【教学设计】直线和圆的方程

2.5.1直线与圆的位置关系

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线与圆的位置关系。

学生在初中的几何学习中已经接触过直线与圆的位置关系，本章已经学习了直线与圆的方程、点到直线的距离公式、点与圆的位置关系等内容，因此本节课是对已学内容的深化何延伸；另一方面，本节课对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫，具有承上启下的地位。坐标法不仅是研究几何问题的重要方法，而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法。通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。

重点：判断直线与圆的位置关系

难点：直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题

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一、情境导学

“海上生明月，天涯共此时。”，表达了诗人望月怀人的深厚情谊。在海天交于一线的天际,一轮明月慢慢升起,先是探出半个圆圆的小脑袋,然后冉冉上升,和天际线相连,再跃出海面,越来越高,展现着迷人的风采.

这个过程中,月亮看作一个圆,海天交线看作一条直线,月出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系:相交、相切和相离.

1．直线与圆的三种位置关系

位置关系交点个数

相交有____公共点

相切只有____公共点

相离____公共点

在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系，前面我们学习了直线的方程，圆的方程，已经用方程研究两条直线的位置关系，下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程通过定量计算研究直线与圆的位置关系。

二、探究新知

思考1:

在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？

前面我们学习了直线的方程、圆的方程，如何利用直线和圆的方程判断他们之间的位置关系？

探究新知一:

例1:

总结规律：

求弦长常用的两种方法

(1)几何法：利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长|AB|之间的关系|AB|＝2√r 2

-d 2

．(垂径定理)

(2)代数法：利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． 变式练习：

探究新知三： 3.直线与圆相切问题： 思考2：

过圆外一点作圆的切线，有几条？ 学生回答：两条。 例2：

变式练习：

2

2

:20:4l x y C x y

+-

=+=已知直线和圆相交，

求直线被圆所截得的弦长？

221,P y l l +=过点（2,1）作圆O:x 的切线求切线的方程.

221,P y l l +=过点（1,2）作圆O:x 的切线求切线的方程.

1.直线与圆的位置关系的判断方法

直线与圆的位置关系反映在三个方面:

一是点到直线的距离与半径大小的关系;

二是直线与圆的公共点的个数;

三是两方程组成的方程组解的个数.

因此,若给出图形,可根据公共点的个数判断;若给出直线与圆的方程,可选择用几何法或代数法,几何法计算量小,代数法可一同求出交点.解题时可根据条件作出恰当的选择.

2. 切线方程的求法

（1）.求过圆上一点P(x

0,y

)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的

斜率k,则由垂直关系,切线斜率为-1

k

,由点斜式方程可求得切线方程.若k=0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y=b或x=a.

（2）.求过圆外一点P(x

0,y

)的圆的切线时,常用几何方法求解

设切线方程为y-y

0=k(x-x

),即kx-y-kx

+y

=0,由圆心到直线的距离等于

半径,可求得k,进而切线方程即可求出.但要注意,此时的切线有两条,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可通过数形结合求出.

3.求直线与圆相交时弦长的两种方法

(1)几何法:如图①,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径

为r,弦长为|AB|,则有(|AB|

2

)2+d2=r2,即|AB|=2√r2-d2.

(2)代数法:如图②所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=√(x1-x2)2+(y1-y2)2=

√1+k2|x1-x2|=√1+1

k2

|y1-y2|(直线l的斜率k存在).

针对本节课的特点，在教法上，采用以教师为主导、学生为主体的教学方法；在教学过程中，注重启发式引导、反馈式评价，充分调动学生的学习积极性，鼓励同学们动手计算，采用一题多变的形式，让学生体会由简单到复杂，由特殊到一般的题型及相应解题策略，教师在学生活动后，给予帮助，促进数学概念的建构，促进数学基本素养的形成；在教学手段上，运用黑板板书和多媒体展示，激发学生的创造力，活跃了气氛，加深了理解。注重提升学生逻辑推理、数学抽样、数学运算等数学核心素养。