矩阵二次型讲解
二次型矩阵知识点总结笔记
二次型矩阵知识点总结笔记
二次型矩阵是线性代数中的重要概念，涉及到矩阵、向量、特
征值等多个知识点。
下面我将从不同角度对二次型矩阵进行总结：
1. 定义，二次型矩阵是一个实对称矩阵，通常用矩阵Q表示。
它可以表示为一个关于向量x的二次齐次多项式，即Q(x) = x^T
A x，其中A是实对称矩阵，x是列向量。
2. 矩阵的性质，二次型矩阵的主要性质包括实对称性、正定性、负定性、半正定性、半负定性等。
这些性质与矩阵的特征值和特征
向量密切相关。
3. 特征值分解，对于二次型矩阵，可以进行特征值分解，得到
矩阵的特征值和特征向量。
这对于分析矩阵的性质和优化问题具有
重要意义。
4. 应用，二次型矩阵在优化问题、统计学、物理学等领域有着
广泛的应用。
例如在最小二乘法、主成分分析、正定规划等问题中
都涉及到二次型矩阵的应用。
总的来说，二次型矩阵是线性代数中一个重要且复杂的概念，涉及到多个方面的知识点。
深入理解二次型矩阵对于理解矩阵理论和应用具有重要意义。
希望这些总结对您有所帮助。
第2讲_二次型的矩阵处理
定理：合同的矩阵有相同的秩。
证明：… 对二次型，由于经可逆的线性变换前后的矩阵是合同的， 从而其秩也是一样的，又由于二次型矩阵的秩又称为二次型 的秩，因此可说，可逆的线性变换不改变二次型的秩。
二 二次型的正交标准化
对实对称矩阵,我们有 定理：设 A 为 n 阶对称阵，则必有正交阵 U，使 U-1AU = UTAU = Λ ， 其中 Λ 是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角阵。
线性变换。
4 二次型结论向矩阵结论的转化
在第一节我们只使用二次型的知识论证了任一二次型 都可以通过可逆的线性变换化为标准形。 本节前面的论述则指明二次型及其线性变换可表示成 矩阵的形式。 基于二次型通过可逆变换能够化成标准形及其矩阵表 示形式，我们可以得到： 对任一二次型 xTAx, 其中 AT=A，存在 x=Cy, C可逆，
终极目标是求特征值吗？
将二次型化为简单的标准形式， 目标并不在于求特征根，因此求特征值与特征向量或许没有 必要。我们再来看定理 定理：对任意的 n 元实二次型 f = xTAx，其中A=AT为 f 的矩
阵，则存在可逆正交变换 x=Uy，可化二次型为标准形。
做多了
在用配方法证明二次型可经可逆的线性变换化为标准形的
在前面我们使用数学归纳法证明了二次型是可以通过可逆
的线性变换化为标准形，但这里有两个问题或麻烦，其一是证 明过程的表述形式过于繁杂；其二是确定所说的可逆的线性变 换也不是简单易得的。 问题：真对如上关于对称矩阵的结论，能否用于二次型的
可化为标准形证明，以及确定所求的可逆的线性变换？
定理：对任意的 n 元实二次型 f = xTAx，其中A=AT为 f 的矩阵，
二 次 型
第1节 二次型的概念
第2节 二次型的矩阵处理
二次型的矩阵表示与规范形
二次型的矩阵表示与规范形二次型是数学中一种重要的函数形式，它在线性代数、微分方程、物理学等多个领域中都有广泛的应用。
在研究二次型时，通过矩阵表示和规范形可以更加清晰地理解和分析其性质和特点。
本文将介绍二次型的矩阵表示和规范形的概念及其应用。
1. 二次型的矩阵表示二次型是一个多元二次齐次函数，通常表示为Q(x) = x^TAX，其中x为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。
这里的x^T表示x的转置矩阵。
实际上，二次型Q(x)可以看作是向量x和矩阵A的乘积，而矩阵A起到了描述二次型性质的作用。
为了将二次型表示为矩阵形式，我们可以将x表示为列向量，A表示为矩阵，然后将二次型的表达式展开为矩阵的乘积形式。
具体来说，对于一个n维列向量x = (x_1, x_2, ..., x_n)^T，其中x_i表示向量x的第i个分量，我们可以将二次型Q(x)表示为：Q(x) = x^TAX = x_1a_{11}x_1 + x_1a_{12}x_2 + ... + x_na_{nn}x_n 将上式中的二次项系数（a_{ij}）按照矩阵的形式排列，即可得到矩阵A。
这样，二次型Q(x)就可以表示为矩阵A的乘积形式。
2. 二次型的规范形二次型的规范形是一种特殊的矩阵表示形式，通过对矩阵A进行特殊的相似变换，可以将二次型化为规范形。
规范形对于分析二次型的性质和特征有很大的帮助。
对于一个二次型Q(x) = x^TAX，通过合同变换（转置和相似变换的组合），我们可以将矩阵A转化为对角矩阵D = diag(λ_1, λ_2, ..., λ_n)，其中λ_i表示矩阵D的第i个对角元素。
这样，二次型Q(x)就可以表示为：Q(x) = x^TAX = x^TP^TDPx = (Px)^TD(Px)其中P为可逆矩阵，称之为合同变换矩阵。
从上式可以看出，二次型Q(x)经过合同变换后可以化为规范形，其中规范形的矩阵D是对角矩阵，每个对角元素表示了相应方向上的特征值，而合同变换矩阵P则是由特征向量构成。
6.1 二次型及其矩阵表示
6
第 六 章 二 次 型
§6.1 二次型及其矩阵表示
二、二次型的矩阵表示
推导 f ( x1 , x2 , L , xn ) =
2 a11 x1 + a12 x1 x2 + L + a1n x1 x n 2 + a 21 x 2 x1 + a22 x2 + L + a2 n x2 x n
LLLLLLLLLL 2 + a n1 xn x1 + an 2 xn x2 + L + ann xn
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
定义 含有 n 个变量的二次齐次多项式称为 n 元二次型。 个变量的二次齐次 二次齐次多项式称为 二次型。
(一般) 一般)
2 2 例如 (1) f ( x , y ) = 3 x + 8 x y + 2 y
是一个二 二次型。 是一个二元二次型。
2 2 2 (2) f ( x , y , z ) = x + 2 x y + 6 x z + 2 y + 4 y z + 4 z
2 2
3 4 x = ( x, y ) . 4 2 y
4
第 六 章 二 次 型
§6.1 二次型及其矩阵表示
一、二次型的概念
试试看： 试试看： (2) f ( x , y , z ) = x 2 + 2 x y + 6 x z + 2 y 2 + 4 y z + 4 z 2
=
x1 (a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn ) + x2 (a21 x1 + a22 x2 + L + a2 n x n )
矩阵二次型
0 3 3
练习 求二次型 f的矩阵
(1) f ( x1, x2 , x3 ) x12 2 x22 2 x1 x2 3 x2 x3
1 1 0
解： A 1
2
3
2
0
3
0
2
(2) f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x12 2x22 7 x42 2x1x2 2x2 x3 4x3 x4
第八章 二次型
一、二次型及其标准形的概念
定义1 含有n个变量 x1, x2 ,, xn的二次齐次函数
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
称为二次型.
当aij是复数时, f称为复二次型 当aij是实数时, f称为实二次型
解：A
1 3
5 3
3 c
r( A) 2 A 0 c3
四、化二次型为标准形
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
设 x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn ,
x2 c21 y1 c22 y2 c2n yn
,
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
记
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
x1
x
x2
,
an1 an2 ann
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
则 f xT Ax,
——二次型的矩阵表示式
A 其中 为对称阵：
. AT A
二次型矩阵形式
二次型矩阵形式二次型是数学中一个重要的概念，与矩阵紧密相关。
在接下来的文章中，我将详细介绍二次型及其矩阵形式，包括定义、性质、特征值和特征向量以及矩阵对角化等内容。
首先，我们来定义二次型。
给定一个n维向量x = (x1, x2, ..., xn)，我们可以定义一个二次型Q(x)如下：Q(x) = x1^2 + x2^2 + ... + xn^2其中，x1, x2, ..., xn是向量x的分量。
上述二次型表示了一个向量x各个分量的平方和。
一般地，我们可以用一个n维向量x和一个实对称矩阵A来表示一个二次型，如下所示：Q(x)=x^TAx其中，x^T表示向量x的转置，表示行向量。
接下来，我们来探讨二次型的性质。
首先，我们看到二次型的系数矩阵A是实对称矩阵。
这是因为在二次型的定义中，我们可以通过转置操作将行向量x转换为列向量，从而使得系数矩阵A是对称的。
实对称矩阵有很多重要的性质，例如它总是可以对角化的。
另外，二次型对应的系数矩阵A也具有特殊的性质，即正定、负定或半正定、半负定。
如果对于任意非零向量x，都有Q(x)>0，那么二次型Q(x)为正定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)<0，那么二次型Q(x)为负定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)>=0，那么二次型Q(x)为半正定；如果对于任意非零向量x，都有Q(x)<=0，那么二次型Q(x)为半负定。
正定、负定、半正定和半负定是描述二次型的重要概念，它们在优化问题、凸优化和最小二乘等领域中有着广泛应用。
特征值和特征向量也是与二次型密切相关的概念。
给定一个二次型Q(x)=x^TAx，其中A是一个n阶实对称矩阵，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ是一个实数，那么v是矩阵A的特征向量，λ是对应的特征值。
特征值和特征向量能够帮助我们更好地理解和分析二次型的性质。
矩阵对角化也是二次型的一个重要应用。
对于一个n阶实对称矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP是一个对角矩阵D，那么我们称矩阵A可对角化。
二次型的矩阵表示
z12 z22 z32
• 三次齐次多项式 ( 三次型 ) :
x3 7z3 y2 z
§1 二次型的矩阵表示 © 2009, Henan Polytechnic University
a21 x2 x1 a22 x22 L a2n x2 xn
L L L L L L L L
an1 xn x1 an2 xn x2 L ann xn2
nn
aij
x i
x
j
②
i1 j1
§1 二次型的矩阵表示 © 2009, Henan Polytechnic University
a22 x22 L L L 2a2n x2 xn
a33 x32 L 2a3n x3 xn ①
L L L L
ann xn2
称为数域P上的一个n元二次型．
§1 二次型的矩阵表示 © 2009, Henan Polytechnic University
33
第五章 二次型
• 二次齐次多项式 ( 二次型 ) :
2 1
所对应的二次型。
§1 二次型的矩阵表示 © 2009, Henan Polytechnic University
1212
第五章 二次型
解 1）原二次型所对应的对称矩阵为：
1 1 0
B 1
0
3
2
0
3
1
2
2）矩阵对应的二次型为：
f x1, x2 , x3 x12 4x1 x2 6x1 x3 4x2 x3 x32
二次型及其矩阵表示
二次型的标准型的意 义
标准型在二次型的理论和应用中具有 重要意义。例如，通过研究标准型， 我们可以更好地了解二次型的性质和 特点。此外，标准型也常常用于求解 二次型的最小二乘问题等应用中。
二次型的标准化的方 法
二次型的标准化方法包括将二次型转 化为标准型的过程。这个过程可以通 过正交变换来实现，具体来说就是通 过一系列可逆变换将二次型转化为其 同类中最为简单的一种形式。
02
二次型的矩阵表示
二次型的矩阵形式
二次型的矩阵形式
二次型可以表示为矩阵的形式，其中矩阵元素是二次项系数。对于一个二次型 $f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，其矩阵形式可以表示为 $f = x^T A x$，其中 $A$ 是一个对称矩阵。
矩阵的对称性
对于一个二次型 $f = x^T A x$，如果存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $f = (Px)^T A (Px)$ ，则称该二次型是正定的。正定二次型的矩阵 $A$ 是对称正定的。
正定二次型的性质
正定二次型具有一些特殊的性质。例如，正定二次型的标准型是唯一的，并且可以通过正 交变换将任何一个正定二次型转化为标准型。此外，正定二次型的矩阵是正定的，即其所 有特征值都是正的。
二次型的标准型介绍
二次型的标准型定义
二次型的标准型是指将二次型转化为 其同类中最为简单的一种形式。通过 作可逆变换，任何一个二次型都可以 化为标准型。
03
二次型的计算方法
二次型的矩阵计算
矩阵的二次型
对于一个给定的矩阵A，其二次型可以通过对其进行矩阵乘法 得到。
矩阵的奇异值分解
奇异值分解是一种将矩阵分解为三个矩阵的乘积的方法，这种 方法可以用于计算二次型的值。
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f (x, y) ? x 2 ? y2 ? 5 f (x, y) ? 2x 2 ? y2 ? 2x
? ?
不是二次型。
?
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只含有平方项的二次型
f ? k1 y12 ? k 2 y22 ? ? ? k n yn2
称为二次型的标准形（或法式）．
例如
f
?x1, x2, x3 ??
二次型；
?二次型的矩阵 A 满足：
⑴
A 的对角元
aii
是
x
2 i
的系数；ห้องสมุดไป่ตู้
⑵ A 的 (i, j) (i ? j) 元是 xi x j系数的一半 .
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三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
1 2
?
?
2
x
2 1
?
x
2 2
?
x
2 3
?
2
3x1x2 ? x1x3
3
1?
2
? ?
0
? ?
1
1 2
0
0 1
?2
2
?
解：A
?
?0 ?
1 2
0
?
?
? ?
0
0
0
?
?0 0 0
?
0
0
? ?
?
0
0?
?
?
0 0?
?
?
?
0
1? 2?
1
? 0?
2
?
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?? － 2
?
例2：求对称矩阵 A 所对应的二次型。A ? ? 3
解： f ( x1 , x 2 , x 3 )
? ???
称为二次型 .
当aij 是复数时, f称为复二次型 当aij 是实数时, f称为实二次型
（我们仅讨论实二次型）
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例如： f ( x , y) ? x 2 ? 4 xy ? 5 y2
?
f ( x , y, z) ? 2x 2 ? y2 ? xz ? yz
? ?
都是二次型。
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ? x1 x2 ? x2 x3 ? x2 x4 ??
取 a ji ? aij ,
2a x x a x x a x x 则
?
?
,
ij i j
ij i j
ji j i
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则（1）式可以表示为
f ? a11 x12 ? a12 x1 x2 ?
?
a21 x 2 x1
?
a22
x
2 2
?
?
? a1n x1 x n ? a2n x 2 xn
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵;
f 叫做对称矩阵A的二次型;
对称矩阵A的秩叫做二次型f 的秩.
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例１ 写出二次型
f ? x12 ? 2x22 ? 3x32 ? 4x1x2 ? 6x2x3 的矩阵.
解
a 11
?
1, a 22
?
2, a 33
?
?3,
a12 ? a21 ? 2, a13 ? a31 ? 0,
???xn ???
则二次型可记作 f ? xT Ax,其中A为对称矩阵.
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则 f ? xT Ax,
——二次型的矩阵表示式
其中 A为对称阵：AT ? A.
说明
?对称阵与二次型一一对应；
?若 f ? x T Ax (AT ? A)，则对称阵 A称为
二次型 f 的矩阵；二次型 f 称为对称阵 A的
?? a11 , x n )?? a21
x1 ? x1 ?
a12 x 2 ?
a22 x 2 ? ?
? ?
? ?
a1n x n a2n xn
?? ? ?
??? an1 x1 ? an 2 x 2 ? ? ? ann x n ???
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?? a11
?
?x1 , x 2 ,? , x n
第八章 二次型
一、二次型及其标准形的概念
定义1 含有n个变量 x1, x2 ,? , xn的二次齐次函数
f
?x1 ,
x 2 ,?
, x n ??
a11
x
2 1
?
a
22
x
2 2
?
?
?
ann
x
2 n
? 2a12 x 1 x 2 ? 2a13 x 1 x 3 ? ? ? 2an ? 1, n x n ? 1 x n
?
2
3
? ?
2?
? ?0 ?
3
?
0?
2
?
(2) f
(x1, x2, x3, x4) ?
x12
?
2
x
2 2
?
7
x
2 4
?
2x1x2
?
2x2x3
?
4x3x4
? 1 ?1
0 0?
解：
A
?
? ?
?
1
2
?1
0
? ?
? 0 ?1
0 2?
? ?
0
0
2
7
? ?
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(3) f ( x1 ,? , xn ) ? x1 x2 ? x2 x3 ? ? ? x x n? 1 n
? an1xn x1 ? an2 xn x2 ?
?
ann
x
2 n
二次型用和号表示
n
? ? aij xi x j i, j?1
? x1(a11 x1 ? a12 x2 ? ? a1n xn )
? x2 (a21 x1 ? a22 x2 ?
? ? xn (an1x1 ? an2 x2 ?
? a2n xn ) ? ann xn )
???
a21 ?
a12
a22 ?
? ? ?
a1n ???? x1 ?? a2n ?? x2 ? ? ?? ??
???an1 an2 ? ann ?????? x n ???
记
??a11
A
?
?a21 ??
a12
a22 ?
? ? ?
a1n ??
a2n ?
??,
?? x1 ??
x
?
? ?
x?2 ??,
???an1 an2 ? ann ???
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? x1 (a11 x 1 ? a12 x 2 ? ? ? a1n x n ) ? x 2 (a21 x1 ? a22 x 2 ? ? ? a2n x n ) ? ? ? x n (an1 x1 ? an 2 x 2 ? ? ? ann x n )
?
( x1 , x 2 ,?
x12
?
4
x
2 2
?
4
x
2 3
为二次型的标准形 .
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二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型
f
?x1 , x 2 ,? , x n ??
a11
x
2 1
?
a
22
x
2 2
?
?
?
a nn
x
2 n
? 2a12 x 1 x 2 ? 2a13 x1 x 3 ? ? ? 2an ? 1,n x n ? 1 x n
a23 ? a32 ? ? 3.
??1 2 0 ?? ? A ? ? 2 2 ? 3?.
??0 ? 3 ? 3??
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练习 求二次型 f 的矩阵
(1) f
(x1, x2, x3) ?
x
2 1
?
2
x
2 2
?
2x1x2 ?
3x2x3
?
?
? 1 ?1 0?
?
解： A ? ? ? 1