容斥原理之最值问题
三集合容斥原理满足两项的最大值
三集合容斥原理满足两项的最大值三集合容斥原理是概率论中的重要原理之一，被广泛应用于组合数学、图论、计算几何等领域。
它是一种用于计算多个集合交集的概率的方法。
本文将介绍三集合容斥原理的基本概念、性质及其应用案例。
一、三集合容斥原理的基本概念三集合容斥原理是由两集合容斥原理推广而来。
在两集合容斥原理中，我们考虑了两个集合A和B的交集以及它们的并集。
而在三集合容斥原理中，我们考虑了三个集合A、B、C的交集以及它们的并集。
假设A、B、C是三个集合，它们的交集为A∩B∩C，它们的并集为A∪B∪C。
我们希望计算三个集合的交集的概率P(A∩B∩C)。
二、三集合容斥原理的性质三集合容斥原理可以通过反证法来证明。
假设P(A∪B∪C)是三个集合的并集的概率，P(A∩B)是任意两个集合的交集的概率，以此类推，P(A∩C)和P(B∩C)分别是另外两个集合的交集的概率。
根据概率的定义，我们可以得到以下关系：P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)对于三个集合的交集的概率P(A∩B∩C)，可以通过求解上述方程得到。
这就是三集合容斥原理的基本公式。
三、三集合容斥原理的应用案例三集合容斥原理在实际问题求解中有广泛的应用。
下面我们以一个实际问题为例来演示如何使用三集合容斥原理。
假设有一批产品，分别由A、B、C三家公司生产。
我们想要计算至少有两家公司生产的产品的概率。
设P(A)、P(B)、P(C)分别为A、B、C公司生产产品的概率，我们可以先求解P(A∪B)、P(A∪C)和P(B∪C)。
然后利用三集合容斥原理，计算如下：P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)根据问题的设定，P(A∩B)、P(A∩C)和P(B∩C)都是已知的，可以通过实际数据获得。
三者容斥最小值公式推导
三者容斥最小值公式推导三者容斥是组合数学中的一种计数原理，用于求解多个集合的交、并、差等运算的元素个数。
在三者容斥原理中，我们通常会用到最小值公式，它可以帮助我们求解多个集合交集的最小元素个数。
为了推导三者容斥最小值公式，我们先来了解一下基本概念和符号。
1.集合：集合是由没有特定顺序的一组元素组成的。
集合中的元素是唯一的，没有重复项。
2.元素个数：一个集合中的元素个数被称为该集合的大小或者基数。
我们用符号，A，来表示集合A的大小。
3.交集：两个或多个集合中共同含有的元素称为交集。
我们用符号A∩B来表示集合A和集合B的交集。
4.并集：两个或多个集合合在一起的所有元素组成的集合称为并集。
我们用符号A∪B来表示集合A和集合B的并集。
5.差集：从一个集合中去除与另一个集合相同的元素形成的集合称为差集。
我们用符号A-B来表示集合A差去集合B的差集。
在了解了这些概念后，我们现在就可以开始推导三者容斥最小值公式了。
假设我们有三个集合A、B和C，我们想要求解它们的交集的最小元素个数。
首先，我们可以将交集的最小元素个数定义为n(A∩B∩C)。
根据三者容斥原理，我们可以将求解交集的最小元素个数分解为求解单个集合的大小、两两集合交集的大小和整个集合的大小的组合。
具体的推导过程如下：n(A∩B∩C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩B∩C)这个公式中的每一项都可以通过统计集合中的元素个数来获得。
我们可以得出以下结论：1.n(A)：集合A的大小。
2.n(B)：集合B的大小。
3.n(C)：集合C的大小。
4.n(A∩B)：集合A和集合B的交集的大小。
5.n(A∩C)：集合A和集合C的交集的大小。
6.n(B∩C)：集合B和集合C的交集的大小。
7.n(A∩B∩C)：集合A、B和C的交集的大小。
通过以上推导和公式，我们可以计算出三个集合的交集的最小元素个数。
三者容斥最小值公式在解决组合计数问题时非常有用。
容斥原理之最值问题
1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集AB 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：教学目标知识要点7-7-5.容斥原理之最值问题1．先包含——A B +重叠部分AB 计算了2次，多加了1次；在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考． 【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
每个年级12道题，并且至少有8道题与其他各年级都不同。
容斥极值求最小值的原理
容斥极值求最小值的原理容斥原理是组合数学中的一种计数方法，用来解决多个集合的交集与并集的问题。
容斥极值求最小值则是在容斥原理基础上，通过一个极值问题来求满足条件的最小值。
容斥原理的基本思想是通过减去两两集合的交集的办法计算多个集合的并集。
具体而言，对于n个集合A1,A2,...,An，它们的并集的元素个数为：A1∪A2∪...∪An，=，A1，+，A2，+...+，An，-，A1∩A2，-，A1∩A3，-...-，An-1∩An，+，A1∩A2∩A3，+...+(-1)^(n-1)，An-1∩An∩An+1，+...+(-1)^n，A1∩A2∩...∩Anmin ，B，, subject to B∩Ai = Bi , 1≤ i ≤ n其中，Ai代表集合A中的元素，Bi代表集合B中与集合Ai相交的元素。
为了实现求最小值，我们可以利用容斥原理的补集性质，将问题转化为求最大值问题。
具体而言，我们定义一个新的集合C，使得：C=A1∪A2∪...∪An-B则有：C，=，A1∪A2∪...∪An，-，B进一步，我们可以用集合C的元素个数来表示集合B的元素个数：B，=，A1∪A2∪...∪An，-，C这样，原问题就转化为了求集合C的最大值，即求解：max ，C，, subject to C∩Ai = Ci , 1≤ i ≤ n其中，Ci代表集合C中与集合Ai相交的元素。
接下来，我们可以利用容斥原理的求最大值性质，通过开辟额外的集合来求出集合C的最大值。
具体而言，我们定义一个新的集合D，使得：D=A1∩A2∩...∩An-C则有：D，=，A1∩A2∩...∩An，-，C进一步，我们可以用集合D的元素个数来表示集合C的元素个数：C，=，A1∩A2∩...∩An，-，D这样，原问题就转化为了求集合D的最小值，即求解：min ，D，, subject to D∩Ai = Di , 1≤ i ≤ n其中，Di代表集合D中与集合Ai相交的元素。
(小学奥数)容斥原理之最值问题
1. 瞭解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用．一、兩量重疊問題 在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算．求兩個集合並集的元素的個數，不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重複計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符號“”讀作“並”，相當於中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當於中文“且”的意思．)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．圖示如下:A 表示小圓部分，B 表示大圓部分，C 表示大圓與小圓的公共部分，記為：A B ，即陰影面積．包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合A B 、的並集AB 的元素的個數，可分以下兩步進行：第一步：分別計算集合A B 、的元素個數，然後加起來，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”進來，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去C AB =(意思是“排除”了重複計算的元素個數)． 二、三量重疊問題A 類、B 類與C 類元素個數的總和A =類元素的個數B +類元素個數C +類元素個數-既是A 類又是B 類的元素個數-既是B 類又是C 類的元素個數-既是A 類又是C 類的元素個數+同時是A 類、B 類、C 類的元素個數．用符號表示為：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．圖示如下：教學目標知識要點7-7-5.容斥原理之最值問題1．先包含——A B +重疊部分A B 計算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重疊部分A B 減去．在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考．【例 1】 “走美”主試委員會為三～八年級準備決賽試題。
2020年部编版小学奥数容斥原理之最值问题
小学奥数容斥原理之最值问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．知识要点教学目标7-7-5.容斥原理之最值问题1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【例 1】 “走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
容斥原理最值问题
容斥原理最值问题嘿，朋友们！今天咱来聊聊容斥原理最值问题，这可真是个有意思的玩意儿啊！你说啥是容斥原理最值问题呢？咱打个比方哈，就好比你去参加一个大聚会，里面有喜欢吃苹果的人，有喜欢吃香蕉的人，还有既喜欢吃苹果又喜欢吃香蕉的人。
那怎么能知道最多有多少人喜欢吃这两种水果，或者最少有多少人喜欢呢？这就是容斥原理最值问题啦！咱想想啊，要是只知道喜欢苹果的有多少人，喜欢香蕉的有多少人，可直接把这俩数加起来，那肯定不对呀，因为里面有重复的部分呢，这时候就得用容斥原理来好好算算了。
那最值又是咋回事呢？就好比你想让喜欢吃水果的人最多或者最少，那可得好好琢磨琢磨条件，找到那个最极端的情况。
比如说，有一个班级，会唱歌的有 20 人，会跳舞的有 15 人，既会唱歌又会跳舞的有 5 人。
那这时候让你求既不会唱歌也不会跳舞的最多有多少人，你就得好好想想啦。
要是想让这个最多，那是不是得让会唱歌和会跳舞的人尽可能地重复呀，这样既不会唱歌也不会跳舞的人不就多了嘛！你说是不是这个理儿？再举个例子，有一堆水果，苹果有 10 个，香蕉有 8 个，橘子有 6 个，既喜欢苹果又喜欢香蕉的有 3 个，既喜欢苹果又喜欢橘子的有 2 个，既喜欢香蕉又喜欢橘子的有 1 个，三种都喜欢的有 1 个。
那这时候让你求喜欢至少一种水果的最少有多少人，这可得好好动动脑筋了。
是不是得让那些重复的部分尽可能地少呀，这样喜欢至少一种水果的人不就最少了嘛！哎呀呀，这容斥原理最值问题是不是挺好玩的？就像解一个小谜题一样，得仔细琢磨条件，找到那个最关键的点。
有时候你可能会觉得有点绕，但别着急，慢慢来，多想想，肯定能搞明白的。
你想想，生活中不也经常会遇到这样的问题嘛。
比如说你组织一个活动，要知道最多能有多少人参加，或者最少需要准备多少东西，这不就和容斥原理最值问题差不多嘛！所以说呀，学会这个可有用啦！咱再回到学习上，遇到这种问题可别头疼，要把它当成一个挑战，一个让你变得更聪明的机会。
小学思维数学讲义：容斥原理之最值问题-带详解
容斥原理之最值问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标 例题精讲知识要点 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【例1】“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
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教学目标1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用.知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算•求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把 两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成： AUB A B AI B （其中符号“ U ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“ I ”读作“交”，相当于中文“且”的意思. ）则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理•图示AIB ,即阴影面积•图示第一步：分别计算集合 A 、B 的元素个数，然后加起来，即先求A B （意思是把A B 的一切元素都“包含”进来，加在一起）;第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C AI B （意思是“排除”了重复计算的元素个数 ）•、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和 A 类元素的个数 B 类元素个数 C 类元素个数 既是A 类又是B 类 的元素个数既是B 类又是C 类的元素个数 既是A 类又是C 类的元素个数 同时是A 类、B 类、C 类的元 素个数.用符号表示为： AUBUC A B C AI B BI C AI C AI BI C .图示如下：如下:A 表示小圆部分, B 表示大圆部分, C 表示大圆与小圆的公共部分，记为:包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 的并集AU B 的元素的个数，可分以下两步进行:例题精讲【例1】“走美”主试委员会为三〜八年级准备决赛试题。
每个年级12道题，并且至少有8道题与其他各年级都不同。
如果每道题出现在不同年级，最多只能出现 3次。
本届活动至少要准备 道决赛试题。
【考点】容斥原理之最值问题 【难度】4星 【题型】填空【关键词】走美杯，4年级，决赛，第9题【解析】每个年级都有自己8道题目，然后可以三至五年级共用4道题目，六到八年级共用 4道题目，总共有8 6 4 2 56 （道）题目。
【答案】56题【例2】 将1〜13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星 【题型】填空【解析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中，最大和为: 13 X 4+ (12+11 + 10+9) X 3+ 8+7+6+5 ) X 2+ 4+3+2+1 ) =240.【答案】240【例3】如图，5条同样长的线段拼成了一个五角星•如果每条线段上恰有 这个五角星上红色点最少有多少个 ？目 tMlF13个区域中，然后把每1994个点被染成红色，那么在【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【解析】如下图，下图中“ d ”位置均有两条线段通过， 也就是交点，如果这些交点所对应的线段都在“ d ”位置恰有红色点，那么在五角星上重叠的红色点最多，所以此时显现的红色点最少，有 1994 X5-(2- 1) X 10=9960 个.【答案】9960【例4】 某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球•那么，这个班至 少有多少学生这三项运动都会？【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【解析】(法1 )首先看至少有多少人会游泳、自行车两项，由于会游泳的有27人，会骑自行车的有33人,而总人数为 48人，在会游泳人数和会骑自行车人数确定的情况下，两项都会的学生至少有27 33 48 12人，再看会游泳、自行车以及乒乓球三项的学生人数，至少有12 40 48 4人.该情况可以用线段图来构造和示意：(法2)设三项运动都会的人有 x 人，只会两项的有 y 人，只会一项的有 z 人, 那么根据在统计中会 n 项运动的学生被统计 n 次的规律有以下等式： 3x 2y z 27 33 40x y z 48 x, y,z 0由第一条方程可得到 z 100 3x 2y ，将其代入第二条式子得到： 100 2x y 48，即卩 2x y 52L L L L ①而第二条式子还能得到式子 x y 48，即2x y 48 xL L L L ② 联立①和②得到48 x 52，即x 4 .可行情况构造同上.【答案】4【巩固】某班有50名学生，参加语文竞赛的有 28人，参加数学竞赛的有 23人，参加英语竞赛的有 20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有 ___________ 人.【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星 【题型】填空【解析】根据题意可知，该班参加竞赛的共有 28 23 20 71人次.由于每人最多参加两科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，也有不参加的，共是 71人次.要求参加两科的人数最多，则让这71人次尽可能多地重复，而 71 2 35L L 1，所以至多有35人参加两科，此时还有 1人参加1科. 那么是否存在35人参加两科的情况呢？由于此时还有1人是只参加一科的，假设这个人只参加数学 一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有(28 22 20) 2 15人，参加语文、英语两科的共有28 15 13人，参加数学、英语两科的共有20 13 7人.也就是说，此时全班有15人参加语文、数学两科，游泳 0|1415|16 27|28 48| « -------------I.j」27人 1 ------ 士 -- ■ # ------------- -----------------1 i 1 i • ------------------------------------------------------------------- «总人数 游泳自行车 48人 33人 40人13人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语两科，1人只参加数学1科，还有14 人不参加•检验可知符合题设条件•所以35人是可以达到的，则参加两科的最多有35人.（当然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语）【答案】352 3 4【巩固】60人中有-的人会打乒乓球，-的人会打羽毛球，-的人会打排球，这三项运动都会的人有22人，3 4 5问：这三项运动都不会的最多有多少人？【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【解析】设只会打乒乓球和羽毛球两项的人有x人，只会打乒乓球和排球两项的有y人，只会打羽毛球和排球两项的有z人.由于只会三项运动中的一项的不可能小于0，所以x、y、z有如下关系：40 x y 22 045 x z 22 048 y z 22 0将三条关系式相加，得到x y z 33，而60人当中会至少一项运动的人数有40 45 48 x y z 2 22 56人，所以60人当中三项都不会的人数最多4人（当x、y、z分别取7、11、15时，不等式组成立）•【答案】【例5】图书室有100本书，借阅图书者需在图书上签名•已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33 , 44和55本，其中同时有甲、乙签名的图书为29本，同时有甲、丙签名的图书为25本，同时有乙、丙签名的图书为36本•问这批图书中最少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【解析】设甲借过的书组成集合A，乙借过的书组成集合B，丙借过的书组成集合 C. A =33, B =44 , C =55 , |AI B =29 , |AI c|=25 , |BI C =36 •本题只需算出甲、乙、丙中至少有一人借过的书的最大值，再将其与100作差即可.AUBUC A |B |C |AI B AI C BI C AI BI C ,当|AI BI C|最大时，|AUBUC|有最大值•也就是说当三人都借过的书最多时，甲、乙、丙中至少有一人借过的书最多.而|AI BI C|最大不超过IA、|B|、|C|、|AI B|、|BI c|、|AI c| 6个数中的最小值，所以IAI BI C 最大为25 .此时|AU B UC =33+44+55-29-25-36+25=67 ，即三者至少有一人借过的书最多为67本，所以这批图书中最少有33本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过.【答案】33【巩固】甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事.每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读.已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事•那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个？【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【解析】考虑甲乙两人情况，有甲乙都读过的最少为：75+60-100=35 个，此时甲单独读过的为75-35=40个，乙单独读过的为60-35=25 个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为52-40=12 个.【答案】12【例6】某数学竞赛共160人进入决赛，决赛共四题，做对第一题的有136人，做对第二题的有125人，做对第三题的有118人，做对第四题的有104人。
在这次决赛中至少有―得满分。
【考点】容斥原理之最值问题【难度】5星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第10题【解析】设得满分的人都做对3道题时得满分的人最少，有136 + 125 + 118 + 104 -160 3=3（人）。
【答案】3人【例7】某班有46人，其中有40人会骑自行车，38人会打乒乓球，35人会打羽毛球，27人会游泳，则该班这四项运动都会的至少有人。
【考点】容斥原理之最值问题【难度】5星【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，1试【解析】不会骑车的6人，不会打乒乓球的8人，不会羽毛球的11人，不会游泳的19人，那么至少不会一项的最多只有6+8+11+19=44 人，那么思想都会的至少44人【答案】44人【例8】在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75 盆, 丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？【考点】容斥原理之最值问题【难度】5星【题型】填空【解析】为了恰好被3个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个人浇过的花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是30盆，那么接下来就变成乙浇了45盆，丙浇了50盆，丁浇60盆了，这时共有100 30 70盆花，我们要让这70盆中恰好被3 个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了，恰好被3个人浇过的花最少有45 50 60 140 15盆.【答案】15【巩固】甲、乙、丙同时给100盆花浇水•已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆？【考点】容斥原理之最值问题【难度】4星【题型】填空【解析】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46 盆，此时甲单独浇过的为78-46=32盆，乙单独浇过的为68-46=22 盆；欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端．于是三者都浇过花最少为58-32-22=4 盆．答案】4巩固】在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100 盆花浇水，已知甲浇了30 盆，乙浇了75 盆，丙浇了80 盆，丁浇了90 盆，请问恰好被 1 个人浇过的花最少有多少盆？考点】容斥原理之最值问题【难度】 5 星【题型】填空解析】100 盆花共被浇水275 次，平均每盆被浇2.75次，为了让被浇 1 次的花多，我们也需要被浇 4 次的花尽量多，为30 盆，那么余下70 盆共被浇155 次，平均每盆被浇2.21次，说明需要一些花被浇 3 次才可以．我们假设70 盆都被浇 3 次，那么多出55 次，每盆花少浇 2 次变为被浇 1 次最多可以变27 次，所以本题答案为27 盆．答案】27。