2控制系统状态空间表达式的
§2-2-4 矩阵指数函 数求法2例2-3求法3
3.拉氏变换法:Φ(t) eAt L 1[(sI A)1] §2-2 矩阵
指数函数
例
2
4.A
0 2
13,(sI
A)
s 2
1 s 3
求法3例2-4
(sI A)1
1 sI A
adj(sI A)
s2
1 3s 2
s 3
2
1 s
s3
(
s
1)
•
x(t) Ax(t)x,(0) x0
t et et e2t
t
et
2 et
2
e2
t
t et 3 et 4 e2t
两 边 取 拉 氏 变 换:sX(s) x0 AX(s)
(sI A)X(s) x0 X(s)(sI A)1x0
x(t) L 1[(sI A)1]x0
eAt L 1[(sI A)1]
转 移 阵 为 eAt或 eA(tt0 ),其 元 一 般 或 x(t)Φ (t t0 )x(t0 )
为 t的 函 数即, 为 时 变 函 数 阵 ,
意 味 x(t)随 t不 断在 状 态 空
间 转 移 .称 为 状 态 转 移矩 阵 ,
例
:已
知
x
(
0
)
x1 x2
0 0
和
Φ
(
t1
)
则
x
(
t1
)
x1 x2
ab0 ab1t ab2t2 abk1tk1 abktk
比 较 系 数 得:b1 ab0 ax0;
§2-1线性
b2
1 2
a
b1
1 2
a
a
x0
1a 2!
2x
0
定常齐次状 态方程的解
(证明)
b3
1 3
a
b2
3
1 2
a !
a2x
0
1 a3x 3!
0;
bk
1 k
a
bk
1
k
(
1 k-
1
)
a !
ktk
k0
1 Aktk k!
e A ( tt0 )
I A(t t0 )
1A 2!
2(
t
t0
)2
1A k!
k(
t
t0
)k
k0
1A k!
k(
t
t0
)k称
为
矩
阵
指
数
函
数
.
•
标量微分方程x ax,在初始条件x(0) x0下的解为:x(t)
(1 at
1 a2t2 2!
1 aktk k!
) x0
(
k0
(
n
1
)( 2!
n
2
)λ1n3
(
n
1
)
λn2 1
λn1 1
0 1 1 λ1 1 λ3
2 λ11t eλ1t
λ12
eλ1t
λ23 eλ3t
(1)A特 征 值 互 异则, Λ T1AT
(2)A有只对应
e λ1t
0
eΛt
e λ2t
,e At TeΛtT1;
0
e
λ
nt
一独立特征向 量的重特征值 则 J T1AT; e At TeJ tT1
•
例
2
2
.
A
0 2
13为 友 矩 阵
λ I A λ2 3λ 2 (λ 1)(λ 2) 0,λ1 1,λ2 2
0
tk
(I At
1 A2t2 2!
1 Aktk k!
) x0
(
k0
1A k!
k
tk
)
x0
eA tx0
•一.状态转 移矩阵:
§2-2 矩阵指数函数---状态转移矩阵.一
齐 次 状 态 方 程 解 x()t eAtx(0)或 记 Φ (t) eAt
x ( t ) eA(tt0 )x ( t0 ) 反 映 从 初 态 x ( 0 )Φ ( t t0 ) eA(tt0 ) 或 x(t0 )到 终 态 x(t)的 向量 转 移 , x(t)Φ(t)x(0)
0
)
x
0解x(
t
)
代
入
状
态
方
•
程x
Ax,有
•
x
b0 b1t b2t2
b1 2b2t kbktk1 (k 1)bk1tk Ax
bktk bktk; k0
Ab0 Ab1t Ab2t2 Abk1tk1 Abktk 比 较 系 数 得:b1 Ab0 Ax0;
b2
1 2
Ab1
1 2
A Ax 0
1A 2!
2
x
0
§2-1线性 定常齐次状 态方程的解
b3
1 3
Ab
2
3
1 2
A !
A2x
0
1A 3!
3
x
0;
(证明)
bk
1 k
Abk1
k
(
1 k-
1
)
A !
Ak-
1x
0
1 Ak k!
x
0;
即 x(t) x0
Ax0t
1A 2!
2x
0
t2
1A 3!
3x
0
t3
1A k!
kx
( 2
s
2)
(s1)(s 2)
( (
s s
1 1
1 ) ( s s ) ( s
2 )
2 )
2 s21 s 1
1 s2
2 s2
1 s1 1 s1
1 s2
2 s2
eAt
L
1[ ( s
I
A
)1]
2et 2et
e2t 2e2
t
et e2t
et
2
e2
t
• 4.用凯莱哈密顿定理:λ I A λn an1λn1 a1λ a0 0,
ααnn21((tt))
1
0 1
A 0 0
2 5
0
1
1 ( n 1 ) λ1
1
(
n
1 1 1
)
t e n1 λ1t ! t e n2 λ1t
(n 2)!
1 2λ1
λ1 λ12
401,λλ13,
2
1 ;
2
(
n
2
)
λn3 1
λn2 1
α0( t ) α1(t) α2( t )
或 e e e A(t2 t1) At1
A t2
二 . 状 态 转 移 矩 阵 的 基本 性 质
§2-2 矩阵指数函数--状态转移矩阵.二.性质
1.Φ(t)Φ(τ)Φ(tτ);eAteAτ eA(tτ)
2.Φ(t t)Φ(0)I;eA(tt) I
3.Φ(t)1 Φ(t);eAt 1 eAt
•1.e At
I
At
1 2!
A2t2
1 Aktk k!
§2-2 矩阵指数 函数---状态转 移矩阵.四.求法
例
2
1
.A
0 2
13,eA
t
1 0
0 0 1 2
13t
0 2
1
2
t2
3 2!
1 t2 t3
2
t
3
t2
7 3
t3
t
3 2
t2
7 6
t3
1
3t
7 2
t2
5 2
t3
2.变换A为约当标准型
T
1 λ1
1 1
λ2
1
12,T
1
2 1
1 1
§2-2-4 矩 阵指数函数 求法2例2-2
eAt
T
eΛ tT 1
1 1
1 et 2 0
0 2 1 2et e2t
e2
t
1
1 2et 2e2t
et e2t
et
2
e2
t
补例
A
0 2
24;λI A
λ 2
2 λ 4
λ2
4
λ
4
0
,λ1,2 2,只对应 一独立特征向量
1
0
1 t2 2!
t
(n
1
1)!
t
n1
1 t2 2!
t
1
3.若A为约当阵 A1
(2)A J
A2
0
其 中 Ai
λi
,
0
1 λi
0
1
§2-2 矩阵指数 函数---状态转
0
A
l
i
1,2,
,l
0
λi mimi
移矩阵.三
则 Φ (t) eAt eJt
eA1t
0
1 1 1 2 5 2
(λ1I A)p2 p1 求T p1 p2 p3 1 0 2, T1 2 3 1
(λ3I A)p3 0
1 1 4
1 2 1
1 1 1et tet 0 2 5 2 eAt TeJtT1 1 0 2 0 et 0 2 3 1
1 1 4 0 0 e2t 1 2 1
ak-
1x
0
1 akx k!
0;
即 x(t) x0
ax0t
1 a2x 2!
0
t2
1 a3x 3!
第2章(4)-控制系统的状态空间表达式
2-5 系统状态方程的线性变换2-5-1 系统状态空间表达式的非唯一性系统动态方程建立，无论是从实际物理系统出发，还是从系统方块图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性，因而求得的系统的状态方程也有很大的人为因素，很大的随意性，因此会得出不同的系统状态方程。
实际物理系统虽然结构不可能变化，但不同的状态变量取法就产生不同的动态方程；系统方块图在取状态变量之前需要进行等效变换，而等效变换过程就有很大程度上的随意性，因此会产生一定程度上的结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生，因而也肯定产生不同的动态方程。
所以说系统动态方程是非唯一的。
虽然同一实际物理系统，或者同一方块图，或同一传递函数所产生的动态方程各种各样，其独立的状态变量的个数是相同的，而且各种不同动态方程间也是有一定联系的，这种联系就是变量间的线性变换关系。
设给定的系统为：作线性变换：Tz x = 即x T z 1-=T --为非奇异矩阵（变换矩阵）则：Bu T ATz T z11--+= ， ()()01100x T x T z --== 因为T 为任意非奇异矩阵，所以状态空间表达式为非唯一的。
2-5-2系统特征值的不变性及系统的不变量 1． 系统特征值 特征方程：0=-A I λ系统特征值即为特征方程的根。
2． 系统的不变量与特征值的不变性 系统经非奇异变换后，其特征值是不变的。
证明：系统经非奇异变换后，得 其特征方程为：()AI A I T T T A I TTA I T AT T T T AT T T T AT T I -=-=-=-=-=-=---------λλλλλλλ11111111所以，特征值是不变的。
因为 00111=++++=---a a a A I n n n λλλλ所以，1210,,,--n n a a a a 是不变的，为系统的不变量。
控制系统的状态空间表达式
第一章 控制系统的状态空间表达式Chapter 1 State space representation of control systems本章内容• 状态变量及状态空间表达式 • 状态空间表达式的模拟结构图 • 状态空间表达式的建立(1) • 状态空间表达式的建立(2) • 状态矢量的线性变换 • 由传递函数求状态方程• 由状态空间表达式求传递函数阵 • 离散系统的状态空间表达式• 时变系统和非线性系统的状态空间表达式系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。
1.1 状态变量及状态空间表达式1.1 State space representation of control systems 状态变量 (State variables)状态：表征系统运动的信息和行为状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量x 1(t ), x 2(t ), …, x n (t ) 状态向量(State vectors)由状态变量构成的向量 x (t )T 123()(),(),()...()n x t x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦状态空间 (State space) • 以各状态变量x 1(t ),x 2(t ),…… x n (t )为坐标轴组的几维空间。
•状态轨迹：在特定时刻t ，状态向量可用状态空间的一个点来表示，随着时间的推移，x (t )将在状态空间描绘出一条轨迹线。
状态方程 (State equations)• 由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。
例1.1 设有一质量弹簧阻尼系统。
试确定其状态变量和状态方程。
解：系统动态方程2()().()().()()()d yF t ky t f yt m dt my t f yt ky t F t ⎧--=⎪⎨⎪++=⎩ 设1()()y t x t =，2()()yt x t = 12()()............................................(1)1()()()()........(2)x t y t f k x t y t y t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩12212()()1()()()()xt x t k f x t x t x t F t m m m =⎧⎪⎨=--+⎪⎩1122010()()()1()()xt x t F t f k x t x t m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ＝ 状态方程的标准形式：()()()xt Ax t Bu t =+ （A ：系统矩阵 B ：输入矩阵） 输出方程 (O u t p u t e q u a t i o n )系统的输出量与状态变量之间的关系[]112()()()10 ()x t y t x t x t ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦()()y t Cx t =(C:输出矩阵）状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。
现代控制理论课件2
38
二、从系统的机理出发建立状态空间表达式
例1、求图示机械系统的状态空间表达式
外力 u(t)
K ---弹性系数 m
牛顿力学定律 my u by ky
阻 尼 系 数
y(t) b
位移 令
b u(t ) ky m y y
x1 y
x2 y
39
动态方程如下
x1 x2
x1 y 1 0 x2
41
例：设有如图所示的机 械系统。它由两个彼 此耦合的平台构成。 并借助于弹簧和阻尼 到达地基。试选择合 适的状态变量，写出 该系统的状态空间模 型。
42
解答：依题意，进行受力分析，可得如下的微分方程：
M1y1 = u -k1 (y1 - y 2 )-f1 (y1 - y 2 ) M2y 2 = k1 (y1 - y 2 ) + f1 (y1 - y 2 )-k 2y 2 -f 2y 2
其中： a11 a12 a1n a a22 a2 n 21 A — 系统内部状态的联系， an1 an 2 ann
18
称为系统矩阵 , 为n n方阵；
多输入——多输出定常系统： 用向量矩阵表示时的状态空间表达式为：
Ax Bu x y Cx Du
其状态变量为： x1 , x2 ,, xn , 则状态方程的一般形式 为：
1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1r ur x 2 a21x1 a22 x2 a2 n xn b21u1 b22u2 b2 r ur x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1u1 bn 2u2 bnr ur x
第2章(1) 控制系统的状态空间表达式
第二章 控制系统的状态空间表达式2-1 状态、状态变量、状态空间、状态方程、动态方程任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，每个状态都可以用最小的一组（一个或多个）独立的状态变量来描述。
设系统有n 个状态变量n x x x ,,21，它们都是时间t 的函数，控制系统的每一个状态都可以在一个由n x x x ,,21为轴的n 维状态空间上的一点来表示，用向量形式表示就是:()()()()[]T=t x t x t x t x n 21()t x 称作系统的状态向(矢)量。
设系统的控制输入为：r u u u ,,,21 ，它们也是时间t 的函数。
记：()()()()[]T=t u t u t u t u r 21那么表示系统状态变量x(t)随系统输入u(t)以及时间t 变化的规律的方程就是控制系统的状态方程:()()()[]t t u t x f t x,,= 其中()()()[]T=t f t f t f f n 21 是一个函数矢量。
设系统的输出变量为m y y y ,,,21 ，则()Tm y y y y ,,,21 =称为系统的输出向量。
表示输出变量y(t)与系统状态变量x(t)、系统输入u(t)以及时间t 的关系的方程就称作系统的输出方程:()()()[]t t u t x g t y ,,=其中()Tm g g g g ,,,21 = 是一个函数矢量。
在现代控制理论中，用系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态行为，状态方程和输出方程合起来称作系统的状态空间表达式或称动态方程。
根据函数向量F 和G 的不同情况，一般控制系统可以分为如下四种：∙ 线性定常(时不变)系统(LTI-Linear Time-Invariant)； ∙ 线性不定常(时变)系统(Linear Time-Variant)； ∙ 非线性定常系统(Nonlinear Time-Invariant)； ∙非线性时变系统(Nonlinear Time-Variant)。
线性控制理论 第2章 状态空间表达式的求解
12t 2 0 2 2 2 t 1 2! 0 2 2 n t
1 2 2 1 t t 0 1 1 2! 1 2 2 1 2 t 2 t 2! 1 2 2 0 1 n t n t 2!
1
1 2 1 m 1 t t 2! (m 1)! t （2-21） 1 2 1 t 2! t 1 mm
证明 因
12 1 1 0 1 2 ,A A 0 1 1 1 mm 21
x(t ) Φ(t ) x(0),t 0
上式表明齐次状态方程的解，在初始状 态确定情况下，由状态转移矩阵惟一确定，
即状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部
信息，完全表征了系统的动态特性。
定义2.1
线性定常系统状态转移矩阵 Φ(t t0 ) 是
满足矩阵微分方程和初始条件
(t t ) AΦ (t t ), t t Φ 0 0 0 Φ (t0 t0 ) I
(2-3)
(t ) b1 2b2t kbk t x
( k 1)
k
Ax (t ) A(b0 b1t b2t bk t )
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
比较上式两边t的同次幂可得
第2章(2) 控制系统的状态空间表达式
2-3 由控制系统的方块图求系统状态空间表达式系统方块图是经典控制中常用的一种用来表示控制系统中各环节、各信号相互关系的图形化的模型，具有形象、直观的优点，常为人们采用。
要将系统方块图模型转化为状态空间表达式，一般可以由下列三个步骤组成：第一步：在系统方块图的基础上，将各环节通过等效变换分解，使得整个系统只有标准积分器（1/s ）、比例器（k ）及其综合器（加法器）组成，这三种基本器件通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。
第二步：将上述调整过的方块图中的每个标准积分器（1/s ）的输出作为一个独立的状态变量i x ，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dtdx i。
第三步：根据调整过的方块图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。
根据需要指定输出变量，即可以从方块图写出系统的输出方程。
例2-5 某控制系统的方块图如图2-6所示，试求出其状态空间表达式。
解：该系统主要有一个一阶惯性环节和一个积分器组成。
对于一阶惯性环节，我们可以通过等效变换，转化为一个前向通道为一标准积分器的反馈系统。
图2-6所示方块图经等效变换后如下图所示。
我们取每个积分器的输出端信号为状态变量1x 和2x ，积分器的输入端即1x和2x 。
图2-6 系统方块图从图可得系统状态方程： ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=-+-==uT K x T x T K K x K u T K x T x x T K x 112111311311212222111 取y 为系统输出，输出方程为：1x y =写成矢量形式，我们得到系统的状态空间表达式：[]⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=x y u T K x K K T K x 010********例2-6 求如图2-7（a ）所示系统的动态方程。
解：图2-7(a)中第一个环节21++s s 可以分解为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-211s ，即分解为两个通道。
控制系统状态空间表达式的-lu
统等，具有较强的通用性。
-lu方法的不足
1 2 3
局限性
对于某些特殊类型的控制系统，如时变系统或分 布参数系统，-lu方法可能无法直接应用，需要 采用其他方法进行求解。
计算复杂性
虽然-lu方法可以提高计算效率，但在处理大规 模控制系统时，仍可能面临较高的计算复杂性和 存储需求。
对初值敏感
-lu方法的求解结果对初值选取较为敏感，不同 的初值可能导致不同的求解结果，需要谨慎选择 初值。
结合其他技术
未来可以将-lu分解方法与其他控制技术相结合，如最优 控制、鲁棒控制等，以进一步提高控制系统的性能。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
律。
特征值法
通过分析状态空间表达式的特 征法
对于复杂的状态空间表达式， 可以采用数值解法进行求解，
如龙格-库塔法等。
03 -lu方法的基本原理
-lu方法的性质
稳定性
通过-lu分解得到的新的状态空间表达式与原系统 具有相同的稳定性。
等价性
新的状态空间表达式与原系统在输入输出关系上 完全等价，即具有相同的传递函数。
控制系统状态空间表达式的-lu
目录
• 引言 • 控制系统状态空间表达式 • ·lu方法的基本原理 • 控制系统状态空间表达式的-lu方法应
用 • 控制系统状态空间表达式的-lu方法优
势与不足 • 结论与展望
01 引言
控制系统概述
控制系统定义
控制系统是指通过一系列的执行 机构，对被控对象施加控制作用， 使得被控对象的输出能够按照预 定的规律或者达到预定的目标。
统内部状态变量与外部输入、输出变量之间的关系。
02 03
状态空间表达式的组成
第2章 控制系统状态空间表达式的解
第二章控制系统状态空间表达式的解§2－1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）§2－1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）本章要点：状态转移矩阵§2－1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）§2－1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）§2－1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）§2－1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）§2－1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）§2－1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）令和t2. 矩阵指数函数的计算方法⎤⎡λλ 2. A的特征值存在重根§2－1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）⎤⎡−1112σ§2－1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）证明：由指数函数矩阵的定义有：§2－1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）k§2－1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）§2－1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）§2－1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）§2－1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）§2－1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）§2－1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）§2－1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）§2－1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）（1) 用拉氏变换法计算§2－1 线性定常齐次状态方程的解（自由解）⎤⎡01用凯莱－哈密尔顿法计算系统矩阵的矩阵指数函数一. 状态转移矩阵的定义二. 状态转移矩阵的性质§2－2 状态转移矩阵§2－2 状态转移矩阵§2－3 线性定常系统非齐次方程的解作变量变换：t一. 时变系统状态方程解的特点§2－5 连续时间状态空间表达式的离散化五. 状态转移矩阵的计算§2－5 连续时间状态空间表达式的离散化§2－5 连续时间状态空间表达式的离散化§2－5 连续时间状态空间表达式的离散化§2－5 连续时间状态空间表达式的离散化§2－5 连续时间状态空间表达式的离散化§2－5 连续时间状态空间表达式的离散化§2－6 离散时间系统状态方程的解。
第一章 状态空间表达式(2013)
Y (s) bm s m bm1 s m1 b1 s b0 W ( s) n U ( s) s a n 1 s n 1 a1 s a 0
cm sm cm1sm1 c1s c0 W (s) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
K1 T 1s 1
K2 T 2s 1
K3 T 3s 1
y
K4
3 状态空间表达式的建立 3.1 从系统方块图出发 变换成模拟结构图； 每个积分器的输出选作一个状态变量； 写出系统的状态方程和输出方程。
u +
K1 T 1s 1
+
K2 T 2s 1
K3 T 3s
y
K4
K1 T1 +
开环和闭环、反馈
控制的性能指标：稳定性、快速、精度。最优控制
控制理论概述
学控制理论做什么？ 系统分析—分析系统的性能
系统设计—设计控制器
所谓系统分析就是在规定的条件下，对数学模型已 知系统的性能进行分析； 所谓系统设计，就是构造一个能够完成给定任务的系统， 这个系统具有希望的瞬态、稳态性能以及抗干扰性能。
f (s) f (t )e dt
0
f (s) sf (s) f (0)
传递函数：线性动态系统零初值条件下输出量的Laplace变 换像函数与输入量的Laplace变换像函数之比。 *线性系统：满足叠加和一致性， 如用线性方程或线性微分方程描述的系统 可以用于分解复杂系统 *定常系统：参数不随时间变化
J u i
x1 i
B
x2
R x1 L x K 2 a J
Kb 1 L x1 L u B x2 0 J
第二章 控制系统状态空间表达式的解
第二章 控制系统状态空间表达式的解
状态转移矩阵的计算
e At et T 0 0 tet et 0 1 T e 2t 0 0 tet et 0 0 0 2 1 0 2 3 1 2 t e 1 2 1 3tet 2et 2e 2t 3tet 5et 4e 2t 3tet 8et 8e 2t tet et e 2t t t 2t te 2e 2e tet 3et 4e 2t
n 1 e n t 0 (t ) 1 (t ) n 2 (t )2 ( t ) n n 1 n
23
第二章 控制系统状态空间表达式的解
状态转移矩阵的计算
n, n-1, n-2, · · · ， 互不相同时，通过下式
t ( t ) 1 0 e 1 t 1 (t ) 1 2 e
1
A为标准型，所以变换阵可以有特征根直接写出
2 1 1 1
e
At
e t T 0
1 e t 0 1 1 T 2t e 1 2 0 e t e 2 t t 2t e 2e
用（t-t0)代替t, 可得到t0不为0时的解
x(t ) e A(t t0 ) x0 , t t0
关键问题：求矩阵的指数函数
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2.2 矩阵指数函数—状态转移矩阵
齐次微分方程的自由解
x(t ) e x0 或
At
x(t ) e A(t t0 ) x0
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第二章 控制系统状态空间表达式的解