数字电子技术基础(数字电路)第二章逻辑代数与HDL基础
合集下载
数字电子技术基础(侯建军)
§1-2 逻辑代数基础
逻辑变量及基本逻辑运算 逻辑函数及其表示方法
逻辑代数的运算公式和规则
逻辑变量及基本逻辑运算
一、逻辑变量
取值：逻辑 0 、逻辑 1 。逻辑 0 和逻辑 1 不代 表数值大小，仅表示相互矛盾、相互对立 的两种逻辑状态
二、基本逻辑运算 与运算 或运算 非运算
返 回
与逻辑
只有决定某一事件的所有条件全部具备， 这一事件才能发生
乘基取整法 ：小数乘以目标数制的基数（ R=2 ），第 1一次相乘结果的整数部分为目的数的最高位 0 1 K0 0 -1，将其小 数部分再乘基数依次记下整数部分，反复进行下去， 直 K-1 K-2 K-3 K-4 K-5
由此得：(0.65)10=(0.10100)2 综合得：(81.65)10=(1010001.10100)2
逻辑表达式
―-‖非逻辑运算符
F= A
逻辑符号 1 A
F
三、复合逻辑运算 与非逻辑运算 或非逻辑运算 与或非逻辑运算
或逻辑真值表
A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 F 0 1 1 1 逻辑符号 A 1 B
F
或逻辑运算符，也有 N个输入： 用“∨”、“∪”表 逻辑表达式 示 F= A + B+ ...+
F= A + B
N
返 回
非逻辑
当决定某一事件的条件满足时，事件不发 返 回 生；反之事件发生，
非逻辑真值表 A F 0 1 1 0
§1-1 数制与编码
进位计数制 数制转换
数值数据的表示
常用的编码
§1-2 逻辑代数基础
逻辑变量及基本逻辑运算 逻辑函数及其表示方法
逻辑代数的运算公式和规则
数字电子技术基础 第二章 数字逻辑基础
A
灯
不通电
亮
通电
灭
10
3. 非运算
非逻辑举例状态表
A
灯
不通电
亮
通电
灭
非逻辑符号
1
A
L
非逻辑真值表
A
L
0
1
1
0
A
L
逻辑表达式
L=A
11
4. 几种常用复合逻辑运算
1)与非运算
两输入变量与非 逻辑真值表
A
B
L
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
与非逻辑表达式
与非逻辑符号
A&
B
L
A
B
L
L = A ·B
12
2)或非运算
分配律：A ( B + C ) = AB + AC A + BC = ( A + B )( A + C )
19
AA+AC+AB+BC=A+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A+BC
重叠律：
A+ A= A
A ·A = A
反演律： A + B = A ·B
吸收律 A A B＝A
AB = A + B
互补律： A A 1
A 1 1 A 0 0 A A 0
等幂律： A A A A A A
双重否定律： A A
分别令A=0及A=1代入 这些公式，即可证明 它们的正确性。
17
(3)基本定理
交换律：
《数字电子技术基础》读书笔记02逻辑代数基础
《数字电子技术基础》读书笔记02 逻辑代数基础2.1从布尔代数到逻辑代数1849年英国数学家乔治布尔(George Boole)提出布尔代数，使用数学方法进行逻辑运算。
把布尔代数应用到二值逻辑电路中，即为逻辑代数。
2.2逻辑代数中的运算(想想初等代数中的加减乘除)2.2.1三种基本运算与(AND)：逻辑乘，Y=A B或(OR)：逻辑加，Y=A+B非(NOT)：逻辑求反，Y=Aˊ简单逻辑运算(与、或、非)的两套图形符号，均为IEEE(国际电气与电子工程师协会)和IEC(国际电工协会)认定。
上排为国外教材和EDA软件中普遍使用的特定外形符号；下排为矩形符号。
2.2.2复合逻辑运算(都可以表示为与、或、非的组合)与非(NAND)：先与后非，与的反运算，Y=(A B)ˊ或非(NOR)：先或后非，非的反运算，Y=(A+B)ˊ与或非(AND-NOR)：先与再或再非，Y=(A B+C D)ˊ异或(Exclusive OR)：Y=A⊕B=A Bˊ+AˊB A和B不同，Y为1；A和B相同，Y为0。
当A与B相反时，A Bˊ和AˊB，肯定有一个结果为1，则Y为1。
同或(Exclusive NOR)：Y=A⊙B=A B+AˊBˊA和B相同，Y为1；A和B不同，Y为0。
当A与B相同时，A B和AˊBˊ，肯定有一个结果为1，则Y为1。
同或与同或互为反运算，即两组运算，只要输入相同，一定结果相反。
A⊕B=(A⊙B)ˊA⊙B=(A⊕B)ˊ复合逻辑运算的图像符号和运算符号。
2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式(见对偶定理)2.3.2若干常用公式(见逻辑函数化简方法之公式化简法)2.4逻辑代数的基本定理2.4.1代入定理(相当于初等代数中的换元)任何一个包含逻辑变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式依然成立。
2.4.2反演定理对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的""换成"+"，"+"换成""，"0"换成"1"，"1"换成"0"，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Yˊ。
数字电子技术基础逻辑代数基础
与普通代数相似的公式
交换律 A B B A
A B B A
结合律 ( A B) C A (B C)
( A B) C A (B C)
分配律 A(B C) AB AC
普通代数
A BC ( A B) ( A C) 不适用!
[例 2. 3. 1] 证明公式 A BC ( A B)( A C)
各种表示方法之间可以相互转换
•真值表
输入变量
输出
A B C····
遍历所有可能的输 入变量的取值组合
Y1 Y2 ···· 输出对应的取值
• 逻辑式
将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式
表示就得到逻辑式。
• 逻辑图 用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的 实现相对应。
• 波形图 将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排 列起来画成时间波形。
3. 对偶定理：如果两个表达式相等，则它们的对 偶式也一定相等。
将 Y 中“. ”换成“+”,“+”换成“.” “0” 换成“1”,“1”换成“0”
YD
( 对偶式 )
例如Y1 A(B C) CD Y1D (A BC) (C D)
Y2 ((AB C) D) C Y2D ((( A B) C) D)C
2、逻辑函数的建立
例：举重裁判的例子：设有三个裁判，分别用A,B,C表示，
其中A是主裁判。规定至少有两个裁判确认（其中必须包 含主裁判）时，运动员的试举才算成功。
当用Y表示举重结果时，Y与A,B,C的逻辑关系可表示为：
Y=F(A,B,C) =A(B+C)
2.5.2 逻辑函数的表示方法
数字电子技术第2章逻辑代数基础简明教程PPT课件
2.2.2 逻辑函数的最小项表达式
最小项通常用m表示，其下标为最小项的编号。编号的方 法如下：在每一个最小项中，原变量取值为1，反变量取 值为0，则每一个最小项对应一组二进制数，该二进制数 所对应的十进制数就是这个最小项的编号。
三变量的最小项编号表
2.2.3 逻辑函数的代数化简法
代数法化简是指直接利用逻辑代数的基本定律和规则，对 逻辑函数式进行变换，消去多余项和多余变量，以获得最 简函数式的方法。判断与或表达式是否最简的条件是： (1) (2) 每个乘积项中变量最少。 代数法化简没有固定的步骤，常用的化简方法有：并项法、 吸收法、消因子法、消项法和配项法5种。
2．最小项的性质 (1) 任何一个最小项，只有一组与之对应的变量组合使其 取值为1，其他各种变量组合均使其取值为0。 (2) n变量的所有最小项之和恒为1。因为无论输入变量如 何取值，总有某个最小项的值为1，因此其和必定为1。 (3) 任意两个最小项之积为0。 (4) 具有逻辑相邻性的两个最小项相加，可合并为一项， 并消去一个不同因子。
数字电子技术
第2章 逻辑代数基础
本章知识结构图
基本定律
逻 辑 代 数 基 础
基本规则
逻辑函数表示方法
逻辑函数化简
代数法
实例电路分析
卡诺图法
第2章 逻辑代数基础
2.1 逻辑代数
2.2 逻辑函数的化简法 2.3 实例电路分析
2.1 逻辑代数
2.1.1 逻辑代数的基本定律和恒等式
1．基本定律
A B C A B A C
(5) 重叠律 (6) 互补律
《数字电子技术基础》(第五版)教学课件
与（AND）
或（OR）
非（NOT）
以A=1表示开关A合上，A=0表示开关A断开； 以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮； 三种电路的因果关系不同：
《数字电子技术基础》（第五版） 教学课件
与
❖ 条件同时具备，结果发生 ❖ Y=A AND B = A&B=A·B=AB
AB Y 0 00 0 10 1 00 1 11
《数字电子技术基础》（第五版） 教学课件
或
❖ 条件之一具备，结果发生 ❖ Y= A OR B = A+B
AB 00 01 10 11
Y 0 1 1 1
《数字电子技术基础》（第五版） 教学课件
非
❖ 条件不具备，结果发生
❖ YANOT A
A
Y
0
1
1
0
《数字电子技术基础》（第五版） 教学课件
几种常用的复合逻辑运算
公式（17）的证明（真值表法）：
ABC BC 000 0 001 0 010 0 011 1 100 0 101 0 110 0 111 1
A+BC 0 0 0 1 1 1 1 1
A+B A+C （A+B）(A+C)
0
0
0
0
1
0
1
00
1
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1
《数字电子技术基础》（第五版） 教学课件
ACBCADBCD
《数字电子技术基础》（第五版） 教学课件
2.5 逻辑函数及其表示方法
❖ 2.5.1 逻辑函数 ❖ Y=F(A,B,C,······)
数字电子技术基础第二章
• 逻辑图 用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路 的实现相对应。
• 波形图 将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排 列起来画成时间波形。
《数字电子技术基础》第五版
《数字电子技术基础》第五版
• 卡诺图
• EDA中的描述方式 HDL (Hardware Description Language)
VHDL (Very High Speed Integrated Circuit …) Verilog HDL
EDIF DTIF 。。。
《数字电子技术基础》第五版
举例：举重裁判电路
YA(BC)
《数字电子技术基础》第五版
各种表现形式的相互转换：
• 真值表 逻辑式 例：奇偶判别函数的真值表
• A=0,B=1,C=1使 A′BC=1 • A=1,B=0,C=1使 AB′C=1 • A=1,B=1,C=0使 ABC′ =1
ACBCADBCD
《数字电子技术基础》第五版
2.5 逻辑函数及其表示方法
• 2.5.1 逻辑函数 • Y=F(A,B,C,······)
------若以逻辑变量为输入，运算结果为输 出，则输入变量值确定以后，输出的取值 也随之而定。输入/输出之间是一种函数关 系。
注：在二值逻辑中， 输入/输出都只有两种取值0/1。
• 逻辑式 逻辑图
《数字电子技术基础》第五版
1. 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。
YA(BC)
• 逻辑式 逻辑图
《数字电子技术基础》第五版
1. 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。
2. 从输入到输出逐级写出每个图形符号对应 的逻辑运算式。
(AB)
(( A B) ( A B)) ( A B)( A B)
• 波形图 将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排 列起来画成时间波形。
《数字电子技术基础》第五版
《数字电子技术基础》第五版
• 卡诺图
• EDA中的描述方式 HDL (Hardware Description Language)
VHDL (Very High Speed Integrated Circuit …) Verilog HDL
EDIF DTIF 。。。
《数字电子技术基础》第五版
举例：举重裁判电路
YA(BC)
《数字电子技术基础》第五版
各种表现形式的相互转换：
• 真值表 逻辑式 例：奇偶判别函数的真值表
• A=0,B=1,C=1使 A′BC=1 • A=1,B=0,C=1使 AB′C=1 • A=1,B=1,C=0使 ABC′ =1
ACBCADBCD
《数字电子技术基础》第五版
2.5 逻辑函数及其表示方法
• 2.5.1 逻辑函数 • Y=F(A,B,C,······)
------若以逻辑变量为输入，运算结果为输 出，则输入变量值确定以后，输出的取值 也随之而定。输入/输出之间是一种函数关 系。
注：在二值逻辑中， 输入/输出都只有两种取值0/1。
• 逻辑式 逻辑图
《数字电子技术基础》第五版
1. 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。
YA(BC)
• 逻辑式 逻辑图
《数字电子技术基础》第五版
1. 用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。
2. 从输入到输出逐级写出每个图形符号对应 的逻辑运算式。
(AB)
(( A B) ( A B)) ( A B)( A B)
数字电子技术基础2
二极管开关的转换过程
开通时间ton 当输入电压uI，由UIL跳变到UIH时，二极管D要经过导通延迟时间td、上升
时间tr之后，才能由截止状态转换到导通状态。其原因在于，当uI正跳变时， 只有当PN结中电荷量减少，PN结才由反偏转换到正偏，也即Cj放电，CD充 电
关断时间toff 当输人电压uI。由UIH跳变到UIL时，二极管D经过存储时间ts、下降时间
三极管临界饱和时的基极电流：
IBS Vc R u cc CE S1 1 2 0 0.2 3 0 m A 0.0m 6 A
因为iB>IBS，三极管工作在深度饱和状态。输出电压：
uo＝UCES＝0.3V 静态开关特性
截止状态
Rb ＋
+VCC
b c Rc
＋
ui=UIL<0.5V
uo=+VCC
－
e
－
饱和状态
iC (mA) 直流负载线
VCC Q2 Rc
Q
80μA 60μA 40μA 20μA
2.3k iB
Q1 iB=0
Ω
0 UCES
VCC uCE(V)
输出特性曲线
①ui=UIL=-2V时，三极管截止，基极电流： ib≈0，ic≈0，uo≈Vcc=12V
②ui＝UIH=3V时，三极管导通，基极电流：
iB
30.7mA 1mA 2.3
+VCC Rc iC
Rb b c uo
iB(μA)
iC (mA) 直流负载线
VCC Q2 Rc
Q
80μA 60μA 40μA
ui
iB
20μA
e 0 0.5 uBE(V)
0 UCES
Q1 iB=0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
L ( B D )( B D )( A B )
或:
L ( B D )( B D )( A D )
或项； 或项相与。
方法2: 求非函数的最简与或式；反演 由最简或与式可直接变换为最简或非－或非式。
作业
1.5.2 ；1.6.1；1.6.3 2.2.2；2.2.3 (1)、(4)；2.2.5；2.2.6 (2) 2.3.1 (3)、(6)；2.3.4 ；2.3.5 ；
m3 m6
L = m 3 + m 6 = å m (3, 6)
任意逻辑函数都可以表示成最小项之和的标准 型，简称最小项表达式或“标准与或式”。
注意
自学教材第47页2.2.1和2.2.2代数配项的方法。
3. 最大项与最大项表达式
最大项
Maxterm
三变量(A,B,C) 所有最大项
包含 n 个变量的或项，每个 变量以原变量或反变量的形 式出现且仅出现一次。
L2 CD AB 00 01 11 10 1 1 00 1 BD 1 1 01 BD 11 1 1 1 1 1 1 10 1
L 2 BD B D AB CD
有时最简式不唯一!
L 2 BD B D AB B C
说明：
由最简与或式可直接变换为最简与非－与非式。 最简或与式的获得： L CD AB 00 01 11 10 1 1 B+D 00 1 B+D 01 1 1 11 1 A+B 10 方法1: 合并0方格
L A B AC
2. 最小项与最小项表达式
最小项
Minterm
三变量(A,B,C) 所有最小项
包含 n 个变量的与项，每个 变量以原变量或反变量的形 式出现且仅出现一次。
A × B ×C A × B ×C A × B ×C A × B ×C A × B ×C A × B ×C A × B ×C A × B ×C
（合并后去异存同。）
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
000 001 010 011 100 101
110
111
最小项表达式 （标准与或式）
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 L 0 0 0 1 0 0 1 0
L = ABC + ABC
任意逻辑函数都可以表示成最大项之积的标准型， 简称最大项表达式或“标准或与式”。
五、逻辑函数的化简
引例：图示电路的逻辑功能？
A B A B L L
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
L 1 1 0 1
（2） （1）
电路更简单。 实现成本低。
化简目的：简化电路结构，降低电路实现成本。
最简式：项数最少；每项的变量数最少。 化简方法：代数法；图表法。
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
A+B+C A+ B+C A+ B+C A+ B+C A+ B+C A+ B+C A+ B+C A+ B+C
M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
最大项表达式 （标准或与式）
A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 L 0 0 0 1 0 0 1 0
合并相邻 1方格
写最简式 注意
优先处理圈法最少的1方格！
【例】 用K图求函数的最简与或式。
L1 BD A BC A B CD AB C D A B C D
L1 CD AB 00 01 11 10 ACD 1 00 1 1 1 01 ABC 11 1 1 1 1 10 ABC ACD
2. 最小项与最小项表达式
最小项性质
输入变量的每一组取值都有一个 值为1的最小项与之对应。
n-1
三变量(A,B,C) 使最小项值为 所有最小项 1的变量取值
A × B ×C A × B ×C 最小项可表示为mi。 A × B ×C 2 A × B ×C å mi = 1 i=0 A × B ×C mi • m j = 0 (ij) A × B ×C A × B ×C n个邻项，相邻最小项可以合并。 A × B × C
L = ABC + ABC
将表达式中的运算符号用逻辑符号 替代，可得到该逻辑函数的逻辑图
A L
B
C
真值表
表达式
波形图
逻辑图
四、逻辑函数表达式的形式
1. 逻辑函数表达式的基本形式
L = AB + AC
L = ( A + B )( A + C )
L = AB × AC L = A+ B+ A+C
与或式（积之和／SOP） 或与式（和之积／POS） 与非－与非式 或非－或非式 与-或-非式
四舍 五入 判别 电路
L
（4-39/26）
3. 具有无关项的逻辑函数及化简
真值表
A B C D
四舍 五入 判别 电路
L
在实际问题中，若有些变量的取值 组合不会出现或变量的取值对函数 值没有影响，则这些变量的取值所 对应的最小项（或最大项）称为无 关项或任意项。
AB C D 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
最小项对应1方格； 最大项对应0方格。
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 1 0 0 1 1
C 0 1 0 1 0 1 0 1
L 0 0 0 1 0 0 1 0
L = ABC + ABC
一般式K图
L = A BCD + A × BC + C × D
【例】 用K图表示逻辑函数
L = A BCD + A × BC + C × D
2.3.1(2)
几点说明：
逻辑函数最简式有时不唯一，但最简程度相同。 或与式的化简及其它最简式 代数法化简特点 方法简单灵活，对变量数无限制 要求对公式的掌握程度高；最简标准不易掌握
2. 逻辑函数的K图（卡诺图）取值的对应关系。 n变量 2n个小方格 用几何位置的相邻反映逻辑上的相邻。 n变量K图中每个方格所对应的最小（大）项的 n个邻项均可在相邻的几何位置上找到。
L = ABC + ABC m 3 m 6
L = m 0 + m1 + m 2 + m 4 + m 5 + m 7
L = m 0 × m1 × m 2 × m 4 × m 5 × m 7 = M 0 × M1 × M 2 × M 4 × M 5 × M 7
= Õ M (0,1, 2, 4, 5, 7)
A+ B+C A+ B+C A+ B+C A+ B+C A+ B+C A+ B+C A+ B+C A+B+C
2. 最大项与最大项表达式
最大项性质
输入变量的每一组取值都有一个 值为0的最大项与之对应。
n -1
三变量(A,B,C) 所有最大项
使最大项值为 0的变量取值
A+ B+C A+ B+C 最大项可表示为Mi。 A+ B+C 2 A+ B+C Õ Mi = 0 A+ B+C i= 0 A+ B+C Mi + Mj = 1 (ij) A+ B+C n个邻项，相邻最大项可以合并。 A + B + C
（4-40/26）
L 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
3. 具有无关项的逻辑函数及化简
无关项及其表示
用×或表示
用约束条件表示
L CD AB 00 01 11 10 00 1 1 1 01 11 × × × × 10 1 1 × ×
M7 M6 M5 M4 M3 M2 M1 M0
111
110
101
100
011 010 001 000
（合并后去异存同。）
2. 最大项与最大项表达式
最大项、最小项的关系
三变量(A,B,C) 所有最小项
三变量(A,B,C) 所有最大项
n变量相同编 号的最小项与 最大项互为非 函数。
A × B ×C A × B ×C A × B ×C A × B ×C A × B ×C A × B ×C A × B ×C A × B ×C
CD AB 00 01 11 10 1 1 00 1 01 1 11 1 1 10 1
A BC
CD
说明 或与式的移植 覆盖
A BCD
合并
相邻最小项（或最大 项）可以合并。
典型合并情况举例：
K图上相邻1方格（或0 方格）可以合并。
CD CD AB 00 01 11 10 AB 00 01 11 10 1 1 00 1 1 1 00 1 1 01 01 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1 10 1 10 1 两个方格 合并情况例 四个方格 合并情况例
真值表
表达式
L = A×B+ A×B
A B L
波形图
逻辑图
A B L
1 1 1 t1
0 1 0 t2