2.波动方程
大学物理习题详解No.2波动方程
《大学物理》作业 No.2波动方程班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______一、判断题[ F ] 1. 解：电磁波就可以在真空中传播。
[ F ] 2. 解：波动是振动的传播，沿着波的传播方向，振动相位依次落后。
[ F ] 3. 解：质元的振动速度和波速是两个概念，质元的振动速度是质元振动的真实运动速度，而波速是相位的传播速度，其大小取决于介质的性质。
[ F ] 4. 解：振动曲线描述的是一个质点离开平衡位置的位移随时间的变化关系；波形曲线是某一时刻，波线上各个质点离开平衡位置的情况。
[ F ] 5. 解：对于波动的介质元而言，其动能和势能同相变化，它们时时刻刻都有相同的数值。
二、选择题：1. 一平面简谐波表达式为)2(sin 05.0x t y --=π (SI) ，则该波的频率v (Hz)、波速u (m ⋅s -1)及波线上各点振动的振幅A (m)依次为：(A) 2/1，2/1，05.0- (B) 2/1，1，05.0-(C) 2/1，2/1，05.0 (D) 2 ，2，05.0[ C ]解：平面简谐波表达式可改写为(SI))22cos(05.0)2(sin 05.0ππππ+-=--=x t x t y与标准形式的波动方程 ])(2[cos ϕπ+-=u xt v A y 比较，可得 )s (m 21,(Hz)21,(m)05.01-⋅===u v A 。
故选C2. 一平面简谐波的波动方程为)3cos(1.0πππ+-=x t y (SI)，t = 0时的波形曲线如图所示。
则：(A) O 点的振幅为-0.1 m(B) 波长为3 m (C) a 、b 两点位相差 π21(D) 波速为9 m ⋅s -1解：由波动方程可知(Hz),23(m),1.0==νA (m)2=λ，)s (m 32231-⋅=⨯==νλua 、b 两点间相位差为：2422πλλπλπϕ===∆ab故选C3. 一平面简谐波沿x 轴正向传播，t = T/4时的波形曲线如图所示。
大学物理 第二章 薛定谔方程
n 1,2,3,
2 n sin x a a n3
n2
n4
n0
E4 16E1
0
由 ( x )
( x) 0
E3 9E1
a
E2 4E1 E1
说明不存在这种状态
——完全静止的粒子是不存在的！ 所以 n 最小取1，粒子的最小能量为
n1
0
2 2 E1 0 2ma 2
由于在阱壁上波函数必须单值、连续，应有：
n A sin x （ 0＜ x＜ a) 综上： n ( x ) a （ x ≤ 0 或 x ≥a ) 0
将波函数归一化： 即：
a
n ( x ) A sin x n ( x) a n 1,2,3, 称为量子数（quantum number）
——也是可能存在的状态
3)
一维情况：
( x , t ) 2 2 i [ U ( x , t )] ( x , t ) t 2 m x 2
2 2 i [ U ( x, t )]——一般形式的薛定谔方程 2 t 2m x
自由粒子的薛定谔方程 对自由粒子，其势能U(x,t)=0,则波函数满足的波动方程为：
E n1 E n ( n 1) 2 n 2 2n 1 0 En n2 n2
所以经典物理可以看作是 量子物理中量子数
n 时的极限情况
当 n 时，均匀分布，量子⇒经典
n ( x)
2 n sin x a a
2 n 2 n ( x ) sin x a a
其解为： ( x)
k 2mE 2
0
A sin( kx )
A sin 0 n (0) (a) 0 0; k A sin ka 0 a n x n ( x) 得： ( x ) A sin a
世界上最伟大的十个公式
世界上最伟大的十个公式1.万有引力定律（公式：F=G*(m1*m2)/r^2）万有引力定律由牛顿提出，描述了两个物体之间的引力作用。
该公式说明了它们之间的引力与质量和距离的平方成反比。
2. 波尔-爱因斯坦关系（公式：E = mc^2）这个公式由爱因斯坦在相对论理论中提出，它描述了质量和能量之间的等价关系。
其中，E是能量，m是物体的质量，c是光速。
3.海森堡不确定性原理（公式：Δx*Δp≥h/4π）海森堡提出了这个原理，它描述了量子物理学中的粒子位置和动量的测量不可能完全精确。
该公式说明了测量粒子位置和动量的不确定性之间的关系。
4. 斯托克斯定律（公式：∮C F · dr = ∬S (curl F) · dS）斯托克斯定律描述了矢量场中环路曲线上的环流和场的偏转之间的关系。
该公式表明，环路曲线上的环流等于曲线包围的表面上的场的旋度。
5.波尔半径（公式：r=(n^2*h^2)/(4π^2*m*e^2*Z)）波尔半径是描述原子中电子轨道半径的公式。
其中，n是主量子数，h是普朗克常数，m是电子质量，e是元电荷，Z是原子核的原子序数。
6.相对论质能关系（公式：E=m*c^2/√(1-v^2/c^2)）这个公式是相对论中描述质能和速度之间关系的公式。
其中，E是质能，m是物体的质量，c是光速，v是物体的速度。
7.热力学恒等方程（公式：dU=TdS-PdV）热力学恒等方程描述了系统的内能与温度、熵和压强之间的关系。
该公式表明，内能的变化取决于温度和熵的变化以及压强和体积的变化。
8.波动方程（公式：∂^2u/∂t^2=c^2∇^2u）波动方程描述了波的传播和振幅随时间和空间的变化。
其中，u是波函数，t是时间，c是波的传播速度，∇^2是拉普拉斯算符。
9.黎曼-默滕斯公式（公式：ζ(s)=1/1^s+1/2^s+1/3^s+...）黎曼-默滕斯公式是数论中的重要公式，描述了黎曼ζ函数与复数s 之间的关系。
波动方程的标准形式
波动方程的标准形式
波动方程的公式分为正弦和余弦，其中正弦表达式为Y=Asin(ωt-kz+φ)，余弦表达式为为Y=ACOS[ω(t-kz)+φ]，其中z代表位移，φ是初相位。
波动方程也称波方程，是一种描述波动现象的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等，在不同领域都有涉及，例如声学，电磁学，和流体力学等。
在实际应用中，波动方程的标准形式经常需要结合边界条件和初值条件来求解。
例如，对于一维的弦波振动问题，可以在波动方程中加入弦的边界条件和初始位移等条件来求解波动的形状和传播速度。
2波动方程03-弦振动方程初值问题的求解
1 F (0) − G (0) G ( x) = , ∫ψ (s)ds − 2a 0 2
x
于是得：
u ( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) x − at x + at 1 1 =− ∫ ψ (s)ds + 2a ∫ ψ (s)ds 2a 0 0 0 x + at 1 1 = ∫atψ (s)ds + 2a ∫ ψ ( s)ds 2a x − 0
由课本第31页练习16的结论，方程 在变换
{
ξ = x − at , η = x + =utt − a 2u xx = 0
ξ +η
下化为 uξη = 0, 积分两次得：
2 η −ξ t= ; 2a
,
u = F (ξ ) + G (η ),
其中 F 和 G 为 C (R ) 上的任意函数。 于是，
我们只要利用初始条件来确定这两个函数，即可得出问题 (2)(3)(4)之解。
u ( x, t ) t =0 = [ F ( x − at ) + G ( x + at ) ] t =0 = F ( x) + G ( x) = 0, ut ( x, t ) t =0 = [ − aF ′( x − at ) + aG′( x + at ) ] t =0
=−
ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )
2
1 − 2a
x + at
x − at
∫ ψ ( s ) ds
t x + a ( t −τ ) ⎤ 1 ⎡ − ∫ ⎢ ∫ f ( s,τ )ds ⎥ dτ 2a 0 ⎢ x − a ( t −τ ) ⎥ ⎣ ⎦
第二章波动方程和薛定谔方程
1 (2πh )3 / 2 1 (2πh )3 / 2
p ⋅r v h C p t e dp x dp y dp z ， ( , ) ∫∫∫ ∞
i vv
− p ⋅r v h Ψ r t e dxdydz 。 ( , ) ∫∫∫
i vv
&&dinger 方程给出： 4、波函数随时间变化的规律由 Schro
ih h2 2 ∂Ψ v =− ∇ Ψ + U (r , t )Ψ 。 ∂t 2μ
据此，可以得到几率守恒律的微分形式：
１
v ∂ω +∇⋅J =0 ， ∂t
v ih v v v 其中： ω (r , t ) = Ψ * (r , t )Ψ (r , t ) （假设 Ψ 归一化） ，J ≡ ( Ψ ∇Ψ * − Ψ * ∇Ψ ) 。 2μ
任意形状的势垒 U ( x) ，透射系数为：
D = D0 exp[−
四、典型例题
例 1、证明动量算符的属于本征值为 p' 的本征函数在动量表象中的表示是 δ ( p − p ' ) 。 证明：设 Ψ ( x, t ) 所描写的状态是具有动量 p ' 的自由粒子的状态，即
Ψ ( x, t ) = ψ p ' ( x )e
[−
h2 d2 * + U( x )]ψ * n = Enψn 2μ dx 2
，
（2）
即 ψ n 及 ψ* n 皆是与能量 E n 相对应的波函数。 而一维束缚定态不存在简并，于是：
４
ψ n = cψ * ， n （c 为复常数）
* 即： ψ * n = c ψn ，
则： ψ n = cc * ψ n = c ψ n ， 即： c = 1 ， 所以： c = e iδ ，可以取 δ = 0 ，即： ψ n = ψ * n 。 故 ψ n 为实数（无损一般性， ψ n 可取为实函数） 。
波动方程求解法2
现在我们讨论在三维无限空间中的波动问题:200(3.1)|()|()tt t t t u a u u M u M ϕψ==⎧=Δ⎪=⎨⎪=⎩,,x y z −∞<<+∞,,,0x y z t −∞<<+∞>(,,).M M x y z =其中M 代表空间中任意一点, 这个定解问题采用求平均法来求解.11(,)(()())()22()().22x at x atx at x at x at x at u x t x at x at d a t t d d t at at ϕϕψξξϕξξψξξ+−++−−=−+++⎛⎞∂=+⎜⎟∂⎝⎠∫∫∫先回忆一维的达朗贝尔公式的变形称为函数在区间[x -at , x +at ]1()2x at x atd at ωξξ+−∫()ωξ上的平均值，这个平均值与x, 半径at 和函数有关，()ωξ1(,)().2x at x atv x t d at ωωξξ+−=∫记作于是达朗贝尔公式的变为()(,)(,)(,).u x t tv x t tv x t tϕψ∂=+∂上述方法称为球平均法.23123(,,)(),x x x C R ω∈设函数现在考虑该函数在球面2222112233:()()()r C x x x rξξξ−+−+−=上的平均值.123(,,),r C ξξξ∈对于采用球坐标：123,1,2,3,sin cos ,sin sin ,cos ,0,02.i i i x r i ξααθϕαθϕαθθπϕπ=+====≤≤≤≤21231122332002123112233100211(,,,)(,,),(3.3)41(,,,)(,,),(3.4)4sin ,sin ,r r v x x x r x r x r x r d r v x x x r x r x r x r d d r d d d d d ππωππωωααασπωααασπσθθϕσθθϕ=+++=+++==∫∫∫∫或者 其中面积单元：记作引理4.2: 对于给定的则由(3.3)或(3.4)确定的函数v 满足PDE 2220(3.5)v v v r r r∂∂−Δ+=∂∂以及初始条件123(,,)x x x ω在球面上的平均值:r C 23123(,,)(),x x x C R ω∈12312321122332200(,,,)(,,,)11(,,)(3.7)44r r rC v x x x r v x x x r x r x r x r d d r r ωππωααασωσππΔ=Δ=Δ+++=Δ∫∫∫∫故由(3.3)有再由复合函数的求导法则应用奥高公式12300(,,),0.(3.6)r r v v x x x r ω==∂==∂证明：由于沿单位球面的积分可以在积分号下求导r C 33212001111,44r k k r k k kkC v d d r x r x ππωωασασππ==∂∂∂==∂∂∂∑∑∫∫∫∫21,(3.8)4rD v d r r ωπ∂=ΔΩ∂∫∫∫其中是由所围成的区域.r D r C 22000sin ,r r D d d d d ππωωρθθϕρΔΩ=Δ∫∫∫∫∫∫∵2200sin ,r r r D C d r d d d r ππωωθθϕωσ∂∴ΔΩ=Δ=Δ∂∫∫∫∫∫∫∫由(3.8)及上式有223211,(3.9)24r rr D C v d d r r r ωωσππ∂−∴=ΔΩ+Δ∂∫∫∫∫∫由(3.7),(3.8)和(3.9)变知函数v 满足方程(3.5).下面验证由(3.3)或(3.4)确定的v 满足初始条件(3.6).由(3.4)知211223312300001(,,)(,,).4r r r v x r x r x r d x x x ππωααασωπ==∴=+++=∫∫又由(3.8)，利用积分中值定理知31231232123141(,,)(,,),433(,,).r v r r r r D πωξξξωξξξπξξξ∂=Δ=Δ∂其中是内的某点1231230,(,,)(,,),0(0).v r x x x r rξξξ∂→∴→→∂当时趋于球心引理4.2得证.引理4.3: 设v 是由(3.3)确定的函数，则123123(,,,)(,,,)(3.10)u x x x t tv x x x at =是定解问题2001230()|0,|(,,)tt t t t u a u i u u x x x ω==⎧−Δ=⎪⎨==⎪⎩的解.证明：直接计算,得 Δu = t Δv( x1 , x2 , x3 , at ),ut = v( x1 , x2 , x3 , at ) + atvr ( x1 , x2 , x3 , at ), utt = 2avr ( x1 , x2 , x3 , at ) + a 2tvrr ( x1 , x2 , x3 , at ),其中 vr ( x1 , x2 , x3 , at ) 是导数 vr ( x1 , x2 , x3 , r ) 在r=at的值. 直接验算,得2 utt − a Δu = a t (vrr − Δv + vr ) = 0. at 这正好是方程(3.5)在r=at的情形.2 2关于满足定解条件, 可由表达式(3.10)和(3.6)直接推出.引理4.4: 设 u ( x1 , x2 , x3 , t ) 是定解问题(i)的解，则 ∂ u ( x1 , x2 , x3 , t ) = u ( x1 , x2 , x3 , t ) (3.11) ∂t 是定解问题⎧ utt − a 2 Δu = 0 ⎪ ( ii ) ⎨ ⎪ u |t = 0 = ω ( x1 , x2 , x3 ), ut |t = 0 = 0 ⎩的解.证明：直接计算,得⎞ ∂ 2u ∂ ⎛ ∂ 2u 2 2 − a Δu = ⎜ 2 − a Δu ⎟ = 0, 2 ∂t ∂t ⎝ ∂t ⎠ ∂u u t =0 = = ω ( x1 , x2 , x3 ), ∂t t =0 utt =0∂u = 2 = a 2 Δu ( x1 , x2 , x3 , 0) = 0. ∂t t =02所以引理得证.利用叠加原理, 将Cauchy问题(3.1)写成定解问题⎧ utt − a 2 Δu = 0 ⎪ ( iii ) ⎨ ⎪ u |t = 0 = ϕ ( x1 , x2 , x3 ), ut |t = 0 = 0 ⎩ ⎧ utt − a 2 Δu = 0 ⎪ ( iv ) ⎨ ⎪ u |t = 0 = 0, ut |t = 0 = ψ ( x1 , x2 , x3 ) ⎩的叠加. 设 u1 ( x, y, z , t ), u2 ( x, y, z , t ), 是定解问题(iii)和(iv) 的解,则 u = u1 ( x, y, z , t ) + u2 ( x, y, z , t ) 就是Cauchy问题 (3.1)解.由引理4.3知，只要取 ω = ψ 就可得到定解问题(iv)的解t 2π π ∴ u2 ( x, y , z , t ) = ∫0 ∫0 ψ ( x1 + α1at , x2 + α 2 at , x3 + α 3at ) sin θ dθ dϕ 4π 1 = 2 ∫∫M )ψ dS , dS 是球面面积微元 4π a t Sat (⎞ ∂⎛ 1 ∴ u1 ( x, y, z , t ) = ⎜ ϕ dS ⎟ ⎜ 4π a 2t S ∫∫ ) ⎟ ∂t ⎝ (M at ⎠由引理4.4知，只要取 ω = ϕ 就可得到定解问题(iii)的解所以Cauchy问题(3.1)的解为∂⎛ 1 u( x , y , z , t ) = ⎜ ∂t ⎝ 4πa 2 t1 ⎞ ∫∫Sat ( M ) ϕ dS ⎟ + 4πa 2 t ∫∫Sat ( M )ψ dS (3.12) ⎠可写为:1 ∂ ϕ ( M ′) ψ ( M ′) u( M , t ) = [ ∫∫ dS + ∫∫ dS ] Sat ( M ) 4πa ∂t Sat ( M ) at at上式称为三维波动方程的泊松公式,它给出了三维无界 空间波动方程的初值问题的解.其中 M ′ 表示以 M 为中 心 at 为半径的球面 S at 上的动点.Mϕ ( x1 , x2 , x3 ) ∈ C 3 ,ψ ( x1 , x2 , x3 ) ∈ C 2 , 定理4.9：若函数则由Poisson公式(3.12)确定的函数u(x, y, z, t)就是 Cauchy问题的解.泊松公式的物理意义很明显,它说明定解问题的解 M 在M点t 时刻之值,由以M为中心at 为半径的球面 S 上 at 的初始值而确定. 如图,设初始扰动限于空间某个区域 T0 , d 为 M 点 到 T0 的最近距离, D为M 点与 T0 的最大距离,则:T0dDM1.当 at < d ,即 t < d / a 时, S at 与 T0 不相交, ϕ ( M ′ ) 和 ψ ( M ′) 之值均为零,因而两个积分之值亦均为零, 即 u( M , t ) = 0 .这表示扰动的前锋尚未到达.M2.当 d < at < D ,即 d / a ≤ t ≤ D / a 时, S at 与 T0 相 交, ϕ ( M ′ ) , ψ ( M ′ ) 之值不为零,因而积分之值亦不为零, 即 u( M , t ) ≠ 0 ,这表明扰动正在经过M点. 3.当 at > D ,即 t > D / a , S at 与 T0 也不相交,因而同 样 u( M , t ) = 0 ,这表明扰动的阵尾已经过去了. 这种现象在物理学中称为惠更斯(Huygens) 原理或无后效现象.MM∂u =0 ∂z20001()|(,)|(,)tt xx yy t t t u a u u u x y u x y ϕϕ==⎧=+⎪=⎨⎪=⎩,x y −∞<<+∞,,0x y t −∞<<+∞>要想从泊松公式得到上述问题解的表达式,就应将泊松公式中两个沿球面的积分转化成沿圆域内的积分,下面以为例说明这个转化方法.先将这个积分拆成两部分:M at S 222()()()x y at ξη−+−≤:M at C 11d 4πM at C S a at ϕ∫∫12111111d d d 4π44πM at S S S S S S a at a at a atϕϕϕπ=+∫∫∫∫∫∫其中分别表示球面的上半球面与下半球面.由于被积函数不依赖于变量z ,所以上式右端两个积分是相等的,即12,S S M atS 11111d d 4π2πM at S S S S a at a atϕϕ=∫∫∫∫把右端的曲面积分化成二重积分可得11222212222(,)11d d d 4π2π()()(,)1d d 2π()()M M at at M at S C C at S a at a at a t x y a a t x y ϕϕξηξηξηϕξηξηξη=−−−−=−−−−∫∫∫∫∫∫同理002222(,)11d d d 4π2π()()M M at at S C S a at a a t x y ϕϕξηξηξη=−−−−∫∫∫∫将这两个等式代入三维波动方程的泊松公式,即得问题的解为022*******(,)1(,,)d d 2π()()(,)d d ()()M at M at C C u x y t a t a t x y a t x y ϕξηξηξηϕξηξηξη⎧∂⎪=⎨∂−−−−⎪⎩⎫⎪+⎬−−−−⎪⎭∫∫∫∫当时, ;表示扰动的前锋尚未到达.当时, ;表明扰动正在经过M 点.当时,由于圆域包含了区域,所以d t a <(,,)0u x y t =d D t a a ≤≤(,,)0u x y t ≠D t a >0T :M at C ,这种现象称为有后效, 即在二维情(,,)0u x y t ≠形,局部范围内的初始扰动,具有长期的连续的后效特性,扰动有清晰的“前锋”,而无“阵尾”,这一点与球面波不同.平面上以点(ξ, η)为中心的圆周的方程在空间坐标系内表示母线平行与z 轴的直圆柱面,所以在过(ξ, η)点平行于z 轴的无限长的直线上的初始扰动,在时间t 后的影响是在以该直线为轴, at 为半径的圆柱面内,因此解称为柱面波.222()()x y r ξη−+−=将给定的初始条件与代入三维波动方程的泊松公式,得到所要求的解为:设已知, ,求方程相应柯西问题的解.(,,)x y z x y z ϕ=++(,,)0x y z ψ=(,,)x y z ϕ(,,)x y z ψ2ππ001(,,,)4πu x y z t a t∂=∂∫∫2(sin cos sin sin cos )()sin d d x y z at at at θϕθϕθθϕθ+++++x y z =++2tt u a u =Δ。
第二章 三类典型的偏微分方程
单位时间内通过 B 端面的热量为：
Q x2k TkT(xx2,t)
在 dt 时段内通过微元的两端流入的热量
d Q 1 ( Q x 1 Q x 2 ) d t k ( T ( x x 2 ,t) T ( x x 1 ,t) ) d t
x2 2T(x,t)
☆ 均匀杆的纵振动 考虑一均匀细杆，沿杆长方向作微小振动。假设在垂直
杆长方向的任一截面上各点的振动情况(即偏移平衡位置位 移)完全相同。试写出杆的振动方程。
在任一时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u(x, t)。 在杆中隔离出一小段(x, x + dx)，分析受力：
通过截面x，受到弹性力P(x,t)S的作用 通过截面x + dx受到弹性力P(x + dx, t)S的作用 P(x, t)为单位面积所受的弹性力(应力)，沿x方向为正．
(1)要研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的位移 u(x,t)
确定 弦的 运动 方程
（2）被研究的物理量遵循哪些 物理定理？牛顿第二定律.
（3）按物理定理写出数学物 理方程（即建立泛定方程）
条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的 横振动。不受外力影响。
研究对象：u ( x , t ) 线上某点在 t 时刻沿垂直方向的位移。
等号两边用中值定理：并令 x 0
T2u (xx 2,t)g2u (tx 2,t)F (x,t) 等号两边除以
2tu2 a2x2u2 gf(x,t)
f (x,t) F(x,t)
为单位质量在 x 点处所受外力。
弦振动方程中只含有两个自变量：x , t 。由于它描写的是
弦的振动，因而它又称为一维波动方程。类似可以导出二维波 动方程（如膜振动）和三维波动方程，它们的形式分别为：
第2章波动方程
2．齐次方程的初值问题（Cauchy 问题）
考察问题
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x,0) = ϕ (
0,
x)
,
ut
( x,0)
x ∈ \, t > 0,
=ψ ( x), x∈\.
利用齐次波动方程的通解表达式：
（1.1）
u( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) ,
u = F ( x − at ) , a > 0
显然是弦振动方程的解。给 t 以不同的值，就可以看出作一维自由振动的物体在各时刻的相
应位置。在 t = 0 时， u = F ( x ) 对应于初始的振动状态，而 u = F ( x − at ) 作为 ( x, u ) 平
面 上 的 曲 线 是 曲 线 u = F ( x ) 向 右 平 移 了 at 个 单 位 ， 所 以 齐 次 弦 振 动 方 程 的 形 如
=
1 2a
⎧∂
⎨ ⎩
∂t
ϕ x+at (ξ )dξ +
x − at
ψ x + at
(ξ
)dξ
⎫ ⎬
.
x − at
⎭
u2 满足非齐次方程的初值问题
4
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x, 0) = 0,
f ut
( (
x, x,
t), 0) =
x∈ 0,
\
, t> x∈
0, \.
为了求解（1.4），首先求解
条件无关。称这个三角形区域为区间 ⎡⎣ x1 , x2 ⎤⎦ 的决定区域。
2波动方程
数 学 物 理 方 程1Mathematical Equations for Physics想要探索自然界的奥秘就得解微分方程—— 牛顿知之者，不如好知者，好知者，不如乐知者。
做一个快乐的求知者——与大家共勉王 翠 玲西安交通大学数学与统计学院wangcl8@数学物理思想数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程．数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理现象和普遍规律.数 学 物 理 方 程 概 论☆ 数学和物理的关系☆ 课程的主要内容数学和物理从来是没有分开过的☆ 数学物理方程的定义用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数分离变量法行波法积分变换法格林函数法波动方程热传导拉普拉斯方程贝塞尔函数勒让德函数声振动是研究声源与声波场之间的关系热传导是研究热源与温度场之间的关系泊松（S. D. Poisson1781～1840，法国数学家）方程表示的是电势（或电场）和电荷分布之间的关系定解问题从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系．多数为二阶线性偏微分方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程热传导问题和扩散问题满足热传导方程静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程一、数学物理方程---泛定方程:物理规律的数学表示物理规律 物理量u在空间和时间中的变化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。
数学语言翻译泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。
二、边界问题---边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件三、历史问题----初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。
不同的初始条件→ 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。
定解问题的完整提法：在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。
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No.2波动方程一、选择题1. 一平面简谐波表达式为)2(sin 05.0x t y --=π (SI) ，则该波的频率v (Hz)、波速u (m ⋅s -1)及波线上各点振动的振幅A (m)依次为:[ C ] (A) 2/1，2/1，05.0- (B) 2/1，1，05.0-(C) 2/1，2/1，05.0 (D) 2 ，2，05.0解：平面简谐波表达式可改写为(SI))22cos(05.0)2(sin 05.0ππππ+-=--=x t x t y与标准形式的波动方程 ])(2[cos ϕπ+-=uxt v A y 比较，可得 )s (m 21,(Hz)21,(m)05.01-⋅===u v A 。
故选C2. 一横波沿绳子传播时的波动方程为)104cos(05.0t x y ππ-= (SI)，则 [ A ] (A) 其波长为0.5 m ; (B) 波速为5 m ⋅s -1 ; (C) 波速25 m ⋅s -1 ; (D) 频率2 Hz 。
解：将波动方程与标准形式 ])(2[cos ϕπ+-=u xt v A y 比较，可知 )s m (5.2),Hz (51-⋅==u v )m (5.055.2===v u λ 故选A3. 一平面简谐波的波动方程为)3cos(1.0πππ+-=x t y (SI)，t = 0时的波形曲线如图所示。
则[ C ] (A) O 点的振幅为-0.1 m ；(B) 波长为3 m ；(C) a 、b 两点位相差π21； (D) 波速为9 m ⋅s -1。
解：由波动方程可知(Hz),23(m),1.0==νA (m)2=λ，)s (m 32231-⋅=⨯==νλu a 、b 两点间相位差为：2422πλλπλπϕ===∆ab故选C4. 一简谐波沿x 轴负方向传播，圆频率为ω，波速为u 。
设t = T /4时刻的波形如图所示，则该波的表达式为： [ D ] )/(cos (A)u x t A y -=ω ]2)/(c o s [(B )πω+-=u x t A y)]/(cos[(C)u x t A y +=ω])/(cos[(D)πω++=u x t A y解：由波形图向右移λ41，可得0=t 时波形如图中虚线所示。
在0点，0=t 时y = -A , 初相ϕ = π，振动方程为)cos(0πω+=t A y 。
又因波向)(x -方向传播，所以波动方程为(SI)])(cos[πω++=uxt A y故选D5. 一平面简谐波沿x 轴正向传播，t = T/4时的波形曲线如图所示。
若振动以余弦函数表示，且此题各点振动的初相取π-到π之间的值，则 [ D ] (A) 0点的初位相为00=ϕ(B) 1点的初位相为 21πϕ-=(C) 2点的初位相为 πϕ=2(D) 3点的初位相为 23πϕ-=解：波形图左移4/λ，即可得0=t 时的波形图，由0=t 的波形图（虚线）可知，各点的振动初相为:2,0,2,3210πϕϕπϕπϕ-====故选D二、填空题1. 已知一平面简谐波沿x 轴正向传播，振动周期T = 0.5 s ，波长λ = 10m , 振幅A = 0.1m 。
当t = 0时波源振动的位移恰好为正的最大值。
若波源处为原点，则沿波传播方向距离波源为2/λ处的振动方程为(SI))4(cos 1.0ππ-=t y 。
当 t = T / 2时，4/λ=x 处质点的振动速度为1s m 26.1-⋅-。
解：波动方程为(SI))1.02(2cos[1.0)](2cos[x t xT t A y -=-=πλπ, m 52==λx 处的质点振动方程为 )4cos(1.0ππ-=t y (SI)m 5.24==λx 处的振动方程为)4sin(1.0)24cos(1.0t t y πππ=-=振动速度 )4cos(4.0)4cos(41.0d d t t tyv ππππ=⨯==s 25.02==T t 时 )s (m 26.14.0)25.04cos(4.01-⋅-=-=⨯=πππv2. 如图所示为一平面简谐波在 t = 2s 时刻的波形图，该谐波的波动方程是]2)2(2cos[πλπ+--=u x t u A y ；P 处质点的振动方程是]2)2(2cos[πλπ--=t uA y p 。
（该波的振幅A 、波速u 与波长λ为已知量）解：由t = 2s 波形图可知，原点O 的振动方程为]2)2(2cos[0ππ+-=t v A y ]2)2(2cos[πλπ+-=t uvA波向+x 方向传播，所以波动方程为]2)2(2cos[πλπ+--=u x t uv A y (SI) P 点2λ=x ，振动方程为]2)2(2cos[]2)22(2cos[πλππλλπ--=+--=t uA ut uA y P3. 一简谐波沿 x 轴正向传播。
1x 和2x 两点处的振动曲线分别如图(a) 和 (b) 所示。
已知12x x > 且 λ<-12x x (λ为波长)，则2x 点的相位1x 比点相位滞后 3π/2 。
解：由图(a)、(b)可知，1x 和2x 处振动初相分别为：πϕ231=，02=ϕ 二点振动相位差为πϕϕϕ2321=-=∆ 因为λ<->1212,x x x x ，所以2x 的相位比1x 的相位滞后π23。
4. 图示一平面简谐波在 t = 2 s 时刻的波形图，波的振幅为 0.2 m ，周期为4 s 。
则图中P 点处质点的振动方程OAA为)(SI)2121cos(2.0ππ-=t y p 解：由ｔ＝2s 是波形图可知原点O 处振动方程为：)222c o s (0ππ--=T t A y )2422c o s (2.0ππ--=t )232c o s (2.0ππ-=t （SI ） P 点2λ=x ，相位比O 点落后π，所以P 点的振动方程为：)2121cos(2.0)2321cos(2.0πππππ-=--=t t y p （SI ）5. 一简谐波沿x 轴正方向传播。
已知x = 0点的振动曲线如图，试在它下面画出t = T 时的波形曲线。
解：由O 点的振动曲线得振动方程：)22cos(ππ-=T t A y o 向x 正向传播，波动方程为)222c o s (πλππ--=x T t A y t ＝T 时与t ＝0时波形曲线相同，波形曲线如右图所示。
三、计算题1. 一平面简谐波沿x 轴正向传播，波的振幅A = 10 cm ，波的角频率ω = 7π rad/s.当t = 1.0 s 时，x = 10 cm 处的a 质点正通过其平衡位置向y 轴负方向运动，而x = 20 cm 处的b 质点正通过y = 5.0 cm 点向y 轴正方向运动．设该波波长λ >10 cm ，求该平面波的表达式．解：设平面简谐波的波长为λ，坐标原点处质点振动初相为φ，则该列平面简谐波的表达式可写成 )/27cos(1.0φλ+π-π=x t y (SI) 2分 t = 1 s 时 0])/1.0(27cos[1.0=+π-π=φλy 因此时a 质点向y 轴负方向运动，故π=+π-π21)/1.0(27φλ ① 2分 而此时，b 质点正通过y = 0.05 m 处向y 轴正方向运动，应有05.0])/2.0(27cos[1.0=+π-π=φλy且 π-=+π-π31)/2.0(27φλ ② 2分 由①、②两式联立得 λ = 0.24 m 1分 3/17π-=φ 1分∴ 该平面简谐波的表达式为Oy y]31712.07cos[1.0π-π-π=x t y (SI) 2分 或 ]3112.07cos[1.0π+π-π=x t y (SI)2. 一平面简谐波沿x 轴正向传播，其振幅为A ，频率为ν ，波速为u ．设t = t ＇时刻的波形曲线如图所示．求(1) x = 0处质点振动方程； (2) 该波的表达式．解：(1) 设x = 0 处质点的振动方程为 )2c o s(φν+π=t A y 由图可知，t = t ＇时 0)2cos(=+'π=φνt A y1分0)2sin(2d /d <+'ππ-=φννt A t y 1分 所以 2/2π=+'πφνt ， t 'π-π=νφ2212分 x = 0处的振动方程为 ]21)(2cos[π+'-π=t t A y ν 1分(2) 该波的表达式为 ]21)/(2cos[π+-'-π=u x t t A y ν 3分3. 一平面简谐波沿Ox 轴的负方向传播，波长为λ ，P 处质点的振动规律如图所示． (1) 求P 处质点的振动方程；(2) 求此波的波动表达式；(3) 若图中 λ21=d ，求坐标原点O 处质点的振动方程． 解：(1) 由振动曲线可知，P 处质点振动方程为 ])4/2cos[(π+π=t A y P )21cos(π+π=t A(SI) 3分(2) 波动表达式为])4(2c o s [π+-+π=λdx t A y (SI) 3分(3) O 处质点的振动方程 )21cos(0t A y π= 2分xuO t =t ′yt (s)0-A1y P (m)xOP d。