南京市、盐城市2015届高三第一次模拟考试数学试题_含答案

i ←1 S ←0 While i ＜8 i ←i + 3 S ←2i + SEnd While Print S第6题图南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分，考试时间120分钟)参考公式:样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 圆锥的侧面积公式：rl s π=，其中是圆锥的r 底面半径，l 为母线长一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。

不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置。

1．设集合{}2,0,M x =，集合{}0,1N =，若N M ⊆，则x = ▲ . 2．若复数a iz i+=（其中i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a = ▲ . 3．在一次射箭比赛中，某运动员5次射箭的环数依次是9,10,9,7,10，则该组数据的 方差是 ▲ .4．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲、乙下和棋的概率为0.5，则乙获胜的 概率为 ▲ . 5．若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 6．运行如图所示的程序后，输出的结果为 ▲ .7．若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为 ▲ .8．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为 ▲ . 9．若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点0(,0)x 成中心对称，0[0,]2x π∈，则0x = ▲ .10．若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为 ▲ .11．设向量(sin 2,cos )θθ=a ，(cos ,1)θ=b ，则“//a b ”是“1tan 2θ=”成立的 ▲ 条件 (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) .12．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>交于,A B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足5344OC OA OB =+，则r = ▲ .13．已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数2()2g x x x m =-+. 如果对于1[2,2]x ∀∈-，2[2,2]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值范围是 ▲ .14．已知数列{}n a 满足11a =-，21a a >，*1||2()n n n a a n N +-=∈，若数列{}21n a -单调递减，数列{}2n a 单调递增，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ .二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并把答案写在答题纸的指定区域内）15．在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+. （1）求函数()f α的值域；（2）设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()2f C =2a =1c =，求b .16．(本小题满分14分)如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,O E 分别为1,B D AB 的中点. （1）求证：//OE 平面11BCC B ； （2）求证：平面1B DC ⊥平面1B DE .xy PQOα 第15题图BACDB 1A 1C 1D 1E第16题图O17．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右准线方程为4x =，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线l 经过点A ，且点F 到直线l 的距离为25.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）将直线l 绕点A 旋转，它与椭圆C 相交于另一点P ，当,,B F P 三点共线时，试确定直线l 的斜率.18．某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)E t （025t <≤，单位：米）；曲线BC 是抛物线250(0)y ax a =-+>的一部分；CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径. 假定拟建体育馆的高50OB =米.（1）若要求30CD =米，AD =245米，求t 与a 的值；（2）若要求体育馆侧面的最大宽度DF 不超过75米，求a 的取值范围；（3）若125a =，求AD 的最大值.（参考公式：若()f x a x =-，则()2f x a x'=--）FPOxAly B第17题图·第18题-甲 xy O ABCD 第18题-乙E ·F19．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --++++13246n n +=⋅--，且集合*|,n n b M n n N a λ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围.20．已知函数()xf x e =，()g x mx n =+.（1）设()()()h x f x g x =-.① 若函数()h x 在0x =处的切线过点(1,0)，求m n +的值；② 当0n =时，若函数()h x 在(1,)-+∞上没有零点，求m 的取值范围； （2）设函数1()()()nx r x f x g x =+，且4(0)n m m =>，求证：当0x ≥时，()1r x ≥.南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. 1 2． －1 3． 654． 0.3 5．2 6． 42 7． 889． 512π10． 4 11．要不充分 1213. [5,2]-- 14. (2)13n --（ 说明：本答案也可以写成21,321,3n nn n ⎧--⎪⎪⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数12解读：方法1：（平面向量数量积入手）22225325539244164416OC OA OB OA OA OB OB⎛⎫=+=+⋅⋅+ ⎪⎝⎭，即：222225159+cos 16816r r r AOB r =∠+，整理化简得：3cos 5AOB ∠=-，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，则23cos 2cos 15AOB AOD ∠=∠-=-，得21cos 5AOD ∠=，又圆心到直线的距离为OD ==所以222212cos 5OD AOD r r ∠===，所以210r =，r =.方法2：（平面向量坐标化入手）设()11,A x y ，()22,B x y ,(),C x y ,由5344OC OA OB=+得125344x x x =+，125344y y y =+，则22222222121211112222535325251525251544441616816168x y x x y y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由题意得，()222112225251516168r r r x y x y =+++，联立直线2y x =-+与圆222(0)x y r r +=>的方程，由韦达定理可解得：10r =.方法3：（平面向量共线定理入手）由5344OC OA OB =+得153288OC OA OB =+，设OC与AB 交于点M ，则A M B 、、三点共线。

由AMO ∠与BMO ∠互补结合余弦定理可求得AB，过点O 作AB 的垂线交AB 于D ，根据圆心到直线的距离为OD ==得222r ⎫+=⎪⎭，解得210r =，r =.13．解读：初稿是：已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，且当[0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数222()22g x a x a x a =-+，且对1[2,2]x ∀∈-，2[2,2]x ∃∈-，使得21()()f x g x =，则实数a 的取值范围是 ▲ . 答案：31[,]42-14．答案：(2)13n --（ 说明：本答案也可以写成21,321,3n nn n ⎧--⎪⎪⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数）解读：*1||2()n n n a a n N +-=∈这种模型2011年的北京卷用过，2014年的湖南卷上又用了。

方法一：先采用列举法得1234541,1,3,5,11,21,a a a a a a =-==-==-=⋅⋅⋅，然后从数字的变化上找规律，得11(1)2n nn n a a ++-=-，再利用累加法即可；方法二：因为22122n n n a a +-=±，212212n n n a a ---=±，所以两式相加，得221212122n n n n a a -+--=±±，而{}21n a -递减，所以21210n n a a +--<，故22122n n n a a +-=-；同理，由{}2n a 递增，得212212n n n a a ---=；又21a a >，所以11(1)2n n n n a a ++-=-，以下同上。

初稿是：已知数列{}n a 满足11a =，21a a <，*1||2()n n n a a n N +-=∈，若数列{}21n a -单调递减，数列{}2n a 单调递增，则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ .答案：1,1(2)7,23n n n =⎧⎪⎨--≥⎪⎩二、解答题：15．解：（1）由题意，得12sin ,sin()cos 2y y πααα==+=， ………4分所以()sin cos 2)4f παααα=+=+， ………………6分因为(0,)2πα∈，所以3(,)444πππα+∈，故()2]f α∈. ………………8分（2）因为()2sin()24f C C π=+=，又(0,)2C π∈，所以4C π=， ………………10分在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，即2122b =+-， 解得1b =. ………………14分16．证明（1）：连接1BC ，设11BC B C F=，连接OF ， ………2分因为O ，F 分别是1B D 与1B C 的中点，所以//OF DC ，且12OF DC =， 又E 为AB 中点，所以//EB DC ，且12EB DC =，从而//,OF EB OF EB =，即四边形OEBF 是平行四边形， 所以//OE BF ， ……………6分 又OE ⊄面11BCC B ，BF ⊂面11BCC B ，所以//OE 面11BCC B . ……………8分 （2）因为DC ⊥面11BCC B ，1BC ⊂面11BCC B ，所以1BC DC ⊥， ………… 10分 又11BC B C ⊥，且1,DC B C ⊂面1B DC ，1DC B C C =，所以1BC ⊥面1B DC ，…………12分而1//BC OE ，所以OE ⊥面1B DC ，又OE ⊂面1B DE ，所以面1B DC ⊥面1B DE . ………14分17．解：（1）由题意知，直线l 的方程为2()y x a =-，即220x y a --=， ……………2分 ∴右焦点F 到直线l 的距离为5=，1a c ∴-=， ……………4分又椭圆C 的右准线为4x =，即24a c =，所以24a c =，将此代入上式解得2,1a c ==，23b ∴=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=； ……………6分 （2）由（1）知B ，(1,0)F ， ∴直线BF 的方程为1)y x =-， ……………8分联立方程组221)143y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得855x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍），即8(,5P ， …………12分 B A C D B 1A 1 C 1D 1EF O BAC DB 1A 1 C 1 D 1 E第16题图 O第17题图∴直线l的斜率0(5825k -==-. ……………14分 其他方法：方法二: 由（1）知B ，(1,0)F ， ∴直线BF的方程为1)y x =-，由题(2,0)A ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组1)(2)y x y k x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆解得：k =或k =，又由题意知，0y =>得0k >或k <k =方法三：由题(2,0)A ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2222431616120k x k x k +-+-=，221643A P k x x k +=+， 所以2222168624343P k k x k k -=-=++,21243P ky k -=+，当,,B F P 三点共线时有，BP BF k k =，即222124386143kk k k -+=-+，解得k =或k =，又由题意知，0y =>得0k >或k <k =. 18．解：（1）因为5030CD t =-=，解得20t =. ………… 2分此时圆222:(20)30E x y +-=，令0y =，得AO =所以OD AD AO =-==，将点C 代入250(0)y ax a =-+>中，解得149a =. ………… 4分（2）因为圆E 的半径为50t -，所以50CD t =-，在250y ax =-+中令50y t =-，得OD =则由题意知5075FD t =-≤对(0,25]t ∈恒成立， ………… 8分≤=25t =取最小值10，故10≤，解得1100a ≥. ………… 10分 （3）当1a =时，OD=E 的方程为222()(50)x y t t+-=-，令0y =，得x =±AO =，从而()25)AD f t t ==<≤，………… 12分 又因为()5(f t '==，令()0f t '=，得5t =， ………… 14分当(0,5)t ∈时，()0f t '>，()f t 单调递增；当(5,25)t ∈时，()0f t '<，()f t单调递减，从而当5t = 时，()f t 取最大值为答：当5t =米时，AD 的最大值为25米. …………16分（说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分）解读：此题取材于射阳中学新建体育馆的模型，是一道原创题，初稿中只有（2）（3）两小题，讨论中有老师认为此题的起点偏高，还要给中等偏下的学生送点分，所以又设计了第（1）小题。