matlab_微分方程求解

例1 求
解
du 的通解. = 1 + u 2 的通解 dt 输入命令： 输入命令：u=dsolve('Du=1+u^2','t')
结果：u = tan (t+c1)
例如求下例微分方程的特解。 例如求下例微分方程的特解。
dy = e x , y (0) = e dx
命令窗口中输入： 在Matlab命令窗口中输入： 命令窗口中输入 y=dsolve('Dy=exp(x)','y(0)=exp(1)','x') 输出结果为： 输出结果为： y =exp(x)-1+exp(1) 如想画出函数在自变量x在区间 如想画出函数在自变量 在区间 [-10,10]的函数图像，可在 的函数图像， 的函数图像 命令窗口中输入： 命令窗口中输入： ezplot(y,[-10,10])
例2
求微分方程的特解. 求微分方程的特解
d 2 y dy 2 + 4 + 29 y = 0 dx dx y (0) = 0, y ' (0) = 15
输入命令: 解 输入命令 y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x') 结 果 为 : y =3*exp(-2*x)*sin(5*x) 作图命令： 作图命令：ezplot(y,[1.0,4])
1、微分方程的解析解 、
求微分方程（ 求微分方程（组）的解析解命令: 的解析解命令 dsolve(‘方程 ‘方程 方程1’, 方程 方程2’,…‘方程 ‘初始条件’, ‘自变量’) 方程n’, 初始条件 初始条件’ 自变量 自变量’ 方程 方程
记号: 在表达微分方程时， 表示求微分， 、 记号 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分，D2、 D3 等表示求高阶微分 任何 D 后所跟的字母为因变量，自 等表示求高阶微分.任何 后所跟的字母为因变量， 变量可以指定或由系统规则选定为确省. 变量可以指定或由系统规则选定为确省 d2y 例如， = 0 应表达为：D2y=0. 应表达为： 例如，微分方程 2 dx
例3
求微分方程组的通解. 求微分方程组的通解 dx dt = 2 x − 3 y + 3 z dy = 4 x − 5 y + 3z dt dz = 4 x − 4 y + 2 z dt
解 输入命令 ：
[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z', 't') ;
例6
解微分方程组.
y1 ' = y2 y3 , y2 ' = − y1 y3 , y3 ' = −0.51y1 y2 , y1 (0) = 0, y2 (0) = 1, y3 (0) = 1.
文件rigid.m如下： 如下： 解 1、建立 文件 、建立m-文件 如下 function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2); 2、取t0=0，tf=12，输入命令： 、 ， ，输入命令： [T,Y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1]); plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+') 3、结果如图： 、结果如图：
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 2 4 6 8 10 12
的图形为“ 线 图中， 的图形为实线， 的图形为“ ” 图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*”线，y3的图形为“+”线.
2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 0 500 1000 1500 2000 2500 3000
2、取t0=0，tf=3000，在matlab主命令窗口中输入命令： 、 主命令窗口中输入命令： ， ， 主命令窗口中输入命令 [T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 3000],[2 0]); plot(T,Y(:,1),'-') 3、结果如图： 、结果如图：
注意: 注意 1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为 维向量， 、在解 个未知函数的方程组时 个未知函数的方程组时， 均为n维向量 均为 维向量， m-文件中的待解方程组应以 x 的分量形式写成 文件中的待解方程组应以 的分量形式写成.
2、使用 Matlab 软件求数值解时，高阶微分方程必须等价 、 软件求数值解时， 地变换成一阶微分方程组.
运行结果为： 运行结果为： x=C2*exp(-t)+C3*exp(2*t) y = C2*exp(-t)+C3*exp(2*t)+exp(-2*t)*C1 z = C3*exp(2*t)+exp(-2*t)*C1
2、微分方程的数值解 、
（一）常微分方程数值解的定义 在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得 不出一般解.而在实际上对初值问题 而在实际上对初值问题， 不出一般解 而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若 干个点上满足规定精确度的近似值， 干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确 度要求的便于计算的表达式. 度要求的便于计算的表达式 因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的. 因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的
t=0:0.1:1; y=t+exp(-t); plot#39;szj',[0,1],1); plot(t,y,'ro'); xlabel('t'); ylabel('y');
例5
解: 令 y1=x，y2=y1’ ，
d 2x 2 dx 2 − 1000(1 − x ) − x = 0, dt dt x(0) = 2; x '(0) = 0.
例1 求解微分方程 y ' =
− y + t + 1, y (0) = 1,
先求解析解， 先求解析解，再
求数值解，并进行比较。 求数值解，并进行比较。
解析解： 解析解：输入命令 解得 y=t+exp(-t) 数值解： 数值解： %M函数szj.m function dy=szj(t,y) dy=-y+t+1; y=dsolve('Dy=-y+t+1','y(0)=1','t')
则微分方程变为一阶微分方程组：
y1 ' = y2 , y2 ' = 1000(1 − y12 ) y2 − y1 , y (0) = 2, y (0) = 0. 1 2
1、建立m-文件 、建立 文件 文件vdp1000.m如下： 如下： 如下 function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);
用Matlab软件求常微分方程的数值解 软件求常微分方程的数值解
[t, x]=solver（’f’,ts,x0） （
自变 量值 函数 值 ode45 ode23 ode113 ode15s ode23s 由待解 方程写 成的m成的 文件名 ts=[t0，tf]， 函数的 ， 初值 t0、tf为自 、 变量的初 值和终值