2019届北师大版(理科数学) 不等关系和基本不等式 单元测试
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.1不等式的性质课件北师大版选修4_5
即 a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.
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题型一 题型二 题型三
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D 典例透析 IANLITOUXI
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反思用求商法比较两个式子的大小时,变形要向着有利于判断商 与1的大小关系的方向进行,这是最重要的一步.
解:由 a>b>c>0,得 a2ab2bc2c>0,ab+cbc+aca+b>0.
������ 2������ ������ 2������������ 2������ ������ ������ +������������ ������+������ ������ ������+������
=
������ ������
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2.不等式的性质
(1)性质1:如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.
(2)性质2:如果a>b,b>c,那么a>c.
(3)性质3:如果a>b,那么a+c>b+c.
推论:如果a>b,c>d,那么a+c>b+d .
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高中数学第一章不等关系与基本不等式1不等式的性质课件北师大版
5．已知①－1≤a＋b≤1，②1≤a－b≤3，求 3a－b 的取值范围． 解：设 3a－b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b. ∴xx＋ －yy＝ ＝－3，1， ∴xy＝＝21.， 由①＋②×2 得：－1＋2≤(a＋b)＋2(a－b)≤1＋3×2， 即 1≤3a－b≤7.
ab＝1⇔ a＝b .
2．不等式的性质 (1)性质 1(对称性)：如果 a>b，那么 b<a ； 如果 b<a，那么 a>b . (2)性质 2(传递性)：如果 a>b，b>c，那么， a>c . (3)性质 3(加法性质)：如果 a>b，那么 a＋c>b＋c . ①移项法则：如果 a＋b>c，那么 a>c－b . ②推论(加法法则)：如果 a>b，c>d，那么 a＋c>b＋d .
1．已知 x≠0，求证：(x2－1)2＜x4＋x2＋1. 证明：(x2－1)2－(x4＋x2＋1) ＝x4－2x2＋1－x4－x2－1 ＝－3x2＜0， ∴(x2－1)2＜x4＋x2＋1.
2．设 a>b>0，求证：aa22－ ＋bb22>aa＋－bb. 证明：法一：aa22－ ＋bb22－aa－ ＋bb＝a－ba[2a＋＋bb22a－＋ab2＋b2] ＝a22＋abb2a－a＋b b>0， 所以原不等式成立． 法二：∵a>b>0，故 a2>b2>0.故左边>0，右边>0. ∴左 右边 边＝aa2＋＋bb22＝1＋a22＋abb2>1. ∴原不等式成立.
证明：∵ab＝dc，∴a－b b＝c－d d. ∴(a－b)d＝(c－d)b. 又∵a＞b＞c＞d＞0， ∴a－b＞0，c－d＞0，b＞d＞0 且bd＞1， ∴ac－－db＝bd＞1， ∴a－b＞c－d，即 a＋d＞b＋c.
高考数学一轮复习 第三章不等式选讲第一节不等关系与基本不等式课件 理 北师大版
1－3|x| 3．不等式 x >0 的解集为( 1 1 A．(0， )∪(－∞，－ ) 3 3 1 1 B．(－3，0)∪(3，＋∞) 1 1 C．(－3，3) 1 D．(－∞，－ ) 3
)
• 4．若不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a等于 • ( • A．8 B．2 • C．－4 D．－8 • 5．不等式|2x－1|－|x－2|<0的解集为________．
x<1，或x>3 ，即 －1≤x≤5
解得－1≤x<1 或 3<x≤5， 所以原不等式的解集为{x|－1≤x<1，或 3<x≤5}．
• • • •
(2)由不等式|2x＋5|>7＋x， 可得2x＋5>7＋x或2x＋5<－(7＋x)， 整理得x>2，或x<－4. ∴原不等式的解集是{x|x<－4，或x>2}．
|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥．绝对值不等式的解法 • (1)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c型不等式的解法： • ①c>0，则|ax ＋b|≤c 的解为－ c≤ax＋ b≤c ，|ax＋ b|≥c 的解为 ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a、b的值解出即可． • ②c<0，则|ax＋b|≤c的解集为Ø.|ax＋b|≥c的解集为R.
1 1 1 所以 3＋ 3＋ 3＋abc≥2 3. a b c
• • • •
题型二 含绝对值不等式的解法■ 例2 解下列不等式： (1)1<|x－2|≤3；(2)|2x＋5|>7＋x； (3)|x－1|＋|x＋2|<5.
[听课记录]
|x－2|>1 |x－2|≤3
(1) 原 不 等 式 等 价 于 不 等 式 组 ，
2019_2020学年高中数学第一章不等关系与基本不等式1_3_2三元平均值不等式课件北师大版选修4_5
3 ＝300π·
12·（32）2.
∴w≥900π.
当且仅当 3x2＝2xy 即 3x＝2y 时取等号，可得 x＝1，y＝1.5.
答：当水池半径为 1 m，池高为 1.5 m 时，修建水池成本最
低为 900π元．
第31页
课后巩固
第32页
1．设 a，b，c∈R，且 a，b，c 不全相等，则不等式 a3＋b3
第43页
证明 因为 a，b，c 均为正数，由平均值不等式知
2
a2＋b2＋c2≥3(abc)3.
①
1a＋b1＋1c≥3(abc)－31，即(1a＋1b＋1c)2≥9(abc)－23. ②
故 a2＋b2＋c2＋(1a＋1b＋1c)2≥3(abc)23＋9(abc)－23.
又 3(abc)23＋9(abc)－23≥2 27＝6 3，
第14页
【思路】 先观察求证式子的结构，然后通过变形转化为用 平均不等式证明．
第15页
【证明】 (1)∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c≥33 abc>0. 从而(a＋b＋c)2≥93 a2b2c2>0. 又a12＋b12＋c12≥3 3 a2b12c2>0， ∴(a12＋b12＋c12)(a＋b＋c)2≥3 3 a2b12c2·93 a2b2c2＝27. 当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
第27页
又2Hx＋(1－Hx )＋(1－Hx )＝2 为定值， ∴当2Hx＝1－Hx 即 x＝H3 时，v 最大． 故当 x＝H3 时，Vmax＝841πR2H(1＋λ＋λ2)．
第28页
思考题 4 今欲造一个无盖的容积为32π m3 的圆柱形水 池，池底所用材料每平方米 300 元，池壁所用材料每平方米 200 元，那么设计这个水池的最低成本是多少元？
北师大版(2019)高中数学必修1第1章3.2基本不等式课件(共25张PPT)
当且仅当a b c时，等号成立
a2 b2 c2 ab bc ac
变式3.已知a b c 1,求证: ab bc ac 1 3
又a b c2 1
a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 1
2 当且仅当a b时，等号成立.
注1：其中a b 称为a,b的算数平均值，ab称为a,b的几何平均值 2
注2：基本不等式又称为均值不等式
a b aba 0,b 0
2 当且仅当a b时，等号成立.
基本不等式几何解释：
已知AB是半圆O的直径，点C在AB上， 且AC a, BC b,过点C作AB的垂线， 交弧AB于点D，连接AD,OD, BD.
2
当且仅当a b时，等号成立
作差： a
b
2
ab
2
1 a2 2ab b2 4
1 a b2 0
4
题型一:利用基本不等式证明不等式
例1.已知a 0,b 0, c 0,求证: a b c ab bc ac.
方法一：
证： a b ab,当且仅当 a b时,等号成立 2
a b c ab bc ac 0即a b c ab bc ac
变式2.求证：a2 b2 c2 ab bc ac
证 :a2 b2 2ab,当且仅当 a b时，等号成立 b2 c2 2bc,当且仅当 b c时，等号成立 a2 c2 2ac,当且仅当 a c时，等号成立 上面三式相加，得2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac
当且仅当a b c时，等号成立
a2 b2 c2 ab bc ac
变式3.已知a b c 1,求证: ab bc ac 1 证 :a2 b2 2ab,当且仅当 a b时，等号成立 3
基本不等式高中数学北师大版2019必修第一册
从图中可以看出OD≥CD，当 且仅当点C与圆心0重合时，等号 成立，即“半径大于或等于半 弦”.
例4：已知a>0，b>0，c>0，
求证：a b ca bb ca c
和定积最大，积定和最小
当x，y均为正数时，下面的命题均成立： （1）若x+y=s（s为定值）则当且仅当x=y时，xy 取得最大值 s 2
等式也称为均值不等式。
结论
两个非负实数的算术平均值大于或等于它们 的几何平均值。
基本不等式的几何解释
如图1-14，AB是半圆O的直径，点C在AB上， 且AC=a，CB=b.过点C作AB的垂线交于 A B 点D。
ab 连接AD，OD，BD.显然OD=OA= 2 ；利用 A C D 相 似 于 D C B三角形相似，可证得，从而 CD ab 。
4
（2）若xy=p（p为定值）则当且仅当x=y时，x+y 取得最小值 2 p
例5：已知x，y均为整数，试证明：若x+y=s（s为定
值），则当且仅当x=y，时，xy取得最大值 s 2
4
证明：由基本不等式 x y xy 和x+y=s，得 s x y
所以：x y
s2 4
2
2
又因为当x=y= s 时，不等式中的等号成立，所以
A．
B．2
C．
D．
2．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy（ ）
A．有最大值为1
B．有最小运用 1．若对任意的正数a，b满足a+3b﹣1＝0，则 的最小值为（ ） A．6 B．8 C．12 D．24 2．若ab＞0， ＝1，则a+b的最小值是_____
题型归类
（1）利用基本不等式求最值
北师大版(2019)高中数学必修1 3.2 基本不等式 课件(共16张PPT).ppt
b
2
理性分析，论证结论
两等腰三角形面积之和
（当且仅当
如果
（当且仅当
大于等于矩形面积
时等号成立）
那么
时等号成立）
思考：请大家利用已学知识证明上述结论
理性分析，论证结论
那么
如果
（当且仅当
证明：
时等号成立）
ab
a b 2 ab
ab
2
2
a b
2
2
2 a b
2
a b
2、这里的取等号条件必须说明吗？
3、满足什么条件的代数式，才能利用基本不等式求最值
一正：两数均为正数，即 a 0, b 0
二定：两数的和 a b 或积 ab 有一个为定值
三相等：当且仅当两数相等时，即 a b 时，等号成立
巩固新知，深入研究
例题2 已知 x, y 都是正数，求证：
(1)如果乘积 xy 等于定值 p ，那么当
符号语言
文字语言
图形语言
那么
如果
（当且仅当
时等号成立）
两个正数的算数平均数大于等于几何平均数
圆的半径大于等于半弦
巩固新知，深入研究
1
x
例题1 已知 x 0 , 求
的最小值
x
1
1
1
解：x 2 x 2（当且仅当 x ，即 x 1 时等号成立 ）
x
x
x
思考：1、本题中求最值的代数式有何特点？
（当且仅当
(2)由基本不等式可得：xy
4
4
所以和
p;
等于定值 s ，那么当
时等号成立）
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.4不等式的证明1.4.2综合法放缩法课件北师大版选修4_5
-1-
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1.理解综合法的方法与步骤,会用综合法证明简单的不等式. 2.认识放缩法,了解它的方法与步骤,会用放缩法证明简单的不等 式.
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1234
1使a>b>0成立的一个充分不必要条件是( ) A. ������-2 > ������-2 B. ������2 > ������2 > 0 C.lg a-lg b>0 D.xa>xb,且 x>0 解析: 由 ������-2 > ������-2, 知a-2>b-2≥0⇒a>b>0. 由 a>b>0 推不出 ������-2 > ������-2. 答案:A
证明:∵S△ABC=
������������������ 4������
,
������
=
1,
������△ABC=
1 4
,
∴
������������������
=
1,
且a,b,c 不全相等,否则 a=1 与 a=2Rsin 60°= 3矛盾,
111 ∴ ������ + ������ + ������ = ������������ + ������������ + ������������.
∴ 1 × 2 + 2 × 3 + ⋯ + ������(������ + 1)
������(3 + 2������ + 1)
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.4.3几何法、反证法课件北师大选修4_5
探究一
探究二
思维辨析
证明(1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2. (2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于12. 则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2. 因为|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=2,与 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2 矛盾, 所以假设错误. 故|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于12.
探究一
探究二
思维辨析
探究二 利用反证法证明不等式
【例 2】 已知 f(x)=x2+px+q.求 证:(1)f(1)+f(3)-2f(2)=2;(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于12.
分析(1)代入即可证明;(2)利用反证法,并结合(1)中的结论推得 矛盾,从而证明不等式.
+
������2,当且仅当1������
=
1 ������
+
1������时,等号成立.
分析从三个根式的结构特点,容易联想到余弦定理,于是可构造
图形,利用余弦定理来证明.
探究一
探究二
思维辨析
证明如图,作 OA=a,OB=b,OC=c,∠AOB=∠BOC=60°,
则∠AOC=120°,AB= ������2-������������ + ������2,
第3课时 几何法、反证法
学习目标
思维脉络
1.了解几何法的证明过程,并会用 几何法证明简单的不等式. 2.掌握反证法,并会用反证法证明 不等式.
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.1不等式的性质课件北师大选修4_5
探究二
探究三
探究四
思维辨析
探究二 利用求商法比较大小
【例2】 已知a>b>c>0,比较a2ab2bc2c与ab+cbc+aca+b的大小. 分析用求差比较法不易变形,所以用求商比较法.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
解由 a>b>c>0,得 a2ab2bc2c>0,ab+cbc+aca+b>0.
名师点拨 要比较两个实数的大小,通常可以归结为判断它们的 差的符号(仅判断差的符号,至于确切值是多少无关紧要).在具体判 断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中,常会涉及一些具体变 形,如:因式分解、配方法等.对于具体问题,如何采用恰当的变形方 式来达到目的,要视具体问题而定.
【做一做1】 比较大小:x2+3
名师点拨 不等式的倒数性质:
①若 a>b,ab>0,则1������ < 1������. ②若 a>b,ab<0,则1������ > 1������.
【做一做2】 若a>b,则下列结论一定成立的是( )
A.������������<1
B.������������<0
C.2-a>1-b D.(a-b)c2≥0
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练1比较a3+b3与a2b+ab2的大小关系,其中a,b均为负数. 解a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2) =a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)2(a+b). 因为a,b均为负数,所以a+b<0,(a-b)2≥0. 所以(a-b)2(a+b)≤0. 故a3+b3≤a2b+ab2.
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2019届北师大版（理科数学） 不等关系和基本不等式 单元测试
1．【2018河南中原名校质检】若a ＜b ＜0，则下列不等关系中，不能成立的是 A. 1a ＞1b B. 1a b －＞1a C. 13a ＜13b D. 2a ＞2b 【答案】B
【解析】∵a ＜b ＜0，
∴a＜a ﹣b ＜0由1y x =在()0∞-，上单调递减知： 11a b a
<－ 因此B 不成立．故选：B ．
2.设,a b R ∈，则“()2
0a b a -<”是“a b <”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
3．【2017山东，理3】已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是
（A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q
【答案】B
4．设0,0a b >>，则以下不等式中不恒成立的是（ ）
A ．11()()4a b a b ++≥
B ．3322a b ab +>
C ．22222a b a b ++≥+
D ≥【答案】B
【解析】当b a =时，2332ab b a =+，故332
2a b ab +>不恒成立，选项为B.
5．【2017山东，理7】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是
（A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b
<+<+ （C ）()21log 2a b a a b b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+< 【答案】B
6．【2018湖南岳阳市模拟】三个数,,a b c 成等比数列，若有1a b c ++=成立，则b 的取值范围是（ ） A. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. [)11,00,3⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦ D. 10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【答案】C
【解析】由题设可得2,1b ac a c b =+=-，所以由基本不等式可得()2
214b b -≥，即23210b b +-≤解之得113b -≤≤，又0b ≠，故10b -≤<或103
b <≤，应选答案C. 7.【2018河南林州市第一中 模拟】已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且8425S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为（ ）
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
【答案】C
【解析】由题意可得： 9101112128a a a a S S +++=-，由8425S S -=可得8445S S S -=+，
由等比数列的性质可得： 484128,,S S S S S --成等比数列，
则： ()()2
412884S S S S S -=-，综上可得： (
)249101112128
444525101020S a a a a S S S S S ++++=-==++≥=， 当且仅当45S =时等号成立. 综上可得，则9101112a a a a +++的最小值为20.
本题选择C 选项.
8.【2018重庆铜梁县联考】函数y=log a （x+2）﹣1（a ＞0，a≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny+1=0上，其中m ＞0， n ＞0，则 + 的最小值为（ ）
A. 3+2
B. 3+2
C. 7
D. 11
【答案】A
【解析】函数y=log a （x+2）﹣1（a ＞0，a≠1）的图象恒过定点A （﹣1，﹣1），
∵点A 在直线mx +ny+1=0上，其中m ＞0，n ＞0，∴﹣m ﹣n+1=0，即m+n=1．
则 + =（m+n ）（ +）=3+ +
≥3+2 =3+2 ，当且仅当n=m=2﹣时取等号． 故选：A ． 9.【2017天津，文理】若,a b ∈R ， 0ab >，则4441a b ab
++的最小值为 . 【答案】4
【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后
一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当22a b ==时取等号）. 10.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 .
【答案】30
【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x
=，即30x =时等号成立. 11.【2017山东，文】若直线
1(00)x y a b a b
+=＞，＞ 过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . 【答案】8
【解析】
12.【2017浙江，17】已知α∈R ，函数a a x
x x f +-+
=|4|)(在区间[1，4 上的最大值是5，则a 的取值范围是 ．
【答案】9(,]2
-∞
【解析】
13.关于的不等式240x x m --≥对任意[]1,1x ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是 .
【答案】3-≤m .
【解析】∵22
()4(2)4f x x x m x m =--=---在[]1,1-上为减函数，且不等式240x x m --≥对任意[]1,1x ∈-恒成立，则只需03)1()(min ≥--==m f x f ，即3-≤m .
14.给出下列四个命题：
（1）若,a b c d >>，则a d b c ->-；
（2）若22a x a y >，则x y >；
（3）a b >，则
11a b a >-； （4）若110a b
<<，则2ab b <． 其中正确命题的是 ．（填所有正确命题的序号）
【答案】（1）（2）（4）
【解析】（3）中0a =时不等式不成立，故正确的只有（1）（2）（4）.。