控制系统的稳定裕度

L(ω )
−1
ωg
A(ω g )
ωc ω g ω
Lg
γ ωc
ϕ(ωc )
ϕ (ω )
ω
ϕ (ω g )
−π
γ
o 1 [定义]：g = 和 γ = 180 + ϕ (ω c ) 为幅值稳定裕度和相位稳定裕 k A(ω g ) 度。 在对数坐标图上，用 Lg表示 k g 的分贝值。即 Lg = 20 log k g = −20 log A(ω g )
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显然，当 Lg > 0时，即 A(ω g ) < 1 和 γ > 0 时，闭环系统是稳定的； 否则是不稳定的。对于最小相位系统，Lg > 0和 γ > 0 是同时发 生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的 稳定裕度。常用相角裕度。 [幅值稳定裕度物理意义]：稳定系统在相角穿越频率处将幅值增 加 k g 倍（奈氏图）或增加 Lg分贝（波德图），则系统处于临界 状态。若增加的倍数大于 k g倍（或 Lg分贝），则系统变为不稳 定。 [相位稳定裕度的物理意义]：稳定系统在幅值穿越频率ω c 处将 相角减小 γ 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳 定。
第五节 稳定裕度
1
本节主要内容：
稳定裕度的概念 使用稳定裕度概念综合系统
2
当频率特性曲线穿过(-1,j0)点时，系统处于临界稳定状态。 A(ω g ) = 1, ϕ (ω c ) = −180o , ω c = ω g 。对于最小相位系统， 这时： 可以用 A(ω g )和 ϕ (ω c )来表示频率特性曲线接近(-1,j0)点的程度， 或称为稳定裕度。稳定裕度越大，稳定性越好。
γ 相角裕度为： = 180 + ϕ (ω c ) = 180 − 155.38 = 24.6
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幅值裕度：先求相角穿越频率ω g
ω 相角穿越频率处 g 的相角为： ϕ (ω g ) = −90 − tg −1ω g − tg −1 0.2ω g = −180
即：tg −1ω g + tg −1 0.2ω g = 90
o o ϕ 上图蓝线为原始波德图。 (ω c ) ≈ −210 < −180 , ω c ≈ 38，显然 闭环系统是不稳 定的。为了使相位稳定裕度达到30度，可将幅频曲线向下平移。即将开环放 ' 大系数减小，这时相频特性不变。截止频率左移至 ω ，移到哪里？
c
10
Qϕ (ω c ) = −180o + 30o = −150o ，从图中看出： c ' ≈ 10 。所以原始 ω 幅频曲线向下移动的分贝数为: Lg = 20 log A(ω c ' ) = 20 log A(10) ≈ 22dB
ωc
γ0
−π
γ
左图中，红色曲线为Gk(s) 频率特性，兰色曲线为增 ω ωg 0 加了延迟环节后的频率特 性。其幅值和相角穿越频 ω 率分别为ω c 0 , ω c (ω c 0 = ω c ) 和ω g 0 , ω g ，相角裕度分别 γ0 为γ 0 , γ 。
显然增加了延迟环节后，系统的稳定性下降了。若要确保稳定性， 其相位裕度必须大于零。即：γ = γ 0 − τω c = π + ∠Gk ( jω c ) − τω c > 0
200 s (0.025s + 1)(0.1s + 1)
1、确定转折频率：10、40，在(1,20log200)点画斜率为-20的斜 线至 ω = 10 ； 2、在ω = 10 ~ 40之间画斜率为-40的斜线； 3、ω = 40后画斜率为-60的斜线。
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' ω ωg ωc c
−150o − 210o
由三角函数关系得： g × 0.2ω g = 1, 解得：ω g = 2.24 ω 2 A(ω g ) = ≈ 0.33216 ω g 1 + ω g 2 1 + 0.04ω g 2 所以，幅值裕度为： g = −20 log A(ω g ) = 9.6(dB) L
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当增益从k=10增大到k=100时，幅值特性曲线上移20dB，相位 特性曲线不变。这时系统的相位稳定裕度和幅值裕度分别是12dB和-30度。因此系统在k=10时是稳定的，在k=100时是不稳 定的。
−12dB
− 30o
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[例5-11]某系统结构图如下所示。试确定当k=10时闭环系统的稳 定性及其使相位稳定裕度为30度时的开环放大系数k。
R (s )
-
4
k
2 0.025s + 1
2.5 C (s) s (0.1s + 1)
[解]：当k=10时，开环传递函数为： k ( s ) = G 手工绘制波德图步骤：
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带有延迟环节系统的相位裕度的求法： G 设系统的开环传递函数为： k ( s )e −τs ，我们知道增加了延迟环节 − 后系统的幅值特性不变，相角特性滞后了 ωτ 。表现在奈氏图和 波德图上的情况如下（假设Gk(s)）为最小相位系统。
L(ω )
ωg ωg 0
ωg ω c
ϕ (ω )
γ
ωc ωc0
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[稳定裕度概念使用时的局限性]： 1、在高阶系统中，奈氏图中幅值为的点或相角为-180度的点可 能不止一个，这时使用幅值和相位稳定裕度可能会出现歧义； 2、非最小相位系统不能使用该定义； 3、有时幅值和相位稳定裕度都满足，但仍有部分曲线很靠近(1,j0)点，这时闭环系统的稳定性依然不好。见下图：
8dB
裕度：先求穿越频率 ω c 0.2k 2 A(ω ) = = (当k = 10时) | s | × | s + 1 | × | 0.2 s + 1 | ω 1 + ω 2 1 + 0.04ω 2 在穿越频率处，A(ω ) = 1 ，所以ω 2 (1 + ω 2 )(1 + 0.04ω 2 ) = 4 ，解 此方程较困难，可采用近似解法。由于 ω c较小（小于2），所以： 2 A(ω ) ≈ = 1, 解得：ω c ≈ 1.25 ω 1+ ω 2 穿越频率处的相角为： ϕ (ω c ) = −90 − tg −1ω c − tg −1 0.2ω c = −155.38
−1
kg
γ
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'
设新的开环放大系数为 k1 ，原始的开环放大系数为k=200，则有 22 = 20 log k − 20 log k1 （讨论ω = 1 时较明显）。解得： 1 ≈ 15 k 所以当开环放大系数下降到15时，闭环系统的相位稳定裕度是 ω 30度，这时的幅频稳定裕度为：由图中看出 g ≈ 20，所以 Lg = 20 log A(ω g ) |k =15 = 20 log A(20) |k =15 = 10(dB)
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[例]设控制系统如下图所示 R(s ) k=10和k=100时，试求系统 的相位稳定裕度和幅值裕度。
k s ( s + 1)( s + 5)
C (s)
[解]：相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。 当k=10时，开环系 统波德图如右所示。 这时系统的相位稳 定裕度和幅值裕度 大约是8dB和21度。 因此系统在不稳定 之前，增益可以增 加8dB.