择，必须建立起一整套基于不确定性的专门理论——期望效用理论来那就不确定性下的个体最优决策行为。
我们从一个经典的案例开始讲起。
圣.彼得堡悖论（St Peterburg Paradox ）关系到经济学理论的一个重要问题：如何对一个含风险的赌局进行评估？200多年前，瑞士数学家丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli ）对该悖论提出了开创性的解，从此创立了效用理论以及期望效用理论。
该悖论是丹尼尔.伯努利的表兄尼古拉斯.伯努利于1713年提出来的。
1713年9月9日，尼古拉斯.伯努利在写给数学家M. de Montmort 的信中提出了5个问题，其中第5个问题是这样的：彼得掷一枚硬币，如果第一次掷硬币头面朝上，彼得答应给保尔一盾（荷兰盾）；如果第一次掷的结果是背面朝上，则掷第二次; 如果第二次掷硬币头面朝上, 彼得付保尔2个盾；如果第二次掷的结果是背面朝上，则掷第三次……，到第n 次，如结果是头面朝上，彼得付保尔12n -个盾。
这个博局可以无限期地玩下去。
保尔在该博局中所获的价值的期望值是多少？尼古拉斯.伯努利之所以提出这个问题，是由于他发现数学界对这个赌局的期望收益的计算与实际生活中发现的该博局的门票价之间存在着悖论。
他发现，如果计算保尔的期望收入，则23211111()*1()*2()*2...()*2...22221111......2222n n E w -=+++++=+++++=∞按这个估算，保尔在该博局中的所获为无穷大，他应该付无穷大来买这个机会。
但是，在实际生活中，任何一个理智正常的人若出卖这个机会，其卖价不会超过20盾，因为当时瑞士类似的赌局的门票不超过20盾。
冯·诺伊曼-摩根斯坦的效用函数
14.12 博弈论讲义选择理论穆罕默德·伊尔蒂兹(讲座2)1 选择理论基础我们来考虑由所有选择组成的集合X。
选择是互相排斥的，即一个人不能同时做出两个不同的选择。
我们也会穷尽集合中所有可能的选择，这样参与者的选择总能被明确定义。
注意这只是一个建模的问题。
比如，假设我们拥有咖啡和茶两个选项，我们将选择定义为：C = 只要咖啡而不要茶，T = 只要茶而不要咖啡，CT = 既要咖啡又要茶，NT = 既不要咖啡也不要茶。
在集合X上建立一种关系。
在X上建立的关系是X×X 的一个子集。
当且仅当对于任意的x，y ∈ X,要么x y要么y x 时，我们说关系是完全的。
当且仅当对∈，于任意的x, y, z X[x y 且y z]⇒x z时，我们说关系是可传递的。
当且仅当一种关系既是完全的又是可传递的时，它就是一种偏好关系。
在给定偏好关系的前提下，我们可以定义严格偏好关系，即x y [x y 且 y x]，以及无差异关系～，即x～ y [x y 且y x]。
偏好关系可以用一个效用函数来表示，定义如下：。
以下定理进一步说明，能够用效用函数表示的关系必须是一种偏好关系。
定理1 设X为有限集。
一种关系能用一个效用函数表示的充分必要条件是，它既是完全的又是可传递的。
并且，如果表示，且是一个严格递增函数，那么也表示。
根据上述结论，我们称这些效用函数为序数效用函数。
为了运用选择的序数理论，我们应该了解参与者对各种选择的偏好。
正如我们在上次讲座里所看到的那样，在博弈论中，参与者会在他可能的各种策略中做出选择，而他的策略偏好又有赖于其他参与者所选择的策略。
一般来说，一个参与者并不知道其他参与者选择何种策略。
因此，我们需要一个不确定条件下的决策理论。
2 不确定条件下的决策我们考虑一个由奖金构成的有限集Z，以及由Z上所有概率分布构成的集合P，其中。
我们将这些概率分布称为博彩。
博彩可以用一个树形图来描述。
例如，在图1中，博彩1（lottery 1）描述了这样一种情景：参与者以1/2的概率（比如抛硬币得正面）获得10美元；以1/2的概率（比如抛硬币得到的是反面）获得0美元。
期望效用理论的两个悖论及其消解
２０１３年第５期（总第１３０期）／九月号现代哲学ＭＯＤＥＲＮＰＨＩＬＯＳＯＰＨＹＮｏ ５２０１３／ＧｅｎｅｒａｌＮｏ １３０／Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ期望效用理论的两个悖论及其消解———兼谈决策论的发展熊 卫【摘要】期望效用理论在弱序和独立性等公理基础上表征后果的价值和当事人的信念度，从而表征偏好关系。
阿莱斯悖论和厄尔斯伯格悖论在理论基础和解释经验方面对期望效用理论提出了严重的挑战。
阐述这两个悖论的消解，可以清晰地刻画现代决策理论的大概发展脉络。
【关键词】决策；期望效用；悖论；信念度中图分类号：Ｂ８１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００－７６６０（２０１３）０５－００８２－０５ 决策论表征当事人的偏好，是研究决策行为理性的一种理论。
由于行为理性是社会科学一个重要的概念，决策理论逐渐成为哲学、经济学、统计学、计算机科学、认知科学、管理学和心理学等多学科的一个研究热点。
事实上，在历年诺贝尔经济学奖获得者中，不乏来自不同学科的决策论研究大师，如经济学家阿莱斯和奥曼、哲学家西蒙、心理学家卡尼曼。
在当今兴起的形式认识论的热潮中，越来越多的研究人员应用决策论和博弈论来探讨认识论中的一些基本问题。
作为一种规范性理论，期望效用理论（贝叶斯决策理论）在决策论中一直占有突出的地位。
然而，阿莱斯悖论（Ａｌｌａｉｓｐａｒａｄｏｘ）和厄尔斯伯格悖论（Ｅｌｌｓｂｅｒｇｐａｒａｄｏｘ）在理论基础和解释方面对期望效用理论提出了严重的挑战。
如何解读和消除这两个悖论，决定了推广期望效用理论的思路。
因此，阐述这两个悖论的消解，可以清晰地刻画现代决策理论的大概发展脉络。
一根据萨维齐的观点①，一个典范决策情景包括：（１）由行为组成的集合；（２）由世界状态组成的集合，其中的每个元素都是对客观世界的一种描述；（３）由后果组成的集合。
下表直观地表述了一般的典范决策情景，其中ａｉ为一个行为，ｓｊ为一个世界状态，ｏｉｊ为行为ａｉ在世界状态ｓｊ下所形成的一个后果，ａｉ的可能后果是ｏｉｌ，…，ｏｉｍ。
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（一）不确定性下的选择问题与对象
不确定性下的选择问题是其预期效用最大化 的决定，这不仅决定自己行动的选择，也取 决于自然状态本身的选择或随机变化。 因此不确定下的选择对象被人们称为彩票 （Lottery)或未定商品（contingent commodity)
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假设投资者的证券组合收益变量的概率分 布定义在有限集合L上， 投资者的证券组合选择也可看成抽彩 （lottery）（或者投资者的消费计划， 或者投资收益），L中的元素为所有可能 各种奖金数额，不妨设L={l1，…，ln}， 得到奖品的li的概率为p(li)，i =1，2..n. (l1，p1；…；ln,，pn)表示一次性抽彩 p P。
第二章
不确定性条件下的投资决策准则
和预期效用函数
对外经济贸易大学金融学院 郭敏 教授 minguo992002@
2015-1-6
1
1. 2. 3.
教学目的及要求 ： 掌握什么是风险和不确定性 掌握在投资者在不确定条件下的决策准则 认识投资者的不同风险偏好和风险厌恶度量
重点内容 掌握投资者在不确定条件下的投资 决策决策准则和投资者的风险态度
2015-1-6 20
“圣彼德堡悖论”问题
有这样一场掷硬币的赌博：第一次赢得 2元，第一 次输第二次赢得 4 元，前两次输第三次赢得 8 元，„„一般情形为前 n-1 次输，第 n 次赢得 2 的 n次方元。问：应先付多少钱，才能使这场赌博 是“公平”的？ 如果用数学期望来定价，答案将是无穷大！ 但经过试验观察，我们发现，为了参加这一游戏， 人们愿意付出的金额在2-3之间。 因此，期望收益最大原则并不能解决一切的不确定 性问题 。
2015-1-6 6
定义
所谓“风险状态”是指那些涉及以已知概率或可能 性形式出现的随机问题，但排除了未数量化的不确 定性问题。 我们知晓的未来事件的概率分布或者来自于经验或 客观事物的自身规律，或者来自于人们的主观估计。 因此这里的风险的含义是中性的，一项经济活动的 风险可以由其收益的不可预测的波动性来定义，而 不管收益波动采取什么样的形式。
2015-1-6
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（二）期望效用函数（expected utility function）——不确定性下的投资决策原则
VNM预期效用函数：在不确定性下，证券 收益都是随机变量，在所涉及的随机变量集 合L上直接定义效用函数 u: L R，使得不确定性利益a比不确定 性利益b好等价于u (a)>u (b),并且对于 任何不确定性利益a与b，a以概率p与b的 平均(a, b；p), 满足： u ((a, b; p))=pu(a)+(1-p)u(b)
2015-1-6 2
第一节 风险与不确定性
一、什么是风险与不确定性 二、风险与不确定性下描述选择行为 的方法 三、风险与不确定性下的决策原则
2015-1-6
3
一、风险、不确定性与不确定性的定义
金融决策是时序决策，它们包括：选择，选择的
结果向将来延伸。由于将来是未知的，金融决策不
可避免的在不确定条件下进行。为了开始我们对投 资决策准则的研究，必须对“确定”、“风险”和 “不确定”进行概念上的区分。在此基础上，我们 然后才能构筑在不确定条件下决策的标准上层结构。
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二元关系(binary relations)
定义集合X,元素x，y，z。 如果二元关系满足；对于任意x X, 有x x, 则称 具有自反性 如果二元关系满足；对于任意x,y X, 要 么x y, y x, 则称 具有完全性。 如果二元关系满足；对于任意x,y,z X, x y, y z, 意味着x z, 则称具有传递性。
期望效 用函数 最大化
个 体 选 择
均衡
证券市 场价格
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三、不确定性下的决策原则
（一）确定性下的决策原则——收益最大准则
收益最大准则广泛应用于完全没有风险的情况下。 按照这一法则，只需选取收益率最高的投资机会即 可。通过正确的选择，可以实现投资期末的财富最 大化。经济学中的生产者理论和价值理论广泛使用 这一准则。
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（二）不确定性下理性决策的三种原则 数学期望最大化原则 期望效用最大原则 后期望效用最大原则
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数学期望收益最大准则
不确定的条件下最大期望收益准则是指使 用投资收益的预期值比较各种投资方案优 劣。这一准则有其合理性，它可以对各种 投资方案进行准确的优劣比较，同时这一 准则还是收益最大准则在不确定情形下的 推广。
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确定性、风险与不确定性要素设定比较
确定性 行为空间A 状态空间S 结果空间C
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风险 已知 概率分布已 知 替换行动结 果已知
不确定性 不知 不知 不知或已知
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已知 概率为1 已知
信息对证券价格形成的影响
价格反映信息
信 息 先 验 信 念
风 险 偏 好
后 验 信 念
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一、二元关系(binary relations)与偏好关系 （preference relationship） 二元关系(binary relations) 一个集合上的二元关系是确定这个集合中两 元素之间的一种联系。 有的二元关系所涉及的两个元素有相同的性 质，有的二元关系所涉及的两个元素则属于 不同性质的集合。 有的二元关系满足一定的性质，如完全性、 传递性、自反性、 （非）对称性。我们主要 考虑前三者。
2015-1-6
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偏好关系(preference relationship)
定义: 是指具有传递性、完全性、自反性的一个二
元关系。 偏好关系的一般表示是对于x,y X,有 x y，但 有以下两种特殊偏好关系： 给定偏好关系， 称x与y是无差别的，如果x y， y x。记为x y 称x严格偏好y，如果x y，但y x不成立。记作： x >y
2015-1-6
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定义
根据费兰克· 奈特(Frank·H·Knight)的观 点，所谓“不确定性”状态，是指那些每 个结果的发生概率尚未不知的事件，如明 年是否发生地震是不确定的。因此，不确 定性是指发生结果尚未不知的所有情形， 也即那些决策的结果明显地依赖于不能由 决策者控制的事件，并且仅在做出决策后， 决策者才知道其决策结果的一类问题。
2015-1-6 35
其含义是一种“未定商品”的效用就等于 该“未定商品”所涉及的“确定商品”效 用的均值。 所谓期望效用函数是定义在一个随机变量 集合上的函数，它在一个随机变量上的取 值等于它作为数值函数在该随机变量上取 值的数学期望。用它来判断有风险的利益 就是比较“钱的函数的数学期望”（“而 不是钱的数学期望”）。
2015-1-6 28
二、效用函数 ——确定性下的投资决策选择
效用函数：表示偏好关系的函数。对于 给定的偏好关系，给每一个消费计划赋予一 个实数，叫做它的效用utility . X上的偏好关系可以用效用函数来表示
是指存在X到R的函数U，使得
x1，x2X，x1x2U(x1)U(x2)
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三、期望效用函数 ——不确定性下的投资决策选择
给定偏好关系虽然可以用效用函数来表示， 但是当可能状态数目非常巨大时，证券组 合是一个高维的向量或随机变量 , 为此， 我们对效用函数进一步限制，经常用一类 更为特殊的、性质更好的效用函数——期 望 效 用 函 数 。
2015-1-6
2015-1-6
7
定义
所谓“确定性”指完全排除了随机性和不确 定性的各种可能，决策行为和决策状态是确 定的，因而每个决策结果是已知的 。
2015-1-6
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风险与不确定性的区别
由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实 际中常常根据主观概率或者设定一个概率分布来 推测未来的结果发生的可能性，因此学术界常常 把具有主观概率或设定概率分布的不同结果的事 件和具有客观概率的不同结果的事件同时视为风 险。 也就是说，风险与不确定性有区别，但在操作上， 我们引入主观概率或设定概率分布的概念，其二 者的界线就模糊了，几乎成为一个等同概念。
2015-1-6 21
期望效用最大化准则
贝努力提出期望效用准则方法：用期望效 用作为最大化的目标，假设投资者关心的 是期末财富的效用，从而成功解决了圣彼 得堡悖论问题。
பைடு நூலகம்
用期末财富的对数形式或指数形式作为效 用函数，则 alog(w) 或 w1/2表示效用 函数，w表示财富。 那么通过简单的计算， 可以发现人们的确定等价财富的确在 2-3 元之间。
2015-1-6 32
复赌（复合抽彩“a compound lottery”）: p (1 )q
显然一次性抽彩或复合抽彩涉及不确 定性利益
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公理：不确定性利益是某些随机变量所构 成的一个集合L，并且对于任何两个不确 定性利益a, b来说，以概率p得a，以概 率（1－p)得b也是不确定性利益，这个 不确定性利益可称为a以概率p与b的平 均，记为（a, b ;p).
2015-1-6
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“圣彼德堡悖论”
是否期望收益最大准则就是一个最优的决
策法则呢？ 圣彼得堡悖论——
18世纪的一个经典的例子——圣彼得堡悖论，这个 例子说服18 世纪的学者期望收益最大化原则不是 最合适的在不确定性下的决策原则。
2015-1-6
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“圣彼德堡悖论”
1738 年发表《对机 遇性赌博的分析》提 出解决“圣彼德堡悖 论”的“风险度量新 理论”。指出用“钱 的数学期望”来作为 决策函数不妥。应该 用“钱的函数的数学 期望”。Daniel Bernoulli （17001782)